Matematik notesnota, bab 1

Pola dan Jujukan

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 1–17

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mengenal dan memerihalkan pola pelbagai set nombor dan objek dalam kehidupan sebenar, termasuk nombor genap, nombor ganjil, Segi Tiga Pascal dan Nombor Fibonacci (1.1.1)
Saya boleh menerangkan maksud jujukan (1.2.1)
Saya boleh mengenal pasti dan memerihalkan pola suatu jujukan, dan seterusnya melengkapkan dan melanjutkan jujukan itu (1.2.2)
Saya boleh membuat generalisasi tentang pola suatu jujukan menggunakan nombor, perkataan dan ungkapan algebra (1.3.1)
Saya boleh menentukan sebutan tertentu bagi suatu jujukan, menggunakan Tn sebagai sebutan ke-n (1.3.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan jujukan (1.3.3)

1.1Pola

Pola ialah aturan atau corak tertentu dalam senarai nombor atau objek. Untuk mencari pola, bandingkan setiap sebutan dengan sebutan sebelumnya.

Pola bagi objek

Bagi objek, perhatikan apa yang ditambah (atau dikurangkan) daripada satu corak kepada corak berikutnya. Dalam aktiviti m.s. 3, bilangan segi empat sama yang dibentuk ialah 1, 4, 7, … iaitu menambah 3 kepada nombor sebelumnya.

Contoh 1: corak titik 2, 4, 6, 8 dengan dua titik ditambah setiap kali, dan corak segi tiga dengan satu segi tiga ditambah setiap kali — Contoh 1 (m.s. 3): (a) menambah dua titik kepada corak sebelumnya; (b) menambah satu segi tiga kepada corak sebelumnya.

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 3.

Tiga corak bentuk tambah daripada 1, 5 dan 9 segi empat sama — Corak 1, 5, 9, … (Jom Cuba 1.1, m.s. 6): setiap corak menambah 4 segi empat sama, satu pada setiap hujung. Corak ke-4 ada 13 segi empat sama.

Pola bagi nombor

Pola nombor dibentuk dengan menambah, menolak, mendarab atau membahagi nombor sebelumnya.

Nombor	Pola	Operasi
−10, −4, 2, 8, …	Menambah 6 kepada nombor sebelumnya	+6
17, 7, −3, −13, …	Menolak 10 daripada nombor sebelumnya	−10
2, 6, 18, 54, …	Mendarab nombor sebelumnya dengan 3	×3
81, 27, 9, 3, …	Membahagi nombor sebelumnya dengan 3	÷3
1, 3/2, 2, 5/2, …	Menambah ½ kepada nombor sebelumnya	+½
−2.3, −2.6, −2.9, −3.2, …	Menolak 0.3 daripada nombor sebelumnya	−0.3

Jadual ini ialah Contoh 2 (m.s. 4).

Hati-hati dengan nombor negatif. Daripada −10 kepada −4, nombor itu naik 6, maka polanya menambah 6, bukan menolak 6.

Nombor genap dan nombor ganjil dalam suatu pola

Nombor genap boleh dibahagi tepat dengan 2 (2, 4, 6, 8, …). Nombor ganjil tidak boleh dibahagi tepat dengan 2 (1, 3, 5, 7, …).

Contoh 3 (m.s. 4): urutan 7, 12, 17, 22, 27, …, 67

(i) Nombor ganjil: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67. Polanya menambah 10 kepada nombor sebelumnya.
(ii) Nombor genap: 12, 22, 32, 42, 52, 62. Polanya menambah 10 kepada nombor sebelumnya.
Urutan itu naik 5 setiap kali, maka nombor ganjil dan genap muncul berselang-seli. Jika diambil setiap sebutan kedua, polanya menambah 10.

Segi Tiga Pascal

Setiap baris bermula dan berakhir dengan 1. Nombor lain diperoleh dengan menjumlahkan dua nombor pada baris sebelumnya yang berada di atasnya.

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 5.

Kaedah 1: pepenjuru 1, 2, 3, 4, … polanya menambah 1.
Kaedah 2: pepenjuru 1, 3, 6, … polanya menambah 2, 3, 4, ….
Contoh 4 (m.s. 5): baris keempat 1, 3, 3, 1; baris kelima 1, 4, 6, 4, 1; baris keenam 1, 5, 10, 10, 5, 1; baris ketujuh 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Masyarakat Cina mengenal Segi Tiga Pascal dengan nama Segi Tiga Yang Hui (Tahukah Anda, m.s. 5).

Nombor Fibonacci

Nombor Fibonacci bermula dengan 0, 1, 1 dan sebutan seterusnya diperoleh dengan menambah dua sebutan sebelumnya: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 6.

Contoh 5 (m.s. 6): lengkapkan urutan nombor

(a) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
(b) 1, 3, 4, 7, 11, … kerana 1 + 3 = 4, 3 + 4 = 7 dan 4 + 7 = 11.

Nombor Fibonacci bermula daripada soalan seorang ahli matematik Itali, Leonardo of Pisa atau Fibonacci, tentang populasi arnab (Imbasan Silam, m.s. 1). Bunga matahari pada muka depan bab ini ialah contoh pola dalam alam.

(1) Berapakah bilangan segi empat sama dalam corak bentuk tambah ke-8 (1, 5, 9, …)? (2) Lengkapkan urutan jenis Fibonacci 2, 5, __, 12, __, ….

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(1) Menambah 4 setiap kali: 1 + 7 × 4 = 29. (2) 2 + 5 = 7; semak 5 + 7 = 12; 7 + 12 = 19. Urutan: 2, 5, 7, 12, 19, …

Rumusan 1.1: pola dalam senarai nombor ditentukan dengan menambah, menolak, mendarab atau membahagi nombor sebelumnya, manakala pola dalam objek ditentukan dengan memerhati susunan objek sebelumnya.

1.2Jujukan

Jujukan ialah suatu set nombor atau objek yang disusun mengikut suatu pola. Setiap sebutan mengikut aturan yang sama.

Pola suatu jujukan

Contoh 6 (m.s. 8): adakah ini jujukan?

(a) −10, −6, −2, 2, 6, … : menambah 4 setiap kali (+4, +4, +4, +4), maka ini ialah jujukan.
(b) 4, 5, −7, 10, −14, … : perbezaannya +1, −12, +17, −24, maka tiada pola. Ini bukan jujukan.

Melengkapkan dan melanjutkan jujukan

Cari pola daripada dua sebutan yang bersebelahan, kemudian semak pada sebutan lain. Ke hadapan, gunakan pola itu; ke belakang, gunakan operasi songsang.

Jujukan	Pola	Sebutan yang hilang
7, 13, __, 25, __, …	+6	19, 31
88, __, 64, 52, __, __, …	−12	76, 40, 28
__, 0.3, __, 0.027, 0.0081, __, …	×0.3	1, 0.09, 0.00243
__, __, 1/3, 4/6, __, …	+1/3	−1/3, 0, 1

Jadual ini ialah Contoh 7 (m.s. 8). Untuk sebutan sebelum nombor pertama yang diberi, gunakan operasi songsang: 0.3 ÷ 0.3 = 1 dan 1/3 − 1/3 = 0. Perhatikan 4/6 = 2/3 = 1/3 + 1/3.

Contoh 8 (m.s. 9): jujukan berdasarkan pola yang diberi

(a) Menolak 4 daripada nombor sebelumnya, bermula 96: 96, 92, 88, 84, 80, 76, …
(b) Mendarab dengan 3, bermula 7: 7, 21, 63, 189, 567, 1 701, …
(c) Mengurangkan 8, bermula 21.3: 21.3, 13.3, 5.3, −2.7, −10.7, −18.7, …
(d) Membahagi dengan 5, bermula 400: 400, 80, 16, 3.2, 0.64, 0.128, …

Membahagi dengan 5 tidak sama dengan menolak 5. Uji pola pada sebutan kedua dan ketiga juga: 400 ÷ 5 = 80 dan 80 ÷ 5 = 16.

Satu lagi contoh jujukan ialah nombor segi tiga: 1, 3, 6, 10, 15, 21, … (Tahukah Anda, m.s. 9). Perbezaannya bertambah 2, 3, 4, 5, 6, ….

Titik hijau disusun dalam segi tiga: 1, 3, 6, 10 dan 15 titik — Nombor segi tiga 1, 3, 6, 10, 15, … ialah jujukan yang perbezaannya bertambah satu setiap kali.

Tentukan sama ada 3, 18, 33, 48, … dan 1.0, −1.7, −2.4, 3.1, … ialah jujukan, dan lengkapkan 34, 28, __, 16, __, ….

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

3, 18, 33, 48 menambah 15 setiap kali, maka ialah jujukan. Bagi 1.0, −1.7, −2.4, 3.1, perbezaannya −2.7, −0.7, +5.5, maka bukan jujukan. 34, 28, 22, 16, 10, …: polanya menolak 6.

1.3Pola dan jujukan

Nombor, perkataan dan ungkapan algebra

Contoh 9 (m.s. 10): jujukan 1, 9, 17, 25, 33, … boleh dinyatakan dengan tiga cara.

Cara	Pola
Nombor	+8
Perkataan	Menambah 8 kepada nombor sebelumnya
Ungkapan algebra	1 + 8n, dengan n = 0, 1, 2, 3, 4, …

Ungkapan algebra ialah ungkapan yang menggabungkan nombor, pemboleh ubah atau simbol matematik lain dengan operasi. Dalam jujukan, n ialah kedudukan dan ungkapan itu memberi sebutan pada kedudukan tersebut.

Daripada pola kepada ungkapan algebra

Jujukan 3, 6, 9, 12, … menambah 3 setiap kali. Ia ialah gandaan 3, maka ungkapannya 3n dengan n = 1, 2, 3, … Semak: n = 1 memberi 3, n = 4 memberi 12.
Jujukan 5, 8, 11, 14, … ialah 3n + 2 dengan n = 1, 2, 3, … (n = 1 memberi 5, n = 4 memberi 14).
Jujukan 3, 1, −1, −3, … menolak 2: 3 − 2n dengan n = 0, 1, 2, 3, … (n = 1 memberi 1).

Pola mendarab menggunakan kuasa: 2, 4, 8, 16, … ialah 2ⁿ dengan n = 1, 2, 3, …, dan 100, 50, 25, 12.5, … ialah 100 ÷ 2ⁿ dengan n = 0, 1, 2, 3, ….

Sentiasa nyatakan nilai n. Untuk jujukan yang sama, n = 0, 1, 2, … dan n = 1, 2, 3, … memberi ungkapan yang berbeza (1 + 8n dan 8n − 7 kedua-duanya memberi 1, 9, 17, …).

Sebutan bagi suatu jujukan

Sebutan sesuatu jujukan dikenali sebagai sebutan ke-n dan ditulis sebagai T_n, dengan T ialah sebutan dan n ialah kedudukan sebutan. Bagi 4, 8, 12, 16, …: T₁ = 4, T₂ = 8, T₃ = 12, T₄ = 16.

Contoh 10 (m.s. 11): sebutan kelima bagi 2, 10, 18, …

Langkah 1: pola ialah menambah 8. Langkah 2: T₁ = 2, T₂ = 10, T₃ = 18, T₄ = 26, T₅ = 34.

Contoh 11 (m.s. 11): nombor 40 ialah sebutan ke berapa dalam 65, 60, 55, 50, …?

Pola: menolak 5. T₅ = 45 dan T₆ = 40. Maka 40 ialah sebutan ke-6.

Semakan pantas bagi jujukan yang menambah d setiap kali: T_n = sebutan pertama + (n − 1) × d. Bagi 65, 60, …: 65 − (n − 1) × 5 = 40 memberi n − 1 = 5, maka n = 6.

Bermula daripada T₁, pola dikenakan satu kali kurang daripada kedudukan. Untuk T₅ tambah 4 kali, bukan 5 kali.

Bagi jujukan 2, 9, 16, …, hitung T₈. Nombor 103 ialah sebutan ke berapa dalam 7, 13, 19, …?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Pola +7: T₈ = 2 + 7 × 7 = 51. Bagi 7, 13, 19, …: pola +6. 103 − 7 = 96 dan 96 ÷ 6 = 16, maka 103 ialah sebutan ke-(16 + 1) = 17.

Penyelesaian masalah

Langkah	Contoh 12 (m.s. 12): mesin pemberi makanan ikan
Memahami masalah	Ikan diberi makan 4 kali sehari, kali pertama pada 7:35 pagi. Pukul berapakah kali yang ketiga?
Merancang strategi	1 hari = 24 jam, maka 1 kali = 24 ÷ 4 = 6 jam. Masa pemberian makanan membentuk jujukan yang menambah 6 jam.
Melaksanakan strategi	T₁ = 7:35 pagi, T₂ = 7:35 pagi + 6 jam = 1:35 petang, T₃ = 1:35 petang + 6 jam = 7:35 petang
Membuat kesimpulan	Ikan diberi makanan kali ketiga pada pukul 7:35 petang.

Bas A bertolak pukul 8:00 pagi dan bas bertolak setiap 30 minit (Jom Cuba 1.3, m.s. 13). Pukul berapakah bas E bertolak? Jika perjalanan 5 jam, bilakah bas E sampai?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

A 8:00, B 8:30, C 9:00, D 9:30, E 10:00 pagi (4 selang × 30 minit = 2 jam). Bas E sampai pada 10:00 pagi + 5 jam = 3:00 petang.

Inti pati bab

Idea	Ingat
Pola	Aturan atau corak tertentu dalam nombor atau objek: +, −, ×, ÷ nombor sebelumnya
Segi Tiga Pascal	Setiap nombor ialah jumlah dua nombor di atasnya; baris bermula dan berakhir dengan 1
Nombor Fibonacci	0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … setiap sebutan ialah jumlah dua sebutan sebelumnya
Jujukan	Set nombor atau objek yang disusun mengikut suatu pola
Memerihalkan pola	Nombor (+3), perkataan (menambah 3 kepada nombor sebelumnya), ungkapan algebra (3n, n = 1, 2, 3, …)
Sebutan	T_n ialah sebutan ke-n
Penyelesaian masalah	Memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi, membuat kesimpulan

Kandungan dan contoh mengikut buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), Bab 1, m.s. 1 hingga 17.