Matematik notesnota, bab 6
Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 154-181
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh mewakilkan situasi dalam bentuk ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah (6.1.1)
- Saya boleh membuat dan menentusahkan konjektur tentang titik dalam rantau dan penyelesaian bagi suatu ketaksamaan linear (6.1.2)
- Saya boleh menentukan dan melorek rantau yang memuaskan satu ketaksamaan linear (6.1.3)
- Saya boleh mewakilkan situasi dalam bentuk sistem ketaksamaan linear (6.2.1)
- Saya boleh membuat dan menentusahkan konjektur tentang titik dalam rantau dan penyelesaian bagi suatu sistem ketaksamaan linear (6.2.2)
- Saya boleh menentukan dan melorek rantau yang memuaskan satu sistem ketaksamaan linear (6.2.3)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah (6.2.4)
6.1Ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah
Mewakilkan situasi dalam bentuk ketaksamaan linear (6.1.1)
Ketaksamaan digunakan untuk menerangkan hubungan antara dua kuantiti yang tidak sama. Simbol: > lebih besar daripada, < kurang daripada, ≥ lebih besar daripada atau sama dengan, ≤ kurang daripada atau sama dengan. Ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah berbentuk ax + by > c (atau <, ≥, ≤) dengan kuasa tertinggi setiap pemboleh ubah ialah 1.
Contohnya, berat sebuah lori tanpa muatan (BTM) ialah 3 410 kg. Jika y = berat dengan muatan (BDM) dan x = nilai muatan, maka 3 410 = y − x, iaitu y = x + 3 410. Berat maksimum yang dibenarkan ialah BDM, jadi situasinya dinyatakan sebagai y ≤ x + 3 410.
Contoh 1 (m.s. 156): membeli buku
Harga sebuah buku rujukan ialah RM14 dan sebuah buku latihan RM9. Amaun maksimum yang boleh dibelanjakan ialah RM100.Katakan x = buku rujukan dan y = buku latihan. Jumlah harga kurang atau sama dengan RM100, maka 14x + 9y ≤ 100. Boleh juga ditulis 14x ≤ 100 − 9y atau 9y ≤ 100 − 14x.
Contoh 2 (m.s. 157): menghapuskan perpuluhan dan pecahan
Poster kecil RM12.50 (k), poster besar RM18.50 (b), peruntukan RM150: 12.50k + 18.50b ≤ 150, iaitu (25/2)k + (37/2)b ≤ 150.Darabkan kedua-dua bahagian dengan 2 untuk menghapuskan penyebut pecahan: 25k + 37b ≤ 300. Tanda ketaksamaan tidak berubah kerana 2 positif.
Nyatakan dahulu apakah yang diwakili oleh setiap pemboleh ubah. Gunakan x dan y untuk dua perkara yang berbeza.
Titik pada garis lurus, di rantau atas dan di rantau bawah (6.1.2)
Ketaksamaan juga boleh diwakilkan pada satah Cartes sebagai rantau yang memuaskan ketaksamaan itu. Ketaksamaan x ≥ 1 pada garis nombor ialah semua nilai dari 1 ke kanan; pada satah Cartes ialah semua titik yang koordinat-xnya ≥ 1, iaitu rantau di sebelah kanan garis x = 1 termasuk garisnya.
Garis lurus y = mx + c (m = kecerunan, c = pintasan-y) membahagikan satah Cartes kepada tiga kumpulan titik. Hasil Rangsangan Minda 1 (m.s. 159):
| Kedudukan titik | Memuaskan |
|---|---|
| Pada garis lurus | y = mx + c |
| Di rantau atas garis lurus | y > mx + c |
| Di rantau bawah garis lurus | y < mx + c |
| Pada garis lurus mengufuk y = h | Atas: y > h; bawah: y < h |
| Pada garis lurus mencancang x = k | Kanan: x > k; kiri: x < k |
Contoh 4 (m.s. 160): menguji titik tanpa melukis graf
Diberi y = −3x + 6. Gantikan koordinat-x titik ke dalam sebelah kanan, kemudian bandingkan dengan koordinat-y.(a) (2, 5): −3(2) + 6 = 0 dan 5 > 0, maka y > −3x + 6.
(b) (1, 2): −3(1) + 6 = 3 dan 2 < 3, maka y < −3x + 6.
(c) (−1, 9): −3(−1) + 6 = 9 dan 9 = 9, maka titik itu pada garis y = −3x + 6.
(d) (0, 8): −3(0) + 6 = 6 dan 8 > 6, maka y > −3x + 6.
Menentukan dan melorek rantau (6.1.3)
| Tanda ketaksamaan | Jenis garis | Titik pada garis |
|---|---|---|
| > dan < | Garis sempang | Tidak termasuk dalam rantau |
| ≥ dan ≤ | Garis padu | Termasuk dalam rantau |
- Tukarkan ketaksamaan kepada persamaan linear dan cari dua titik (atau dua pintasan).
- Lukis garis lurus: sempang untuk > dan <, padu untuk ≥ dan ≤.
- Pilih rantau. y > atau y ≥: lorek rantau atas. y < atau y ≤: lorek rantau bawah. x > k: lorek kanan. x < k: lorek kiri.
Contoh 6 (m.s. 163 dan 164): menukar bentuk ketaksamaan
(a) y ≤ 2x + 3: garis y = 2x + 3 padu, lorek bawah.(d) x − y > 4: tolak x, −y > −x + 4. Darab dengan −1 dan terbalikkan tanda: y < x − 4. Garis y = x − 4 sempang (melalui (0, −4) dan (4, 0)), lorek bawah.
(e) y ≥ 0: lorek di atas paksi-x (y = 0), garis padu.
(f) x < 4: garis mencancang x = 4 sempang, lorek di sebelah kiri.
y perlu dijadikan perkara rumus supaya rantau ketaksamaan ditanda dengan betul.
Salah memilih rantau selepas menyusun semula ketaksamaan. Apabila mendarab atau membahagi dengan nombor negatif, tanda ketaksamaan terbalik. Semak dengan satu titik ujian, misalnya (0, 0) jika garis tidak melalui asalan, dalam ketaksamaan asal.
Jenis garis dan rantau yang manakah bagi 2y + x ≥ 2?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
2y ≥ −x + 2, maka y ≥ −½x + 1. Garis padu (≥), lorek rantau atas.
6.2Sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah
Mewakilkan situasi dalam bentuk sistem ketaksamaan linear (6.2.1)
Gabungan dua atau lebih ketaksamaan linear dikenali sebagai sistem ketaksamaan linear. Rantau sepunya ialah rantau yang memuaskan semua ketaksamaan dalam sistem itu.
| Contoh situasi | Ketaksamaan linear |
|---|---|
| y lebih besar daripada x | y > x |
| y kurang daripada x | y < x |
| y tidak kurang daripada x | y ≥ x |
| y tidak lebih daripada x | y ≤ x |
| y sekurang-kurangnya k kali x | y ≥ kx |
| y selebih-lebihnya k kali x | y ≤ kx |
| Maksimum y ialah k | y ≤ k |
| Minimum y ialah k | y ≥ k |
| Hasil tambah x dan y lebih besar daripada k | x + y > k |
| Beza y dan x kurang daripada k | y − x < k |
| y melebihi x sekurang-kurangnya k | y − x ≥ k |
Indikator: x ≥ 0 dan y ≥ 0 kerana x dan y mewakili bilangan.
Contoh 7 (m.s. 166): Kem Kepimpinan
x orang murid Tingkatan 5 dan y orang murid Tingkatan 4. (a) Jumlah peserta selebih-lebihnya 40 orang. (b) Murid Tingkatan 5 tidak kurang daripada murid Tingkatan 4. (c) Sekurang-kurangnya 15 orang murid Tingkatan 4.(a) x + y ≤ 40 (b) x ≥ y (c) y ≥ 15
Contoh 8 (m.s. 166): dakwat pencetak
x unit dakwat jenama x (RM14) dan y unit dakwat jenama y (RM18). (a) Tidak melebihi 25 unit. (b) Jenama y sekurang-kurangnya dua kali jenama x. (c) Jenama y tidak melebihi 8 unit. (d) Jumlah pembelian tidak melebihi RM400.(a) x + y ≤ 25 (b) y ≥ 2x (c) y ≤ 8 (d) 14x + 18y ≤ 400
"Selebih-lebihnya", "tidak melebihi" dan "maksimum" menggunakan ≤. "Sekurang-kurangnya", "tidak kurang daripada" dan "minimum" menggunakan ≥. Hanya "lebih daripada" dan "kurang daripada" menggunakan tanda > dan <.
Konjektur tentang titik dalam sistem ketaksamaan linear (6.2.2)
Titik yang memuaskan semua ketaksamaan dalam sistem boleh ditentukan dengan mengenal pasti rantau yang sesuai. Gantikan sekurang-kurangnya satu titik daripada setiap rantau ke dalam semua ketaksamaan. Rantau yang benar bagi kedua-duanya ialah jawapan.
Jadual titik (m.s. 167)
Bagi x + y ≤ 8 dan y ≥ 3: titik (3, 4) memberikan 3 + 4 ≤ 8 (benar) dan 4 ≥ 3 (benar), jadi titik itu dalam rantau B. Titik (2, 1) memberikan 2 + 1 ≤ 8 (benar) tetapi 1 ≥ 3 (palsu), jadi bukan. Titik (2, 7): 9 ≤ 8 palsu. Hanya rantau B memuaskan kedua-dua ketaksamaan.Contoh 9 (m.s. 168)
Bagi y ≤ ¾x + 2 dan x + y ≥ 7, titik (8, 6) dalam rantau D: 6 ≤ ¾(8) + 2 = 8 (benar) dan 8 + 6 = 14 ≥ 7 (benar). Rantau D ialah rantau yang memuaskan kedua-duanya.Menentukan dan melorek rantau sepunya (6.2.3)
- Tanda rantau bagi setiap ketaksamaan dengan penandaan yang berlainan (huruf A, B, C) dan mudah dilihat.
- Kenal pasti rantau sepunya, iaitu rantau yang ditanda dengan semua penandaan.
- Lorek rantau sepunya sepenuhnya. Pastikan lorekan tidak terkeluar daripada rantau itu.
Contoh 11 (m.s. 170): 2y ≥ x, x + y < 4 dan x ≥ 0
Tukarkan kepada persamaan: 2y = x (melalui (−4, −2) dan (4, 2)), x + y = 4 (melalui (0, 4) dan (4, 0)) dan x = 0 (paksi-y). Garis 2y = x dan x = 0 padu; x + y = 4 sempang. Rantau sepunya ialah di atas 2y = x, di bawah x + y = 4 dan di sebelah kanan paksi-y.Menulis ketaksamaan bagi rantau berlorek (6.2.4)
- Cari persamaan setiap garis sempadan: kecerunan m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1), kemudian y = mx + c.
- Garis padu: ≥ atau ≤. Garis sempang: > atau <.
- Rantau di atas garis: y > (atau ≥). Di bawah: y < (atau ≤). Di kanan x = k: x > (atau ≥) k. Di kiri: x < (atau ≤) k.
- Paksi-x ialah y = 0 dan paksi-y ialah x = 0.
Contoh 12(a) (m.s. 171)
Rantau berlorek di bawah garis sempang x + y = 8, di atas paksi-x dan di kanan paksi-y. Tiga ketaksamaan: x + y < 8, y ≥ 0 dan x ≥ 0.Contoh 13(b) (m.s. 172): mencari persamaan daripada dua titik
Garis ① melalui (0, 2) dan (4, 0): m = (2 − 0) ÷ (0 − 4) = −½, c = 2, maka y = −½x + 2. Garis ② melalui (0, −4) dan (4, 0): m = (−4 − 0) ÷ (0 − 4) = 1, c = −4, maka y = x − 4. Garis ③ ialah paksi-y, x = 0. Tiga ketaksamaan bagi rantau berlorek: y ≤ −½x + 2, y ≥ x − 4 dan x ≥ 0.Menyelesaikan masalah (6.2.4)
Selesaikan dalam empat langkah buku teks: memahami masalah, merancang strategi (tentukan x dan y), melaksanakan strategi (tulis ketaksamaan, lukis dan lorek graf, baca nilai daripada graf) dan kesimpulan: semua titik dalam rantau sepunya memuaskan sistem ketaksamaan yang dibina. Graf dilukis pada sukuan pertama sahaja kerana x dan y mewakili bilangan.
Contoh 14 (m.s. 173): pertandingan koir
Puan Carol memilih selebih-lebihnya 20 orang murid. Peserta perempuan sekurang-kurangnya dua kali peserta lelaki. Katakan x = perempuan, y = lelaki.(a) x + y ≤ 20 dan x ≥ 2y (selain x ≥ 0 dan y ≥ 0).
(b) Lukis x + y = 20 (melalui (0, 20) dan (20, 0)) dan 2y = x (melalui (0, 0) dan (20, 10)).
(ii) Jika lapan orang murid lelaki: y = 8 memerlukan x ≥ 16 dan x ≤ 12 serentak, mustahil. Titik berada di luar rantau berlorek, maka syarat tidak dipatuhi.
Contoh 15 (m.s. 174): kereta api Taman Tema
Maksimum 30 penumpang dan penumpang dewasa sentiasa melebihi atau sama dengan kanak-kanak. x = kanak-kanak, y = dewasa: x + y ≤ 30 dan y ≥ x. Titik persilangan: x = y dan x + y = 30 memberikan x = 15. Maka bilangan maksimum kanak-kanak ialah 15 orang. Jika terdapat 18 kanak-kanak, y ≥ 18 dan jumlah ≥ 36 > 30, jadi tidak boleh.Nyatakan ketaksamaan bagi "bilangan kerusi y melebihi bilangan meja x sekurang-kurangnya 6".
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
y − x ≥ 6
Peta konsep
Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), m.s. 180.