Matematik notesnota, bab 1
Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 2–31
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh mengenal pasti ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dan menyatakan nilai a, b dan c (1.1.1)
- Saya boleh menerangkan bahawa fungsi kuadratik ialah hubungan banyak kepada satu (1.1.2)
- Saya boleh menentukan bentuk graf, titik maksimum atau titik minimum dan persamaan paksi simetri bagi graf fungsi kuadratik (1.1.3)
- Saya boleh menerangkan kesan perubahan nilai a, b dan c terhadap graf fungsi kuadratik f(x) = ax² + bx + c (1.1.4)
- Saya boleh membentuk persamaan kuadratik berdasarkan suatu situasi (1.1.5)
- Saya boleh menerangkan maksud punca suatu persamaan kuadratik dan membaca punca daripada graf (1.1.6)
- Saya boleh menentukan punca persamaan kuadratik dengan kaedah pemfaktoran dan kaedah graf (1.1.7)
- Saya boleh melakar graf fungsi kuadratik (1.1.8)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan kuadratik (1.1.9)
1.1Fungsi dan Persamaan Kuadratik
Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah (1.1.1)
Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah ialah ungkapan yang kuasa tertinggi pemboleh ubahnya ialah dua. Bentuk am: ax² + bx + c, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0, serta x ialah pemboleh ubah.
- a ialah pekali x², b ialah pekali x dan c ialah pemalar (sebutan tanpa x).
- Nilai b dan c boleh sifar, tetapi a tidak boleh sifar. Jika a = 0, sebutan x² hilang dan ungkapan itu tidak lagi kuadratik.
- Selain x, huruf lain juga boleh digunakan sebagai pemboleh ubah, misalnya 3y² + y − 4.
| Ungkapan | Kuadratik dalam satu pemboleh ubah? | Justifikasi |
|---|---|---|
| 2x² + 5 | Ya | a = 2, b = 0, c = 5 |
| x³ − 6 | Bukan | Kuasa tertinggi pemboleh ubah ialah tiga |
| 3x² + 2y + 1 | Bukan | Terdapat dua pemboleh ubah, iaitu x dan y |
| 2x² − 3/x² | Bukan | 3/x² = 3x−2, kuasa −2 bukan nombor bulat positif |
| 4x² − x1/2 | Bukan | Terdapat kuasa yang bukan nombor bulat |
| 12m² | Ya | Satu pemboleh ubah, m, dengan kuasa tertinggi dua |
| 2r(r − 3) | Ya | Kembangkan: 2r² − 6r, maka a = 2, b = −6, c = 0 |
Baca a, b dan c bersama tandanya. Dalam 1 − x − 2x², a = −2, b = −1 dan c = 1, bukan a = 1. Tulis ungkapan dalam susunan ax² + bx + c dahulu, dan kembangkan kurungan sebelum membaca nilainya.
Nyatakan nilai a, b dan c bagi 5 − 3x² + 2x.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
Susun semula: −3x² + 2x + 5. Maka a = −3, b = 2, c = 5.
Fungsi kuadratik: hubungan banyak kepada satu (1.1.2)
Ungkapan kuadratik ditulis dalam bentuk ax² + bx + c, manakala fungsi kuadratik ditulis dalam bentuk f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. Graf fungsi kuadratik ialah lengkung yang dinamakan parabola.
Lukis garis lurus yang selari dengan paksi-x merentasi graf. Garis itu memotong graf pada dua titik yang mempunyai koordinat-y yang sama (imej yang sama) tetapi koordinat-x yang berbeza (dua objek yang berbeza). Contohnya, bagi f(x) = x² − 3x, f(4) = 4 dan f(−1) = 4.
Fungsi kuadratik mempunyai imej yang sama daripada dua objek yang berbeza, kecuali pada titik maksimum atau titik minimum. Jenis hubungan fungsi kuadratik ialah hubungan banyak kepada satu.
Bentuk graf, titik maksimum atau minimum dan paksi simetri (1.1.3)
| Nilai a | Bentuk graf | Titik pusingan |
|---|---|---|
| a > 0 | ∪ (terbuka ke atas) | Titik minimum (koordinat-y paling rendah) |
| a < 0 | ∩ (terbuka ke bawah) | Titik maksimum (koordinat-y paling tinggi) |
Paksi simetri bagi graf fungsi kuadratik ialah garis lurus yang selari dengan paksi-y dan membahagikan graf kepada dua bahagian yang sama saiz dan bentuk. Paksi simetri melalui titik maksimum atau titik minimum. Persamaannya ialah x = h.
- Jika titik maksimum ialah (m, n), paksi simetri ialah x = m. Jika titik minimum ialah (h, k), paksi simetri ialah x = h.
- Persamaan paksi simetri juga boleh dikira dengan x = −b/(2a) (Celik Minda).
- Jika dua titik pada graf mempunyai koordinat-y yang sama, paksi simetri berada di tengah-tengah antara koordinat-x kedua-dua titik itu.
Contoh: paksi simetri daripada dua titik
Titik (−1, 4) dan (7, 4) terletak pada suatu graf fungsi kuadratik. Koordinat-y sama, maka paksi simetri ialah x = (−1 + 7) ÷ 2 = 3. Titik maksimum atau minimum mempunyai koordinat-x 3.Contoh: titik minimum daripada f(x) = x² − 6x + 5
a = 1 > 0, maka graf mempunyai titik minimum. Paksi simetri: x = −(−6) ÷ (2 × 1) = 3. Koordinat-y: f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Titik minimum ialah (3, −4).Paksi simetri berbentuk x = h (selari dengan paksi-y), bukan y = h. Titik maksimum atau minimum ditulis sebagai koordinat (x, y); bukan hanya nilai y.
Nyatakan bentuk graf dan jenis titik pusingan bagi f(x) = 4 − 2x² + x.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
a = −2 < 0, maka bentuk graf ∩ dan titik pusingannya ialah titik maksimum.
Kesan perubahan nilai a, b dan c (1.1.4)
| Pemalar | Apa yang ditentukan | Peraturan |
|---|---|---|
| a | Bentuk graf dan kelebaran lengkung | Tanda a menentukan bentuk. Semakin kecil nilai a (tanpa mengira tanda), semakin lebar lengkung graf, dan sebaliknya. |
| b | Kedudukan paksi simetri | Jika a > 0: b > 0 paksi simetri di sebelah kiri paksi-y, b < 0 di sebelah kanan, b = 0 paksi simetri ialah paksi-y. Jika a < 0, sebelah kiri dan kanan bertukar. |
| c | Kedudukan pintasan-y | Graf memotong paksi-y pada titik (0, c). |
Contoh 2 (m.s. 13): mencari c
Fungsi kuadratik f(x) = x² − 3x + c melalui titik A.(a) A(0, 4): titik berada pada paksi-y, maka c = 4.
(b) A(−1, 3): gantikan x = −1 dan f(x) = 3: 3 = (−1)² − 3(−1) + c = 4 + c, maka c = −1.
Contoh 3 (m.s. 14): julat p
Graf g(x) = px² − 4 dan f(x) = 3x² − 4 dilukis pada paksi yang sama. Graf g(x) lebih lebar, maka p < 3. Graf berbentuk ∪, maka p > 0. Oleh itu 0 < p < 3.Apabila menilai kelebaran, bandingkan nilai a tanpa mengira tanda. Semak bentuk graf (tanda a) dan kelebaran bersama-sama sebelum menulis julat p.
Jika a > 0 dan b > 0, paksi simetri di sebelah kiri paksi-y. Contohnya f(x) = x² + 6x + c mempunyai paksi simetri x = −3.
Graf f(x) = x² + 6x + c melalui titik (0, −2). Nyatakan c dan sama ada paksi simetri berada di sebelah kiri atau kanan paksi-y.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
c = −2 (pintasan-y). a = 1 > 0 dan b = 6 > 0, maka paksi simetri berada di sebelah kiri paksi-y (x = −3).
Membentuk persamaan kuadratik daripada situasi (1.1.5)
Fungsi kuadratik ditulis dalam bentuk f(x) = ax² + bx + c, manakala persamaan kuadratik ditulis dalam bentuk am ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.
Contoh 4 (m.s. 15): dua jenis kad
Satu kad berukuran x cm × x cm dan satu lagi (2x + 1) cm × x cm.(a) Jumlah luas L = x² + x(2x + 1) = x² + 2x² + x = 3x² + x.
(b) Jika jumlah luas ialah 114 cm²: 3x² + x = 114, maka 3x² + x − 114 = 0.
Langkah: 1 tulis ungkapan daripada rajah atau ayat, 2 samakan dengan nilai yang diberi, 3 kembangkan dan pindahkan semua sebutan ke satu belah supaya sebelah lagi ialah 0.
Seorang kakak 3 tahun lebih tua daripada adiknya yang berumur p tahun. Hasil darab umur mereka ialah 40. Bentukkan persamaan kuadratik.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
p(p + 3) = 40, maka p² + 3p − 40 = 0.
Punca persamaan kuadratik (1.1.6)
Punca bagi persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0 ialah nilai pemboleh ubah, x, yang memuaskan persamaan itu, iaitu menjadikan sebelah kiri sama dengan sebelah kanan. Terdapat satu atau dua nilai pemboleh ubah yang memuaskan suatu persamaan kuadratik.
Pada graf: punca bagi ax² + bx + c = 0 ialah titik persilangan antara graf f(x) = ax² + bx + c dengan paksi-x (f(x) = 0), juga dikenali sebagai pintasan-x. Baca koordinat-x titik itu.
Contoh 5 (m.s. 18): membaca punca daripada graf
Graf 2x² + 5x − 12 = 0 memotong paksi-x pada x = −4 dan x = 1.5. Graf −x² + 3x + 4 = 0 memotong paksi-x pada x = −1 dan x = 4. Punca bagi persamaan pertama ialah −4 dan 1.5; punca bagi persamaan kedua ialah −1 dan 4.Contoh 6 (m.s. 19): adakah nilai ini punca?
(a) 2x² − 7x + 3 = 0: x = 1 → 2 − 7 + 3 = −2 ≠ 0, maka x = 1 bukan punca. x = 3 → 18 − 21 + 3 = 0, maka x = 3 ialah punca.(b) 3x² − 7x + 5 = 3: x = 1 → 3 − 7 + 5 = 1 ≠ 3, bukan punca. x = 13 → 13 − 73 + 5 = 3, maka x = 13 ialah punca.
Untuk menyemak punca, gantikan nilai x ke sebelah kiri dan bandingkan dengan sebelah kanan. Jika persamaan tidak berbentuk "= 0", bandingkan dengan nombor di sebelah kanan itu.
Adakah x = −2 punca bagi x² + x − 2 = 0?
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
(−2)² + (−2) − 2 = 4 − 2 − 2 = 0, maka ya.
Menyelesaikan persamaan kuadratik: pemfaktoran dan graf (1.1.7)
- Tulis persamaan dalam bentuk am ax² + bx + c = 0.
- Faktorkan sebelah kiri kepada dua kurungan.
- Samakan setiap kurungan dengan 0 dan selesaikan.
Contoh 7 (m.s. 21): pecahan dan kurungan
(a) x² − 5x + 6 = 0: (x − 3)(x − 2) = 0, maka x = 3 atau x = 2.(b) x² + 72x = 2: darab 2: 2x² + 7x − 4 = 0, (2x − 1)(x + 4) = 0, maka x = 12 atau x = −4.
(c) x2 = 5x − 24x − 4: x(x − 4) = 2(5x − 24), x² − 14x + 48 = 0, (x − 8)(x − 6) = 0, maka x = 8 atau x = 6.
(d) (y + 2)(y + 1) = 2(y + 11): y² + 3y + 2 = 2y + 22, y² + y − 20 = 0, (y + 5)(y − 4) = 0, maka y = −5 atau y = 4.
Jangan tulis (x − 1)(x + 4) = 6 kemudian x − 1 = 6 atau x + 4 = 6. Sebelah kanan mesti 0 dahulu. Jangan bahagi kedua-dua belah dengan x kerana punca x = 0 hilang: selesaikan x² − 5x = 0 sebagai x(x − 5) = 0, maka x = 0 atau x = 5.
Kes khas: x² − 4 = 0 → (x − 2)(x + 2) = 0. Jika c = 0, keluarkan x sebagai faktor sepunya. Semak setiap punca dengan menggantikannya semula. Buku teks menyebut bahawa persamaan kuadratik juga boleh diselesaikan dengan kaedah penyempurnaan kuasa dua dan kaedah rumus.
Kaedah graf
Punca bagi ax² + bx + c = 0 diperoleh dengan membaca nilai-nilai x yang merupakan titik persilangan antara graf f(x) = ax² + bx + c dengan paksi-x. Sama ada a > 0 atau a < 0, kedua-dua titik persilangan (jika ada) ialah punca.
Selesaikan 2x² + 3x − 9 = 0 dan x² − 8x + 16 = 0.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
2x² + 3x − 9 = (2x − 3)(x + 3) = 0, maka x = 32 atau x = −3.
(x − 4)² = 0, maka x = 4 (satu punca berulang).
(x − 4)² = 0, maka x = 4 (satu punca berulang).
Melakar graf fungsi kuadratik (1.1.8)
Ciri-ciri yang perlu ditunjukkan semasa melakar: 1 bentuk graf yang betul (tanda a), 2 pintasan-y (c) dan 3 pintasan-x atau satu titik lain yang dilalui graf.
| Kes | Apa yang perlu dibuat | Contoh |
|---|---|---|
| Kes 1: graf bersilang pada paksi-x | Faktorkan f(x) = 0 untuk pintasan-x | f(x) = −x² + 2x + 15: bentuk ∩, pintasan-y 15, pintasan-x −3 dan 5 |
| Kes 1: graf menyentuh paksi-x | Punca berulang: lengkung menyentuh paksi-x | f(x) = x² − 6x + 9 = (x − 3)²: menyentuh paksi-x pada x = 3 |
| Kes 2: graf tidak bersilang pada paksi-x | Cari titik maksimum atau minimum (guna b = 0, paksi simetri ialah paksi-y) dan satu titik lain | f(x) = x² + 1: titik minimum (0, 1); f(2) = 5, titik (2, 5) |
Contoh 8(d) (m.s. 24): f(x) = −2x² + 18
a = −2 < 0, bentuk ∩. b = 0, paksi simetri ialah paksi-y. c = 18, pintasan-y 18. Apabila f(x) = 0: −2x² + 18 = 0, x² − 9 = 0, (x + 3)(x − 3) = 0, maka x = −3 dan x = 3.Contoh 9(b) (m.s. 25): f(x) = −x² − 3
a = −1 < 0, bentuk ∩; b = 0; c = −3, maka titik maksimum ialah (0, −3). Apabila x = 1, f(1) = −1 − 3 = −4, titik (1, −4).Jika c > 0 dan a > 0 dengan b = 0, graf tidak mencapai paksi-x: x² + 1 = 0 tiada punca. Jangan lupa menanda nilai pintasan dan titik yang digunakan pada lakaran.
Bagi f(x) = −2x² + 8, nyatakan bentuk graf, pintasan-y dan pintasan-x.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
a = −2 < 0: bentuk ∩. Pintasan-y = 8. −2x² + 8 = 0 memberi x² = 4, maka pintasan-x ialah −2 dan 2. Paksi simetri ialah paksi-y kerana b = 0.
Menyelesaikan masalah melibatkan persamaan kuadratik (1.1.9)
Gunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi (tulis ungkapan, bentuk persamaan), melaksanakan strategi (selesaikan) dan membuat kesimpulan.
Contoh 10 (m.s. 26): rangka kotak Joseph
Kotak kuboid bertapak segi empat sama bersisi x cm dengan tinggi (x + 30) cm. Jumlah luas permukaan 4 800 cm². Rod kayu berharga RM5 per meter dan bajet ialah RM15.Luas permukaan = 2(x)(x) + 4(x)(x + 30) = 6x² + 120x. Maka 6x² + 120x = 4 800, x² + 20x − 800 = 0, (x + 40)(x − 20) = 0.
x = −40 atau x = 20. Ukuran panjang tidak boleh negatif, maka x = 20 cm. Kotak berukuran 20 cm × 20 cm × 50 cm.
Panjang semua sisi = 8 × 20 + 4 × 50 = 360 cm = 3.6 m. Kos = RM5 × 3.6 = RM18, melebihi RM15. Joseph tidak mempunyai bajet yang mencukupi.
Semak sama ada setiap punca munasabah. Panjang, umur atau bilangan yang negatif mesti ditolak dan dinyatakan dalam penyelesaian.
Perhatikan unit: sisi dalam cm tetapi harga per meter. Tukarkan 360 cm kepada 3.6 m sebelum mendarab dengan RM5.
Sebuah segi empat tepat berukuran (x + 3) cm panjang dan x cm lebar. Luasnya 40 cm². Bentukkan persamaan dan cari x.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
x(x + 3) = 40, maka x² + 3x − 40 = 0. (x + 8)(x − 5) = 0, x = −8 atau 5. Tolak −8, maka x = 5 cm.