Matematik notesnota, bab 2

Faktor dan Gandaan

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), pageshalaman 30-45

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menentukan dan menyenaraikan faktor bagi nombor bulat, dan membuat generalisasi tentang faktor (2.1.1)
Saya boleh menentukan dan menyenaraikan faktor perdana bagi nombor bulat, dan mengungkapkan nombor itu dalam bentuk pemfaktoran perdana (2.1.2)
Saya boleh menerang dan menentukan faktor sepunya bagi nombor bulat (2.1.3)
Saya boleh menentukan FSTB bagi dua dan tiga nombor bulat dengan menyenaraikan faktor sepunya, pembahagian berulang dan pemfaktoran perdana (2.1.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan FSTB (2.1.5)
Saya boleh menerang dan menentukan gandaan sepunya bagi nombor bulat (2.2.1)
Saya boleh menentukan GSTK bagi dua dan tiga nombor bulat dengan menyenaraikan gandaan, pembahagian berulang dan pemfaktoran perdana (2.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan GSTK (2.2.3)

2.1Faktor, faktor perdana dan faktor sepunya terbesar (FSTB)

Apakah faktor?

Faktor bagi suatu nombor ialah nombor bulat yang boleh membahagi nombor itu dengan tepat (tiada baki).

12 ÷ 1 = 12, 12 ÷ 2 = 6, 12 ÷ 3 = 4, 12 ÷ 4 = 3, 12 ÷ 6 = 2 dan 12 ÷ 12 = 1. Maka, 12 boleh dibahagi tepat dengan 1, 2, 3, 4, 6 dan 12, iaitu faktor bagi 12. Jika 12 keping disusun dalam baris yang sama banyak, setiap susunan memberi satu pasangan faktor.

12 keping disusun sebagai 1 baris 12, 2 baris 6 dan 3 baris 4 — Setiap susunan 12 keping memberi satu pasangan faktor

Contoh 1: faktor atau bukan? (buku teks m.s. 32)

Tentukan sama ada (a) 12 ialah faktor bagi 36, (b) 9 ialah faktor bagi 30.

(a) 36 ÷ 12 = 3. Maka, 12 ialah faktor bagi 36.
(b) 30 ÷ 9 = 3 baki 3, iaitu 30 tidak boleh dibahagi tepat dengan 9. Maka, 9 bukan faktor bagi 30.

Contoh 2: senaraikan semua faktor bagi 18 (buku teks m.s. 32)

Tulis 18 sebagai hasil darab dua nombor, bermula dengan 1: 18 = 1 × 18, 18 = 2 × 9, 18 = 3 × 6.
4 dan 5 tidak membahagi 18 dengan tepat. Nombor seterusnya, 6, sudah ada dalam senarai, jadi berhenti.

Faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18.

Generalisasi tentang faktor: 1 ialah faktor bagi semua nombor, dan setiap nombor ialah faktor bagi dirinya sendiri. Tulis dalam pasangan (1 × 18, 2 × 9 ...) supaya tiada faktor tertinggal.

(a) Senaraikan semua faktor bagi 32. (b) Adakah 14 faktor bagi 56? Adakah 18 faktor bagi 98?

Lihat jawapanSembunyi jawapan

(a) 32 = 1 × 32 = 2 × 16 = 4 × 8, maka faktor bagi 32 ialah 1, 2, 4, 8, 16, 32.
(b) 56 ÷ 14 = 4, maka ya. 98 ÷ 18 = 5 baki 8, maka bukan.

Apakah faktor perdana?

Nombor perdana ialah nombor yang mempunyai tepat dua faktor, iaitu 1 dan nombor itu sendiri. Faktor perdana bagi suatu nombor ialah faktor nombor itu yang juga nombor perdana. Contohnya, faktor bagi 18 ialah 1, 2, 3, 6, 9, 18; antaranya 2 dan 3 ialah nombor perdana, maka 2 dan 3 ialah faktor perdana bagi 18.

Nombor 1 hingga 50 dengan nombor perdana 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 dibulatkan — Nombor perdana hingga 50 (Kaedah Saringan Eratosthenes)

1 bukan nombor perdana kerana hanya mempunyai satu faktor. 2 ialah satu-satunya nombor perdana yang genap. Nombor ganjil tidak semestinya perdana (9, 15, 21 dan 27 bukan nombor perdana).

Contoh 3: faktor perdana atau bukan? (buku teks m.s. 33)

Tentukan sama ada (a) 2, (b) 3, (c) 5 ialah faktor perdana bagi 84.

(a) 84 ÷ 2 = 42 dan 2 ialah nombor perdana. Maka, 2 ialah faktor perdana bagi 84.
(b) 84 ÷ 3 = 28 dan 3 ialah nombor perdana. Maka, 3 ialah faktor perdana bagi 84.
(c) 84 ÷ 5 = 16 baki 4. 84 tidak boleh dibahagi tepat dengan 5. Maka, 5 bukan faktor perdana bagi 84.

Contoh 4: senaraikan semua faktor perdana bagi 72 (buku teks m.s. 34)

Senaraikan faktor bagi 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
Kenal pasti nombor perdana daripada senarai itu: 2 dan 3.

Faktor perdana bagi 72 ialah 2 dan 3.

Pemfaktoran perdana

Pemfaktoran perdana ialah menulis suatu nombor sebagai hasil darab faktor perdananya. Contohnya, 18 = 2 × 3 × 3. Ada dua kaedah: pembahagian berulang dengan nombor perdana dan pokok faktor.

Contoh 5: ungkapkan 60 dalam bentuk pemfaktoran perdana (buku teks m.s. 34)

Kaedah pembahagian berulang: bahagi dengan nombor perdana terkecil dan teruskan sehingga hasil bahagi menjadi 1.

60 dibahagi 2 ialah 30, dibahagi 2 ialah 15, dibahagi 3 ialah 5, dibahagi 5 ialah 1

Kaedah pokok faktor: tulis 60 sebagai hasil darab dua faktor secara berturutan sehingga semua faktor di aras bawah ialah faktor perdana. Dua pokok yang berlainan memberi jawapan yang sama.

Dua pokok faktor bagi 60: 60 = 4 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5, dan 60 = 2 × 30, 30 = 3 × 10, 10 = 2 × 5

Maka, 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Ungkapkan (a) 96 dan (b) 120 dalam bentuk pemfaktoran perdana.

Lihat jawapanSembunyi jawapan

(a) 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
(b) 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5

Faktor sepunya

Faktor sepunya bagi dua atau lebih nombor ialah nombor yang membahagi semua nombor itu dengan tepat. Contohnya, 1, 2, 3 dan 6 ialah faktor bagi 18 dan juga bagi 24, maka 1, 2, 3 dan 6 ialah faktor sepunya bagi 18 dan 24.

Gambar rajah Venn. Faktor bagi 18 sahaja: 9, 18. Kedua-duanya: 1, 2, 3, 6. Faktor bagi 24 sahaja: 4, 8, 12, 24. — Bahagian bertindih ialah faktor sepunya bagi 18 dan 24: 1, 2, 3 dan 6

Contoh 6: faktor sepunya atau bukan? (buku teks m.s. 35)

(a) 24 ÷ 6 = 4 dan 36 ÷ 6 = 6. Maka, 6 ialah faktor sepunya bagi 24 dan 36.
(b) 30 ÷ 4 = 7 baki 2. Maka, 4 bukan faktor sepunya bagi 30, 40 dan 60.
(c) 16 ÷ 8 = 2, 32 ÷ 8 = 4, 48 ÷ 8 = 6, 72 ÷ 8 = 9. Maka, 8 ialah faktor sepunya bagi 16, 32, 48 dan 72.

Contoh 7: faktor sepunya bagi 20, 44, 56 dan 64 (buku teks m.s. 35)

Nombor	Faktor
20	1, 2, 4, 5, 10, 20
44	1, 2, 4, 11, 22, 44
56	1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56
64	1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

Faktor sepunya ialah 1, 2 dan 4. (1 ialah faktor sepunya bagi semua nombor.)

Faktor sepunya terbesar (FSTB)

Faktor sepunya terbesar (FSTB) ialah faktor sepunya yang paling besar. Dalam bahasa Inggeris dipanggil highest common factor (HCF).

Faktor sepunya bagi 20, 44, 56 dan 64 ialah 1, 2 dan 4, maka FSTB ialah 4. Ada tiga kaedah.

Contoh 8: tiga kaedah menentukan FSTB (buku teks m.s. 36)

(a) Kaedah menyenaraikan faktor sepunya: FSTB bagi 18 dan 24.
Faktor bagi 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Faktor bagi 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Faktor sepunya: 1, 2, 3, 6. FSTB = 6.

(b) Kaedah pembahagian berulang: FSTB bagi 36, 60 dan 72. Bahagikan nombor yang diberi dengan faktor sepunya secara berturutan. Kemudian darabkan semua pembahagi.

2 ke dalam 36, 60, 72 memberi 18, 30, 36; 2 memberi 9, 15, 18; 3 memberi 3, 5, 6. FSTB = 2 × 2 × 3 = 12

(c) Kaedah pemfaktoran perdana: FSTB bagi 48, 64 dan 80.

48	= 2 × 2 × 2 × 2 × 3
64	= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
80	= 2 × 2 × 2 × 2 × 5

Darabkan faktor perdana sepunya bagi ketiga-tiga nombor: FSTB = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.

Dalam pembahagian berulang untuk FSTB, darabkan hanya pembahagi di sebelah kiri. Jangan darabkan nombor yang tinggal di bawah (3, 5, 6); itu akan memberi nombor yang jauh lebih besar.

Cari FSTB bagi (a) 30 dan 72, (b) 27, 45 dan 60.

Lihat jawapanSembunyi jawapan

(a) 30 = 2 × 3 × 5, 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3. FSTB = 2 × 3 = 6
(b) 27 = 3 × 3 × 3, 45 = 3 × 3 × 5, 60 = 2 × 2 × 3 × 5. FSTB = 3

Menyelesaikan masalah yang melibatkan FSTB

Cari frasa seperti bilangan bungkusan / kotak / pinggan yang paling banyak atau saiz terbesar apabila barang dibahagikan sama rata atau dipotong tanpa baki. Soalan begini memerlukan FSTB. Ikut empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi, membuat refleksi.

Contoh (buku teks m.s. 37): kerja amal Pasukan Pengakap

252 helai baju, 180 helai seluar dan 108 pasang stoking dibahagikan sama rata dalam setiap bungkusan. Berapakah bilangan bungkusan yang paling banyak?

Memahami masalah: setiap bungkusan mendapat bilangan yang sama bagi setiap barang; cari bungkusan terbanyak.
Merancang strategi: cari FSTB bagi 252, 180 dan 108.
Melaksanakan strategi: 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7, 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5, 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3. FSTB = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 bungkusan.
Membuat refleksi: 252 ÷ 36 = 7 baju, 180 ÷ 36 = 5 seluar, 108 ÷ 36 = 3 pasang stoking dalam setiap bungkusan.

Masalah (Mahir Diri 2.1 no. 5, buku teks m.s. 38): memotong kertas

Anita memotong sehelai kertas 260 cm panjang dan 20 cm lebar kepada kepingan segi empat sama yang sama saiz tanpa baki. Apakah ukuran kepingan yang terbesar?

Sisi segi empat sama mesti membahagi 260 dan 20 dengan tepat.
FSTB bagi 260 dan 20 = 20. Maka, kepingan itu berukuran 20 cm × 20 cm.
Semak: 260 ÷ 20 = 13 kepingan dalam satu baris.

Jalur 260 cm kali 20 cm dibahagi garis putus-putus kepada 13 segi empat sama 20 cm

Pasukan Kadet Polis menerima 60 kampit beras, 78 botol minyak masak dan 90 botol air mineral. Semuanya dibahagikan sama rata dalam kotak. Berapakah bilangan kotak yang paling banyak?

Lihat jawapanSembunyi jawapan

60 = 2 × 2 × 3 × 5, 78 = 2 × 3 × 13, 90 = 2 × 3 × 3 × 5
FSTB = 2 × 3 = 6, maka 6 kotak (setiap kotak: 10 kampit beras, 13 botol minyak, 15 botol air mineral).

2.2Gandaan, gandaan sepunya dan gandaan sepunya terkecil (GSTK)

Gandaan dan gandaan sepunya

Gandaan bagi suatu nombor diperoleh dengan mendarab nombor itu dengan 1, 2, 3, ... Contohnya, 9 × 1 = 9, 9 × 2 = 18, 9 × 3 = 27, maka 9, 18, 27, ... ialah gandaan bagi 9. Gandaan sepunya bagi dua atau lebih nombor ialah nombor yang menjadi gandaan bagi semua nombor itu, iaitu boleh dibahagi tepat dengan semuanya.

Lima gandaan pertama bagi 6 ialah 6, 12, 18, 24, 30; bagi 8 ialah 8, 16, 24, 32, 40. Nombor 24 ada dalam kedua-dua senarai, maka 24 ialah gandaan sepunya bagi 6 dan 8.

Garis nombor 0 hingga 50. Lompatan 6 mendarat pada 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48. Lompatan 8 mendarat pada 8, 16, 24, 32, 40, 48. 24 dan 48 dibulatkan. — Lompatan 6 dan lompatan 8 mula-mula mendarat bersama pada 24

Contoh 9: gandaan sepunya atau bukan? (buku teks m.s. 38 dan 39)

(a) 32 ÷ 2 = 16 dan 32 ÷ 8 = 4. Maka, 32 ialah gandaan sepunya bagi 2 dan 8.
(b) 60 ÷ 5 = 12, 60 ÷ 15 = 4, tetapi 60 ÷ 24 = 2 baki 12. Maka, 60 bukan gandaan sepunya bagi 5, 15 dan 24.
(c) 72 ÷ 8 = 9, 72 ÷ 9 = 8, 72 ÷ 18 = 4, 72 ÷ 24 = 3. Maka, 72 ialah gandaan sepunya bagi 8, 9, 18 dan 24.

Aktiviti Penerokaan 4: gandaan sepunya pertama bagi 3 dan 5 ialah 15, dan gandaan sepunya yang lain (30, 45, ...) ialah gandaan bagi 15. Gandaan sepunya yang lain ialah gandaan bagi gandaan sepunya yang pertama.

Contoh 10: lima gandaan sepunya pertama bagi 2, 3 dan 4 (buku teks m.s. 40)

Gandaan 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
Gandaan 3: 3, 6, 9, 12, 15, ...
Gandaan 4: 4, 8, 12, 16, ...

Gandaan sepunya pertama ialah 12. Maka, lima gandaan sepunya pertama ialah 12, 24, 36, 48 dan 60.

Gandaan sepunya terkecil (GSTK)

Gandaan sepunya terkecil (GSTK) ialah gandaan sepunya yang paling kecil. Dalam bahasa Inggeris dipanggil lowest common multiple (LCM). Gandaan sepunya bagi 6 dan 8 ialah 24, 48, 72, 96, ... dan yang terkecil ialah 24.

Contoh 11: tiga kaedah menentukan GSTK (buku teks m.s. 40 dan 41)

(a) Kaedah menyenaraikan gandaan sepunya: GSTK bagi 2 dan 3.
Gandaan 2: 2, 4, 6, 8, 10, ... Gandaan 3: 3, 6, 9, 12, ... GSTK = 6.

(b) Kaedah pembahagian berulang: GSTK bagi 3, 6 dan 9. Bahagikan dengan nombor perdana yang boleh membahagi sekurang-kurangnya satu nombor. Nombor yang tidak boleh dibahagi diturunkan. Teruskan sehingga semua hasil bahagi ialah 1, kemudian darabkan semua pembahagi.

2 ke dalam 3, 6, 9 memberi 3, 3, 9; 3 memberi 1, 1, 3; 3 memberi 1, 1, 1. GSTK = 2 × 3 × 3 = 18

(c) Kaedah pemfaktoran perdana: GSTK bagi 3, 8 dan 12.

3	= 3
8	= 2 × 2 × 2
12	= 2 × 2 × 3

Ambil setiap faktor perdana dengan bilangan kali paling banyak dalam satu nombor: 2 × 2 × 2 × 3 = 24.

Kaedah alternatif (3, 8, 12): ambil nombor terbesar, 12; senaraikan gandaannya 12, 24, 36, ...; pilih yang terkecil yang boleh dibahagi tepat dengan 3 dan 8. 24 ÷ 3 = 8 dan 24 ÷ 8 = 3, maka GSTK = 24.

Dalam pembahagian berulang untuk GSTK, teruskan sehingga semua hasil bahagi ialah 1. Jika berhenti apabila tiada pembahagi sepunya, anda mendapat FSTB, bukan GSTK. GSTK tidak boleh lebih kecil daripada nombor terbesar yang diberi.

Cari GSTK bagi (a) 10 dan 15, (b) 9, 12 dan 21.

Lihat jawapanSembunyi jawapan

(a) 10 = 2 × 5, 15 = 3 × 5. GSTK = 2 × 3 × 5 = 30
(b) 9 = 3 × 3, 12 = 2 × 2 × 3, 21 = 3 × 7. GSTK = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 252

Menyelesaikan masalah yang melibatkan GSTK

Cari frasa seperti bilangan yang paling kurang, selepas berapa lama berlaku serentak sekali lagi atau panjang terpendek. Soalan begini memerlukan GSTK.

Contoh (buku teks m.s. 41 dan 42): tin minuman kopi dan teh

Minuman kopi dijual dalam 6 tin sekotak dan minuman teh dalam 9 tin sekotak. Ainun mahu bilangan tin kopi dan teh yang sama. Berapakah bilangan kotak yang paling kurang bagi setiap jenis?

Memahami masalah: bilangan tin kopi sama dengan bilangan tin teh dan paling kurang.
Merancang strategi: cari GSTK bagi 6 dan 9, kemudian guna pembahagian.
Melaksanakan strategi: gandaan 6: 6, 12, 18, ...; gandaan 9: 9, 18, ... GSTK = 18. Kotak kopi = 18 ÷ 6 = 3; kotak teh = 18 ÷ 9 = 2.
Membuat refleksi: 3 × 6 = 18 tin kopi dan 2 × 9 = 18 tin teh.

(a) Sebuah lampu neon mengelip setiap 9 saat dan lampu neon lain setiap 12 saat. Kedua-duanya mengelip serentak ketika suis dihidupkan. Selepas berapa saat kedua-duanya mengelip serentak sekali lagi?
(b) Nurul, Hui Ling dan Gopal memotong reben yang sama panjang kepada keratan 15 cm, 25 cm dan 30 cm tanpa baki. Berapakah panjang reben terpendek yang diberi kepada mereka?

Lihat jawapanSembunyi jawapan

(a) GSTK bagi 9 dan 12 = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 saat
(b) 15 = 3 × 5, 25 = 5 × 5, 30 = 2 × 3 × 5. GSTK = 2 × 3 × 5 × 5 = 150 cm

Rumusan

Ingat	Faktor	Gandaan
Contoh	Faktor bagi 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Faktor bagi 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18	Gandaan bagi 6: 6, 12, 18, 24, 30, ... Gandaan bagi 8: 8, 16, 24, 32, 40, ...
Sepunya	Faktor sepunya bagi 12 dan 18: 1, 2, 3, 6	Gandaan sepunya bagi 6 dan 8: 24, 48, 72, 96, ...
Terbesar / terkecil	FSTB bagi 12 dan 18 = 6	GSTK bagi 6 dan 8 = 24
Pemfaktoran perdana	FSTB = faktor perdana sepunya bagi semua nombor	GSTK = setiap faktor perdana, bilangan kali paling banyak dalam satu nombor
Masalah	Bahagi sama rata / saiz terbesar	Berlaku serentak semula / bilangan paling kurang

Kandungan, contoh dan rajah dilukis semula berdasarkan buku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), Bab 2, m.s. 30 hingga 45.