Matematik notesnota, bab 1

Indeks

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), pageshalaman 1-29

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mewakilkan pendaraban berulang dalam bentuk indeks dan menghuraikan maksudnya (1.1.1)
Saya boleh menukar suatu nombor kepada nombor dalam bentuk indeks dan sebaliknya (1.1.2)
Saya boleh menentukan nilai nombor dalam bentuk indeks, aⁿ (1.1.3)
Saya boleh menghubung kait pendaraban dan pembahagian nombor berindeks yang mempunyai asas sama dengan pendaraban berulang, dan membuat generalisasi (1.2.1, 1.2.2)
Saya boleh menghubung kait nombor dalam bentuk indeks yang dikuasakan dengan pendaraban berulang, dan membuat generalisasi (1.2.3)
Saya boleh menentusahkan a⁰ = 1 dan a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a ≠ 0 (1.2.4)
Saya boleh menentu dan menyatakan hubungan antara indeks pecahan dengan punca kuasa dan kuasa (1.2.5)
Saya boleh melaksanakan operasi yang melibatkan hukum indeks (1.2.6)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan hukum indeks, termasuk persamaan dengan x dalam indeks (1.2.7)

1.1Tatatanda indeks

Tatatanda indeks ialah cara ringkas menulis pendaraban berulang. Dalam aⁿ, a ialah asas dan n ialah indeks (juga dipanggil eksponen). Indeks memberitahu bilangan kali asas didarab secara berulang: aⁿ = a × a × a × … × a (n faktor), a ≠ 0. Kita baca 4³ sebagai "4 kuasa 3".

Mewakilkan pendaraban berulang dalam bentuk indeks (1.1.1)

Pendaraban berulang	Bentuk indeks	Asas	Indeks
5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5	5⁶	5	6
0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3	(0.3)⁴	0.3	4
(−2) × (−2) × (−2)	(−2)³	−2	3
14 × 14 × 14 × 14 × 14	(14)⁵	14	5
m × m × m × m × m × m × m	m⁷	m	7

Asas yang negatif atau pecahan mesti diletakkan dalam tanda kurung. (−2)⁴ = 16 tetapi −2⁴ = −16 kerana hanya 2 yang dikuasakan. Juga 2⁵ ≠ 2 × 5 dan 4³ ≠ 4 × 3: indeks 3 bermaksud 4 × 4 × 4 = 64, bukan 12.

Menukar nombor kepada bentuk indeks dan sebaliknya (1.1.2)

Suatu nombor boleh ditulis dalam bentuk indeks dengan asas yang sesuai. Gunakan kaedah pembahagian berulang (bahagi dengan asas sehingga hasilnya 1; bilangan pembahagian ialah indeks) atau kaedah pendaraban berulang (darab asas sehingga mendapat nombor itu).

Contoh 2 (buku teks m.s. 4): 64 dengan asas berlainan

Pembahagian berulang: 64 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = 1 (6 kali), maka 64 = 2⁶.
64 ÷ 4 ÷ 4 ÷ 4 = 1 (3 kali), maka 64 = 4³.
64 ÷ 8 ÷ 8 = 1 (2 kali), maka 64 = 8².
Semak dengan pendaraban berulang: 4 × 4 × 4 = 64 dan 8 × 8 = 64.

Contoh 3 (buku teks m.s. 5): pecahan dengan asas 25

323125: 32 = 2⁵ dan 3 125 = 5⁵ (kedua-duanya dibahagi 5 kali).
Maka 323125 = (25)⁵.
Semak: 25 × 25 × 25 × 25 × 25 = 323125.

Menentukan nilai nombor dalam bentuk indeks (1.1.3)

Darabkan secara berulang atau gunakan kalkulator saintifik dengan kekunci ^. Letakkan asas yang negatif atau pecahan dalam tanda kurung semasa menekan kalkulator.

Contoh 4 dan 5 (buku teks m.s. 5-6): nilai

2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
(0.6)³ = 0.36 × 0.6 = 0.216
(−7)³ = (−7) × (−7) × (−7) = −343
(23)⁴ = 2⁴3⁴ = 1681
(−0.5)⁶ = 0.015 625

Asas negatif: indeks genap memberi nilai positif, indeks ganjil memberi nilai negatif. Contohnya (−2)⁴ = 16 tetapi (−2)⁵ = −32.

Tulis 625 dalam bentuk indeks dengan asas 5, dan cari nilai (−3)⁴.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

625 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 1 (4 kali), maka 625 = 5⁴
(−3)⁴ = 9 × 9 = 81

Tulis 827 dalam bentuk indeks dengan asas 23.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

8 = 2³ dan 27 = 3³
827 = (23)³

1.2Hukum indeks

Pendaraban nombor berasas sama (1.2.1)

Tulis pendaraban berulang dahulu. 2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2⁷, dan 7 = 3 + 4. Begitu juga 3² × 3³ = 3⁵ dan 5⁴ × 5² = 5⁶.

Hukum pendaraban: a^m × aⁿ = a^{m + n}. Asas sama, tambah indeks. Ingat a = a¹.

Contoh 6 (buku teks m.s. 7): ringkaskan

7² × 7³ = 7²⁺³ = 7⁵
(0.2)² × (0.2)⁴ × (0.2)⁵ = (0.2)¹¹
2k² × 4k³ = (2 × 4)(k²⁺³) = 8k⁵
3m⁴ × 16m⁵ × 12m = (3 × 16 × 12)(m⁴⁺⁵⁺¹) = 6m¹⁰

Asas yang berlainan (Contoh 7, m.s. 8)

Kumpulkan asas yang sama dahulu, kemudian tambahkan indeks bagi asas yang sama. Asas yang berlainan tidak boleh digabungkan.

Contoh 7 (buku teks m.s. 8): ringkaskan

m³ × n² × m⁴ × n⁵ = m³⁺⁴ × n²⁺⁵ = m⁷n⁷
p² × m³ × p⁴ × n³ × m⁴ × n² = m⁷n⁵p⁶
−m⁴ × 2n⁵ × 3m × 14n² = (−1 × 2 × 3 × 14) m⁴⁺¹n⁵⁺² = −32m⁵n⁷

Semasa mendarab, tambah indeks; jangan darab indeks (2³ × 2² bukan 2⁶) dan jangan tambah asas. 3² × 3³ = 3⁵, bukan 9⁵.

Ringkaskan 5x³ × 2x⁴ × 110x.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(5 × 2 × 110)(x³⁺⁴⁺¹) = x⁸

Pembahagian nombor berasas sama (1.2.2)

4⁵ ÷ 4² = 4×4×4×4×44×4 = 4 × 4 × 4 = 4³, dan 3 = 5 − 2. Kita batalkan faktor yang sama di atas dan di bawah.

Hukum pembahagian: a^m ÷ aⁿ = a^{m − n}. Asas sama, tolak indeks.

Contoh 8 (buku teks m.s. 9-10): ringkaskan

5⁴ ÷ 5² = 5⁴⁻² = 5²
(−3)⁴ ÷ (−3)² ÷ (−3) = (−3)⁴⁻²⁻¹ = (−3)¹ = −3
m⁴n³ ÷ m²n = m²n²
25x²y³ ÷ 5xy = 255x²⁻¹y³⁻¹ = 5xy²
12m¹⁰ ÷ 4m⁵ ÷ m² = 3m⁵ ÷ m² = 3m³
−16p⁸ ÷ 2p⁵ ÷ 4p² = −8p³ ÷ 4p² = −2p

Ringkaskan 18p⁷q⁴ ÷ 6p²q.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

18 ÷ 6 = 3, p⁷⁻² = p⁵, q⁴⁻¹ = q³
Jawapan: 3p⁵q³

Nombor dalam bentuk indeks yang dikuasakan (1.2.3)

(3²)⁴ = 3² × 3² × 3² × 3² = 3^2+2+2+2 = 3^2×4 = 3⁸. Indeks 2 ditambah 4 kali, iaitu 2 × 4.

Hukum kuasa: (a^m)ⁿ = a^mn. Darab indeks.

Untuk kuasa bagi hasil darab dan hasil bahagi, setiap faktor dalam kurungan dikuasakan:

Hukum	Contoh
(a^mbⁿ)^q = a^mqb^nq	(3a⁴)³ = 3³a¹² = 27a¹²
(a^mbⁿ)^q = a^mqb^nq	(2x³3y⁷)⁴ = 16x¹²81y²⁸

Contoh 9 dan 10 (buku teks m.s. 11-13): kuasa bagi kuasa

(3⁴)² = 3⁸
(h³)¹⁰ = h³⁰
((−y)⁶)³ = (−y)¹⁸
(5m⁴n³)² = 5²m⁸n⁶ = 25m⁸n⁶
Benar atau palsu? (3²)⁶ = 3¹² tetapi (27²)⁴ = ((3³)²)⁴ = 3²⁴; kedua-duanya tidak sama, maka (3²)⁶ = (27²)⁴ adalah palsu.

Hukum kuasa hanya mengubah indeks apabila ada kurungan. a^m × aⁿ menambah indeks tetapi (a^m)ⁿ mendarab indeks: 2³ × 2⁴ = 2⁷ tetapi (2³)⁴ = 2¹².

Permudahkan (2a³b)⁴ dan (3m²n³)².

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(2a³b)⁴ = 2⁴a¹²b⁴ = 16a¹²b⁴
(3m²n³)² = 9m⁴n⁶

Contoh 10(h) (buku teks m.s. 13): gabungan hukum

(2x³y⁴)⁴ × (3xy²)³36x¹⁰y¹²
= 16x¹²y¹⁶ × 27x³y⁶36x¹⁰y¹² = 432x¹⁵y²²36x¹⁰y¹²
= 12x⁵y¹⁰

Indeks sifar dan indeks negatif (1.2.4)

Indeks sifar. Gunakan hukum pembahagian dan pendaraban berulang. 2³ ÷ 2³ = 2³⁻³ = 2⁰; tetapi 2×2×22×2×2 = 1. Maka 2⁰ = 1. Begitu juga m⁵ ÷ m⁵ = m⁰ = 1.

Indeks sifar: a⁰ = 1; a ≠ 0. Sebarang nombor atau sebutan algebra (selain sifar) dengan indeks sifar bernilai 1.

Indeks negatif. 2³ ÷ 2⁵ = 2³⁻⁵ = 2⁻²; tetapi 2×2×22×2×2×2×2 = 12×2 = 12². Maka 2⁻² = 12². Begitu juga m² ÷ m⁵ = m⁻³ = 1m³.

Indeks negatif: a⁻ⁿ = 1aⁿ; a ≠ 0. Juga 1a⁻ⁿ = aⁿ dan (ab)⁻ⁿ = (ba)ⁿ.

Indeks negatif tidak menjadikan nilai negatif. 2⁻³ = 18, bukan −8. Juga 2a⁻ⁿ ≠ 12aⁿ; indeks −n hanya mengenai a, maka 2a⁻ⁿ = 2aⁿ.

Contoh 11 (buku teks m.s. 15-16): bentuk indeks positif

a⁻² = 1a²
2m⁻³ = 2m³
18⁻⁵ = 8⁵
(23)⁻¹⁰ = (32)¹⁰
3² × 3⁴ ÷ 3⁸ = 3²⁺⁴⁻⁸ = 3⁻² = 13² = 19

Nyatakan 5x⁻² dalam indeks positif dan hitung (34)⁻².

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

5x⁻² = 5x²
(34)⁻² = (43)² = 169 = 179

Indeks pecahan (1.2.5)

Di Tingkatan 1 anda telah belajar punca kuasa dua dan punca kuasa tiga: jika x² = 9 maka x = ²√9 = 3. Dengan indeks pecahan, (x²)^1/2 = 9^1/2 memberi x = 9^1/2 = 3. Maka 9^1/2 = √9.

Indeks pecahan: a^1/n = ⁿ√a; a ≠ 0. Juga
a^m/n = (a^m)^1/n = (a^1/n)^m = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m.

Indeks pecahan a^m/n: penyebut n ialah punca kuasa dan pengangka m ialah kuasa. Cari punca dahulu supaya nombor kekal kecil.

Contoh 12 dan 14 (buku teks m.s. 17-19): nilai

²√36 = 36^1/2 = 6
³√(−27) = (−27)^1/3 = (−3³)^1/3 = −3
⁵√(−32) = (−32)^1/5 = (−2⁵)^1/5 = −2
256^1/8 = ⁸√256 = 2
9^5/2 = (√9)⁵ = 3⁵ = 243
16^5/4 = (⁴√16)⁵ = 2⁵ = 32
64^2/3 = (64²)^1/3 = (³√64)² = 4² = 16

Kaedah (ⁿ√a)^m lebih mudah daripada ⁿ√(a^m) kerana a^m boleh menjadi nombor yang sangat besar. Contohnya 9^5/2 = 3⁵ = 243 dan bukan √59 049.

Hitung 125^2/3 dan 81^−3/4.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

125^2/3 = (³√125)² = 5² = 25
81^−3/4 = 181^3/4 = 1(⁴√81)³ = 13³ = 127

Melaksanakan operasi yang melibatkan hukum indeks (1.2.6)

Ringkasan hukum yang digunakan:

a^m × aⁿ = a^m+n	a⁰ = 1	a^1/n = ⁿ√a
a^m ÷ aⁿ = a^m−n	a⁻ⁿ = 1aⁿ	a^m/n = (a^m)^1/n = (a^1/n)^m
(a^m)ⁿ = a^mn		a^m/n = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m

Kuasakan kurungan dahulu.
Kumpulkan asas yang sama (pekali dengan pekali) dan guna hukum ×, ÷.
Jika asas nombor berlainan, tukarkan kepada faktor perdana (contohnya 8 = 2³, 9 = 3², 16 = 2⁴).
Beri jawapan dengan indeks positif kecuali diminta lain.

Contoh 15 dan 16 (buku teks m.s. 20-21): permudahkan

(−3x)³ × (2x³y⁻⁴)²108x⁴y³
= −27x³ × 4x⁶y⁻⁸108x⁴y³ = −108x⁹y⁻⁸108x⁴y³ = −x⁵y⁻¹¹ = −x⁵y¹¹

Tanpa kalkulator: 16^3/4 × 81^−1/4(2⁶ × 3⁴)^1/2
= 2³ × 3⁻¹2³ × 3² = 2³⁻³ × 3⁻¹⁻² = 1 × 3⁻³ = 127

Contoh baharu: gabungan semua hukum

Permudahkan (−2x)³ × (3x²y⁻⁴)²24x⁴y⁻⁵.
Atas: (−2x)³ = −8x³ dan (3x²y⁻⁴)² = 9x⁴y⁻⁸, maka atas = −72x⁷y⁻⁸.
Hasil bahagi: -7224 x⁷⁻⁴y^{−8−(−5)} = −3x³y⁻³ = −3x³y³.

Hitung 27^2/3 × 4^−1/2 × 10² tanpa kalkulator.
27^2/3 = 9, 4^−1/2 = 12, 10² = 100. Maka 9 × 12 × 100 = 450.

Hitung 8^2/3 × 9^−1/2 × 6² tanpa kalkulator.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

8^2/3 = 4, 9^−1/2 = 13, 6² = 36
4 × 13 × 36 = 48

Menyelesaikan masalah yang melibatkan hukum indeks (1.2.7)

Ikut empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan. Untuk persamaan indeks, jadikan semua asas sama, gunakan hukum indeks, kemudian bandingkan indeks: jika a^m = aⁿ maka m = n, dan jika a^m = b^m maka a = b.

Contoh 18 dan 19 (buku teks m.s. 22-23): persamaan dengan x dalam indeks

Selesaikan 3^x × 9^x+5 ÷ 3⁴ = 1.
3^x × 3^2(x+5) ÷ 3⁴ = 3⁰
3^{x + 2x + 10 − 4} = 3⁰, maka 3x + 6 = 0 dan x = −2.
Semak: 3⁻² × 9³ ÷ 3⁴ = 3⁻²⁺⁶⁻⁴ = 3⁰ = 1. ✓

Selesaikan 3^x² × 3^2x = 3¹⁵.
x² + 2x = 15, maka x² + 2x − 15 = 0 dan (x − 3)(x + 5) = 0.
x = 3 atau x = −5.

Contoh 20 dan 21 (buku teks m.s. 23-24): persamaan serentak

Selesaikan 25^m × 5ⁿ = 5⁸ dan 2^m × 12ⁿ = 2.
5^{2m + n} = 5⁸, maka 2m + n = 8 ……(1)
2^{m − n} = 2¹, maka m − n = 1 ……(2)
(1) + (2): 3m = 9, m = 3. Ganti dalam (2): 3 − n = 1, n = 2.

Chong: 16(4^x) = 16^y dan Navin: 3(9^x) = 27^y.
4^2+x = 4^2y memberi 2 + x = 2y ……(1); 3^1+2x = 3^3y memberi 1 + 2x = 3y ……(2).
(1) × 2: 4 + 2x = 4y ……(3). (3) − (2): 3 = y. Ganti y = 3 dalam (1): x = 4.
Semak: 2 + 4 = 2(3) dan 1 + 8 = 3(3). ✓

Masalah harian (buku teks m.s. 26)

Suhu logam: T = 25(1.2)^m °C selepas m saat. Beza suhu antara saat ke-5 dengan saat ke-6:
25(1.2)⁶ − 25(1.2)⁵ = 25 × (1.2)⁵ × (1.2 − 1) = 5 × 2.48832 = 12.4416, iaitu 12 °C (darjah Celsius terdekat).

Simpanan RM50 000 dengan faedah 3.5% setahun: jumlah selepas t tahun = 50 000(1.035)^t.
Selepas 6 tahun (1 Mac 2019 hingga 1 Mac 2025): 50 000 × (1.035)⁶ = 50 000 × 1.229 255… = RM61 462.77.

Selesaikan 2^x × 4^x+1 = 2¹¹, dan cari x yang mungkin bagi 5^x² ÷ 5^x = 5⁶.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

2^{x + 2(x+1)} = 2¹¹, 3x + 2 = 11, x = 3.
5^x²−x = 5⁶, x² − x − 6 = 0, (x − 3)(x + 2) = 0, maka x = 3 atau x = −2.

Selesaikan 3^m × 9ⁿ = 3⁸ dan 2^m ÷ 2ⁿ = 2².

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

m + 2n = 8 ……(1) dan m − n = 2 ……(2).
(1) − (2): 3n = 6, n = 2. Ganti dalam (2): m = 4.
Semak: 3⁴ × 9² = 81 × 81 = 3⁸. ✓

Rumusan

Peta Konsep Bab 1 Indeks: asas dan indeks, pendaraban, pembahagian, kuasa, indeks pecahan, indeks negatif dan indeks sifar — Peta konsep Bab 1 Indeks

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 28.

Ingat	Fakta penting
Tatatanda indeks	aⁿ = a × a × … × a (n faktor); a ialah asas, n ialah indeks
Asas sama	a^m × aⁿ = a^m+n; a^m ÷ aⁿ = a^m−n; (a^m)ⁿ = a^mn
Indeks sifar	a⁰ = 1; a ≠ 0
Indeks negatif	a⁻ⁿ = 1aⁿ; a ≠ 0
Indeks pecahan	a^1/n = ⁿ√a; a^m/n = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m)
Persamaan indeks	Jadikan asas sama, kemudian samakan indeks