Matematik notesnota, bab 1

Nombor Nisbah

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), pageshalaman 1-29

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mengenal nombor positif dan nombor negatif berdasarkan situasi sebenar (1.1.1)
Saya boleh mengenal dan memerihalkan integer (1.1.2)
Saya boleh mewakilkan integer pada garis nombor dan membuat perkaitan antara nilai integer dengan kedudukan integer itu pada garis nombor (1.1.3)
Saya boleh membanding dan menyusun integer mengikut tertib menaik atau tertib menurun (1.1.4)
Saya boleh menambah dan menolak integer menggunakan garis nombor atau kaedah lain, serta membuat generalisasi tentang penambahan dan penolakan integer (1.2.1)
Saya boleh mendarab dan membahagi integer, serta membuat generalisasi tentang pendaraban dan pembahagian integer (1.2.2)
Saya boleh membuat pengiraan yang melibatkan gabungan operasi asas aritmetik bagi integer mengikut tertib operasi (1.2.3)
Saya boleh menghuraikan Hukum Identiti, Hukum Kalis Tukar Tertib, Hukum Kalis Sekutuan dan Hukum Kalis Agihan (1.2.4)
Saya boleh membuat pengiraan yang efisien dengan menggunakan hukum operasi asas aritmetik (1.2.5)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan integer (1.2.6)
Saya boleh mewakilkan, membanding dan menyusun pecahan positif dan pecahan negatif (1.3.1, 1.3.2)
Saya boleh membuat pengiraan yang melibatkan gabungan operasi bagi pecahan positif dan pecahan negatif, serta menyelesaikan masalah (1.3.3, 1.3.4)
Saya boleh mewakilkan, membanding dan menyusun perpuluhan positif dan perpuluhan negatif (1.4.1, 1.4.2)
Saya boleh membuat pengiraan yang melibatkan gabungan operasi bagi perpuluhan positif dan perpuluhan negatif, serta menyelesaikan masalah (1.4.3, 1.4.4)
Saya boleh mengenal dan memerihalkan nombor nisbah (1.5.1)
Saya boleh membuat pengiraan yang melibatkan gabungan operasi bagi nombor nisbah, serta menyelesaikan masalah (1.5.2, 1.5.3)

1.1Integer

Nombor positif ditulis dengan tanda "+" atau tanpa tanda, misalnya +2, 45. Nombor negatif ditulis dengan tanda "−", misalnya −1, −10. Kita baca −1 sebagai "negatif satu".

Nombor positif dan nombor negatif mewakili dua perubahan yang bertentangan dalam kehidupan harian, misalnya arah ke kanan atau ke kiri, naik atau turun, lebih atau kurang daripada sifar, bertambah atau berkurang.

Lif, gurun dan glasier — Lif naik dua tingkat: +2. Lif turun satu tingkat: −1. Suhu gurun 45°C: +45. Suhu glasier 10°C di bawah 0°C: −10.

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), m.s. 2.

Situasi	Positif	Negatif
Lif	Naik 2 tingkat: +2	Turun 1 tingkat: −1
Suhu	45°C di gurun: +45	10°C di bawah 0°C di glasier: −10
Pergerakan	Kereta A bergerak 40 m ke kanan: +40	Kereta B bergerak 50 m ke kiri: −50
Perniagaan	Keuntungan RM2 000: +2 000	Kerugian RM500: −500
Aras laut	20 m di atas aras laut: +20	20 m di bawah aras laut: −20

Contoh 1 (buku teks m.s. 2): kereta A dan kereta B

Kereta A bergerak 40 m ke kanan dan kereta B bergerak 50 m ke kiri. Andaikan ke kanan ialah positif dan ke kiri ialah negatif.
Kereta A: +40 atau 40. Kereta B: −50.

Integer ialah kumpulan nombor bulat positif dan nombor bulat negatif termasuk sifar: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Contoh 2 (buku teks m.s. 4): integer atau bukan?

15, 23, −3.4, −76, 0, 12, 6, 0.88, −45, 301, −239
Integer: 15, 23, −76, 0, 6, 301, −239
Bukan integer: −3.4, 12, 0.88, −45

Sifar ialah integer. Sifar bukan nombor positif dan bukan nombor negatif. Pecahan dan perpuluhan seperti 12 dan −3.4 bukan integer.

Integer pada garis nombor

Garis nombor daripada −3 hingga 3 — Integer positif di sebelah kanan 0. Integer negatif di sebelah kiri 0.

Integer positif: semakin jauh ke kanan, semakin besar nilainya. 3 bermaksud lebih 3 daripada 0.
Integer negatif: semakin jauh ke kiri, semakin kecil nilainya. −3 bermaksud kurang 3 daripada 0.

Contoh 3 (buku teks m.s. 5): lengkapkan garis nombor

Garis nombor mempunyai kotak kosong dan satu nombor −12. Nombor yang diberi: −30, 6, −6, −36.
Empat nombor negatif −36, −30, −12 dan −6 berada di sebelah kiri 0, dengan −36 paling kecil di sebelah paling kiri. Nombor 6 ialah integer positif, maka berada di sebelah paling kanan.

Membanding dan menyusun integer

Contoh 4(a) (buku teks m.s. 6): susun −3, 4, 2, −5, 6, 0, −1 mengikut tertib menaik

Integer ditanda pada garis nombor daripada −5 hingga 6

Baca titik-titik daripada kiri ke kanan.
Tertib menaik: −5, −3, −1, 0, 2, 4, 6
Tertib menurun ialah songsangannya: 6, 4, 2, 0, −1, −3, −5

Tertib menaik: daripada nilai terkecil ke terbesar. Tertib menurun: daripada nilai terbesar ke terkecil. Nilai nombor positif sentiasa lebih besar daripada nilai nombor negatif.

Menganggap −5 lebih besar daripada −2 kerana 5 lebih besar daripada 2. Pada garis nombor, −5 berada lebih ke kiri, maka −5 < −2. Suhu paling sejuk ialah nombor negatif yang paling kecil.

Susun −4, 3, 1, −6, 5, 0, −2 mengikut tertib menaik.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

−6, −4, −2, 0, 1, 3, 5

1.2Operasi asas aritmetik yang melibatkan integer

Menambah dan menolak integer

Operasi	Pada garis nombor
Tambah integer positif, + (+3)	Bergerak ke kanan
Tambah integer negatif, + (−2)	Bergerak ke kiri
Tolak integer positif, − (+4)	Bergerak ke kiri
Tolak integer negatif, − (−4)	Bergerak ke kanan

Empat garis nombor bagi 8 + (+3) = 11, 5 + (−2) = 3, 2 − (+4) = −2 dan −1 − (−4) = 3 — Contoh 5 (buku teks m.s. 8). Mula pada nombor pertama, kemudian bergerak.

Dua tanda yang bersebelahan boleh digabungkan: + (+) menjadi +, + (−) menjadi −, − (+) menjadi −, − (−) menjadi +. Maka 5 + (−2) = 5 − 2 = 3 dan −1 − (−4) = −1 + 4 = 3.

Kaedah cip berwarna: cip kuning mewakili integer positif (+1) dan cip merah mewakili integer negatif (−1). Satu cip kuning dan satu cip merah bersama mewakili sifar.

Lima cip kuning dan dua cip merah; dua pasangan sifar dalam kotak — 5 + (−2): dua pasangan sifar dibatalkan, maka 5 + (−2) = 3.

Selesaikan (a) −4 + (−3) (b) −5 − (−3)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) −4 − 3 = −7
(b) −5 + 3 = −2

Mendarab dan membahagi integer

Tanda	Hasil darab	Hasil bahagi
(+) dan (+)	(+) × (+) = +	(+) ÷ (+) = +
(+) dan (−)	(+) × (−) = −	(+) ÷ (−) = −
(−) dan (+)	(−) × (+) = −	(−) ÷ (+) = −
(−) dan (−)	(−) × (−) = +	(−) ÷ (−) = +

Hasil darab atau hasil bahagi dua integer dengan tanda sama ialah integer positif. Hasil darab atau hasil bahagi dua integer dengan tanda berlainan ialah integer negatif.

Contoh 6 (buku teks m.s. 10)

(a) −5 × (−4) = +(5 × 4) = 20
(b) −6 × 4 = −(6 × 4) = −24
(c) 6 ÷ (−2) = −(6 ÷ 2) = −3
(d) −12 ÷ (−2) = +(12 ÷ 2) = 6

Nilaikan (a) 4 × (−8) (b) −18 ÷ (−6)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) −32
(b) 3

Gabungan operasi: tertib operasi

Tertib operasi: (1) tanda kurung ( ) dahulu, (2) × atau ÷ daripada kiri ke kanan, (3) + atau − daripada kiri ke kanan.

Contoh 7 (buku teks m.s. 10)

(a) −8 × (−2 + 3) = −8 × 1 = −8
(b) 7 + 2(−3) = 7 + (−6) = 7 − 6 = 1
(c) 4 − 12 ÷ (−2) + (−1) = 4 − (−6) − 1 = 4 + 6 − 1 = 9
(d) (−12 + (−16)) ÷ (−22 − (−24)) = (−12 − 16) ÷ (−22 + 24) = −28 ÷ 2 = −14
Pada (d), pengiraan di atas dan di bawah garis pecahan dibuat dahulu.

Tanda kurung juga boleh menjadi tatatanda untuk pendaraban, misalnya 2(−3) bermaksud 2 × (−3).

Menambah dahulu sebelum mendarab. Dalam 7 + 2 × (−3), darab 2 × (−3) = −6 dahulu, bukan 7 + 2 = 9.

Nilaikan (a) 6 + 3 × (−4) − (−5) (b) (−20 + 8) ÷ (−2 − (−6))

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 6 + (−12) + 5 = −1
(b) (−12) ÷ 4 = −3

Hukum operasi aritmetik

Hukum	Pernyataan
Hukum Kalis Tukar Tertib	a + b = b + a a × b = b × a
Hukum Kalis Sekutuan	(a + b) + c = a + (b + c) (a × b) × c = a × (b × c)
Hukum Kalis Agihan	a × (b + c) = a × b + a × c a × (b − c) = a × b − a × c
Hukum Identiti	a + 0 = a, a + (−a) = 0 a × 0 = 0, a × 1 = a, a × 1a = 1

Penambahan dan pendaraban memenuhi Hukum Kalis Tukar Tertib dan Hukum Kalis Sekutuan. Hukum Kalis Agihan menghubungkan pendaraban dengan penambahan dan penolakan. Penolakan dan pembahagian tidak memenuhi hukum kalis tukar tertib: 5 − 2 ≠ 2 − 5.

Contoh 8 (buku teks m.s. 12): pengiraan efisien

(a) 29 + 38 + 2 = 29 + (38 + 2) = 29 + 40 = 69 (Hukum Kalis Sekutuan)
(b) 2 × 24 × 5 = 24 × 2 × 5 = 24 × (2 × 5) = 24 × 10 = 240 (Hukum Kalis Tukar Tertib dan Hukum Kalis Sekutuan)
(c) 7 × 3 040 = 7 × (3 000 + 40) = 7 × 3 000 + 7 × 40 = 21 000 + 280 = 21 280 (Hukum Kalis Agihan)

Kira dengan efisien (a) 25 × 13 × 4 (b) 6 × 1 002

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 13 × (25 × 4) = 13 × 100 = 1 300
(b) 6 × 1 000 + 6 × 2 = 6 000 + 12 = 6 012

Menyelesaikan masalah yang melibatkan integer

Zon Aplikasi Matematik (buku teks m.s. 12): kad kredit Luqman

Tunggakan kad kredit Luqman ialah RM230. Dia membeli tiga buah buku, harga RM120 setiap satu. Akaun dikenakan faedah RM3 dan dia membuat bayaran balik RM400. Hutang ditulis dengan tanda "−".
Baki akaun = −230 + 3 × (−120) + (−3) + 400 = −230 − 360 − 3 + 400 = −193
Baki masih negatif, maka Luqman belum menjelaskan hutangnya. Tunggakan ialah RM193.

Empat langkah menyelesaikan masalah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi, membuat refleksi (menyemak semula jawapan).

1.3Pecahan positif dan pecahan negatif

Pecahan positif ialah pecahan yang lebih besar daripada sifar. Pecahan negatif ialah pecahan yang kurang daripada sifar. Pecahan diwakili pada garis nombor dengan cara yang sama seperti integer.

Contoh 9 (buku teks m.s. 15): wakilkan 12, 14, −34, −12 pada garis nombor

Garis nombor daripada −1 hingga 1 dengan sela suku

Bahagikan setiap unit kepada 4 bahagian sama. Pecahan positif di sebelah kanan sifar, pecahan negatif di sebelah kiri sifar.

Membanding dan menyusun pecahan

Samakan penyebut dahulu, kemudian banding pengangka. Antara dua pecahan negatif, pecahan yang pengangkanya lebih besar (selepas disamakan penyebut) ialah yang lebih kecil.

Contoh 10 (buku teks m.s. 15): susun 18, −34, −114, 12, −158, −38 mengikut tertib menaik

Pecahan diwakili pada garis nombor dengan sela per lapan

Samakan penyebut kepada 8: 18, −68, −128, 48, −158, −38
Tertib menaik: −158, −114, −34, −38, 18, 12

Susun −34, 12, −58, 712, −23 mengikut tertib menaik.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Penyebut sepunya 24: −1824, 1224, −1524, 1424, −1624
Tertib menaik: −34, −23, −58, 12, 712

Gabungan operasi dengan pecahan

Ikut tertib operasi yang sama: tanda kurung, × atau ÷, kemudian + atau −. Tukarkan nombor bercampur kepada pecahan tak wajar dahulu. Untuk membahagi, darab dengan salingan: salingan bagi −56 ialah −65.

Contoh 11 (buku teks m.s. 16)

(a) 123 × (25 − 56) = 53 × (1230 − 2530) = 53 × (−1330) = −1318
(b) 58 + 113 ÷ (−56) = 58 + 43 × (−65) = 58 + (−85) = 2540 − 6440 = −3940

Membahagi dengan pecahan tanpa menyongsangkannya. ÷ (−56) bermaksud × (−65), dan tanda negatif kekal.

Nilaikan (a) 214 × (13 − 56) (b) −12 + 112 ÷ (−34)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 94 × (−12) = −98 = −118
(b) −12 + 32 × (−43) = −12 − 2 = −212

Menyelesaikan masalah dengan pecahan

Zon Aplikasi Matematik (buku teks m.s. 17): kuiz Mei Ling

Kuiz 20 soalan: +2 markah bagi jawapan betul, −12 markah bagi jawapan salah. Mei Ling menjawab semua soalan. Jumlah markah bagi jawapan salah ialah −4.
Bilangan jawapan salah = −4 ÷ (−12) = 8
Jumlah markah = (20 − 8) × 2 + (−4) = 24 − 4 = 20

1.4Perpuluhan positif dan perpuluhan negatif

Perpuluhan positif ialah perpuluhan yang lebih besar daripada sifar. Perpuluhan negatif ialah perpuluhan yang kurang daripada sifar. Perpuluhan diwakili pada garis nombor seperti integer dan pecahan.

Membanding dan menyusun perpuluhan

Contoh 13 (buku teks m.s. 20): susun −1.6, 0.5, −0.3, 1.4, −0.7 mengikut tertib menurun

Perpuluhan diwakili pada garis nombor daripada −2 hingga 2

Tertib menurun: 1.4, 0.5, −0.3, −0.7, −1.6

Antara dua perpuluhan negatif, yang lebih dekat dengan 0 lebih besar. Bagi −0.037 dan −0.37, nombor −0.037 lebih besar.

Susun −0.5, 0.05, −0.15, 0.15, −0.05 mengikut tertib menaik.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

−0.5, −0.15, −0.05, 0.05, 0.15

Gabungan operasi dengan perpuluhan

Contoh 14 (buku teks m.s. 21)

(a) 3.5 − (−6.5) × 0.2 = 3.5 − (−1.3) = 3.5 + 1.3 = 4.8
(b) (7.23 + 2.77) ÷ (−0.8) = 10.0 ÷ (−0.8) = −12.5
(c) −3.7 + (4.25 + 2.85) × 0.3 = −3.7 + 7.1 × 0.3 = −3.7 + 2.13 = −1.57

Nilaikan (a) 2.4 − 6.5 × 0.4 (b) (3.6 + 1.2) ÷ (−0.8)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 2.4 − 2.6 = −0.2
(b) 4.8 ÷ (−0.8) = −6

Menyelesaikan masalah dengan perpuluhan

Zon Aplikasi Matematik (buku teks m.s. 21 dan 22): harga saham

Harga saham ialah RM2.05. Harga melonjak RM0.32, kemudian menyusut RM0.28 setiap jam selama tiga jam.
Harga akhir = 2.05 + 0.32 + 3 × (−0.28) = 2.37 + (−0.84) = 2.37 − 0.84 = RM1.53

1.5Nombor nisbah

Nombor nisbah ialah nombor yang boleh ditulis dalam bentuk pecahan pq, dengan keadaan p dan q ialah integer dan q ≠ 0.

Nombor nisbah terdiri daripada integer, pecahan dan perpuluhan — Nombor nisbah merangkumi integer, pecahan dan perpuluhan.

Contoh 15 (buku teks m.s. 24): nombor nisbah atau bukan?

145 = 95; 34; −9 = −91; 3.5 = 3510 = 312 = 72
Semuanya boleh ditulis dalam bentuk pq, maka semuanya nombor nisbah.

Bagi menulis perpuluhan sebagai pecahan, guna nilai tempat: 0.25 = 25100 = 14. Semua integer ialah nombor nisbah kerana −9 = −91.

q tidak boleh sifar kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Perpuluhan yang tidak berulang dan tidak berhenti, seperti 3.141 592 654…, bukan nombor nisbah.

Gabungan operasi dengan nombor nisbah

Tukarkan perpuluhan kepada pecahan dahulu (atau pecahan kepada perpuluhan, jika sesuai), kemudian ikut tertib operasi.

Contoh 16 (buku teks m.s. 24)

(a) −0.4 + 112 × (−18) = −410 + 32 × (−18) = −410 + (−316) = −3280 − 1580 = −4780
(b) [18 × (−712) + 1.5] ÷ 0.3 = (−212 + 32) ÷ 310 = −182 ÷ 310 = −9 × 103 = −30

Nilaikan (a) −0.5 + 34 × (−23) (b) (0.5 − 0.3) ÷ (−0.2)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) −12 + (−12) = −1
(b) 0.2 ÷ (−0.2) = −1

Menyelesaikan masalah dengan nombor nisbah

Zon Aplikasi Matematik (buku teks m.s. 25): wang simpanan Noriah

Noriah ada RM120 dan menderma 38 daripadanya, kemudian membeli kasut RM25.60.
Wang diderma = 38 × RM120.00 = RM45.00
Baki = RM120.00 − RM45.00 − RM25.60 = RM49.40

Rumusan

Nombor nisbah terdiri daripada integer (positif, sifar, negatif), pecahan (positif, negatif) dan perpuluhan (positif, negatif).
Nombor di sebelah kanan pada garis nombor lebih besar. Nombor positif sentiasa lebih besar daripada nombor negatif.
Tanda sama memberi hasil darab atau hasil bahagi positif; tanda berlainan memberi negatif.
Tertib operasi: ( ) dahulu, kemudian × atau ÷, kemudian + atau −, daripada kiri ke kanan.
Hukum aritmetik: Kalis Tukar Tertib, Kalis Sekutuan, Kalis Agihan dan Identiti membantu pengiraan yang efisien.
Bahagi dengan pecahan bermaksud darab dengan salingan.