Matematik notesnota, unit 6

Ruang

TextbookBuku teks Matematik Tahun 5 SK, Buku Teks (KSSR Semakan 2017), pageshalaman 217-234

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menamakan poligon sekata dan menyatakan ciri-cirinya: sisi lurus, penjuru, sudut pedalaman, paksi simetri dan pepenjuru (6.1.1)
Saya boleh mengukur sudut pedalaman poligon sekata dengan protraktor (6.2.1)
Saya boleh mencari perimeter bentuk gabungan dua poligon (6.3.1)
Saya boleh mencari luas bentuk gabungan segi empat sama, segi empat tepat dan segi tiga (6.3.2)
Saya boleh mencari isi padu bentuk gabungan kubus dan kuboid (6.4.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah harian yang melibatkan perimeter, luas dan isi padu bentuk gabungan (6.5.1)

Unit ini tentang bentuk dan ruang. Kita mengenal poligon sekata, mengukur sudut pedalaman dengan protraktor, kemudian mencari perimeter, luas dan isi padu bagi bentuk gabungan, iaitu bentuk yang dibina daripada dua bentuk yang bercantum.

Rancangan untuk bentuk gabungan (tambahan, tiada dalam buku, tetapi mengikut contoh dalam buku). Pecahkan bentuk itu kepada bentuk yang sudah kita kenal (segi empat sama, segi empat tepat, segi tiga, kubus, kuboid). Kira setiap bahagian. Kemudian tambah bahagian-bahagian itu, atau tolak bahagian yang dikeluarkan.

6.1Poligon sekata

Poligon sekata ialah bentuk dua dimensi dengan tiga atau lebih sisi lurus yang sama panjang (glosari buku teks). Menurut ms. 217, saiz semua sudutnya juga sama besar. Bentuknya tertutup.

Pentagon sekata dengan sisi lurus, penjuru, pepenjuru dan sudut pedalaman ditunjuk, dan senarai ciri-ciri pentagon sekata — Ciri-ciri pentagon sekata: 5 sisi lurus yang sama panjang, 5 sudut pedalaman, 5 penjuru, 5 pepenjuru dan 5 paksi simetri.

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 217.

Istilah yang digunakan dalam buku teks:

Sisi lurus: garis lurus yang membentuk sempadan poligon.
Penjuru (juga dipanggil bucu): tempat bertemunya dua garisan.
Sudut pedalaman: ruang dalaman antara dua garisan lurus yang bertemu, iaitu sudut di dalam poligon pada sesuatu penjuru.
Pepenjuru: garisan lurus yang dibuat dari penjuru ke penjuru yang bertentangan (Cakna Minda, ms. 218). Tambahan, tiada dalam buku: penjuru itu tidak bersebelahan dengan penjuru permulaan.
Paksi simetri: garisan yang membahagi dua sama besar sesuatu poligon (glosari).

Enam poligon sekata: segi tiga sama sisi, segi empat sama, pentagon, heksagon, heptagon dan oktagon, setiap satu dengan bilangan sisi lurusnya — Enam poligon sekata. Nama poligon mengikut bilangan sisi lurusnya.

Menurut buku teks, bilangan sudut sama dengan bilangan penjuru, dan bilangan paksi simetri sama dengan bilangan sisi lurus.

Heksagon sekata ialah poligon sekata; segi empat tepat, rombus dan pentagon yang tidak sekata bukan poligon sekata — Tambahan, tiada dalam buku: hanya heksagon yang mempunyai sisi sama panjang dan sudut sama besar.

Kedua-dua syarat mesti benar. Poligon yang sisinya sama panjang belum tentu sekata: periksa juga sudutnya. Segi empat tepat yang bukan segi empat sama mempunyai sudut sama (90°) tetapi sisinya tidak semua sama panjang. Jawapan Uji Minda (ms. 220), iaitu poligon yang mempunyai sudut 90° dan sudut tirus, ialah segi tiga bersudut tegak. Sudutnya tidak sama besar, jadi ia bukan poligon sekata (kesimpulan daripada ciri poligon sekata, ms. 217).

Ciri-ciri poligon sekata

Heksagon sekata ABCDEF dengan semua pepenjurunya dilukis — Heksagon: 6 penjuru dan 9 pepenjuru.

Pentagon sekata dengan lima garis putus-putus sebagai paksi simetri — Pentagon: 5 paksi simetri.

Poligon sekata	Sisi lurus	Penjuru	Paksi simetri	Sudut	Pepenjuru
Segi tiga sama sisi	3	3	3	3	0
Segi empat sama	4	4	4	4	2
Pentagon	5	5	5	5	5
Heksagon	6	6	6	6	9
Heptagon	7	7	7	7	14
Oktagon	8	8	8	8	20

Jadual ini ialah jadual yang diminta dalam Cuba Ini, ms. 218. Buku teks memberi 0 pepenjuru bagi segi tiga sama sisi, 2 bagi segi empat sama, 5 bagi pentagon, 9, 14 dan 20 bagi heksagon, heptagon dan oktagon.

Corak pepenjuru: 0, 2, 5, 9, 14, 20. Setiap kali poligon bertambah satu sisi, bilangan pepenjuru bertambah 2, 3, 4, 5, 6. Tambahan, tiada dalam buku: setiap penjuru boleh disambung kepada (bilangan sisi − 3) penjuru lain, jadi pepenjuru = sisi × (sisi − 3) ÷ 2. Bagi heksagon: 6 × 3 ÷ 2 = 9. Jangan jadikan rumus ini satu-satunya cara: anda boleh juga melukis dan mengira.

Contoh: namakan poligon

Ciri-ciri (Cuba Ini, ms. 218): 7 penjuru, semua sisi lurus sama panjang dan 14 pepenjuru.
7 penjuru bermakna 7 sisi lurus, jadi poligon itu ialah heptagon sekata. Jadual di atas juga memberi 14 pepenjuru bagi heptagon.

a) Berapakah bilangan paksi simetri bagi oktagon sekata? b) Sebuah poligon sekata mempunyai 5 pepenjuru. Namakan poligon itu. c) Adakah segi empat tepat yang bukan segi empat sama ialah poligon sekata? Mengapa?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 8 (sama dengan bilangan sisi lurusnya).
b) Pentagon (5 sisi lurus dan 5 pepenjuru).
c) Bukan. Semua sudutnya 90° tetapi sisinya tidak semua sama panjang.

6.2Ukur sudut pedalaman

Protraktor (juga dipanggil jangka sudut) ialah alat untuk mengukur sudut. Sudut diukur dalam darjah (°). Bahagian protraktor: skala dalam, skala luar, garis asas dan pusat protraktor.

Protraktor diletakkan pada penjuru A pentagon sekata ABCDE: pusat protraktor pada A dan garis asas sepanjang AE; bahagian protraktor dilabelkan — Mengukur sudut a pada pentagon sekata: pusat protraktor tepat pada penjuru A dan garis AE bertindih dengan garis asas. Bacaan ialah 108°.

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 219.

Cara mengukur nilai sudut a (buku teks, ms. 219):

Letakkan pusat protraktor tepat dengan penjuru A.
Pastikan garis AE bertindih dengan garis asas protraktor.
Baca skala dalam dari 0° (garis AE) hingga ke sisi (garis AB).
Nilai sudut a ialah 108°. Buku teks juga menulis nilai ini sebagai 110° − 2° = 108°.

Pastikan pusat protraktor bertindih dengan penjuru sudut yang hendak diukur (Tip, ms. 219). Buku teks (ms. 220) menunjukkan garisan unjuran, iaitu garisan putus-putus yang memanjangkan sisi poligon sehingga sampai ke skala protraktor. Tambahan, tiada dalam buku: gunakan garisan unjuran apabila sisi terlalu pendek untuk sampai ke skala.

Dua skala. Dalam buku (ms. 219) garis asas berada di sebelah kanan dan sudut a dibaca pada skala dalam. Contoh lain dalam buku (ms. 220): bacaan skala luar bagi S ialah 0° dan bagi R ialah 120°, jadi sudut p = 120° − 0° = 120°. Tambahan, tiada dalam buku: peraturan ringkas yang kami simpulkan daripada kedua-dua contoh itu ialah mulakan membaca dari 0° pada skala yang bermula pada garis asas. Garis asas di sebelah kanan: baca skala dalam. Garis asas di sebelah kiri: baca skala luar. Tambahan, tiada dalam buku: dua bacaan bagi satu lengan itu berjumlah 180° (108° dan 72°), jadi periksa dahulu sama ada sudut itu lebih kecil atau lebih besar daripada sudut tegak.

Jenis sudut

Jenis	Saiz
Sudut tirus	kurang daripada 90°
Sudut tegak	tepat 90°
Sudut cakah	lebih daripada 90° dan kurang daripada 180°

Istilah sudut tegak, sudut tirus dan sudut cakah digunakan dalam buku teks (ms. 220, 268 dan glosari). Saiz setiap jenis tidak dinyatakan dalam unit ini: ia ialah ingatan kembali (tambahan, tiada dalam buku).

Semua sudut pedalaman poligon sekata sama besar, jadi ukur satu sahaja:

Poligon sekata	Setiap sudut pedalaman	Jenis
Segi tiga sama sisi	60° (ukur sendiri; tambahan, tiada dalam buku)	sudut tirus
Segi empat sama	90° (jawapan ms. 274)	sudut tegak
Pentagon	108° (ms. 219)	sudut cakah
Heksagon	120° (jawapan Uji Diri)	sudut cakah
Oktagon	135° (jawapan ms. 274)	sudut cakah

Tambahan, tiada dalam buku: semakin banyak sisi poligon sekata, semakin besar setiap sudut pedalaman (lihat jadual di atas). Ukuran anda mungkin berbeza 1° atau 2°; itu tidak mengapa.

Garis asas protraktor berada di sebelah kiri. Satu lengan sudut berada pada 0° di skala luar dan lengan yang satu lagi pada 40° di skala luar. Berapakah sudut itu dan apakah jenisnya?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Sudut itu ialah 40° − 0° = 40°. Ia kurang daripada 90°, jadi ia sudut tirus.

6.3Perimeter dan luas bentuk gabungan

Bentuk gabungan ialah bentuk yang dibina daripada dua atau lebih bentuk yang bercantum. Perimeter ialah ukuran keliling sesebuah rajah, bentuk atau kawasan (glosari). Luas ialah ukuran besarnya sesuatu permukaan (glosari). Buku menulis luas dalam unit² atau m² (ms. 224).

Perimeter bentuk gabungan

Penanda buku daripada heksagon sekata dan segi tiga sama sisi yang bercantum; setiap sisi luar ialah 9 cm — Penanda buku daripada heksagon dan segi tiga sama sisi. Setiap sisi luar 9 cm.

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 221.

Panjang kertas hijau yang menghiasi keliling penanda buku ialah panjang sisi luar atau perimeter bentuk gabungan itu. Dua langkah (Tip, ms. 221): (1) ukur panjang semua sisi luar bentuk gabungan; (2) jumlahkan ukuran panjang semua sisi luar itu.

Contoh (ms. 221)

Sisi luar ada 7, setiap satu 9 cm.
Perimeter = (9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9) cm = 63 cm
atau perimeter = 7 × 9 cm = 63 cm

Tambahan, tiada dalam buku: sisi yang menjadi tempat dua bentuk bercantum ialah sisi dalam (Nota Guru buku, ms. 224, menyebut istilah sisi dalam). Jangan kira sisi itu dalam perimeter. Bagi heksagon dan segi tiga sama sisi, sisi luar = 6 + 3 − 2 = 7.

Oktagon sekata dengan sisi 4 m bercantum dengan segi empat sama bersisi 10 m; satu bahagian sisi segi empat sama ialah 6 m — Oktagon sekata (sisi 4 m) dan segi empat sama (sisi 10 m). Sisi segi empat sama itu terbahagi kepada 4 m (bercantum) dan 6 m.

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 222.

Contoh (ms. 222): dua cara

Cara 1. Tentukan satu sisi mula, kemudian jumlahkan semua sisi luar: (10 + 10 + 6 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 10) m = 64 m.
Cara 2. Perimeter sisi luar oktagon + perimeter sisi luar segi empat sama = (7 × 4 m) + (10 m + 10 m + 10 m + 6 m) = 28 m + 36 m = 64 m.

Kawasan berlorek dan sisi dalam. Dalam ms. 222 (no. 4) sebuah kawasan segi tiga bersudut tegak berukuran 3 m, 4 m dan 5 m mempunyai petak 1 m × 1 m dikeluarkan di penjuru atas kiri. Buku teks menandakan jawapan (4 + 5 + 2 + 1 + 1) m = 13 m sebagai salah dan meminta kita membincangkan kesilapannya. Kesilapan: sisi atas ialah 4 m − 1 m = 3 m, bukan 4 m. Pengiraan sendiri (jawapan tidak diberikan dalam buku): (3 + 1 + 1 + 2 + 5) m = 12 m.

Segi tiga sama sisi bersisi 8 cm bercantum dengan segi empat sama bersisi 8 cm pada satu sisi. Berapakah perimeter bentuk gabungan itu?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Sisi luar = 3 + 4 − 2 = 5 sisi.
Perimeter = 5 × 8 cm = 40 cm.

Luas bentuk gabungan

Bentuk	Luas
Segi empat sama dan segi empat tepat	panjang × lebar
Segi tiga	½ × tapak × tinggi

Bentuk gabungan pada grid: segi empat sama A 4 unit kali 4 unit dan segi tiga bersudut tegak B bertapak 2 unit dan tinggi 4 unit — Bentuk gabungan yang diwarnakan oleh Chin: segi empat sama A dan segi tiga bersudut tegak B.

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 224.

Contoh: tambah luas bahagian (ms. 224)

Luas segi empat sama A = 4 unit × 4 unit = 16 unit²
Luas segi tiga bersudut tegak B = ½ × 2 unit × 4 unit = 4 unit²
Luas bentuk gabungan = 16 unit² + 4 unit² = 20 unit²

Contoh: luas dinding yang dicat (ms. 224)

Permukaan A = 3 m × 2 m = 6 m². Permukaan B = 3 m × 5 m = 15 m².
Luas dinding yang dicat = 6 m² + 15 m² = 21 m²

Segi empat tepat 6 m kali 4.8 m dengan segi empat sama 2 m kali 2 m dikeluarkan dari penjuru kiri bawah — Kawasan berumput: segi empat tepat 6 m × 4.8 m, dengan segi empat sama 2 m × 2 m dikeluarkan (garis putus-putus).

Contoh: tolak bahagian yang dikeluarkan (ms. 225)

Luas kawasan berumput = luas segi empat tepat − luas segi empat sama
= (6 m × 4.8 m) − (2 m × 2 m) = 28.8 m² − 4 m² = 24.8 m²

Tinggi segi tiga (tambahan, tiada dalam buku). Tinggi ialah jarak tegak dari tapak, membentuk sudut tegak dengan tapak. Ia bukan sisi yang condong. Dalam buku (ms. 224), segi tiga bersudut tegak B bertapak 2 unit dan tinggi 4 unit.

Sebuah segi empat sama bersisi 5 cm bercantum dengan segi tiga bersudut tegak bertapak 5 cm dan tinggi 4 cm pada satu sisinya. Cari luas bentuk gabungan itu.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Segi empat sama: 5 × 5 = 25 cm²
Segi tiga: ½ × 5 × 4 = 10 cm²
Jumlah: 25 + 10 = 35 cm²

6.4Isi padu bentuk gabungan

Isi padu ialah ukuran ruang yang dipenuhi oleh sesuatu pepejal, cecair atau gas (glosari buku teks). Isi padu sebuah kubus kecil ialah 1 unit padu (ms. 226). Buku mengira isi padu kuboid dengan mendarab tiga ukuran: panjang × lebar × tinggi (ms. 226 dan 229). Tambahan, tiada dalam buku: kubus ialah kuboid yang semua sisinya sama panjang, jadi isi padunya sisi × sisi × sisi (dalam ms. 227 isi padu kubus ditulis sebagai tiga ukuran yang didarab).

Bentuk gabungan daripada kubus unit: bahagian tinggi 2 unit kali 1 unit kali 3 unit dan bahagian rendah 9 unit kali 2 unit kali 3 unit — Bentuk gabungan daripada kubus 1 unit padu.

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 226.

Contoh (ms. 226): dua cara

Cara 1. Kira bilangan kubus 1 unit padu: 6 kubus = 6 unit³ dan 54 kubus = 54 unit³. Isi padu = 6 unit³ + 54 unit³ = 60 unit³.
Cara 2. Isi padu = (2 unit × 1 unit × 3 unit) + (9 unit × 2 unit × 3 unit) = 6 unit³ + 54 unit³ = 60 unit³.

Isi padu bentuk gabungan adalah sama walaupun susunan kubus dan kuboid berbeza (Nota Guru, ms. 226). Contoh (Uji Minda): sebarang gabungan kubus dan kuboid yang dibina daripada 59 kubus unit padu mempunyai isi padu 59 unit padu.

Contoh: kuboid dan kubus (ms. 227, no. 2)

Kuboid 10 cm × 8 cm × 17 cm dan kubus bersisi 8 cm.
Isi padu kuboid = 10 × 8 × 17 = 1 360 cm³
Isi padu kubus = 8 × 8 × 8 = 512 cm³
Isi padu bentuk gabungan = 1 360 cm³ + 512 cm³ = 1 872 cm³

Bongkah berukuran 6 m, 5 m dan 4 m dengan bahagian tengah dikeluarkan daripada bawahnya: 3 m lebar, 4 m tinggi dan 2 m dalam — Bongkah dengan bahagian tengah dikeluarkan.

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 227.

Contoh: tolak bahagian yang dikeluarkan (ms. 227, no. 3)

Isi padu bongkah yang tinggal = (4 m × 5 m × 6 m) − (2 m × 4 m × 3 m)
= 120 m³ − 24 m³ = 96 m³

Unit (tambahan, tiada dalam buku). Perimeter dalam cm atau m. Luas dalam cm² atau m². Isi padu dalam cm³ atau m³. Semak unit sebelum menulis jawapan.

Sebuah kuboid berukuran 10 cm × 8 cm × 4 cm. Sebuah kubus bersisi 4 cm dipotong daripadanya. Berapakah isi padu yang tinggal?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Kuboid: 10 × 8 × 4 = 320 cm³
Kubus: 4 × 4 × 4 = 64 cm³
Tinggal: 320 − 64 = 256 cm³

6.5Selesaikan masalah

Buku teks menggunakan empat langkah: fahami soalan, fikir cara, selesaikan dan semak.

Pelan kolam ikan hiasan: segi empat tepat 10 m kali 20 m digabungkan dengan oktagon sekata bersisi 8 m — Pelan kolam ikan hiasan Zariq.

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 228.

Contoh: pagar di sekeliling kolam (ms. 228)

Fahami soalan: kolam ialah gabungan segi empat tepat dan oktagon sekata. Cari panjang pagar di sekeliling kolam.
Fikir cara: tandakan panjang sisi luar kolam, kemudian jumlahkan.
Selesaikan: panjang pagar = (1 + 20 + 10 + 20 + 1) m + (7 × 8 m) = 52 m + 56 m = 108 m.
Semak: perimeter oktagon = 8 × 8 = 64 m; perimeter segi empat tepat = (2 × 20) + (2 × 10) = 60 m. 64 m + 60 m − (2 × 8 m) = 108 m.

Bongkah kayu 23 cm panjang, 16 cm lebar dan 18 cm tinggi dengan satu kuboid 14 cm kali 16 cm kali 14 cm akan dipotong — Bongkah kayu dengan satu kuboid yang akan dipotong (garis putus-putus).

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 229.

Contoh: bongkah kayu selepas dipotong (ms. 229)

Isi padu bongkah kayu asal = 23 × 16 × 18 = 6 624 cm³
Isi padu kuboid yang dipotong = 14 × 16 × 14 = 3 136 cm³
Isi padu selepas dipotong = 6 624 − 3 136 = 3 488 cm³
Semak: 3 488 + 3 136 = 6 624.

Contoh: adakah wang mencukupi? (ms. 230)

Siar kaki A ialah 6 m × 4 m dan siar kaki B ialah 2 m × 4 m. Kos membina 1 m² siar kaki ialah RM100. Peruntukan Ayah ialah RM4 000.
Luas A = 6 × 4 = 24 m². Luas B = 2 × 4 = 8 m². Jumlah luas = 24 + 8 = 32 m².
Jumlah kos = 32 × RM100 = RM3 200.
RM3 200 kurang daripada RM4 000, jadi wang peruntukan RM4 000 mencukupi.

Dalam masalah kos, buat tiga perkara: cari luas (atau panjang), darabkan dengan harga bagi setiap unit, kemudian bandingkan dengan wang yang ada dan tulis satu kesimpulan.

Sebuah taman 10 m × 6 m ada kolam 3 m × 2 m di dalamnya. Rumput berharga RM12 bagi setiap m². Berapakah kos rumput bagi bahagian yang tiada kolam?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Taman: 10 × 6 = 60 m²
Kolam: 3 × 2 = 6 m²
Luas berumput: 60 − 6 = 54 m²
Kos: 54 × RM12 = RM648

Nota ini mengikut Buku teks Matematik Tahun 5 SK, Unit 6, ms. 217-234. Soalan Cuba Ini dan Cuba Lagi yang jawapannya tiada dalam buku dikira sendiri.