Matematik notesnota, unit 7

Koordinat, nisbah dan kadaran

TextbookBuku teks Matematik Tahun 5 SK, Buku Teks (KSSR Semakan 2017), pageshalaman 235-250

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menyatakan jarak mengufuk dan jarak mencancang suatu titik dari asalan pada satah Cartes (7.1.1)
Saya boleh mengira jarak mengufuk dan jarak mencancang di antara dua koordinat dengan menolak (7.1.1)
Saya boleh menyatakan nisbah dua kuantiti yang sama jenis dan menyebutnya sebagai "a kepada b" (7.2.1)
Saya boleh menyatakan nisbah suatu bahagian kepada jumlah, dan menukar ukuran kepada unit yang sama dahulu (7.2.1)
Saya boleh menggunakan kadaran untuk mencari suatu nilai dengan mendarab, membahagi dan kaedah unitari (7.3.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan jarak pada satah Cartes, nisbah dan kadaran (7.4.1)

Situasi dan nombor dalam nota ini berdasarkan Matematik Tahun 5 SK, ms. 235-250. Rajah yang tiada kredit buku dilukis semula.

7.1Jarak di antara dua koordinat

Jarak mengufuk dan jarak mencancang dari asalan

Satah Cartes ada paksi mengufuk (paksi-x) dan paksi mencancang (paksi-y). Kedua-dua paksi bertemu di asalan O (0, 0). Setiap titik ditulis sebagai pasangan nombor, iaitu koordinat. Jarak setiap grid ialah 1 unit.

Dalam koordinat (x, y), x ialah jarak mengufuk dari asalan dan y ialah jarak mencancang dari asalan. Jarak pada paksi-x ialah jarak mengufuk. Jarak pada paksi-y ialah jarak mencancang.

Satah Cartes yang ditindihkan pada gambar sebuah zoo, dengan beberapa titik dan koordinatnya — Kaunter tiket di asalan. Kakaktua di (4, 0), jeti di (0, 5) dan singa di (5, 3).

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 235.

Kakaktua di (4, 0): jarak mengufuk dari kaunter tiket ialah 4 unit.
Jeti di (0, 5): jarak mencancang dari kaunter tiket ialah 5 unit.
Singa di (5, 3): jarak mengufuk dari asalan ialah 5 unit dan jarak mencancang ialah 3 unit.

Jangan tukar tertib nombor. (5, 3) bukan tempat yang sama dengan (3, 5). Bergerak mengufuk di sepanjang paksi-x dahulu, kemudian ke atas. (Peringatan tambahan, tiada dalam buku.)

Jarak mengufuk dan jarak mencancang di antara dua koordinat

Untuk mencari jarak dari satu titik ke titik lain, cari beza jarak: tolak dua jarak mengufuk, kemudian tolak dua jarak mencancang. Tolak nombor yang kecil daripada nombor yang besar. (Peringatan tambahan, tiada dalam buku.)

Satah Cartes yang menunjukkan ruang di dalam sebuah rumah dengan dapur, bilik, ruang tamu, ruang makan dan tandas — Satah Cartes ruang di dalam rumah Rashwin. Dari dapur (4, 0) ke bilik 2 (6, 5): 2 unit ke kanan dan 5 unit ke atas.

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 236.

Contoh: dari dapur (4, 0) ke bilik 2 (6, 5)

Tempat	Jarak mengufuk dari asalan	Jarak mencancang dari asalan
dapur	4 unit	0 unit
bilik 2	6 unit	5 unit
beza jarak	6 unit − 4 unit = 2 unit	5 unit − 0 unit = 5 unit

Jarak dari dapur ke bilik 2 ialah 2 unit mengufuk dan 5 unit mencancang.

Ke kiri dan ke bawah: dari bilik 1 (2, 5) ke ruang makan (0, 1)

Jarak mengufuk: 2 unit − 0 unit = 2 unit (ke kiri).
Jarak mencancang: 5 unit − 1 unit = 4 unit (ke bawah).
Jarak dari bilik 1 ke ruang makan ialah 2 unit mengufuk dan 4 unit mencancang.

Titik mula dan titik akhir menentukan jarak yang betul. Tandakan kedua-dua titik dahulu. Kemudian kira berapa unit ke kanan atau ke kiri, dan berapa unit ke atas atau ke bawah.

Uji Minda (ms. 237): Jarak dari titik L (a, b) ke titik M (1, 8) ialah 2 unit mengufuk dan 3 unit mencancang. Jarak mengufuk: a = 1 + 2 = 3. Jarak mencancang: b = 8 − 3 = 5 atau b = 8 + 3 = 11. Jadi a = 3 dan b = 5 atau 11 (jawapan buku).

Rashwin hendak ke tandas (4, 6) dari ruang tamu (3, 3). Nyatakan jarak mengufuk dan jarak mencancang yang akan dilaluinya.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Jarak mengufuk: 4 − 3 = 1 unit. Jarak mencancang: 6 − 3 = 3 unit.

7.2Nisbah antara dua kuantiti

Nisbah ialah perbandingan ukuran atau nilai dengan ukuran atau nilai yang lain. Kita tulis a : b dan sebut "nisbah a kepada b". Contohnya 5 : 8 disebut nisbah lima kepada lapan.

Dalam aktiviti perkhemahan unit beruniform, ahli Bulan Sabit Merah Malaysia (BSMM) ada 5 orang dan pengakap ada 3 orang.

Tiga orang pengakap dan lima orang ahli BSMM diwakili dengan gambar orang — 3 orang pengakap dan 5 orang ahli BSMM.

Nisbah bilangan ahli pengakap kepada bilangan ahli BSMM ialah 3 : 5 (tiga kepada lima).
Nisbah bilangan ahli BSMM kepada jumlah ahli BSMM dan pengakap ialah 5 : (5 + 3) = 5 : 8.
Nisbah jumlah ahli pengakap dan BSMM kepada bilangan ahli pengakap ialah 8 : 3.

Tertib penting. 3 : 5 dan 5 : 3 ialah dua nisbah yang berbeza. "Nisbah A kepada B" bermaksud A ditulis dahulu. (Peringatan tambahan, tiada dalam buku.)

Nisbah jisim

Resipi membuat dodol oleh Puan Maslina menggunakan bahan yang berikut.

Senarai bahan dodol: 10 kg tepung pulut, 1 kg tepung beras, 11 kg gula pasir, 2 kg gula merah dan 4 kg santan

Buku teks Matematik Tahun 5 SK, ms. 239.

11 palang bagi gula pasir dan 10 palang bagi tepung pulut, setiap palang 1 kg

Contoh

Nisbah jisim gula pasir kepada jisim tepung pulut = 11 : 10 (sebelas kepada sepuluh).
Jumlah jisim tepung = 10 kg + 1 kg = 11 kg. Nisbah jisim tepung pulut kepada jumlah jisim tepung = 10 : 11.
Jumlah jisim gula = 11 kg + 2 kg = 13 kg. Nisbah jumlah jisim gula kepada jisim gula merah = 13 : 2.

Gunakan unit yang sama

Unit ukuran dan sukatan mesti sama apabila kita menyatakan nisbah dua kuantiti. Tukar unit yang besar kepada unit yang kecil dahulu. (Peringatan tambahan, tiada dalam buku.)

Contoh: jawapan siapa yang betul? (ms. 239)

Alif dan Raudah diminta menyatakan nisbah isi padu cecair mandian A (2 000 mℓ) kepada isi padu cecair mandian B (1 ℓ).
Alif menulis 2 000 : 1. Salah, kerana 2 000 dalam mℓ tetapi 1 dalam ℓ.
Raudah menukar 2 000 mℓ kepada 2 ℓ dan menulis 2 : 1. Jawapan Raudah betul kerana kedua-dua isi padu menggunakan unit yang sama (ℓ).
Penjelasan ini kami tulis daripada gambar di ms. 239; buku tidak memberi kunci jawapan bagi soalan ini.

Uji Minda (ms. 240): jisim setiap biji tembikai sama. Dua biji tembikai berjisim 4 kg, jadi sebiji tembikai ialah 2 kg. Sebiji tembikai dan sebiji nanas berjisim 3 kg, jadi sebiji nanas ialah 1 kg. Nisbah jisim sebiji tembikai kepada jisim sebiji nanas ialah 2 : 1. Nisbah jisim sebiji nanas kepada jumlah jisim buah-buahan dalam gambar (3 biji tembikai dan sebiji nanas, 7 kg) ialah 1 : 7. Kedua-dua jawapan ini ialah jawapan buku.

Lukis satu palang bagi setiap kuantiti jika anda tidak pasti. Jumlah ialah semua palang digabungkan.

Jadual menunjukkan perbelanjaan Kaswini di kantin sekolah.

Hari	Isnin	Selasa	Rabu	Khamis
Wang	RM5	RM3	RM4	RM1

Nyatakan nisbah (a) perbelanjaan pada hari Isnin kepada perbelanjaan pada hari Selasa, (b) perbelanjaan pada hari Rabu kepada jumlah perbelanjaan pada hari Isnin hingga Khamis, (c) jumlah perbelanjaan pada hari Isnin hingga Khamis kepada perbelanjaan pada hari Selasa.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Jumlah = RM5 + RM3 + RM4 + RM1 = RM13.
(a) 5 : 3. (b) 4 : 13. (c) 13 : 3. (Sama dengan kunci jawapan buku.)

7.3Kadaran untuk mencari suatu nilai

Kadaran: apabila satu kuantiti menjadi dua kali ganda, kuantiti yang satu lagi juga menjadi dua kali ganda. Dua kuantiti berubah pada kadar yang sama. (Tambahan, tiada dalam buku: buku teks mengajar kadaran melalui contoh dan tidak memberi takrif.)

Faris menjumpai resipi untuk satu adunan kek batik (buku teks, ms. 241): 600 g biskut manis, 200 g mentega, 1 cawan coklat masakan, 1 cawan susu pekat, ¹⁄₂ cawan serbuk koko, ¹⁄₂ cawan air masak, 2 biji telur dan esen vanila.

Contoh (a): dua kek batik

1 cawan coklat masakan → 200 g mentega
2 cawan coklat masakan → 2 × 200 g = 400 g mentega.

Berapakah jisim biskut manis yang diperlukan apabila menggunakan 300 g mentega?

Garis nombor berganda: 200 g mentega untuk 600 g biskut manis, 100 g mentega untuk 300 g biskut manis, 300 g mentega untuk 900 g biskut manis — Bahagi 2 untuk mencari 100 g, kemudian jumlahkan 200 g dan 100 g.

Contoh (b): mentega 300 g

Langkah 1. 200 g mentega untuk 600 g biskut manis.
Langkah 2. Bahagi 2: 100 g mentega untuk 300 g biskut manis.
Langkah 3. 300 g mentega = 200 g + 100 g, jadi 600 g + 300 g = 900 g biskut manis.

Harga dan jisim

Contoh: kacang hijau RM8.50 untuk 1 kg. Harga 2 kg 400 g?

Langkah 1. 2 kg: 2 × RM8.50 = RM17.00.
Langkah 2. 1 000 g: RM8.50. 100 g: RM8.50 ÷ 10 = RM0.85. 400 g: 4 × RM0.85 = RM3.40.
Langkah 3. Jumlahkan: RM17.00 + RM3.40 = RM20.40.

Contoh: adakah RM30 mencukupi untuk membeli 4 kg barli (RM7.30 untuk 1 kg)?

Cara 1. RM7.30 + RM7.30 + RM7.30 + RM7.30 = RM29.20.
Cara 2. 2 × RM7.30 = RM14.60 untuk 2 kg. 2 × RM14.60 = RM29.20 untuk 4 kg.
Ya, RM30 mencukupi untuk membeli 4 kg barli.

Cuba ini (ms. 242): harga bagi 3 kg 500 g barli. 3 kg: 3 × RM7.30 = RM21.90. 500 g: RM7.30 ÷ 2 = RM3.65. Jumlah = RM25.55. (Jawapan kami: buku tidak memberi kunci jawapan bagi soalan ini.)

Tukar unit sebelum mendarab. 400 g bukan 4 kg. 1 kg = 1 000 g, jadi 100 g ialah satu persepuluh kilogram.

1 kg gula pasir berharga RM2.85. Nyatakan harga bagi 2 kg gula pasir. Berapakah jisim gula pasir yang dapat dibeli dengan RM8.55?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

2 × RM2.85 = RM5.70. RM8.55 ÷ RM2.85 = 3 kg.

7.4Selesaikan masalah

Buku teks menggunakan empat langkah: fahami soalan, fikir cara, selesaikan dan semak. Lukis satah Cartes, jadual atau palang bagi setiap kuantiti.

Koordinat: tempat Resma bertugas (ms. 244)

Jessica bertugas di pintu masuk A (1, 0). Jarak Resma bertugas dari Jessica ialah 4 unit mengufuk dan 3 unit mencancang.
Fikir cara: pada satah Cartes, tandakan 4 unit mengufuk dan 3 unit mencancang dari pintu masuk A.
Jarak mengufuk: 1 + 4 = 5. Jarak mencancang: 0 + 3 = 3. Resma bertugas di (5, 3).
Semak: 5 unit − 1 unit = 4 unit dan 3 unit − 0 unit = 3 unit. Betul.

Nisbah: bungkusan R dan bungkusan T (ms. 245)

Pada asalnya, jisim bungkusan R ialah 1 kg dan jisim bungkusan T ialah 4 kg. Herma memasukkan sebiji tembikai susu berjisim 2 kg ke dalam bungkusan R.

Bungkusan	R	T
Jisim asal	1 kg	4 kg
Jisim tembikai susu yang dimasukkan	2 kg	tiada
Jisim terkini	1 + 2 = 3 kg	4 kg

Bungkusan R: 1 kg dan 2 kg, jumlah 3 kg. Bungkusan T: 4 kg

Jumlah jisim terkini bungkusan R dan T ialah 3 + 4 = 7 kg.
Nisbah jisim terkini bungkusan R kepada jumlah jisim bungkusan R dan T = 3 : 7.
Nisbah jumlah jisim bungkusan R dan T kepada jisim bungkusan T = 7 : 4 (soalan di hujung ms. 245).

Kaedah unitari: petrol (ms. 246)

Encik Lau memandu 36 km dengan 3 ℓ petrol untuk perjalanan sehala. Berapakah jarak, dalam km, yang dilalui dengan 40 ℓ petrol?

3 liter petrol untuk 36 km, 1 liter untuk 12 km, 40 liter untuk 480 km

Diberi: 3 ℓ petrol → 36 km. Dicari: 40 ℓ petrol → ? km.
Langkah 1. Cari jarak bagi 1 ℓ petrol: 36 km ÷ 3 = 12 km.
Langkah 2. 40 × 12 km = 480 km.
Semak: 3 × 12 km = 36 km, sama dengan yang diberi.

Buku teks bertanya juga: berapakah hari Encik Lau boleh menggunakan 40 ℓ petrol untuk perjalanan ulang-alik? Jawapan kami (tiada dalam kunci buku): sehari, perjalanan pergi dan balik ialah 2 × 3 ℓ = 6 ℓ. 40 ℓ ÷ 6 ℓ = 6 baki 4, jadi petrol itu cukup untuk 6 hari penuh.

Dalam kaedah unitari, cari nilai bagi satu dahulu (bahagi), kemudian cari nilai yang dikehendaki (darab).

Apabila suatu kuantiti berubah, kemas kininya dahulu sebelum menulis nisbah. Bungkusan R asalnya 1 kg, tetapi selepas tembikai susu dimasukkan ia 3 kg. Nisbah menggunakan 3, bukan 1.

Sebuah mesin pencetak dapat mencetak 400 keping poster dalam masa 1 jam 20 minit. Berapakah masa, dalam minit, yang diperlukan untuk mencetak 700 keping poster yang sama?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

1 jam 20 minit = 80 minit. 400 keping dalam 80 minit, jadi 100 keping dalam 80 ÷ 4 = 20 minit. 700 keping = 7 × 20 = 140 minit. (Jawapan kami: buku tidak memberi kunci jawapan bagi soalan ini.)

Ringkasan

Dalam koordinat (x, y), x ialah jarak mengufuk dan y ialah jarak mencancang dari asalan.
Jarak di antara dua titik: cari beza jarak mengufuk, kemudian beza jarak mencancang.
Nisbah a : b membandingkan dua kuantiti yang sama jenis. Tertib penting.
Nisbah suatu bahagian kepada jumlah: jumlahkan semua bahagian dahulu.
Gunakan unit yang sama sebelum menyatakan nisbah (2 000 mℓ dan 1 ℓ menjadi 2 ℓ : 1 ℓ = 2 : 1).
Kadaran: cari nilai bagi 1 unit dengan membahagi, kemudian darab; atau gandakan dan jumlahkan.
Selesaikan masalah dalam empat langkah: fahami soalan, fikir cara, selesaikan, semak.