Matematik notesnota, bab 1

Ubahan

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 1-33

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menerangkan maksud ubahan langsung (1.1.1)
Saya boleh menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu ubahan langsung, menulis y ∝ xⁿ dan y = kxⁿ, serta mencari nilai pemalar k (1.1.2)
Saya boleh menentukan hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan tercantum, y ∝ xᵐzⁿ (1.1.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan langsung (1.1.4)
Saya boleh menerangkan maksud ubahan songsang (1.2.1)
Saya boleh menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu ubahan songsang, y ∝ 1/xⁿ dan y = k/xⁿ, daripada jadual, graf dan nilai (1.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan songsang (1.2.3)
Saya boleh menentukan hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan bergabung (1.3.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan bergabung (1.3.2)

1.1Ubahan langsung

Ubahan langsung menerangkan perkaitan antara dua pemboleh ubah: apabila satu pemboleh ubah y bertambah, pemboleh ubah x juga bertambah pada kadar yang sama, dan sebaliknya. Kita tulis y ∝ x dan sebut "y berubah secara langsung dengan x".

Contoh harian: jarak perjalanan dengan tambang teksi, atau jumlah gaji dengan bilangan jam bekerja. Jika jam bekerja bertambah dua kali ganda, gaji bertambah dua kali ganda. Jika jam berkurang 40%, gaji juga berkurang 40%.

Contoh 1 (m.s. 3): menyatakan perubahan

Gaji seorang pekerja sambilan berubah secara langsung dengan bilangan jam dia bekerja.
(a) Jam bertambah dua kali ganda: gaji bertambah dua kali ganda.
(b) Jam berkurang 40%: gaji berkurang 40%.
(c) Gaji separuh daripada gaji asal: jam bekerja separuh daripada jam asal.

Pemalar perkadaran, k

Bagi ubahan langsung, nisbah y/x sentiasa sama. Nilai tetap itu ialah pemalar perkadaran, k. Pada graf, k ialah kecerunan garis lurus yang melalui asalan.

Bentuk	Ditulis sebagai
Hubungan ubahan	y ∝ xⁿ
Bentuk persamaan	y = kxⁿ
Pemalar	k = y ÷ xⁿ
Graf	Graf y melawan xⁿ ialah garis lurus yang melalui asalan, kecerunannya k

Dengan keadaan n = 1, 2, 3, ½ atau ⅓. Contohnya, "y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua x" ditulis y ∝ √x, maka y = k√x.

Graf y melawan x: garis lurus melalui asalan dan titik (1, 2), (2, 4), (5, 10) — y = 2x. Titik-titik terletak pada garis lurus yang melalui asalan O, maka y berubah secara langsung dengan x dan k = 2.

y ∝ x sahaja memberi graf y melawan x yang lurus melalui asalan. Bagi y ∝ x², lukis graf y melawan x². Simbol ∝ dibaca "adalah berkadaran dengan".

Menentukan sama ada ubahan langsung

Contoh 2 (m.s. 7): jadual

t: 2, 4, 6, 8, 10, 12; y: 14, 28, 42, 56, 70, 84.
y/t = 7 bagi setiap pasangan (pemalar). y/t² = 3.50, 1.75, 1.17, 0.88, 0.70, 0.58 (bukan pemalar).
Maka y ∝ t.

Contoh 3 (m.s. 7): graf

(a) Titik (0.4, 1.5), (0.8, 2.0), (1.2, 2.5) terletak pada garis lurus yang memotong paksi-y pada 1.0, bukan pada asalan. Maka y tidak berubah secara langsung dengan x.
(b) Graf y melawan x² bagi x² = 4, 9, 16, 25 dan y = 8, 18, 32, 50 ialah garis lurus melalui asalan (y/x² = 2). Maka y ∝ x².

Graf y melawan x: garis lurus yang memotong paksi-y pada 1, tidak melalui asalan — Garis lurus yang tidak melalui asalan: bukan ubahan langsung (Contoh 3a).

Garis lurus yang tidak melalui asalan bukan ubahan langsung. Contohnya y = 1.25x + 1 ialah garis lurus, tetapi y/x tidak tetap.

Menulis persamaan dan mencari nilai

Tulis hubungan ubahan, contohnya m ∝ ∛n.
Tulis dalam bentuk persamaan dengan k: m = k∛n.
Gantikan satu set nilai yang diberi untuk mencari k.
Tulis persamaan dengan nilai k, kemudian gantikan nilai lain untuk mencari jawapan.

Contoh 4 (m.s. 8)

m = 0.8 apabila n = 0.125. (a) m ∝ n: 0.8 = k(0.125), k = 6.4, maka m = 6.4n.
(b) m ∝ ∛n: 0.8 = k(0.5), k = 1.6, maka m = 1.6∛n.

Contoh 5 (m.s. 8): spring

Pemanjangan spring x cm berubah secara langsung dengan jisim pemberat w g. x = 3 apabila w = 200.
x = kw, 3 = k(200), k = 0.015. Maka x = 0.015w.

Contoh 7 (m.s. 9): kaedah perkadaran

Luas semi bulatan L cm² berubah secara langsung dengan kuasa dua diameter d cm. L = 3.08 apabila d = 2.8. Cari d apabila L = 19.25.
L = kd², k = 3.08 ÷ 2.8² = 11/28. 19.25 = (11/28)d², d² = 49, d = 7 cm.
Langkah alternatif: L₁/d₁² = L₂/d₂², iaitu 3.08/2.8² = 19.25/d₂².

y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua x. y = 12 apabila x = 16. Cari y apabila x = 49.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

y = k√x, 12 = k(4), k = 3.
y = 3√49 = 3 × 7 = 21

Ubahan tercantum (tiga atau lebih pemboleh ubah)

Ubahan tercantum ialah ubahan langsung dengan keadaan satu pemboleh ubah berubah sebagai hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah yang lain. "y berubah secara tercantum dengan x dan z" ditulis y ∝ xz, maka y = kxz.

Faedah mudah I = Prt ialah ubahan tercantum: I berubah secara tercantum dengan P, r dan t. Secara umum, y ∝ x^mzⁿ dan y = kx^mzⁿ.

Pernyataan	Hubungan ubahan	Persamaan
p berubah secara langsung dengan q dan √r	p ∝ q√r	p = kq√r
y berubah secara langsung dengan kuasa dua w dan kuasa tiga x	y ∝ w²x³	y = kw²x³
Isi padu prisma V dengan luas keratan rentas A dan tinggi h	V ∝ Ah	V = kAh

Contoh 10 (m.s. 12)

x ∝ y²z. x = 6 apabila y = 3 dan z = 5.
6 = k(3)²(5) = 45k, k = 2/15. Maka x = (2/15)y²z.

Contoh 12 (m.s. 13): jadual

S berubah secara langsung dengan T dan ∛U. Jadual: S = 6, x, 50; T = 0.8, 1.2, 40; U = 27, 125, y.
S = kT∛U: 6 = k(0.8)(3), k = 2.5.
x = 2.5(1.2)(5) = 15. 50 = 2.5(40)∛y, ∛y = 0.5, y = 0.5³ = 0.125.

Kuasa dua hanya pada pemboleh ubah yang membawa kuasa itu. Dalam y ∝ w²x, hanya w yang dikuasaduakan.

A berubah secara tercantum dengan x dan y. A = 14 apabila x = 7 dan y = 4. Jika x bertambah 20% dan y berkurang 10%, apakah peratusan perubahan A?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

A = kxy, 14 = k(28), k = 0.5.
A baharu = 0.5(1.2x)(0.9y) = 1.08 × 0.5xy.
A bertambah 8%.

Menyelesaikan masalah ubahan langsung

Ikut empat langkah buku teks: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi, membuat kesimpulan.

Contoh 13 (m.s. 15): Hukum Charles

Isi padu gas V cm³ berkadar langsung dengan suhu mutlak T K (tekanan tetap). V = 30 apabila suhu 30°C. Suhu mutlak: T = 273 + x.
(a) 30 = k(273 + 30) = 303k, k = 10/101, V = (10/101)T.
(b) Pada −11°C, T = 262, V = (10/101)(262) = 25.94 cm³.

Contoh 14 (m.s. 15 hingga 16): faedah simpanan

Faedah I berubah secara langsung dengan prinsipal p dan tempoh t tahun. I = RM200 apabila p = RM4 000 dan t = 2.
I = kpt, 200 = k(4 000)(2), k = 0.025, I = 0.025pt.
(a) 650 = 0.025(5 200)t, t = 5 tahun.
(b) I tetap, maka pt tetap. Jika tempoh dikurangkan, prinsipal perlu ditambah.

Dalam persamaan, ubah satu pemboleh ubah dan lihat kesan pada yang lain. Jika hasil darab pt mesti tetap, apabila t berkurang maka p bertambah.

1.2Ubahan songsang

Ubahan songsang: pemboleh ubah y bertambah apabila pemboleh ubah x berkurang pada kadar yang sama, dan sebaliknya. Ditulis y ∝ 1/x, "y berubah secara songsang dengan x".

Contoh: semakin banyak pintu dibuka, semakin sedikit masa untuk murid keluar dari dewan. Pada jongkang-jongket, orang yang lebih berat duduk lebih dekat dengan fulkrum: jisim w dan jarak d berubah secara songsang.

Contoh 15 (m.s. 18): laju purata

Chia Ming berlari 42 km. Masa t = 4, 5, 6, 7, 8 jam; laju purata v = 10.50, 8.40, 7.00, 6.00, 5.25 km/j.
(a) Masa bertambah dua kali ganda (4 kepada 8): laju berkurang dua kali ganda (10.50 kepada 5.25).
(b) Masa berkurang 1.5 kali ganda (6 kepada 4): laju bertambah 1.5 kali ganda (7.00 kepada 10.50).

Pemalar dan graf

Bentuk	Ditulis sebagai
Hubungan ubahan	y ∝ 1/xⁿ
Bentuk persamaan	y = k/xⁿ
Pemalar	k = xⁿy (hasil darab tetap)
Graf	y melawan x ialah hiperbola. y melawan 1/xⁿ ialah garis lurus yang bermula daripada asalan (x ≠ 0), kecerunannya k

Graf y melawan x bagi y = 12 per x: lengkung yang menurun curam kemudian mendatar, iaitu hiperbola — y melawan x: hiperbola.

Graf y melawan 1 per x: garis lurus melalui asalan — y melawan 1/x: garis lurus melalui O.

Contoh 16 (m.s. 21 hingga 22): ujian hasil darab

Pekerja x: 2, 3, 4, 5, 6; masa t minit: 180, 120, 90, 72, 60.
xt = 360 bagi setiap pasangan (pemalar). x²t = 720, 1 080, 1 440, 1 800, 2 160 (bukan pemalar).
Maka t ∝ 1/x.

Contoh 18 (m.s. 22): menulis persamaan

x = 0.25 apabila y = 3.
(a) y ∝ 1/x: 3 = k/0.25, k = 0.75, y = 0.75/x.
(b) y ∝ 1/√x: 3 = k/0.5, k = 1.5, y = 1.5/√x.

Contoh 19 (m.s. 23): tarikan graviti

Tarikan graviti F berubah secara songsang dengan kuasa dua jarak d. F = 15 N apabila d = 1.2 cm.
F = k/d², k = 15(1.2)² = 21.6. Maka F = 21.6/d².

Contoh 20 (m.s. 23): mencari nilai

p berubah secara songsang dengan q. p = 2 apabila q = 7. Cari p apabila q = 1.6.
pq = k = 14. p = 14 ÷ 1.6 = 8.75. Langkah alternatif: p₁q₁ = p₂q₂.

Jangan keliru. Dalam ubahan langsung, nisbah y/xⁿ ialah pemalar. Dalam ubahan songsang, hasil darab xⁿy ialah pemalar.

g berubah secara songsang dengan kuasa tiga h. g = 0.5 apabila h = 2. Cari h apabila g = 0.032.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

g = k/h³, 0.5 = k/8, k = 4.
0.032 = 4/h³, h³ = 125, h = 5

Menyelesaikan masalah ubahan songsang

Contoh 21 (m.s. 25): Hukum Boyle

Pada suhu tetap, tekanan gas p berkadar songsang dengan isi padu V. p = 190.25 kPa apabila V = 80 cm³.
k = pV = 190.25 × 80 = 15 220, p = 15 220/V. Apabila p = 121.76, V = 15 220 ÷ 121.76 = 125 cm³.

Bagi graf y melawan x yang berbentuk y = a/x, x ≠ 0, graf ialah hiperbola (Kotak Memori, m.s. 20).

1.3Ubahan bergabung

Ubahan bergabung melibatkan gabungan ubahan langsung atau ubahan tercantum, dan ubahan songsang. "y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang dengan z" ditulis y ∝ x/z, maka y = kx/z.

Secara umum, y ∝ x^m/zⁿ dan y = kx^m/zⁿ. Untuk lebih banyak pemboleh ubah, y ∝ w^px^q/z^r. Ubahan langsung dan tercantum diletakkan di atas, ubahan songsang di bawah.

Pernyataan	Hubungan ubahan
y berubah secara langsung dengan w dan kuasa dua x, dan secara songsang dengan punca kuasa tiga z	y ∝ wx²/∛z
y berubah secara langsung dengan hasil darab w² dan √x, dan secara songsang dengan z³	y ∝ w²√x/z³

Contoh 22 (m.s. 27)

y berubah secara langsung dengan kuasa dua x dan secara songsang dengan punca kuasa dua z. y = 8 apabila x = 4 dan z = 36. Ungkapkan y dalam sebutan x dan z.
y = kx²/√z, 8 = k(16)/6, k = 3. Maka y = 3x²/√z.

Contoh 23 (m.s. 27 hingga 28): jadual

P berubah secara langsung dengan kuasa tiga Q dan secara songsang dengan R. Jadual: P = 4, 3.6, 0.081; Q = 2, 6, y; R = 0.6, x, 2.7.
P = kQ³/R: 4 = k(8)/0.6, k = 3/10, P = 3Q³/(10R).
3.6 = 3(216)/(10x), x = 18. 0.081 = 3y³/(10 × 2.7), y³ = 0.729, y = 0.9.

Langkah sama setiap kali: hubungan, persamaan dengan k, gantikan untuk mencari k, tulis semula, kemudian gantikan lagi. Set nilai untuk mencari k dan set nilai untuk jawapan ialah dua set yang berbeza.

y ∝ x/z². y = 4 apabila x = 6 dan z = 3. Cari y apabila x = 10 dan z = 5.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

4 = k(6)/9, k = 6. y = 6x/z².
y = 6(10)/25 = 2.4

Menyelesaikan masalah ubahan bergabung

Contoh 24 (m.s. 28 hingga 29): tekanan roda kereta sorong

Tekanan p N m⁻² berubah secara langsung dengan jisim m kg dan secara songsang dengan luas permukaan sentuhan l m². p = 45 000 apabila m = 90 dan l = 0.02.
p = km/l, k = 45 000 × 0.02 ÷ 90 = 10, p = 10m/l.
(a) m = 120, l = 0.5: p = 10(120)/0.5 = 2 400 N m⁻².
(b) Jika m tetap, p berkurang apabila l bertambah. Roda yang lebih lebar mengurangkan tekanan.

Ringkasan (Arena Rumusan)

Jenis	Hubungan ubahan	Persamaan	Pemalar
Langsung	y ∝ xⁿ	y = kxⁿ	k = y/xⁿ
Tercantum	y ∝ x^mzⁿ	y = kx^mzⁿ	k = y/(x^mzⁿ)
Songsang	y ∝ 1/xⁿ	y = k/xⁿ	k = yxⁿ
Bergabung	y ∝ x^p/z^q	y = kx^p/z^q	k = yz^q/x^p

Terokai Matematik: ubahan dalam sains

Beberapa hukum sains ialah ubahan: Hukum Ohm V = IR, Hukum Boyle PV = pemalar (songsang), Hukum Pembiasan sin i/sin r = pemalar, dan Hukum Kegravitian Semesta Newton F = Gm₁m₂/d² (bergabung). Dalam projek mini, diameter imej cahaya lampu suluh d dikaji dengan jarak lampu j daripada kertas A4.