Matematik notesnota, bab 6

Persamaan Linear

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), pageshalaman 122-147

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mengenal pasti persamaan linear dalam satu pemboleh ubah dan menghuraikan ciri-cirinya (6.1.1)
Saya boleh membentuk persamaan linear dalam satu pemboleh ubah berdasarkan suatu pernyataan atau situasi, dan sebaliknya (6.1.2)
Saya boleh menyelesaikan persamaan linear dalam satu pemboleh ubah dengan kaedah cuba jaya, aplikasi konsep kesamaan dan kaedah pematahbalikan (6.1.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan linear dalam satu pemboleh ubah (6.1.4)
Saya boleh mengenal pasti persamaan linear dalam dua pemboleh ubah dan menghuraikan ciri-cirinya (6.2.1)
Saya boleh membentuk persamaan linear dalam dua pemboleh ubah berdasarkan suatu pernyataan atau situasi, dan sebaliknya (6.2.2)
Saya boleh menentu dan menjelaskan penyelesaian yang mungkin bagi persamaan linear dalam dua pemboleh ubah (6.2.3)
Saya boleh mewakilkan persamaan linear dalam dua pemboleh ubah secara graf (6.2.4)
Saya boleh membentuk persamaan linear serentak berdasarkan situasi harian, mewakilkannya secara graf dan menjelaskan maksud persamaan linear serentak (6.3.1)
Saya boleh menyelesaikan persamaan linear serentak dalam dua pemboleh ubah menggunakan kaedah graf, penggantian dan penghapusan (6.3.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan linear serentak dalam dua pemboleh ubah (6.3.3)

Sebuah kelas yang terdiri daripada 30 orang murid hendak disusun secara berkumpulan. Bilangan murid lelaki 6 orang lebih daripada bilangan murid perempuan. Jika bilangan murid perempuan ialah x, bilangan murid lelaki ialah x + 6, maka x + (x + 6) = 30. Ini ialah satu persamaan linear. Penyelesaiannya ialah x = 12, iaitu 12 murid perempuan dan 18 murid lelaki. Dalam bab ini anda belajar membentuk dan menyelesaikan persamaan seperti ini.

Istilah (Jaringan Kata)	Maksud ringkas
persamaan linear	persamaan yang kuasa pemboleh ubahnya ialah satu
pemboleh ubah	huruf yang mewakili nilai yang belum diketahui
penyelesaian, punca persamaan	nilai berangka yang memuaskan persamaan
cuba jaya	mencuba nilai, menyemak, kemudian memperbaik nilai itu
kesamaan	nilai di sebelah kiri sentiasa sama dengan nilai di sebelah kanan
pematahbalikan	bekerja ke belakang daripada nilai akhir dengan operasi songsang
persamaan linear serentak	dua persamaan linear dengan dua pemboleh ubah yang sama
penggantian, penghapusan	dua kaedah algebra untuk menyelesaikan persamaan linear serentak

6.1Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah

Apakah persamaan linear dalam satu pemboleh ubah?

Simbol "=" menunjukkan dua kuantiti yang mempunyai nilai yang sama. Ayat matematik yang melibatkan kesamaan dikenali sebagai persamaan. Contohnya, x + 2 = 5 dan y − 7 = 11. Ungkapan seperti 5a − 4 tiada tanda "=", jadi ia bukan persamaan.

Aktiviti Penerokaan 1. Daripada sepuluh kad, 7h + 2, 5a³ − 4 dan x + 2x ialah ungkapan. Tujuh yang lain ialah persamaan. Antara persamaan itu, k² + 1 = 6 bukan persamaan linear kerana kuasa k ialah 2. Persamaan yang lain ialah persamaan linear kerana kuasa pemboleh ubahnya ialah satu.

Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah mempunyai

hanya satu pemboleh ubah, dan
kuasa pemboleh ubah itu ialah satu.

Contohnya x + 5 = 8, y2 − 10 = 1 dan 3n + 1 = 6n. Bentuk am ialah ax + b = c.

Contoh 1: persamaan linear dalam satu pemboleh ubah atau bukan? (m.s. 125)

Persamaan	Jawapan	Sebab
3x + 2 = 5	Ya	Satu pemboleh ubah x dan kuasanya satu
p − 4q = 6	Bukan	Dua pemboleh ubah, p dan q
2(k − 7) = k3	Ya	Satu pemboleh ubah k dan kuasanya satu
y² + 3y = 1	Bukan	Kuasa tertinggi bagi y ialah 2

Pemboleh ubah yang sama di kedua-dua belah persamaan masih satu pemboleh ubah. 3n + 1 = 6n ialah persamaan linear dalam satu pemboleh ubah. Ungkapan seperti xy, 1x dan xy bukan ungkapan linear.

Latih Diri 6.1a. Yang manakah persamaan linear dalam satu pemboleh ubah? a) m + 5 = 12 b) 3(p − 2) = −7 c) 9x + 8y = 10 d) k² − 5k = 4

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Ya b) Ya c) Bukan, dua pemboleh ubah d) Bukan, kuasa tertinggi bagi k ialah 2

Membentuk persamaan linear

Pilih satu huruf untuk nilai yang tidak diketahui, kemudian tukarkan ayat kepada ayat matematik.

Perkataan	Simbol
jumlah, tambah, lebih daripada, ditambah dengan	+
beza, kurang daripada, ditolak, dikurangkan	−
kali, dua kali, tiga kali, hasil darab	×
hasil bahagi, dibahagi sama rata	÷
ialah, hasilnya, jumlah bayaran	=

Contoh 2 (m.s. 126)

Satu nombor ditolak dengan 8, bakinya ialah 2. Katakan nombor itu x: x − 8 = 2
Peck Chin membeli lima batang pen dengan harga y sen sebatang dan sebuah buku tulisan berharga RM3. Jumlah wang yang dibayarnya ialah RM7.
Harga lima batang pen = 5 × y = 5y. RM3 = 300 sen dan RM7 = 700 sen. 5y + 300 = 700

Setiap sebutan dalam persamaan mesti mempunyai unit yang sama. Menulis 5y + 3 = 7 apabila y dalam sen ialah salah. Tukarkan RM kepada sen (atau sen kepada RM) dahulu.

Contoh 3: daripada persamaan kepada situasi (m.s. 126)

2x + 5 = 19 dengan keadaan x ialah suatu nombor: "Dua kali suatu nombor ditambah dengan 5, hasilnya ialah 19."
y − 2 = 8 dengan keadaan y ialah umur Rajes sekarang: "Rajes berumur 8 tahun pada 2 tahun yang lepas."

Latih Diri 6.1b. Bentukkan persamaan linear. a) Hasil bahagi suatu nombor dengan 6 ialah 12. b) Harga sekilogram ayam ialah RMy. Rozita membeli 5 kg ayam dengan jumlah bayaran RM40. c) Perimeter sebuah segi empat tepat dengan panjang 2x cm dan lebar 5 m ialah 14 m.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) x6 = 12 b) 5y = 40 c) Tukar kepada cm: lebar 5 m = 500 cm dan perimeter 14 m = 1 400 cm, maka 2(2x + 500) = 1 400, iaitu 4x + 1 000 = 1 400.

Menyelesaikan persamaan linear dalam satu pemboleh ubah

Dua bongkah berjisim 6 kg dan x kg diletakkan pada penimbang yang menunjukkan bacaan 10 kg. Persamaan yang terbentuk ialah x + 6 = 10. Jika bongkah x kg diganti dengan bongkah 4 kg, bacaan penimbang ialah 10 kg, maka 4 ialah nilai berangka yang memuaskan persamaan itu.

Bongkah x kg dan bongkah 6 kg di atas penimbang yang menunjukkan 10 kg — x + 6 = 10, maka x = 4

Penyelesaian (atau punca) bagi persamaan linear ialah nilai berangka yang memuaskan persamaan itu. Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah mempunyai hanya satu penyelesaian.

Tiga kaedah: (a) kaedah cuba jaya, (b) aplikasi konsep kesamaan, (c) kaedah pematahbalikan.

Contoh 4: selesaikan 2x + 1 = 7 (m.s. 127 dan 128)

(a) Kaedah cuba jaya. Cuba satu nilai, semak sebelah kiri, kemudian baiki nilai itu.

Nilai x	Sebelah kiri = 2x + 1	Semakan dan refleksi
1	2(1) + 1 = 3	3 ≠ 7, nilai 3 lebih kecil daripada 7. Cuba nilai yang lebih besar daripada 1.
2	2(2) + 1 = 5	5 ≠ 7, nilai 5 berhampiran dengan 7. Cuba nilai yang lebih besar daripada 2.
3	2(3) + 1 = 7	Sebelah kiri = 7. x = 3 ialah penyelesaian.

(b) Aplikasi konsep kesamaan. Persamaan seperti penimbang yang seimbang. Lakukan operasi yang sama pada kedua-dua belah supaya penimbang kekal seimbang.

Penimbang: dua kotak x dan 1 bola mengimbangi 7 bola. Tolak 1 daripada kedua-dua belah: dua kotak x mengimbangi 6 bola. Bahagi kedua-dua belah dengan 2: satu kotak x mengimbangi 3 bola — Tolak 1 daripada kedua-dua belah, kemudian bahagi kedua-dua belah dengan 2

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), m.s. 128.

2x + 1 − 1 = 7 − 1 → 2x = 6 → 2x2 = 62 → x = 3

(c) Kaedah pematahbalikan. Senaraikan operasi ke atas x bermula daripada nilai awal, kemudian songsangkan operasi itu mengikut urutan terbalik bermula daripada nilai akhir.

Ke hadapan: x didarab 2 kemudian ditambah 1 menjadi 7. Ke belakang: 7 ditolak 1 ialah 6, dibahagi 2 ialah 3 — 7 − 1 = 6, kemudian 6 ÷ 2 = 3

Semak jawapan anda dengan menggantikan nilai pemboleh ubah ke dalam persamaan. Untuk x = 3: 2(3) + 1 = 7 ✓

Dalam pematahbalikan, urutan operasi sangat penting. 2x + 1 = 7 bermaksud "× 2 kemudian + 1", maka songsangkan "+ 1" dahulu. 7 ÷ 2 − 1 = 2.5 ialah salah.

Persamaan yang lebih sukar: pecahan, kurungan dan pemboleh ubah di kedua-dua belah

Gunakan konsep kesamaan dan tulis sebab bagi setiap langkah.

Contoh 5 (m.s. 129)

(a) 2x + 135 = 7

Darabkan kedua-dua belah dengan 5: 2x + 13 = 35
Tolak 13 pada kedua-dua belah: 2x = 22
Bahagikan kedua-dua belah dengan 2: x = 11

(b) 5(x − 4) = x + 16

Kembangkan persamaan: 5x − 20 = x + 16
Tambahkan 20 pada kedua-dua belah: 5x = x + 36
Tolak x pada kedua-dua belah: 4x = 36
Bahagikan kedua-dua belah dengan 4: x = 9

Semakan: 5(9 − 4) = 25 dan 9 + 16 = 25 ✓

Darabkan setiap sebutan di dalam kurungan. 5(x − 4) = 5x − 20, bukan 5x − 4.

Operasi mesti dibuat pada kedua-dua belah. Daripada 5x − 20 = x + 16 kita dapat 5x − x = 16 + 20, bukan 5x + x = 16 − 20.

Latih Diri 6.1c. Selesaikan. a) x − 10 = 3 b) 4x − 1 = 7 c) x6 + 3 = 5 d) x + 82 = 9 e) 3(x + 2) = 5x f) 23x − 4 = x + 1

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) x = 13
b) 4x = 8, x = 2
c) x6 = 2, x = 12
d) x + 8 = 18, x = 10
e) 3x + 6 = 5x, 6 = 2x, x = 3
f) Darab 3: 2x − 12 = 3x + 3, −15 = x, jadi x = −15

Menyelesaikan masalah

Empat langkah dalam Zon Aplikasi Matematik: memahami masalah, merancang strategi (katakan satu huruf mewakili nilai yang tidak diketahui dan bentukkan persamaan), melaksanakan strategi, kemudian membuat refleksi (semak jawapan dalam situasi asal).

Contoh: umur Jalil (m.s. 130)

Selepas 10 tahun, umur Jalil akan menjadi tiga kali umurnya sekarang. Berapakah umur Jalil?

Katakan umur Jalil sekarang = x tahun. Selepas 10 tahun, umurnya = x + 10 = 3x.
Tolak x pada kedua-dua belah: 10 = 2x
x = 5. Umur Jalil ialah 5 tahun.

Refleksi: 5 + 10 = 15 = 3(5) ✓

Contoh: segi empat tepat (Latih Diri 6.1d, no. 2, m.s. 130)

Perimeter segi empat tepat itu ialah 66 cm. Berapakah luasnya?

Segi empat tepat berpanjang (2x + 1) cm dan berlebar (x + 5) cm, perimeter 66 cm

Perimeter = 2(panjang + lebar): 2[(2x + 1) + (x + 5)] = 66
2(3x + 6) = 66 → 6x + 12 = 66 → 6x = 54 → x = 9
Panjang = 2(9) + 1 = 19 cm, lebar = 9 + 5 = 14 cm
Luas = 19 × 14 = 266 cm²

Mendapat x = 9 belum selesai. Baca soalan sekali lagi: ia meminta luas.

Latih Diri 6.1d dan Mahir Diri 6.1. a) Azmah memperoleh 17 markah lebih daripada Yazid, manakala markah Suzana dua kali markah Yazid. Jumlah markah ketiga-tiga murid ialah 161. Berapakah markah Azmah? b) Masa Nadia menjawab kuiz geografi ialah 30 minit lebih daripada masa kuiz sejarah. Masa kuiz sejarah ialah separuh daripada masa kuiz geografi. Berapakah jumlah masa Nadia?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Katakan markah Yazid = y. y + (y + 17) + 2y = 161, 4y + 17 = 161, 4y = 144, y = 36. Markah Azmah = 36 + 17 = 53.
b) Katakan masa kuiz geografi = g minit. Masa kuiz sejarah = g2. g = g2 + 30, maka g2 = 30 dan g = 60. Sejarah = 30 minit. Jumlah = 60 + 30 = 90 minit = 1 jam 30 minit.

6.2Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah

Apakah persamaan linear dalam dua pemboleh ubah?

Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah ialah persamaan linear yang mempunyai dua pemboleh ubah dan kuasa setiap pemboleh ubah ialah satu. Bentuk am ialah ax + by = c dengan keadaan a dan b bukan sifar. Contoh: 6p + 4q = 9.

Contoh 6 (m.s. 132)

Persamaan	Dua pemboleh ubah, linear?	Sebab
3p − q = 6	Ya	Dua pemboleh ubah, p dan q, dengan kuasa 1
7x² + 5y = 9	Bukan	Kuasa pemboleh ubah x ialah 2
2(k + 8) = 5k	Bukan	Satu pemboleh ubah sahaja
y6 + 4 = −2x	Ya	Dua pemboleh ubah, x dan y, dengan kuasa 1

xy + 2y = 3 dan 1x + 1y = 5 bukan persamaan linear dalam dua pemboleh ubah (Bincangkan, m.s. 132): dalam xy dua pemboleh ubah didarabkan, dan 1x bukan ungkapan linear.

Latih Diri 6.2a. Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah atau bukan? a) h − 7k = 6 b) 3m + 5 = 9m − 1 c) 2x3 − 8 = 4y d) p(p + 3) = 2q

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Ya b) Bukan, satu pemboleh ubah sahaja c) Ya d) Bukan, p(p + 3) = p² + 3p dan kuasa tertinggi bagi p ialah 2

Membentuk persamaan linear dalam dua pemboleh ubah

Contoh 7 dan 8 (m.s. 133)

Beza antara dua nombor ialah 18. Katakan nombor itu p dan q: p − q = 18
Simpanan Ahmad ialah RMx dan simpanan Norita ialah RMy. Jumlah simpanan mereka ialah RM600: x + y = 600
Sebuah bas dan sebuah van masing-masing membawa m dan n orang penumpang. Dua bas dan lima van membawa 100 orang: 2m + 5n = 100
Daripada persamaan kepada situasi: 4x + 5y = 35 dengan x dan y ialah harga, dalam RM, sepinggan nasi lemak dan sepinggan mi goreng: "Jumlah harga bagi 4 pinggan nasi lemak dan 5 pinggan mi goreng ialah RM35."

Latih Diri 6.2b. Bentukkan persamaan. a) Jumlah harga tiket bagi lapan orang dewasa dan lima orang kanak-kanak ialah RM265. b) Kertas ujian terdiri daripada Bahagian A dan Bahagian B dengan jumlah markah 40. Setiap jawapan betul dalam Bahagian A diberi 1 markah dan dalam Bahagian B diberi 2 markah. c) Beza antara sudut terbesar dengan sudut terkecil dalam sebuah segi tiga ialah 15°.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 8x + 5y = 265 (x ialah harga tiket dewasa dan y harga tiket kanak-kanak, dalam RM)
b) x + 2y = 40 (x dan y ialah bilangan jawapan betul dalam Bahagian A dan B)
c) p − q = 15

Penyelesaian yang mungkin

Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah mempunyai banyak pasangan penyelesaian. Pilih nilai bagi satu pemboleh ubah, gantikan ke dalam persamaan dan selesaikan untuk pemboleh ubah yang satu lagi. Setiap pasangan boleh ditulis sebagai pasangan tertib (x, y).

Contoh 9: tiga pasangan penyelesaian bagi 2x + y = 6 (m.s. 134)

Pilih	Ganti	Selesaikan	Pasangan tertib
x = 0	2(0) + y = 6	y = 6	(0, 6)
x = 1	2(1) + y = 6	y = 4	(1, 4)
x = 2	2(2) + y = 6	y = 2	(2, 2)

Contoh 10: jersi Osman (m.s. 135)

Osman membeli lima helai jersi Pasukan Harimau (x) dan Pasukan Kancil (y): x + y = 5. Pasangan yang mungkin ialah (1, 4), (2, 3), (3, 2) dan (4, 1). Dalam situasi sebenar hanya nombor bulat yang bermakna kerana tidak boleh membeli 2.5 helai jersi.

Dalam pasangan tertib, nilai x ditulis dahulu. (1, 4) bermaksud x = 1, y = 4, titik yang berbeza daripada (4, 1).

Latih Diri 6.2c. a) Tulis tiga pasangan penyelesaian bagi x − y = 7. b) Sani memenangi 4 butir pingat, emas dan gangsa. Apakah bilangan pingat emas dan gangsa yang mungkin?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Contohnya (7, 0), (8, 1), (9, 2). Mana-mana pasangan dengan x lebih 7 daripada y.
b) Emas + gangsa = 4: 1 emas dan 3 gangsa, 2 emas dan 2 gangsa, 3 emas dan 1 gangsa.

Mewakilkan persamaan linear secara graf

Aktiviti Penerokaan 2. Lengkapkan jadual nilai, plot pasangan tertib pada grid dan sambungkan titik-titik itu. Titik-titik sentiasa terletak pada satu garis lurus, itulah sebab persamaan ini dinamakan linear.

Graf bagi x − y = −2 (m.s. 136)

Tulis semula sebagai y = x + 2, kemudian isi jadual.

x	0	1	2	3	4	5
y	2	3	4	5	6	7
(x, y)	(0, 2)	(1, 3)	(2, 4)	(3, 5)	(4, 6)	(5, 7)

Grid dengan titik (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6) dan (5, 7) disambung menjadi satu garis lurus berlabel x − y = −2 — Semua titik terletak pada satu garis lurus

Semua titik pada garis lurus itu ialah penyelesaian bagi persamaan itu, dan setiap penyelesaian ialah satu titik pada garis. Titik yang tidak terletak pada garis bukan penyelesaian. Graf yang melengkung (seperti Rajah (b) dalam Latih Diri 6.2d) bukan graf persamaan linear.

Mahir Diri 6.2, no. 4: baju dan seluar

Sehelai baju berharga RM20 dan sehelai seluar RM10. Sheimah membayar RM80 dan membeli x helai baju dan y helai seluar: 20x + 10y = 80, iaitu 2x + y = 8. Pasangan yang mungkin (kedua-duanya dibeli): (1, 6), (2, 4), (3, 2). Bilangan maksimum baju ialah 3 helai.

Latih Diri 6.2d. a) (3, 5) dan (4, 2): yang manakah penyelesaian bagi x − y = −2? b) Lengkapkan jadual bagi 2x + y = 2 apabila y = 10, 8, 6, 4, 2, 0.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 3 − 5 = −2 ✓, maka (3, 5) ialah penyelesaian. 4 − 2 = 2 ≠ −2, maka (4, 2) bukan penyelesaian.
b) x = 2 − y2: x = −4, −3, −2, −1, 0, 1 masing-masing.

6.3Persamaan linear serentak dalam dua pemboleh ubah

Membentuk persamaan linear serentak dan mewakilkannya secara graf

Faizah menternak 7 ekor ayam dan itik. Kos menternak seekor ayam ialah RM2 seminggu dan seekor itik RM1. Jumlah kos ialah RM12 seminggu. Katakan x ekor ayam dan y ekor itik.

x + y = 7 (jumlah ternakan) 2x + y = 12 (jumlah kos)

Persamaan linear serentak dalam dua pemboleh ubah ialah dua persamaan linear yang mempunyai dua pemboleh ubah yang sama. Penyelesaiannya ialah pasangan (x, y) yang memuaskan kedua-dua persamaan serentak. Pada graf, ia ialah titik persilangan dua garis lurus. Bagi Faizah, x = 5 dan y = 2: 5 + 2 = 7 ✓ dan 2(5) + 2 = 12 ✓.

Aktiviti Penerokaan 3a dan 3b (GeoGebra) menunjukkan tiga kes.

Tiga panel: dua garis bersilang (penyelesaian unik), dua garis selari (tiada penyelesaian), dua garis bertindih (penyelesaian tak terhingga) — Tiga kes bagi persamaan linear serentak (m.s. 139)

Keadaan kedua-dua garis lurus	Jenis penyelesaian	Contoh
Bersilang	Penyelesaian unik	x + y = 7 dan 2x + y = 12
Selari	Tiada penyelesaian	2x − 3y = −6 dan 4x − 6y = 18
Bertindih	Penyelesaian tak terhingga	x + y = 4 dan 5x + 5y = 20

5x + 5y = 20 ialah x + y = 4 didarab dengan 5, maka kedua-dua garis ialah garis yang sama.

Latih Diri 6.3a, no. 1(a). Puan Siti membeli x buah kamus bahasa Melayu (RM20 sebuah) dan y buah kamus bahasa Inggeris (RM40 sebuah), seramai 6 buah kamus dengan jumlah bayaran RM160. Bentukkan persamaan linear serentak.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

x + y = 6 dan 20x + 40y = 160. Penyelesaiannya x = 4, y = 2: 4 + 2 = 6 ✓ dan 20(4) + 40(2) = 160 ✓.

Menyelesaikan persamaan linear serentak

Tiga kaedah: (i) kaedah graf, (ii) kaedah penggantian, (iii) kaedah penghapusan.

Kaedah graf

Contoh 11: x + y = 6 dan 2x + y = 8 (m.s. 140)

Graf x + y = 6 dan 2x + y = 8 bertemu di titik (2, 4)

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), m.s. 140.

Lukis kedua-dua garis pada paksi yang sama. Titik persilangan ialah (2, 4), maka x = 2, y = 4.

Kaedah penggantian

Contoh 12: x − 3y = 7 dan 5x + 2y = 1 (m.s. 140)

x − 3y = 7 …… ① 5x + 2y = 1 …… ②

Daripada ①, ungkapkan x dalam sebutan y: x = 7 + 3y …… ③
Gantikan ③ ke dalam ②: 5(7 + 3y) + 2y = 1
35 + 15y + 2y = 1 → 17y = −34 → y = −2
Gantikan y = −2 ke dalam ③: x = 7 + 3(−2) = 1

x = 1, y = −2. Semak dalam ②: 5(1) + 2(−2) = 1 ✓

Kaedah penghapusan

Samakan pekali satu pemboleh ubah, kemudian tambah (jika tanda berbeza) atau tolak (jika tanda sama) untuk menghapuskan pemboleh ubah itu.

Contoh 13 (m.s. 141)

(a) x + 2y = 9 …… ① 3x − 2y = 15 …… ②

+2y dan −2y berbeza tanda, maka tambah: ① + ②: 4x = 24 → x = 6
Gantikan ke dalam ①: 6 + 2y = 9 → 2y = 3 → y = 32

(b) 2x + 5y = 14 …… ① 3x + 4y = 7 …… ②

GSTK bagi 2 dan 3 ialah 6. ① × 3: 6x + 15y = 42 …… ③
② × 2: 6x + 8y = 14 …… ④
Tanda sama, maka tolak: ③ − ④: 7y = 28 → y = 4
Gantikan ke dalam ①: 2x + 20 = 14 → 2x = −6 → x = −3

x = −3, y = 4

Apabila mendarab satu persamaan, darabkan setiap sebutan, termasuk nombor di sebelah kanan. ① × 3 ialah 6x + 15y = 42, bukan 6x + 15y = 14.

Lihat tanda dahulu. Dalam Contoh 13(a), mencari ① − ② tidak menghapuskan y kerana 2y − (−2y) = 4y. Tanda berbeza bermaksud tambah.

Latih Diri 6.3b. Selesaikan. a) y = 3x + 1 dan x + 2y = 16 b) x + y = 5 dan 2x − y = 22 c) 4x + 3y = 8 dan x − 3y = 2 d) 8x + 3y = −4 dan 5x + 2y = 6

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Ganti: x + 2(3x + 1) = 16, 7x + 2 = 16, x = 2, y = 7
b) Tambah: 3x = 27, x = 9, y = 5 − 9 = −4
c) Tambah: 5x = 10, x = 2; 4(2) + 3y = 8, y = 0
d) ① × 2: 16x + 6y = −8. ② × 3: 15x + 6y = 18. Tolak: x = −26. Gantikan: 5(−26) + 2y = 6, 2y = 136, y = 68.

Menyelesaikan masalah

Zon Aplikasi Matematik: tiket Zoo Negara (m.s. 142)

Jumlah harga tiket bagi 2 orang dewasa dan 3 orang kanak-kanak ialah RM97. Jumlah harga tiket bagi 4 orang dewasa dan seorang kanak-kanak ialah RM139. Berapakah harga tiket seorang dewasa dan seorang kanak-kanak?

Katakan harga tiket seorang dewasa = RMx dan seorang kanak-kanak = RMy.
2x + 3y = 97 …… ① 4x + y = 139 …… ②
① × 2: 4x + 6y = 194 …… ③
③ − ②: 5y = 55 → y = 11
Gantikan ke dalam ①: 2x + 33 = 97 → 2x = 64 → x = 32

Tiket seorang dewasa ialah RM32 dan seorang kanak-kanak RM11. Refleksi: 2(32) + 3(11) = 97 ✓ dan 4(32) + 11 = 139 ✓

Latih Diri 6.3c. a) 800 naskhah kupon telah dijual pada harga RM30 dan RM50 senaskhah dengan jumlah wang RM30 000. Berapa naskhah kupon bagi setiap harga? b) Panjang sebuah kolam renang segi empat tepat ialah p m dan lebarnya q m. Panjang kolam dua kali lebarnya dan perimeternya 150 m. Cari p dan q.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) x + y = 800 dan 30x + 50y = 30 000. Darab yang pertama dengan 30: 30x + 30y = 24 000. Tolak: 20y = 6 000, y = 300, x = 500. Jadi 500 naskhah RM30 dan 300 naskhah RM50.
b) p = 2q dan 2p + 2q = 150. Ganti: 4q + 2q = 150, 6q = 150, q = 25, p = 50.

Praktis bab, tugasan dan eksplorasi

Bahagian Uji Diri Anda memerlukan persamaan satu pemboleh ubah (contohnya x2 − 3 = 5 memberi 16 biji gula-gula), manakala Masteri Kendiri dan Cabar Diri Anda (KBAT) memerlukan persamaan serentak, umur dan perimeter. Tugasan meminta kajian tentang kepentingan persamaan linear dalam bidang seperti pengurusan, kewangan, komputer, sains, kejuruteraan, pembinaan dan kesihatan.

Eksplorasi Matematik: lalu lintas (m.s. 147)

Rangkaian jalan sehala dengan empat simpang P, Q, R dan S. Kenderaan masuk dari A dan B, keluar ke C dan D

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), m.s. 147.

Kadar kenderaan sejam: dari A 110, dari B 75, di PQ 35, di QS 80, di RS 20. Gunakan konsep kesamaan: kenderaan yang masuk sesuatu simpang = kenderaan yang keluar.

Simpang P: 110 = 35 + PS, maka PS = 75
Simpang Q: 75 + 35 = 80 + QR, maka QR = 30
Simpang R: 30 = 20 + RD, maka kadar keluar ke D = 10
Simpang S: 75 + 80 + 20 = SC, maka kadar keluar ke C = 175

Semakan: 110 + 75 = 185 = 175 + 10 ✓

Rumusan

	Persamaan linear dalam satu pemboleh ubah	Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah	Persamaan linear serentak
Bentuk	ax + b = c	ax + by = c	Dua persamaan dengan x dan y yang sama
Contoh	2x + 1 = 7	x + y = 7	x + y = 7 dan 2x + y = 12
Penyelesaian	Hanya satu (x = 3)	Banyak pasangan; titik membentuk garis lurus	Unik, tiada (selari) atau tak terhingga (bertindih)
Kaedah	Cuba jaya, konsep kesamaan, pematahbalikan	Pilih x, gantikan, cari y	Graf, penggantian, penghapusan

Ingat	Fakta penting
Konsep kesamaan	Lakukan operasi yang sama pada kedua-dua belah
Kurungan	Darabkan setiap sebutan di dalam: 3(x − 2) = 3x − 6
Unit	Tukar RM dan sen (atau m dan cm) kepada unit yang sama sebelum membentuk persamaan
Pematahbalikan	Songsangkan operasi mengikut urutan terbalik
Penghapusan	Tanda berbeza: tambah. Tanda sama: tolak.
Semak	Gantikan jawapan ke dalam persamaan asal