Matematik notesnota, bab 5

Ungkapan Algebra

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), pageshalaman 104–121

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menggunakan huruf untuk mewakili kuantiti yang tidak diketahui nilainya, dan menyatakan sama ada pemboleh ubah itu mempunyai nilai yang tetap atau nilai yang berubah dengan memberi justifikasi (5.1.1)
Saya boleh menerbitkan ungkapan algebra berdasarkan ungkapan aritmetik yang mewakili suatu situasi (5.1.2)
Saya boleh menentukan nilai ungkapan algebra apabila nilai pemboleh ubah diberi dan membuat perkaitan dengan situasi yang sesuai (5.1.3)
Saya boleh mengenal pasti sebutan dalam suatu ungkapan algebra dan menyatakan pekali yang mungkin bagi sebutan algebra (5.1.4)
Saya boleh mengenal pasti sebutan serupa dan sebutan tidak serupa (5.1.5)
Saya boleh menambah dan menolak dua atau lebih ungkapan algebra dengan mengumpulkan sebutan serupa (5.2.1)
Saya boleh membuat generalisasi tentang pendaraban berulang ungkapan algebra, misalnya a × a × a = a³ dan (a + b) × (a + b) = (a + b)² (5.2.2)
Saya boleh mendarab dan membahagi ungkapan algebra yang mengandungi satu sebutan (5.2.3)

Sempena cuti sekolah, sebuah syarikat pelancongan menawarkan pakej percutian tiga hari dua malam ke Pulau Pangkor: RM380 seorang dewasa dan RM280 seorang kanak-kanak. Berapakah kos untuk sebuah keluarga? Jawapannya bergantung pada bilangan orang dewasa dan bilangan kanak-kanak. Jika a ialah bilangan orang dewasa dan c ialah bilangan kanak-kanak, jumlah kos ialah RM(380a + 280c). Itulah satu ungkapan algebra. Dalam bab ini anda akan menggunakan huruf untuk mewakili nilai yang tidak diketahui, menulis dan memudahkan ungkapan, dan mencari nilainya.

Perkataan "algebra" diterbitkan daripada perkataan Arab "al-jabr", daripada buku al-jabr wa'l Muqabalah yang ditulis oleh ahli matematik Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi. Beliau digelar Bapa Algebra (buku teks m.s. 105).

Istilah (Jaringan Kata)	Bahasa Inggeris
huruf	letter
pemboleh ubah	variable
ungkapan algebra	algebraic expression
sebutan, sebutan algebra	term, algebraic term
pekali	coefficient
sebutan serupa, sebutan tidak serupa	like terms, unlike terms

5.1Pemboleh ubah dan ungkapan algebra

Pemboleh ubah: nilai tetap atau nilai berubah?

Encik Lim menderma RM50 kepada Yayasan Kebajikan Negara (YKN) setiap bulan, maka jumlahnya diketahui. Encik Azlan menderma jumlah yang sama setiap bulan, tetapi kita tidak diberitahu berapa. Puan Kavitha pula menderma mengikut keuntungan kedainya pada setiap bulan. Jumlah derma Encik Azlan dan Puan Kavitha ialah kuantiti yang tidak diketahui nilainya.

Pemboleh ubah ialah kuantiti yang tidak diketahui nilainya. Kita menggunakan huruf untuk mewakilinya, misalnya RMx bagi derma Encik Azlan dan RMy bagi derma Puan Kavitha.

Jenis	Maksud	Contoh
Nilai tetap	Nilai yang diwakili sentiasa tetap pada sebarang masa.	x, derma Encik Azlan (sama setiap bulan)
Nilai berubah	Kuantiti yang diwakili berubah mengikut masa.	y, derma Puan Kavitha (bergantung pada keuntungan)

Contoh 1 (buku teks m.s. 106)

Kadar faedah setahun untuk simpanan tetap yang ditawarkan oleh sebuah bank. k mewakili kadar faedah itu. k mempunyai nilai yang tetap kerana kadar faedah tidak berubah dalam tempoh satu tahun.
Masa perjalanan Faizal dari rumah ke sekolah pada setiap hari. t mewakili masa itu. t mempunyai nilai yang berubah kerana masa perjalanan berubah pada setiap hari.

Jawapan yang lengkap mempunyai tiga bahagian: huruf yang dipilih, "nilai tetap" atau "nilai berubah", dan justifikasi yang bermula dengan "kerana ...".

Wakilkan setiap pemboleh ubah dengan satu huruf dan nyatakan sama ada nilainya tetap atau berubah. a) Jisim badan setiap murid di dalam kelas anda. b) Jarak di antara rumah Arman dengan sekolahnya. c) Suhu di puncak Gunung Kinabalu dalam sehari.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) m: nilai berubah, kerana jisim badan setiap murid berbeza.
b) h: nilai tetap, kerana jarak antara rumah dengan sekolah sama setiap perjalanan.
c) c: nilai berubah, kerana suhu di puncak sentiasa berubah dalam sehari.
(Huruf lain yang sesuai juga diterima.)

Menerbitkan ungkapan algebra

Sebuah beg mengandungi x blok kayu, iaitu bilangan yang tidak diketahui. Setiap perubahan pada situasi itu mengubah ungkapan bagi jumlah blok kayu.

Enam gambar: beg berisi x blok memberi x; 3 blok dimasukkan memberi x + 3; 4 blok dikeluarkan memberi x − 4; dibahagi kepada 2 murid memberi x per 2; dua beg x memberi 2x; dua beg x, satu beg y dan 2 blok memberi 2x + y + 2 — Setiap situasi menghasilkan satu ungkapan algebra (buku teks m.s. 107–108)

Ungkapan algebra terdiri daripada nombor dan pemboleh ubah yang dihubungkan dengan operasi, misalnya x + 3, x − 4, x2, 2x, 2x + y + 2 dan 2xp.

Dalam perkataan	Ungkapan
3 lebih daripada x	x + 3
tolak 7 daripada x	x − 7
4 kali x / dua kali y	4x / 2y
hasil tambah y dan z dibahagi dengan 9	y + z9
m kg ikan dengan harga RMp sekilogram	RMmp

Tulis 2 × x sebagai 2x (nombor dahulu, tanpa tanda ×) dan x × y × p sebagai xyp. Tulis 1x sebagai x sahaja.

"Tolak 7 daripada x" bermaksud x − 7, bukan 7 − x. Nombor yang anda mula dengan ditulis dahulu.

Contoh 2 (buku teks m.s. 108)

Yusri membeli 5 biji epal dengan harga x sen sebiji dan 8 biji oren dengan harga y sen sebiji. Tulis satu ungkapan algebra bagi jumlah wang yang dibayarnya.

Jumlah harga epal = 5 × x = 5x
Jumlah harga oren = 8 × y = 8y
Jumlah bayaran = 5x + 8y sen

Ungkapan bagi luas (Mahir Diri 5.1 no. 3, buku teks m.s. 112)

Sebuah taman berbentuk segi empat tepat berukuran y m panjang dan x m lebar. Kawasan berlorek berbentuk segi empat sama bersisi 15 m ditanam pokok bunga. Kawasan selebihnya ditutupi batu bata.

Taman segi empat tepat y m panjang dan x m lebar dengan segi empat sama bersisi 15 m di satu sudut untuk pokok bunga; selebihnya batu bata

Luas taman = x × y = xy m²
Luas kawasan pokok bunga = 15 × 15 = 225 m²
Luas kawasan batu bata = (xy − 225) m²

Tulis satu ungkapan algebra bagi: a) jumlah orang bagi x buah khemah jika setiap khemah memuatkan 4 orang; b) hasil tambah y dan z dibahagi dengan 9; c) umur Nazmi ialah h tahun, umur Jagjit ialah k tahun dan umur Izhar dua kali umur Jagjit. Berapakah beza umur antara Nazmi dengan Izhar?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 4x
b) y + z9
c) Umur Izhar = 2k tahun, maka beza umur ialah (h − 2k) tahun (Nazmi lebih tua; jika Izhar lebih tua, bezanya ialah (2k − h) tahun).

Menentukan nilai ungkapan algebra

Untuk mencari nilai suatu ungkapan, gantikan setiap pemboleh ubah dengan nilai yang diberi, kemudian hitung. Letakkan setiap nilai dalam kurungan.

Contoh 3 (buku teks m.s. 109)

Diberi x = 3 dan y = 2, cari nilai bagi 8x − 5y + 7.

8x − 5y + 7 = 8(3) − 5(2) + 7
= 24 − 10 + 7
= 21

Contoh 4 (buku teks m.s. 109)

Dalam sebuah kelas, 13 daripada murid lelaki ialah ahli Kadet Remaja Sekolah manakala 9 orang murid perempuan bukan ahli.

Katakan bilangan murid lelaki = x dan bilangan murid perempuan = y. Jumlah ahli = 13x + y − 9
Apabila x = 12 dan y = 16: 13(12) + 16 − 9 = 4 + 16 − 9 = 11 orang

Jika nilai ialah negatif, kekalkan kurungan. Jika r = −4, maka −4r = −4(−4) = +16, bukan −16.

Kalkulator saintifik boleh digunakan (ruangan "Celik" buku teks): taip ungkapan dengan ALPHA X dan ALPHA Y, tekan CALC, kemudian masukkan nilai x dan y dengan =.

Diberi p = 5, q = 2 dan r = −4, cari nilai bagi: a) 2p + q b) 3q − 4r + 8 c) 5(p − r) d) r2 + 7q − 3

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 2(5) + 2 = 12
b) 3(2) − 4(−4) + 8 = 6 + 16 + 8 = 30
c) 5(5 − (−4)) = 5(9) = 45
d) −42 + 7(2) − 3 = −2 + 14 − 3 = 9

Sebutan dan pekali

Dalam ungkapan 2x + 3xy, 2x ialah hasil darab nombor 2 dengan pemboleh ubah x, dan 3xy ialah hasil darab nombor 3 dengan pemboleh ubah x dan y. 2x dan 3xy dinamakan sebutan algebra. Sebutan dipisahkan oleh tanda + dan −. Nombor sahaja, seperti 13, juga satu sebutan.

Contoh 5: kenal pasti sebutan (buku teks m.s. 110)

Ungkapan	Sebutan	Bilangan sebutan
x + 5x	x, 5x	2
x8 − 7y	x8, 7y	2
pq − 2q + 13	pq, 2q, 13	3
m² − 2m + n − 6	m², 2m, n, 6	4

Suatu sebutan algebra boleh ditulis sebagai hasil darab pemboleh ubah dan faktornya. Faktor itu ialah pekali bagi pemboleh ubah tersebut.

3xy ditulis sebagai	Pekali	bagi pemboleh ubah
3x × y	3x	y
3y × x	3y	x
3 × xy	3	xy

Contoh 6 (buku teks m.s. 111)

Dalam sebutan −3k²mn, nyatakan pekali bagi a) k²mn b) −mn c) 3k²

−3k²mn = −3 × k²mn, maka pekali bagi k²mn ialah −3.
−3k²mn = 3k² × (−mn), maka pekali bagi −mn ialah 3k².
−3k²mn = −mn × 3k², maka pekali bagi 3k² ialah −mn.

Tanda negatif ialah sebahagian daripada pekali. Dalam ungkapan algebra, nombor juga merupakan satu sebutan.

Dalam sebutan −8xy², nyatakan pekali bagi a) xy² b) 8x c) y² d) −x

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) −8 b) −y² c) −8x d) 8y²

Sebutan serupa dan sebutan tidak serupa

Sebutan serupa mempunyai pemboleh ubah yang sama dengan kuasa yang sama, misalnya −2m dan 37m, 6ab dan 7ba, atau 5k² dan −k² (rajah (a), m.s. 111). Sebutan tidak serupa tidak mempunyai pemboleh ubah yang sama dengan kuasa yang sama, misalnya 2v dan 2w, 5xy dan −yz, atau 9x² dan 8x (rajah (b)).

Contoh 7 (buku teks m.s. 111–112)

Pasangan	Jenis	Sebab
4xy, xy2	Serupa	Pemboleh ubah xy yang sama
12pq, 12pr	Tidak serupa	Pemboleh ubah pq dan pr berbeza
3abc, 0.5bca	Serupa	abc sama dengan bca
−7h, 6h²	Tidak serupa	Kuasa bagi h tidak sama

Nombor pekali tidak perlu sama. 5k dan −0.1k ialah sebutan serupa. Tetapi 2x dan 2x² tidak serupa walaupun nombornya sama.

Sebutan serupa atau tidak serupa? a) 5k, −0.1k b) 4y, y² c) 4srt, 11rts d) 3ab2, −8bc

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) serupa b) tidak serupa c) serupa d) tidak serupa

5.2Ungkapan algebra yang melibatkan operasi asas aritmetik

Menambah dan menolak ungkapan algebra

Kumpulkan sebutan serupa dahulu, kemudian tambah atau tolak sebutan serupa itu.

Tanda kurung. Apabila ada tanda "+" di depan kurungan, tanda setiap sebutan dalam kurungan tidak berubah. Apabila ada tanda "−" di depan kurungan, tanda setiap sebutan berubah: "+" kepada "−" dan "−" kepada "+". Contoh: −(a + b) = −a − b; −(a − b) = −a + b.

Contoh 8 (buku teks m.s. 113)

Permudahkan (a) (3x + 5y) + (8x − y − 9) dan (b) (12mn − 4p) + (6 + 7p) − (10mn + p − 2).

(3x + 5y) + (8x − y − 9) = 3x + 5y + 8x − y − 9 = 3x + 8x + 5y − y − 9 = 11x + 4y − 9
12mn − 4p + 6 + 7p − 10mn − p + 2 = (12mn − 10mn) + (−4p + 7p − p) + (6 + 2) = 2mn + 2p + 8

Apabila menyusun sebutan serupa, bawa tanda operasi di depan sebutan itu bersama-sama. Dalam (b), tanda − di depan 10mn pergi bersama 10mn.

Tiga utas tali (Mahir Diri 5.2 no. 2, buku teks m.s. 117)

Seutas tali dipotong kepada tiga bahagian. Rajah menunjukkan tiga bahagian itu disusun dari garis permulaan yang sama: bahagian pertama 2d cm, bahagian kedua (d + 2y) cm, dan bahagian ketiga yang lebih panjang daripada bahagian kedua sebanyak (3y − 2d) cm. Tulis ungkapan bagi panjang tali itu dalam sebutan d dan y.

Tiga bahagian tali dari kiri: 2d cm, (d + 2y) cm, dan bahagian ketiga iaitu (d + 2y) cm ditambah (3y − 2d) cm

Bahagian ketiga = (d + 2y) + (3y − 2d) = 5y − d
Panjang tali = 2d + (d + 2y) + (5y − d) = (2d + 7y) cm

Permudahkan a) (3x − 2y) + (5x + 9y) b) (6ab + 2bc + 10) − (ab + 3bc − 2) c) (4xy + 5k) − (−3k + 7) + (13xy − k)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 8x + 7y
b) 6ab + 2bc + 10 − ab − 3bc + 2 = 5ab − bc + 12
c) 4xy + 5k + 3k − 7 + 13xy − k = 17xy + 7k − 7

Pendaraban berulang ungkapan algebra

Aktiviti Penerokaan 1 (buku teks m.s. 114) meminta anda mencari luas segi empat sama bersisi 2 cm, a dan b, dan isi padu kubus bertepi 2 cm, a dan b, dalam bentuk pendaraban berulang: luas = 2 × 2 = 2² = 4 cm², a × a = a², isi padu = 2 × 2 × 2 = 2³ = 8 cm³, a × a × a = a³.

Segi empat sama bersisi a berluas a darab a; kubus bertepi a berisi padu a darab a darab a; segi empat sama bersisi a + b berluas (a + b) kuasa dua — Pendaraban berulang sebagai luas dan isi padu (berdasarkan Aktiviti Penerokaan 1, m.s. 114)

a × a = a², a × a × a = a³, a × a × ... × a (n kali) = aⁿ (kuasa n).
Begitu juga: (a + b) × (a + b) = (a + b)², dan (a + b) didarab n kali = (a + b)ⁿ (m.s. 115).

Contoh 9 dan 10 (buku teks m.s. 115)

a) m × m × m × m = m⁴ (didarab 4 kali)
b) (x + 7) × (x + 7) = (x + 7)²
c) (p − 3q) × (p − 3q) × (p − 3q) = (p − 3q)³
Songsang: (x + 4y)² = (x + 4y)(x + 4y) dan (9p − q)³ = (9p − q)(9p − q)(9p − q).

Kurungan penting. (2k − 3)³ ialah (2k − 3) didarab 3 kali. Ia berbeza daripada 3(2k − 3), iaitu (2k − 3) ditambah 3 kali.

a) Permudahkan pq × pq × pq. b) Tulis (5p + q)⁴ dalam bentuk pendaraban berulang.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) (pq)³ = p³q³
b) (5p + q)(5p + q)(5p + q)(5p + q)

Mendarab dan membahagi ungkapan satu sebutan

Untuk mendarab, kumpulkan pemboleh ubah yang sama, kemudian darab nombor dengan nombor dan pemboleh ubah dengan pemboleh ubah. Untuk membahagi, tulis dalam bentuk pecahan dan mansuhkan faktor sepunya.

Contoh 11: darab (buku teks m.s. 116)

Permudahkan 3ab² × 4a³b.

3 × a × b × b × 4 × a × a × a × b
= (3 × 4) × (a × a × a × a) × (b × b × b)
= 12a⁴b³

Contoh 12: bahagi (buku teks m.s. 116)

Permudahkan 20m⁴n² ÷ 5m²n³.

= 20m⁴n²5m²n³
20 ÷ 5 = 4; m⁴ ÷ m² = m²; n² ÷ n³ meninggalkan satu n di bawah
= 4m²n

Contoh 13: darab dan bahagi (buku teks m.s. 116)

Permudahkan 21xy × 6x ÷ 14y³z.

= 21xy × 6x14y³z = 126x²y14y³z
126 ÷ 14 = 9, dan y ÷ y³ meninggalkan y² di bawah
= 9x²y²z

Segi empat tepat (Mahir Diri 5.2 no. 8, buku teks m.s. 117)

Luas sebuah segi empat tepat ialah 12a³b² cm² dan lebarnya 3ab cm. Panjang = luas ÷ lebar = 12a³b²3ab = 4a²b cm. Semak: 3ab × 4a²b = 12a³b².

Semasa mendarab, nombor didarab dan kuasa bagi huruf yang sama ditambah. Jangan menambah nombor: 4m²n × 3mn³ = 12m³n⁴, bukan 7m³n⁴.

Permudahkan a) 3x × 5x³ b) −4mn × 7m² c) 8x⁶y⁴ ÷ 2xy³ d) 4ab³ ÷ 6a²b

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 15x⁴
b) −28m³n
c) 4x⁵y
d) 2b²3a

Soalan aras tinggi (Marilah Praktis)

Uji Diri Anda no. 1 (buku teks m.s. 119)

Diberi (3x² + 7y − 1) − (x² + 2y − 5) + (6x² − y) = ax² + by + c. Cari a, b dan c.

x²: 3 − 1 + 6 = 8
y: 7 − 2 − 1 = 4
nombor: −1 + 5 = 4
Maka a = 8, b = 4, c = 4

Cabar Diri Anda no. 7 (buku teks m.s. 119)

Suatu nombor n ditambah kepada 7, hasilnya ialah x. Jika nombor itu dibahagi dengan 2, hasilnya ialah y. Terangkan cara menentukan nilai x + y jika nilai n diketahui.

x = n + 7 dan y = n2
x + y = n + 7 + n2 = 32n + 7. Gantikan nilai n ke dalam ungkapan ini.

Aplikasi Sains no. 10 (buku teks m.s. 120)

Suhu dalam unit darjah Fahrenheit = 95T + 32, dengan T ialah suhu dalam °C. Cecair dipanaskan daripada 18 °C kepada 33 °C. Perubahan suhu dalam °F:

Pada 33 °C: 95(33) + 32 = 59.4 + 32 = 91.4 °F
Pada 18 °C: 95(18) + 32 = 32.4 + 32 = 64.4 °F
Perubahan = 91.4 − 64.4 = 27 °F

Aplikasi Perniagaan no. 8 (buku teks m.s. 119)

Kedai membeli 120 biji lampu filamen (RMp sebiji) dan 180 biji lampu LED (RMq sebiji). Semua lampu dijual dalam set promosi: 2 lampu filamen dan 3 lampu LED dengan harga RM(3h + 4k) setiap set.

Bilangan set = 120 ÷ 2 = 60 (juga 180 ÷ 3 = 60)
Jumlah jualan = 60(3h + 4k) = 180h + 240k
Kos = 120p + 180q
Keuntungan = RM60(3h + 4k − 2p − 3q)

Tugasan dan Eksplorasi Matematik

Tugasan (m.s. 120). Imbas kod QR atau layari laman sesawang untuk mendapatkan maklumat tentang kegunaan ungkapan algebra dalam kehidupan harian. Tulis laporan tentang kepentingan dan aplikasi ungkapan algebra, kemudian bentangkan di dalam kelas.

Eksplorasi Matematik A (m.s. 120). Perisian GeoGebra (menu View, kemudian CAS, arahan Simplify) boleh memudahkan ungkapan algebra. Contoh daripada buku: Simplify[(3x² − 5xy + 7) − (4x² + 2xy − 8)] memberi −x² − 7xy + 15, dan Simplify[8x³y²(−3x²y)] memberi −24x⁵y³. Semak dengan tangan: 3x² − 4x² = −x², −5xy − 2xy = −7xy, 7 + 8 = 15; dan 8 × (−3) = −24, x³⁺² = x⁵, y²⁺¹ = y³.

Eksplorasi Matematik B (m.s. 121). Aktiviti carta alir: pilih integer positif x kurang daripada 10, cari 2x, tambah m (bulan lahir; tambah m + 1 jika m genap), darab 50, kemudian tambah (n − 1) jika hari jadi belum tiba tahun ini (atau tambah n jika sudah lepas), tolak (y − 50), bahagi 100 dan perhatikan baki. Buku teks tidak memberi jawapan, tetapi percubaan menunjukkan baki itu ialah umur anda. Contoh: x = 3, lahir Mac 2013 (m = 3), hari jadi belum tiba pada 2026 (n = 2026): (6 + 3) × 50 = 450; 450 + 2025 − 1963 = 512; baki bagi 512 ÷ 100 ialah 12, iaitu umur 12 tahun.

Rumusan

Idea	Fakta utama	Contoh
Pemboleh ubah	Huruf bagi nilai yang tidak diketahui; tetap atau berubah	x = derma yang sama setiap bulan
Nilai ungkapan	Gantikan, letak nilai dalam kurungan	8(3) − 5(2) + 7 = 21
Sebutan dan pekali	Sebutan dipisahkan oleh + dan −; pekali ialah faktor lain	pekali y dalam 3xy ialah 3x
Sebutan serupa	Pemboleh ubah dan kuasa yang sama	2x dan −3x
Tambah dan tolak	Kumpulkan sebutan serupa; tanda − di depan kurungan menukar semua tanda	12bc − 3bc = 9bc
Darab dan bahagi	Darab nombor, tambah kuasa; mansuhkan faktor sepunya	5mn × 2n = 10mn²; 36pq4p = 9q