Matematik Tambahan notesnota, bab 1

Fungsi

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 1–33

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menerangkan fungsi menggunakan perwakilan graf dan tatatanda fungsi, serta menentukan sama ada suatu hubungan atau graf ialah fungsi (1.1.1)
Saya boleh menentukan domain, kodomain dan julat suatu fungsi, termasuk fungsi nilai mutlak (1.1.2)
Saya boleh menentukan imej apabila objek diberi dan objek apabila imej diberi (1.1.3)
Saya boleh memerihalkan hasil gubahan dua fungsi dan menentukan fungsi gubahan (1.2.1, 1.2.2)
Saya boleh menentukan imej atau objek bagi suatu fungsi gubahan, dan menentukan suatu fungsi apabila fungsi gubahan dan salah satu fungsinya diberi (1.2.3, 1.2.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah melibatkan fungsi gubahan (1.2.5)
Saya boleh memerihalkan songsangan suatu fungsi dan membuat konjektur sifat fungsi songsang, termasuk ujian garis mengufuk dan graf songsang (1.3.1, 1.3.2)
Saya boleh menentukan fungsi songsang secara algebra dan menyelesaikan masalah melibatkan fungsi songsang (1.3.3)

1.1Fungsi

Fungsi (atau pemetaan) dari set X kepada set Y ialah hubungan khas yang memetakan setiap unsur x ∈ X kepada hanya satu unsur y ∈ Y. Contoh: upah seorang juruwang yang dibayar RM80 sehari bergantung pada bilangan hari bekerja.

f : x → 2x + 1. Objek x dipetakan kepada imejnya, 2x + 1.

Titik (x, y) pada garis y = 2x + 1 berpadanan dengan pemetaan x → y. Daripada graf, 1 → 3, 3 → 7 dan 5 → 11. Unsur 1 ialah objek dan unsur 3 ialah imejnya (3 ialah imej bagi 1).

Tatatanda	Cara membaca
f : x → 2x + 1	"fungsi f memetakan x kepada 2x + 1"
f(x) = 2x + 1	"2x + 1 ialah imej bagi x di bawah fungsi f"
f(1) = 3	1 ialah objek, 3 ialah imej

Hubungan bukan fungsi jika satu objek mempunyai dua imej atau lebih (satu dengan banyak), atau jika ada objek yang tiada imej. Unsur dalam set Y yang tiada objek dibenarkan.

Fungsi ialah hubungan satu dengan satu atau banyak dengan satu. Hubungan satu dengan banyak tidak pernah menjadi fungsi.

Contoh 1 (buku teks m.s. 3): adakah hubungan ini fungsi?

Hubungan	Pemetaan	Fungsi?
(a)	2 → 8, 5 → 20, 6 → 24 (22 tiada objek)	Ya, setiap objek ada satu imej sahaja
(b)	4 → 2, 8 → 3, 18 → 3, 18 → 9	Bukan, 18 mempunyai dua imej (3 dan 9)
(c)	1 → a, 3 → b, 7 → b (9 tiada imej)	Bukan, objek 9 tidak mempunyai imej
(d)	a → 4, b → 4, c → 12 (10 tiada objek)	Ya, setiap objek ada satu imej sahaja

Ujian garis mencancang (graf)

Lukis garis mencancang pada graf. Jika garis itu memotong graf hanya pada satu titik, graf itu ialah fungsi. Jika garis itu tidak memotong graf atau memotongnya pada dua titik atau lebih, graf itu bukan fungsi.

Parabola yang dipotong garis mencancang pada satu titik — Satu titik: fungsi

Parabola mengufuk yang dipotong garis mencancang pada dua titik — Dua titik: bukan fungsi

Ujian ini diterangkan dalam buku teks m.s. 4.

Contoh 2 (buku teks m.s. 4)

(a) Graf f(x) = xx − 1 ialah fungsi: garis mencancang memotong graf pada satu titik sahaja, kecuali pada x = 1 yang tidak memotong graf.
(b) Graf f(x) = |x + 1| ialah fungsi (bentuk V, satu titik sahaja).
(c) Lengkung yang terbuka ke kanan bukan fungsi kerana garis mencancang memotongnya pada dua titik.

Graf f(x) = xx − 1: apabila x menghampiri 1 dari kiri, f(x) → −∞ dan dari kanan f(x) → ∞. Graf menghampiri garis x = 1 tetapi tidak menyentuhnya, jadi fungsi ini tidak tertakrif pada x = 1.

Fungsi diskret dan fungsi selanjar

Titik pada graf fungsi diskret adalah nyata dan terpisah, tidak disambung. Pada graf fungsi selanjar, titik-titik disambung dengan garis lurus atau lengkung dalam selang tertentu. Contoh diskret: harga y = 18x (RM) bagi x keping tiket, x = 1 hingga 5, iaitu 18, 36, 54, 72, 90. Contoh selanjar: jarak Hilal dari rumah dalam perjalanan berbasikal.

Fungsi nilai mutlak

|x| ialah nilai berangka bagi x: |x| = x apabila x ≥ 0 dan |x| = −x apabila x < 0. Graf f(x) = |x| berbentuk V dengan bucu di (0, 0). |x| dibaca "modulus bagi x". Contoh: |−2| = −(−2) = 2 dan |2| = 2.

Contoh 5 (buku teks m.s. 8): f : x → |2x − 1| untuk −1 ≤ x ≤ 2

x	−1	0	12	1	2
f(x)	3	1	0	1	3

Graf berbentuk V bagi y = |2x − 1| dengan bucu (1/2, 0) dan titik hujung (−1, 3) dan (2, 3)

Julat: 0 ≤ f(x) ≤ 3. Kaedah alternatif: lukis y = 2x − 1, kemudian pantulkan bahagian di bawah paksi-x ke atas.

Julat |2x − 1| bermula daripada 0 (di bucu), bukan daripada nilai f(−1). Cari nilai di bucu dahulu.

Domain, kodomain dan julat

Istilah	Maksud
Domain	set nilai x (objek) yang boleh digantikan ke dalam f
Kodomain	seluruh set Y yang menjadi tempat imej
Julat	nilai-nilai y yang sebenarnya diperoleh; julat ialah sebahagian daripada kodomain

Rajah anak panah f(x) = 2x + 1 daripada {1, 2, 3, 4} ke {3, 5, 7, 9, 11}; 11 tiada objek — Domain = {1, 2, 3, 4}. Kodomain = {3, 5, 7, 9, 11}. Julat = {3, 5, 7, 9}.

Rajah 1.3, buku teks m.s. 7.

Contoh 4 (buku teks m.s. 8): domain, kodomain dan julat

Fungsi	Domain	Kodomain	Julat
(a) rajah anak panah p → 1, q → 3, r → 7, s → 9 (4 tiada objek)	{p, q, r, s}	{1, 3, 4, 7, 9}	{1, 3, 7, 9}
(b) graf titik-titik (diskret)	{−2, 0, 1, 2, 3, 4}	{1, 2, 3, 4, 5}	{1, 2, 3, 4, 5}
(c) graf lengkung selanjar	0 ≤ x ≤ 3	2 ≤ f(x) ≤ 6	2 ≤ f(x) ≤ 6

Baca domain pada paksi-x (kiri ke kanan) dan julat pada paksi-y (bawah ke atas).

Mencari imej apabila objek diberi dan sebaliknya

Bayangkan fungsi sebagai mesin: nilai x dimasukkan, f(x) keluar. Jika objek x diberi, gantikan ke dalam f untuk mendapat imej f(x). Jika imej diberi, selesaikan persamaan untuk mencari objek.

Contoh 6 (buku teks m.s. 9): f : x → 3x + 5x, x ≠ 0

(a) f(5) = 3(5) + 55 = 15 + 1 = 16
(b) f(13) = 3(13) + 51/3 = 1 + 15 = 16
(c) f(x) = 8: 3x + 5x = 8, maka 3x² − 8x + 5 = 0, (3x − 5)(x − 1) = 0, x = 53 atau x = 1.

Contoh 7 (buku teks m.s. 10): f(x) = |2x − 3|

f(−2) = |−7| = 7 dan f(4) = |5| = 5.
f(x) = 5: 2x − 3 = 5 atau 2x − 3 = −5, maka x = 4 atau x = −1.
f(x) = x: 2x − 3 = x atau 2x − 3 = −x, maka x = 3 atau x = 1.
f(x) < 1: −1 < 2x − 3 < 1, maka 1 < x < 2.
f(x) ≥ 3: 2x − 3 ≥ 3 atau 2x − 3 ≤ −3, maka x ≥ 3 atau x ≤ 0.

|ungkapan| < k memberi satu ketaksamaan "diapit" (−k < … < k). |ungkapan| ≥ k memberi dua bahagian yang berasingan.

Apabila menyelesaikan |2x − 3| = 5, jangan lupa kes negatif: 2x − 3 = −5 juga memberi satu penyelesaian.

Diberi f(x) = |x − 4|, cari nilai-nilai x dengan keadaan f(x) = 6.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

x − 4 = 6 atau x − 4 = −6, maka x = 10 atau x = −2

Fungsi f : x → mx + c dengan f(2) = 7 dan f(4) = −1. Cari m, c dan nilai x yang tidak berubah di bawah pemetaan f (Latihan Diri 1.3, soalan 5).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

2m + c = 7 dan 4m + c = −1. Tolak: 2m = −8, m = −4, c = 15.
x tidak berubah apabila f(x) = x: −4x + 15 = x, x = 3

1.2Fungsi gubahan

Fungsi gubahan terhasil apabila satu fungsi digantikan ke dalam satu fungsi lain. fg(x) = f[g(x)]: buat g dahulu, kemudian f. Dibaca "f gubahan g bagi x". Juga f²(x) = f[f(x)] dan g²(x) = g[g(x)].

Rajah anak panah: g mengkuasaduakan x, kemudian f menambah 2, memberi fg(x) = x kuasa dua tambah 2 — f(x) = x + 2 dan g(x) = x². Buat g dahulu: fg(x) = x² + 2.

Fungsi gubahan fg memetakan terus unsur x ∈ X kepada z ∈ Z, dengan g memetakan X kepada Y dan f memetakan Y kepada Z. Secara algebra: f(x) = x + 2 dan g(x) = x² memberi fg(x) = f(x²) = x² + 2.

Contoh 8 (buku teks m.s. 14): f : x → 2x dan g : x → x² − 5

fg(x) = f(x² − 5) = 2(x² − 5) = 2x² − 10
gf(x) = g(2x) = (2x)² − 5 = 4x² − 5
f²(x) = f(2x) = 4x
g²(x) = g(x² − 5) = (x² − 5)² − 5 = x⁴ − 10x² + 20

fg tidak sama dengan gf, dan fg bukan f × g. Fungsi yang paling hampir dengan x dibuat dahulu. f² bermaksud ff, bukan [f(x)]².

Imej, objek dan fungsi yang tidak diketahui

Contoh 9 (buku teks m.s. 15): f : x → x − 1, g : x → x² − 3x + 4

fg(x) = f(x² − 3x + 4) = x² − 3x + 3, maka fg(2) = 4 − 6 + 3 = 1.
gf(x) = g(x − 1) = (x − 1)² − 3(x − 1) + 4 = x² − 5x + 8, maka gf(1) = 1 − 5 + 8 = 4.
Jika fg(x) = 7: x² − 3x − 4 = 0, (x + 1)(x − 4) = 0, maka x = −1 atau x = 4.
Kaedah alternatif: g(2) = 2, kemudian f(2) = 1, maka fg(2) = 1.

Contoh 10 (buku teks m.s. 16): f : x → x − 2

(a) Diberi fg : x → 8x − 7. f[g(x)] = g(x) − 2 = 8x − 7, maka g(x) = 8x − 5.
(b) Diberi gf : x → x² + 3x − 5. g(x − 2) = x² + 3x − 5. Katakan y = x − 2, maka x = y + 2.
g(y) = (y + 2)² + 3(y + 2) − 5 = y² + 7y + 5. Gantikan y dengan x: g(x) = x² + 7x + 5.

Jika fungsi luar (f) diketahui dan fg diberi, tulis f[g(x)] dan selesaikan untuk g(x). Jika gf diberi, gunakan penggantian y = f(x) supaya x diungkapkan dalam y.

f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x². Cari (a) fg(x) (b) gf(3).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) fg(x) = f(x²) = 2x² + 1
(b) f(3) = 7, g(7) = 49

Masalah melibatkan fungsi gubahan

Contoh 11 (buku teks m.s. 16): fungsi berulang f : x → 1x², x ≠ 0

f(x) = x⁻². Maka f²(x) = f[f(x)] = x⁴, f³(x) = x⁻⁸ dan f⁴(x) = x¹⁶.
Kuasanya ialah (−2)ⁿ: positif bagi n genap dan negatif bagi n ganjil. Maka f²²(x) = x^2²² dan f³³(x) = x^−2³³.

Contoh 12 (buku teks m.s. 17): pendapatan kilang

Pengeluaran sehari q(n) = 10n − 14n² barangan bagi n pekerja, dan pendapatan r(q) = 40q (RM). Fungsi gubahan: rq(n) = 40(10n − 14n²) = 400n − 10n². Dengan 20 pekerja: r(20) = 400(20) − 10(400) = 8 000 − 4 000 = RM4 000 sehari.
Semakan: jika 400n − 10n² = 4 000, maka n² − 40n + 400 = 0, (n − 20)² = 0, n = 20.

Cara menyelesaikan masalah: (1) fahami masalah, (2) rancang strategi (cari fungsi gubahan dahulu), (3) laksanakan, (4) buat refleksi (semak jawapan).

1.3Fungsi songsang

Fungsi songsang f⁻¹ membatalkan f: f : x → y ⇔ f⁻¹ : y → x, atau y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y). Contoh: f : x → x + 2 mempunyai f⁻¹ : x → x − 2. f⁻¹ dibaca "f songsang". f⁻¹ bukan salingan 1f(x).

Suhu dalam °F dan °C ialah contoh: F(C) = 95C + 32 mempunyai songsang C(F) = 59(F − 32).

Sifat	Maksud
Hanya fungsi satu dengan satu mempunyai songsang	setiap imej mempunyai tepat satu objek
ff⁻¹(x) = f⁻¹f(x) = x	gunakan untuk mengesahkan dua fungsi saling songsang
Domain f⁻¹ = julat f	dan julat f⁻¹ = domain f
Titik (a, b) pada f ⇒ titik (b, a) pada f⁻¹	graf f⁻¹ ialah pantulan graf f pada garis y = x

Ujian garis mengufuk

Jika garis mengufuk memotong graf f tidak lebih daripada satu titik, f ialah fungsi satu dengan satu dan mempunyai fungsi songsang. Jika garis mengufuk memotong graf pada dua titik atau lebih, f bukan satu dengan satu dan tiada fungsi songsang.

Lengkung menaik yang dipotong garis mengufuk satu kali — Satu titik: songsang wujud

Lengkung U yang dipotong garis mengufuk dua kali — Dua titik: tiada songsang

Ujian diterangkan dalam buku teks m.s. 24 (m.s. 25, Contoh 15).

Contoh 15 (buku teks m.s. 25): adakah f mempunyai fungsi songsang?

(a) Rajah anak panah a → 4, b → −2, c → 9 (satu dengan satu): ya.
(b) Graf menaik dari (−3, −3) ke (3, 7), garis mengufuk memotong satu titik: ya.
(c) Separuh bulatan −4 ≤ x ≤ 4: garis mengufuk memotong dua titik, bukan satu dengan satu: tiada songsang.

Contoh 16 (buku teks m.s. 25): sahkan g(x) = 3 − x2 ialah songsang f(x) = 3 − 2x

fg(x) = f(3 − x2) = 3 − 2(3 − x2) = 3 − (3 − x) = x
gf(x) = g(3 − 2x) = 3 − (3 − 2x)2 = 2x2 = x
Oleh sebab fg(x) = gf(x) = x, g ialah fungsi songsang bagi f.

Mencari f⁻¹ secara algebra

Tulis y = f(x), kemudian ubah kepada bentuk x = f(y), iaitu jadikan x perkara rumus.
Tulis x sebagai f⁻¹(y).
Gantikan pemboleh ubah y dengan x.

Contoh 19 (buku teks m.s. 28): f : x → 5x + 2

y = 5x + 2, maka x = y − 25. Maka f⁻¹(x) = x − 25 dan f⁻¹(7) = 7 − 25 = 1.
Semakan: ff⁻¹(x) = 5(x − 25) + 2 = x dan f⁻¹f(x) = 5x + 2 − 25 = x.

Mencari f⁻¹(k) tanpa rumus (Contoh 13 dan 14, buku teks m.s. 21)

Daripada rajah anak panah, jika f(2) = 14 maka f⁻¹(14) = 2.
Bagi f(x) = xx − 4, x ≠ 4: katakan a = f⁻¹(3), maka f(a) = 3, aa − 4 = 3, a = 3(a − 4), 2a = 12, a = 6. Maka f⁻¹(3) = 6. Imej bagi 2 ialah f(2) = 2−2 = −1.

f⁻¹(k) ialah objek yang imejnya k. Selesaikan f(x) = k. Cara ini sering lebih cepat daripada mencari seluruh rumus f⁻¹.

Contoh 17 (buku teks m.s. 26): f : x → x² − 6, 0 ≤ x ≤ 4

Graf f(x) = x² − 6 dari (0, −6) hingga (4, 10) dan pantulannya f⁻¹ pada garis y = x dari (−6, 0) hingga (10, 4)

Julat f ialah −6 ≤ f(x) ≤ 10, maka domain f⁻¹ ialah −6 ≤ x ≤ 10. Titik (4, 10) pada f memberi titik (10, 4) pada f⁻¹.

Semak domain. f(x) = x² − 6 bagi semua x nyata tiada songsang. Domain terhad 0 ≤ x ≤ 4 menjadikannya satu dengan satu. Begitu juga f(x) = |x| dan f(x) = x⁴ bukan satu dengan satu, tetapi dengan domain x ≥ 0 kedua-duanya ada songsang (f⁻¹(x) = x dan f⁻¹(x) = x^1/4).

f(x) = x + 43. Cari f⁻¹(x).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

y = x + 43, maka x = 3y − 4. Maka f⁻¹(x) = 3x − 4

Titik P(1, 0) dan Q(3, 6) terletak pada graf y = f(x). Nyatakan titik yang sepadan pada y = f⁻¹(x).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Tukar koordinat: P′(0, 1) dan Q′(6, 3) (Contoh 18, m.s. 26)

1.4Rumusan dan penerokaan

Peta minda Rumusan Bab 1: fungsi, tatatanda, perwakilan, fungsi diskret dan selanjar, fungsi gubahan dan fungsi songsang — Rumusan Bab 1

Rajah daripada buku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4, m.s. 30.

Penerokaan Matematik (buku teks m.s. 33): petrol dan jarak

Jadual: 4 l → 48 km, 8 l → 96 km, 12 l → 144 km, 16 l → 192 km, 20 l → 240 km. Setiap liter petrol membolehkan kereta bergerak 48 ÷ 4 = 12 km, maka d(l) = 12l.
Perjalanan 300 km menggunakan 300 ÷ 12 = 25 l. Dengan 100 l, jarak ialah 12 × 100 = 1 200 km.

Tulis Jurnal Anda (buku teks m.s. 31): cari sejarah penggunaan tatatanda y = f(x) dan sediakan folio digital. Latihan Pengukuhan Bab 1 ada pada m.s. 31 hingga 33 dan dijawab pada m.s. 290.