Matematik Tambahan notesnota, bab 1

Sukatan Membulat

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 1–27

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menerangkan takrif satu radian dan menukarkan ukuran sudut dalam radian kepada darjah dan sebaliknya (1.1.1)
Saya boleh menentukan panjang lengkok, jejari dan sudut yang dicangkum di pusat bulatan menggunakan s = jθ (1.2.1)
Saya boleh menentukan perimeter tembereng suatu bulatan (1.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan panjang lengkok (1.2.3)
Saya boleh menentukan luas sektor, jejari dan sudut yang dicangkum di pusat bulatan menggunakan L = ½j²θ (1.3.1)
Saya boleh menentukan luas tembereng suatu bulatan (1.3.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan luas sektor (1.3.3)
Saya boleh mengaplikasikan sukatan membulat untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan harian (1.4.1)

Kata kunci	Term (English)
Radian	Radian
Darjah	Degree
Pusat bulatan	Centre of circle
Jejari	Radius
Tembereng	Segment
Sektor	Sector
Perimeter	Perimeter
Panjang lengkok	Arc length
Luas sektor	Area of sector

1.1Radian

Dalam sukatan membulat, sudut biasanya diukur dalam darjah. Dalam Matematik Tambahan kita menggunakan satu lagi unit, iaitu radian, yang dibina daripada bulatan itu sendiri. Dengan radian, rumus untuk lengkok dan sektor menjadi jauh lebih ringkas. Dalam Aktiviti Penerokaan 1 (m.s. 2), anda menyeret gelongsor supaya panjang lengkok s sama dengan jejari, dua kali jejari, tiga kali jejari, satu semibulatan dan satu putaran lengkap, lalu mencatat sudut di pusat bulatan.

Satu radian ialah ukuran sudut yang tercangkum di pusat sebuah bulatan oleh lengkok yang sama panjang dengan jejari bulatan itu.

Bulatan berpusat O; lengkok AB sama panjang dengan jejari OA dan mencangkum sudut 1 radian — Lengkok AB = j, maka ∠AOB = 1 rad (buku teks m.s. 3).

Bagi bulatan berpusat O dan berjejari j unit: jika panjang lengkok AB = j, maka ∠AOB = 1 radian; jika AB = 2j, ∠AOB = 2 radian; jika AB = 3j, ∠AOB = 3 radian; jika AB = πj, ∠AOB = π radian; dan jika AB = 2πj, ∠AOB = 2π radian. Satu putaran lengkap ialah 360°, jadi:

2π rad = 360° maka π rad = 180°
1 rad = 180°π ≈ 57.29° dan 1° = π180° ≈ 0.01746 rad [guna π = 3.142]

Sudut Informasi: “rad” ialah singkatan bagi radian. 1 rad boleh ditulis sebagai 1^r atau 1^c.

Untuk menukarkan	Darab dengan
radian kepada darjah	180°π
darjah kepada radian	π180°

Tip Pintar, sudut-sudut khas:

Darjah	0°	30°	36°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radian	0	π6	π5	π4	π3	π2	π	32π	2π

Contoh 1 (buku teks m.s. 3): radian kepada darjah [guna π = 3.142]

(a) 25 π rad = 25 π × 180°π = 25 × 180° = 72°
(b) 2.25 rad = 2.25 × 180°3.142 = 128.9° (128° 54′)

Contoh 2 (buku teks m.s. 4): darjah kepada radian

(a) 40° = 40° × π180° = 29 π rad; 150° = 150° × π180° = 56 π rad (dalam sebutan π)
(b) 110° 30′ = 110.5° × 3.142180° = 1.929 rad; 320° × 3.142180° = 5.586 rad [guna π = 3.142]

Tinggalkan jawapan “dalam sebutan π” apabila soalan meminta begitu. Jika tidak, guna π = 3.142. Pada kalkulator saintifik, tukar kepada mod radian (RAD) apabila sudut dalam radian, dan kembali ke mod darjah (DEG) apabila sudut dalam darjah.

Terbalik antara dua pertukaran. 1 radian ≈ 57.29° ialah sudut yang lebih besar daripada 1°, maka darjah kepada radian memberi nombor yang lebih kecil, manakala radian kepada darjah memberi nombor yang lebih besar. Ingat juga bahawa 1 rad (≈ 57.29°) lebih kecil daripada 60°.

(a) Tukarkan 34 π rad kepada darjah. (b) Tukarkan 300° kepada radian, dalam sebutan π.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 34 × 180° = 135°
(b) 300° × π180° = 53 π rad

1.2Panjang lengkok suatu bulatan

Panjang lengkok ialah satu pecahan daripada lilitan bulatan, dan pecahan itu sama dengan pecahan sudut di pusat daripada satu putaran penuh (Aktiviti Penerokaan 2, m.s. 5).

Dalam darjah: panjang lengkok minor AB = 2πj360° × θ = θ360° × 2πj
Dalam radian: s = jθ

Bagi θ dalam radian: sθ = 2πj2π, maka s = jθ. Di sini s ialah panjang lengkok, j ialah jejari dan θ ialah sudut (dalam radian) yang dicangkum oleh lengkok di pusat bulatan O.

Sektor AOB berjejari j, sudut θ di O dan panjang lengkok s — s = jθ, dengan θ dalam **radian** (buku teks m.s. 6).

Menggunakan s = jθ dengan θ dalam darjah. Rumus ini hanya betul apabila θ dalam radian. Tukarkan dahulu.

Sudut refleks ialah sudut antara 180° dan 360°. Untuk lengkok major, tolak sudut minor daripada 360° (atau 2π rad) dahulu, kemudian tukarkan kepada radian.

Contoh 3 (buku teks m.s. 6): panjang lengkok s [guna π = 3.142]

(a) j = 5 cm, θ = 0.9 rad: s = 5 × 0.9 = 4.5 cm
(b) j = 6 cm, θ = 23 π rad: s = 6 × 23 π = 4π = 4(3.142) = 12.57 cm
(c) j = 10 cm, sudut refleks POQ = (360° − 140°) × π180° = 220° × 3.142180° = 3.84 rad: s = 10 × 3.84 = 38.4 cm

Contoh 4 (buku teks m.s. 7): mencari j dan θ

Lengkok AB = 2.6 cm mencangkum ∠AOB = 1.3 rad. Maka j = s ÷ θ = 2.6 ÷ 1.3 = 2 cm.
Jika lengkok BC = 1.4 cm dalam bulatan yang sama, ∠BOC = s ÷ j = 1.4 ÷ 2 = 0.7 rad.

Perimeter tembereng suatu bulatan

Sebuah tembereng ialah kawasan antara satu lengkok dengan perentasnya. Perimeter tembereng = panjang lengkok + panjang perentas.

Tembereng yang dibatasi perentas AB dan lengkok AB; jejari OA dan OB dilukis — Tembereng = sektor *AOB* tolak segi tiga *AOB*.

Perimeter tembereng ABC = s + AB
Perentas AB boleh dicari dengan petua kosinus: AB² = j² + j² − 2j² kos θ, atau dengan kaedah alternatif AB = 2j sin θ2.

Contoh 5 (buku teks m.s. 8): perimeter tembereng berlorek [guna π = 3.142]

Bulatan berpusat O, j = 10 cm. Perentas AC mencangkum 114° di O.
114° = 114° × 3.142180° = 1.990 rad, maka lengkok ABC = 10 × 1.990 = 19.90 cm.
Petua kosinus: AC² = 10² + 10² − 2(10)(10) kos 114°, maka AC = 16.77 cm.
(Alternatif: AC = 2 × 10 sin 57° = 16.77 cm.)
Perimeter = 19.90 + 16.77 = 36.67 cm.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan panjang lengkok

Langkah penyelesaian masalah dalam buku teks ialah: (1) memahami masalah, (2) merancang strategi, (3) melaksanakan strategi, (4) membuat refleksi.

Contoh 6 (buku teks m.s. 9): kawasan lontaran peluru [guna π = 3.142]

Kawasan lontaran terdiri daripada dua sektor AOB dan POQ berpusat O, ∠AOB = ∠POQ = 50°, OA = 2 m dan AP = 8 m, maka OP = 10 m. Cari perimeter kawasan berwarna ABQP.
50° = 50° × 3.142180° = 0.873 rad.
Lengkok AB = 2(0.873) = 1.746 m dan lengkok PQ = 10(0.873) = 8.73 m.
Perimeter = 1.746 + 8 + 8.73 + 8 = 26.48 m.

Sebuah sektor berjejari 7 cm mencangkum sudut 0.8 rad di pusat. Cari (a) panjang lengkoknya (b) perimeter sektor itu.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) s = 7 × 0.8 = 5.6 cm
(b) Perimeter = 7 + 7 + 5.6 = 19.6 cm

1.3Luas sektor suatu bulatan

Luas sektor ialah rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari. Seperti panjang lengkok, luas sektor ialah satu pecahan daripada luas bulatan (Aktiviti Penerokaan 3, m.s. 12).

Dalam darjah: luas sektor minor AOB = θ360° × πj²
Dalam radian: L = 12j²θ (juga L = 12js, kerana s = jθ)

Contoh 7 (buku teks m.s. 13): luas sektor L [guna π = 3.142]

(a) j = 12 cm, θ = 1.7 rad: L = 12(12)²(1.7) = 122.4 cm²
(b) j = 8 cm, θ = 2.2 rad: L = 12(8)²(2.2) = 70.40 cm²
(c) j = 10 cm, ∠MON = 124°, sudut refleks = 236° = 236° × 3.142180° = 4.12 rad: L = 12(10)²(4.12) = 206 cm²

Contoh 8 (buku teks m.s. 14): mencari j atau θ

Luas sektor POQ = 35 cm².
(a) θ = 0.7 rad: 12j²(0.7) = 35, j² = 35 × 2 ÷ 0.7 = 100, maka j = 10 cm.
(b) j = 11 cm: 12(121)θ = 35, θ = 35 × 2 ÷ 121 = 0.5785 rad.

Luas tembereng suatu bulatan

Luas tembereng ACB = luas sektor AOB − luas ∆AOB = 12j²θ − 12j² sin θ = 12j²(θ − sin θ) (θ dalam radian)
Luas ∆ boleh dicari dengan 12ab sin C, atau Rumus Heron: luas = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), dengan s = a + b + c2 (semiperimeter).

Contoh 9 (buku teks m.s. 15 dan 16): luas tembereng PRQ

(a) j = 6 cm, ∠POQ = 2.2 rad (= 126° 2′).
Luas sektor = 12(6)²(2.2) = 39.60 cm². Luas ∆POQ = 12(6)(6) sin 126° 2′ = 14.56 cm².
Luas tembereng = 39.60 − 14.56 = 25.04 cm².
(b) OP = OQ = 3.5 cm, PQ = 4 cm. sin ∠QOS = 2 ÷ 3.5, ∠QOS = 34° 51′, maka ∠POQ = 69° 42′ = 1.217 rad.
Luas sektor = 12(3.5)²(1.217) = 7.454 cm². Semiperimeter s = (3.5 + 3.5 + 4) ÷ 2 = 5.5, luas ∆ = √(5.5 × 2 × 2 × 1.5) = √33 = 5.745 cm².
Luas tembereng = 7.454 − 5.745 = 1.709 cm².

Memasukkan sin θ dalam mod darjah pada kalkulator apabila θ dalam radian. Untuk θ = 2.2 rad, sin 2.2 ≈ 0.8085 hanya dalam mod radian (atau guna 126° 2′).

Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas sektor

Contoh 10 (buku teks m.s. 17): kipas kertas [guna π = 3.142]

Kipas dibuka sepenuhnya. OP = 15 cm, OM : MP = 2 : 3, ∠POQ = 120°. Cari luas kawasan yang diliputi kertas, PQNM.
OM = 25 × 15 = 6 cm. 120° = 120° × 3.142180° = 2.0947 rad.
Luas sektor POQ = 12(15)²(2.0947) = 235.65 cm²; luas sektor MON = 12(6)²(2.0947) = 37.70 cm².
Luas kawasan berkertas = 235.65 − 37.70 = 197.95 cm².

Luas kawasan antara dua sektor yang sepusat = 12(R² − j²)θ. Jika θ diberi dalam darjah, guna L = θ360° × πj².

Sebuah sektor mempunyai luas 24 cm² dan jejari 6 cm. Cari θ.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

12 × 36 × θ = 24, maka 18θ = 24 dan θ = 43 rad

1.4Aplikasi sukatan membulat

Banyak bentuk dalam kehidupan, misalnya pelangi, keratan rentas terowong kereta api, tingkap, trek larian dan logo, tersusun daripada sektor, tembereng dan segi tiga. Gunakan langkah berikut.

Baca rajah. Tandakan j, θ (dalam radian) dan apa yang diminta: panjang, luas atau perimeter.
Pecahkan bentuk itu kepada sektor dan segi tiga (atau tolak satu daripada yang lain).
Guna s = jθ, L = 12j²θ dan L = 12ab sin C; guna petua sin atau petua kosinus untuk perentas.
Semak unit: cm atau m bagi panjang, cm² atau m² bagi luas.

Tembereng major ABC bagi bulatan berpusat O, jejari 6 m dan sudut AOC 1.6 radian — Tembereng major dengan pusat O di dalamnya: kawasan = sektor major + segi tiga *AOC*.

Contoh 11 (buku teks m.s. 20 dan 21): keratan rentas terowong kereta api [guna π = 3.142]

Tembereng major ABC, pusat O, j = 4 m, ∠AOC = 1.8 rad.
(a) 1.8 rad = 103° 7′. AC² = 4² + 4² − 2(4)(4) kos 103° 7′ = 39.2619, maka AC = 6.266 m.
(b) Sudut refleks AOC = 2π − 1.8 = 4.484 rad. Lengkok major ABC = 4 × 4.484 = 17.94 m.
(c) Luas ∆AOC = 12 × 4 × 4 × sin 103° 7′ = 7.791 m². Luas sektor major = 12(4)²(4.484) = 35.87 m².
Luas keratan rentas = 7.791 + 35.87 = 43.66 m².

Jika pusat O berada di dalam tembereng major, tambah luas segi tiga kepada luas sektor major. Untuk tembereng minor, tolak luas segi tiga.

Ringkasan (Sudut Refleksi)

Perkara	Rumus (θ dalam radian)
Penukaran	radian kepada darjah: × 180°π; darjah kepada radian: × π180°
Panjang lengkok	s = jθ; perimeter tembereng ABC = s + AB
Luas sektor	L = 12j²θ; luas tembereng ABC = L − luas ∆AOB

Eksplorasi Matematik (m.s. 27): pemalar π ialah nisbah lilitan bulatan kepada diameternya. Archimedes membuktikan 3 1071 < π < 3 17; Ptolemy menganggarkan π = 3.1416; Euler mendapati π²6 = 11² + 12² + 13² + 14² + …; dan Lambert membuktikan π ialah nombor tak rasional.

Sebuah sektor berjejari 5 cm mempunyai panjang lengkok 8 cm. Cari perimeter dan luasnya.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Perimeter = 5 + 5 + 8 = 18 cm. θ = 8 ÷ 5 = 1.6 rad, L = 12 × 25 × 1.6 = 20 cm² (atau 12js = 12 × 5 × 8 = 20 cm²)