Matematik Tambahan notesnota, bab 8
Kinematik Gerakan Linear
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 250-278
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh memerihalkan dan menentukan sesaran seketika, halaju seketika dan pecutan seketika suatu zarah, serta mentafsirkan tandanya (8.1.1)
- Saya boleh menentukan jumlah jarak yang dilalui oleh suatu zarah dalam suatu tempoh masa dengan garis nombor atau graf sesaran-masa (8.1.2)
- Saya boleh menghubungkan fungsi sesaran, fungsi halaju dan fungsi pecutan melalui pembezaan (8.2.1)
- Saya boleh menentukan dan mentafsirkan halaju seketika suatu zarah daripada fungsi sesaran (8.2.2)
- Saya boleh menentukan dan mentafsirkan pecutan seketika suatu zarah daripada fungsi halaju dan fungsi sesaran (8.2.3)
- Saya boleh menentukan halaju seketika suatu zarah daripada fungsi pecutan melalui pengamiran, dengan menggunakan syarat awal (8.3.1)
- Saya boleh menentukan sesaran seketika suatu zarah daripada fungsi halaju dan fungsi pecutan (8.3.2)
- Saya boleh menyelesaikan masalah kinematik gerakan linear yang melibatkan pembezaan dan pengamiran (8.4.1)
8.1Sesaran, halaju dan pecutan sebagai fungsi masa
Kinematik ialah kajian tentang jenis pergerakan suatu objek tanpa merujuk kepada daya yang menyebabkan gerakan itu. Suatu zarah yang bergerak di sepanjang garis lurus mempunyai sesaran s, halaju v dan pecutan a. Ketiga-tiganya ialah fungsi masa t.
Sesaran, s suatu zarah dari satu titik tetap O ialah jarak di antara zarah itu dengan titik tetap tersebut yang diukur dalam arah tertentu. Sesaran ialah kuantiti vektor (ada magnitud dan arah), jadi nilainya boleh positif, sifar atau negatif. Jarak ialah kuantiti skalar: jumlah panjang laluan sebenar yang dilalui.
| Kuantiti | Maksud | Jenis | Tanda (gerakan ke kanan positif) |
|---|---|---|---|
| Sesaran, s (m) | Kedudukan dari titik tetap O dalam arah tertentu | Vektor | s > 0 di kanan O; s = 0 di O; s < 0 di kiri O |
| Jarak (m) | Jumlah panjang laluan yang dilalui | Skalar | Tidak pernah negatif |
| Halaju, v (ms-1) | Kadar perubahan sesaran terhadap masa | Vektor | v > 0 bergerak ke kanan; v = 0 rehat seketika (pegun); v < 0 bergerak ke kiri |
| Pecutan, a (ms-2) | Kadar perubahan halaju terhadap masa | Vektor | a > 0 halaju menokok; a = 0 halaju maksimum atau minimum; a < 0 halaju menyusut (nyahpecutan) |
Berdasarkan buku teks m.s. 252-257.
Laju ialah kadar perubahan jarak terhadap masa dan ialah kuantiti skalar. Halaju ialah kadar perubahan sesaran dan ialah kuantiti vektor. Pecutan malar bermakna kadar perubahan halaju sentiasa sama; jika berbeza, pecutan itu tak malar.
Sesaran seketika (8.1.1)
Contoh 1 (buku teks m.s. 253)
Sesaran zarah ialah s = 4 + 8t − t² m. Hitung s dan tentukan kedudukan zarah dari O apabila (a) t = 0, (b) t = 10.(a) t = 0: s = 4. Zarah berada 4 m ke kanan O.
(b) t = 10: s = 4 + 80 − 100 = −16. Zarah berada 16 m ke kiri O.
Menulis "4 m ke kiri O" bagi s = 4. Sesaran positif bermaksud di sebelah kanan O. Tanda sesaran menunjukkan sebelah mana.
Contoh 3 (buku teks m.s. 255): halaju seketika
Halaju zarah ialah v = 3t − 12.Halaju awal: t = 0, v = −12 ms-1. Pada t = 5, v = 15 − 12 = 3 ms-1. Halaju 6 ms-1: 3t − 12 = 6, t = 6 s.
Contoh 4 (buku teks m.s. 257): pecutan seketika
Pecutan a = 12 − 4t. Pada t = 7: a = 12 − 28 = −16 ms-2. Tanda negatif bermaksud zarah mengalami nyahpecutan.Jumlah jarak yang dilalui (8.1.2)
Jarak bukan sesaran. Cari tempat zarah berpatah balik (v = 0), lakar garis nombor atau graf sesaran-masa, kemudian jumlahkan panjang setiap peringkat gerakan.
Contoh 5 (buku teks m.s. 258): s = t² − 6t, 7 saat pertama
Jadual: s = 0, −5, −8, −9, −8, −5, 0, 7 bagi t = 0, 1, ..., 7.Zarah bergerak ke kiri sehingga s = −9 pada t = 3, kemudian berpatah balik, melalui O pada t = 6 dan mencapai s = 7.
Jumlah jarak = 9 + 9 + 7 = 25 m. (Sesaran pada t = 7 hanya 7 m.)
Sesaran suatu zarah ialah s = 6t − t² + 7 m. Zarah bergerak ke kanan O sehingga t = 3, kemudian bergerak semula. Cari jumlah jarak dalam 6 saat pertama.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
s(0) = 7. s(3) = 18 − 9 + 7 = 16. s(6) = 36 − 36 + 7 = 7.
Jarak = (16 − 7) + (16 − 7) = 18 m
Jarak = (16 − 7) + (16 − 7) = 18 m
Contoh 5 dan Latihan Kendiri 8.2 (m.s. 258).
8.2Pembezaan dalam kinematik gerakan linear
Bezakan untuk bergerak ke bawah rantai ini:
s = f(t) → bezakan → v = ds/dt = g(t) → bezakan → a = dv/dt = d²s/dt² = h(t)
s = f(t) → bezakan → v = ds/dt = g(t) → bezakan → a = dv/dt = d²s/dt² = h(t)
Hubung kait fungsi sesaran, halaju dan pecutan (8.2.1)
Contoh 6 (buku teks m.s. 260): s = 3 + 2t − t²
v = ds/dt = 2 − 2t dan a = dv/dt = −2 (pecutan malar −2 ms-2).Pada t = 0: s = 3 m, v = 2 ms-1, a = −2 ms-2.
Pada t = 1: v = 0 dan s = 4 m (maksimum), jadi zarah berpatah balik.
Pada t = 3: s = 0 (zarah di O), v = −4 ms-1.
Jumlah jarak bagi 0 ≤ t ≤ 3 ialah (4 − 3) + 4 = 5 m.
Halaju seketika daripada fungsi sesaran (8.2.2)
Halaju seketika pada masa t ialah kecerunan tangen kepada graf sesaran-masa, iaitu v = ds/dt. Pada graf s-t yang berbentuk garis lurus, kecerunan sama di mana-mana, jadi halaju adalah seragam (halaju malar). Halaju awal ialah v apabila t = 0. Sesaran maksimum atau minimum berlaku apabila ds/dt = v = 0.
Contoh 7 (buku teks m.s. 263): s = t³ − 9t² + 24t + 5
v = 3t² − 18t + 24.(a) Halaju awal: v(0) = 24 ms-1. (b) Pada t = 3: v = 27 − 54 + 24 = −3 ms-1.
(c) Berhenti seketika: v = 0, t² − 6t + 8 = 0, (t − 2)(t − 4) = 0, jadi t = 2 s atau t = 4 s.
(d) Bergerak ke kiri: v < 0, jadi (t − 2)(t − 4) < 0 dan 2 < t < 4 (graf parabola menghala ke atas, negatif di antara dua punca).
Sesaran suatu zarah ialah s = 2t³ − 5t² + 4t. Cari (a) v apabila t = 2, (b) masa apabila zarah berhenti seketika.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
v = 6t² − 10t + 4.
(a) v(2) = 24 − 20 + 4 = 8 ms-1
(b) 6t² − 10t + 4 = 0, 3t² − 5t + 2 = 0, (3t − 2)(t − 1) = 0, t = 2/3 s atau t = 1 s
(a) v(2) = 24 − 20 + 4 = 8 ms-1
(b) 6t² − 10t + 4 = 0, 3t² − 5t + 2 = 0, (3t − 2)(t − 1) = 0, t = 2/3 s atau t = 1 s
Pecutan seketika daripada fungsi halaju dan fungsi sesaran (8.2.3)
Pecutan seketika ialah kecerunan tangen kepada graf halaju-masa: a = dv/dt = d/dt(ds/dt) = d²s/dt². Pada graf v-t:
| Pecutan | Maksud pada graf v-t |
|---|---|
| a > 0 | Halaju menokok terhadap masa (kecerunan positif) |
| a = 0 | Halaju maksimum atau minimum. Halaju tidak semestinya sifar. |
| a < 0 | Halaju menyusut terhadap masa (nyahpecutan) |
Contoh 10 (buku teks m.s. 265): s = t³ − 3t² − 4t
v = 3t² − 6t − 4 dan a = 6t − 6.(a) Pecutan awal: a(0) = −6 ms-2. (b) Pada t = 5: a = 24 ms-2.
(c) Melalui O semula: s = 0, t(t + 1)(t − 4) = 0, t = 0, −1 atau 4. Ambil t = 4 sahaja (masa tidak boleh negatif dan t = 0 ialah permulaan). a(4) = 18 ms-2.
(d) a > 0: 6t − 6 > 0, jadi t > 1.
Mengekalkan t = −1. Masa tidak boleh negatif. Satu lagi kesilapan ialah menganggap "a = 0 bermaksud zarah rehat": a = 0 hanya bermaksud halaju maksimum atau minimum.
| Syarat | Maksud |
|---|---|
| t = 0 | Sesaran awal, halaju awal atau pecutan awal |
| v = 0 | Zarah berhenti seketika; sesaran maksimum atau minimum, zarah berpatah balik |
| a = 0 | Halaju maksimum atau minimum |
| s = 0 | Zarah berada di titik tetap O |
| v < 0 | Zarah bergerak ke kiri |
Halaju maksimum atau minimum: selesaikan a = dv/dt = 0, kemudian uji d²v/dt². Jika d²v/dt² < 0, halaju maksimum; jika d²v/dt² > 0, halaju minimum.
8.3Pengamiran dalam kinematik gerakan linear
Pengamiran ialah langkah balik: v = ∫ a dt dan s = ∫ v dt. Setiap pengamiran menghasilkan pemalar c. Cari c daripada syarat yang diberi, misalnya "halaju awal" (v pada t = 0) atau "melalui titik O" (s = 0 pada t = 0).
a = h(t) → ∫ a dt → v = g(t) → ∫ v dt → s = f(t)
a = h(t) → ∫ a dt → v = g(t) → ∫ v dt → s = f(t)
Halaju seketika daripada fungsi pecutan (8.3.1)
Contoh 11 (buku teks m.s. 267): a = 4 − 2t, halaju awal 4 ms-1
v = ∫(4 − 2t) dt = 4t − t² + c. Pada t = 0, v = 4, jadi c = 4 dan v = 4t − t² + 4.(a)(i) t = 7: v = 28 − 49 + 4 = −17 ms-1.
(a)(ii) Halaju maksimum: dv/dt = 0, 4 − 2t = 0, t = 2. d²v/dt² = −2 < 0, jadi v maksimum: v = 8 − 4 + 4 = 8 ms-1.
(b) v = 7: t² − 4t + 3 = 0, (t − 1)(t − 3) = 0, t = 1 s atau t = 3 s.
Terlupa "+ c", atau menggunakan syarat awal pada fungsi yang salah. Gunakan v(0) pada fungsi halaju dan s(0) pada fungsi sesaran.
Pecutan zarah ialah a = 6 − 2t dan halaju awal 5 ms-1. Cari v apabila t = 4.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
v = 6t − t² + c, c = 5. v(4) = 24 − 16 + 5 = 13 ms-1
Sesaran seketika daripada fungsi halaju dan fungsi pecutan (8.3.2)
Fungsi sesaran diperoleh daripada s = ∫ v dt. Jika diberi pecutan, integralkan dua kali berturut-turut dan guna dua syarat untuk mencari dua pemalar.
Contoh 12 (buku teks m.s. 269-270): a = 4 − 2t, halaju awal 12 ms-1
v = 4t − t² + c, c = 12, jadi v = 12 + 4t − t². Kemudian s = 12t + 2t² − ⅓t³ + c; s = 0 pada t = 0, maka c = 0.(a)(i) t = 3: s = 36 + 18 − 9 = 45 m.
(a)(ii) Pegun: v = 0, t² − 4t − 12 = 0, (t + 2)(t − 6) = 0, t = 6 (tolak t = −2). s = 72 + 72 − 72 = 72 m.
(b) Pada t = 7: s = 84 + 98 − 114⅓ = 67⅔ m. Jarak dalam saat ke-7 = |s7 − s6| = |67⅔ − 72| = 4⅓ m.
Jarak dalam saat ke-n ialah |sn − sn−1| (dari t = n − 1 hingga t = n). Jumlah jarak dalam n saat pertama ialah dari t = 0 hingga t = n dan mesti dipecahkan di mana-mana v = 0. Masa ialah kuantiti skalar, jadi nilainya sentiasa positif.
8.4Aplikasi kinematik gerakan linear
Gunakan empat langkah penyelesaian masalah dalam buku teks: memahami masalah, merancang strategi (guna d/dt atau ∫ dt?), melaksanakan strategi, kemudian membuat refleksi (semak dengan penggantian balik).
Contoh 13 (buku teks m.s. 272): Fariza berlari, v = 0.9t − 0.03t²
Pecutan sifar: a = dv/dt = 0.9 − 0.06t = 0, jadi t = 15 s.Jarak dalam 30 s: s = ∫(0.9t − 0.03t²) dt = 0.45t² − 0.01t³ (c = 0), s(30) = 405 − 270 = 135 m.
Refleksi: luas di bawah graf v-t dari 0 hingga 30 juga 135 m.
| Ungkapan dalam soalan | Tindakan |
|---|---|
| "Awal", "pada permulaan" | Gantikan t = 0 |
| "Berhenti seketika", "pegun" | v = 0 |
| "Ketinggian maksimum", "paling jauh dari O" | v = 0, kemudian cari s |
| "Kembali ke O", "melalui O semula" | s = 0 dan tolak t = 0 |
| "Halaju seragam" (halaju malar) | a = 0, iaitu fungsi halaju tidak mengandungi t |
| "Pecutan malar" | fungsi pecutan tidak mengandungi t |
Sebiji roket air naik tegak dari permukaan padang dengan v = 20 − 10t ms-1. Cari ketinggian maksimum.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
v = 0 pada t = 2 s. s = 20t − 5t², s(2) = 40 − 20 = 20 m
Ringkasan bab (Sudut Refleksi, m.s. 275)
| Syarat | Digunakan untuk |
|---|---|
| t = 0 | Sesaran awal, halaju awal, pecutan awal |
| v = 0 | Sesaran minimum atau maksimum |
| a = 0 | Halaju minimum atau maksimum |
Buku teks m.s. 275; Latihan Sumatif m.s. 275-278.
Istilah penting (Kata Kunci, m.s. 251)
| Bahasa Melayu | Bahasa Inggeris |
|---|---|
| Sesaran | Displacement |
| Halaju | Velocity |
| Pecutan | Acceleration |
| Jarak | Distance |
| Halaju awal | Initial velocity |
| Halaju malar | Uniform velocity |
| Halaju maksimum | Maximum velocity |
| Halaju minimum | Minimum velocity |
| Pecutan malar | Uniform acceleration |
| Halaju positif / negatif / sifar | Positive / negative / zero velocity |
| Sesaran positif / negatif / sifar | Positive / negative / zero displacement |