Matematik notesnota, bab 7

Ketaksamaan Linear

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), pageshalaman 148-167

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh membanding nilai nombor, memerihalkan ketaksamaan dan seterusnya menerbitkan ketaksamaan algebra, termasuk mewakilkannya pada garis nombor (7.1.1)
Saya boleh membuat generalisasi tentang ketaksamaan yang berkaitan dengan sifat akas dan transitif, songsangan terhadap penambahan dan pendaraban, dan operasi asas aritmetik (7.1.2)
Saya boleh membentuk ketaksamaan linear berdasarkan suatu situasi kehidupan harian, dan sebaliknya (7.2.1)
Saya boleh menyelesaikan ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah dan menyelesaikan masalah yang melibatkannya (7.2.2)
Saya boleh menyelesaikan ketaksamaan linear serentak dalam satu pemboleh ubah (7.2.3)

Dalam kehidupan harian kita sering membandingkan dua kuantiti yang tidak sama nilai: harga telefon pintar, jisim, suhu, laju dan umur. Bab ini mengajar anda menulis perbandingan itu sebagai ketaksamaan, menyelesaikannya dan menggunakannya untuk menyelesaikan masalah. Peraturan terpenting hanya satu: apabila anda mendarab atau membahagi kedua-dua belah dengan nombor negatif, simbol ketaksamaan disongsangkan.

Istilah (Jaringan Kata)	Maksud ringkas
ketaksamaan	hubungan antara dua kuantiti yang tidak sama nilai
ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah	ketaksamaan dengan satu pemboleh ubah yang kuasanya satu
ketaksamaan linear serentak	dua ketaksamaan linear yang perlu dipenuhi serentak
sifat akas	jika a < b, maka b > a
sifat transitif	jika a < b < c, maka a < c
songsangan terhadap penambahan	mendarab kedua-dua belah dengan −1 menyongsangkan simbol
songsangan terhadap pendaraban	mengambil salingan (1 ÷ nombor) menyongsangkan simbol

7.1Ketaksamaan

Apakah ketaksamaan? (7.1.1)

Hubungan antara dua kuantiti yang tidak sama nilai dikenali sebagai ketaksamaan. Kita menulisnya dengan simbol <, >, ≤ dan ≥.

Telefon pintar A berharga RM1 400 dan telefon pintar B berharga RM1 600. Maka harga A kurang daripada harga B. Dalam bab 1 anda telah membandingkan integer pada garis nombor. Kini kita menulis perbandingan itu dengan simbol matematik (m.s. 150).

Simbol	Maksud	Contoh
<	kurang daripada	−2 < 3
>	lebih besar daripada	−2 > −7
≤	kurang daripada atau sama dengan	v ≤ 110
≥	lebih besar daripada atau sama dengan	t ≥ 9

Hujung simbol yang terbuka menghadap nombor yang lebih besar. 3 > −2 dan −2 < 3 menyatakan hal yang sama.

Dua garis nombor: −2 dan 3 pada garis dari −3 hingga 4; −7 dan −2 pada garis dari −8 hingga −1 — Nombor yang terletak di sebelah **kanan** ialah nombor yang lebih besar (m.s. 150).

Contoh 1 dan Latih Diri 7.1a (m.s. 151): isikan tempat kosong dengan > atau <

(a) −56 □ 4 (b) 4² □ 9 (c) 10 cm □ 50 mm (d) 1 200 g □ 1.6 kg
(a) −56 berada di sebelah kiri 4, maka −56 < 4: −56 kurang daripada 4.
(b) 4² = 16 dan 16 lebih besar daripada 9, maka 4² > 9.
(c) Tukarkan kepada unit yang sama dahulu: 10 cm = 100 mm. 100 mm > 50 mm, maka 10 cm > 50 mm.
(d) 1.6 kg = 1 600 g. 1 200 g < 1 600 g, maka 1 200 g < 1.6 kg.

Membandingkan 10 cm dengan 50 mm hanya melalui nombor (10 < 50). Tukarkan kedua-dua kuantiti kepada unit yang sama dahulu.

Memerihalkan ketaksamaan dan menerbitkan ketaksamaan algebra (7.1.1)

Garis nombor dengan 4 dan x, x terletak di sebelah kanan 4 — Garis nombor (m.s. 151): x berada di sebelah kanan 4, maka ‘x lebih besar daripada 4’, ditulis x > 4.

Papan tanda lebuh raya menunjukkan had laju 110 km/j. Jika v ialah laju kenderaan, v = 110 atau v < 110 dibenarkan. Kedua-duanya digabungkan sebagai v ≤ 110. Kenderaan yang melanggar had itu mempunyai v > 110. Nilai v boleh terdiri daripada integer, perpuluhan atau pecahan (m.s. 152 – 153).

Dua garis nombor dari 80 hingga 130. Atas: bulatan penuh di 110, anak panah ke kiri, v ≤ 110. Bawah: bulatan kosong di 110, anak panah ke kanan, v > 110 — Garis nombor mewakili semua nilai v yang mungkin.

Empat garis nombor dari −1 hingga 5 yang menunjukkan x > 2, x ≥ 2, x < 2 dan x ≤ 2 — Bulatan kosong: nombor itu **tidak** termasuk (<, >). Bulatan penuh: nombor itu **termasuk** (≤, ≥).

Simbol	Frasa yang bermaksud sama
≥	sekurang-kurangnya, tidak kurang daripada, minimum
≤	selebih-lebihnya, tidak lebih daripada, maksimum

Contoh 3 (m.s. 153): upah kerja lebih masa

Fatimah memperoleh upah kerja lebih masa apabila dia bekerja sekurang-kurangnya 9 jam sehari. Katakan t ialah bilangan jam bekerja sehari.
(a) t lebih besar daripada atau sama dengan 9.
(b) Lukis bulatan penuh di 9 (9 jam termasuk) dan anak panah ke kanan. Ketaksamaan algebra ialah t ≥ 9.

Garis nombor dari 6 hingga 11 dengan bulatan penuh di 9 dan anak panah ke kanan berlabel t ≥ 9

Menggunakan bulatan kosong bagi ≤ atau ≥. ‘Sekurang-kurangnya 9’ termasuk 9, maka bulatan mesti penuh.

Latih Diri 7.1c. (a) Papan tanda menunjukkan muatan lori, m tan, yang dibenarkan melalui jambatan ialah 8 tan. Tulis ketaksamaan. (b) Umur kelayakan mengundi, t tahun, ialah 21 tahun. Tulis ketaksamaan itu.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) m ≤ 8 (bulatan penuh di 8, anak panah ke kiri)
(b) t ≥ 21 (bulatan penuh di 21, anak panah ke kanan)

Sifat-sifat ketaksamaan (7.1.2)

Aktiviti Penerokaan 1 (m.s. 154) menemukan dua sifat berikut.

Sifat	Peraturan	Contoh (Contoh 4, m.s. 154)
Sifat akas	Jika a < b, maka b > a.	10 < 24, maka 24 > 10 −4 > −13, maka −13 < −4
Sifat transitif	Jika a < b < c, maka a < c.	−5 < −1 < 9, maka −5 < 9

Sifat akas membaca ketaksamaan yang sama dari arah yang bertentangan: tukar kedudukan dua nombor dan songsangkan simbol.

Ketaksamaan dan operasi asas aritmetik (7.1.2)

Mulakan dengan 2 < 6 dan lakukan operasi yang sama pada kedua-dua belah (m.s. 156 – 157).

Operasi pada kedua-dua belah	Hasil	Simbol
Tambah 3	5 < 9	tidak berubah
Tolak 3	−1 < 3
Tambah (−3)	−1 < 3
Tolak (−3)	5 < 9
Darab dengan 3	6 < 18
Bahagi dengan 2	1 < 3
Darab dengan (−3)	−6 > −18	disongsangkan
Bahagi dengan (−2)	−1 > −3
Darab dengan (−1) (songsangan terhadap penambahan)	−2 > −6
Ambil salingan (songsangan terhadap pendaraban)	12 > 16

Garis nombor dari −8 hingga 8. Lengkung putus-putus menyambung 2 ke −2 dan 6 ke −6. 2 < 6 tetapi −2 > −6 — Mendarab dengan nombor negatif memindahkan nombor ke seberang 0, maka tertib nombor disongsangkan.

Ingat: menambah atau menolak apa-apa nombor, serta mendarab atau membahagi dengan nombor positif, tidak mengubah simbol. Mendarab atau membahagi dengan nombor negatif menyongsangkan simbol.

Menyangka bahawa menolak nombor negatif menyongsangkan simbol. Hanya pendaraban atau pembahagian dengan nombor negatif yang menyongsangkannya: 2 − (−3) < 6 − (−3) ialah 5 < 9.

Latih Diri 7.1e. Diberi 6 < 12, isikan < atau >.
(a) 6 × (−3) □ 12 × (−3) (b) 16 □ 112 (c) −6 □ −12 (d) Tulis sifat akas bagi 8 > −8 (e) Tulis sifat transitif bagi −15 < −8 < 0

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) −18 > −36, maka >
(b) > (salingan menyongsangkan)
(c) > (darab dengan −1 menyongsangkan)
(d) −8 < 8
(e) −15 < 0

Rumusan Bab 7: ketaksamaan linear yang melibatkan penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian — Rumusan: empat operasi dan ketaksamaan linear.

7.2Ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah

Ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah ialah hubungan tak sama antara satu pemboleh ubah yang kuasanya satu, dengan suatu nombor. Contohnya 3x < 7 dan y − 4 > 5 + 2y (m.s. 159 – 160).

Membentuk ketaksamaan linear daripada situasi, dan sebaliknya (7.2.1)

Kata dalam soalan	Simbol
lebih daripada, melebihi	>
kurang daripada	<
sekurang-kurangnya, tidak kurang daripada, minimum, ... dan ke atas	≥
selebih-lebihnya, tidak lebih daripada, maksimum	≤

Contoh 5 (m.s. 158): bina ketaksamaan linear

(a) Masa, t hari, yang diambil oleh Pak Samad membuat gasing uri kurang daripada 42 hari: t < 42.
(b) Panjang ikan, l cm, yang ditangkap sekurang-kurangnya 32 cm: l ≥ 32.
(c) Kek berjisim tidak lebih daripada 2 kg dipotong kepada 10 keping sama rata, jisim sekeping x kg: 10x ≤ 2, iaitu x ≤ 210.
(d) Encik Mohan menderma 3% daripada keuntungan p (RM) dan sumbangannya melebihi RM240: 3100p > 240.

Contoh 6 (m.s. 159): tulis situasi daripada ketaksamaan

(a) h ≥ 110, h ialah tinggi penumpang (cm): penumpang mestilah sekurang-kurangnya 110 cm untuk menaiki roller coaster.
(b) T < −5, T ialah suhu (°C): suhu ruang pembeku kurang daripada −5°C.
(c) m > 4 600, m ialah gaji bulanan (RM): gaji bulanan Encik Siva lebih daripada RM4 600.

Menulis ‘sekurang-kurangnya 32’ sebagai l > 32. Perkataan itu membenarkan 32, maka gunakan l ≥ 32.

Latih Diri 7.2a. Bina ketaksamaan linear. (a) Harga rumah berkembar dua tingkat, RMx, ialah RM450 000 dan ke atas. (b) Markah lulus ialah 50. Hajar mendapat y markah dan dia gagal. (c) Jumlah peserta, k, bagi 5 pasukan bahas jika setiap pasukan tidak melebihi 6 orang.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) x ≥ 450 000
(b) y < 50
(c) k ≤ 5 × 6, maka k ≤ 30

Menyelesaikan ketaksamaan linear (7.2.2)

Menyelesaikan ketaksamaan linear dalam x ialah mencari nilai-nilai x yang memuaskan ketaksamaan itu. Kaedahnya sama seperti menyelesaikan persamaan linear, tetapi kita perlu memerhatikan arah simbol. Ketaksamaan linear mempunyai lebih daripada satu penyelesaian.

Contoh 7 (m.s. 160): selesaikan

(a) x − 2 ≤ 6: tambah 2 kepada kedua-dua belah, x ≤ 8.
(b) 7x ≥ 28: bahagi kedua-dua belah dengan 7, x ≥ 4.
(c) −x3 < 9: darab kedua-dua belah dengan −3 dan songsangkan simbol, x > −27.
(d) 7 − 4x > 15: tolak 7, −4x > 8. Bahagi dengan −4 dan songsangkan simbol, x < −2.

Garis nombor dari −5 hingga 1 dengan bulatan kosong di −2 dan anak panah ke kiri, x < −2

Lupa menyongsangkan simbol apabila membahagi dengan −4. −4x > 8 memberi x < −2, bukan x > −2. Semak dengan x = −3: 7 − 4(−3) = 19 dan 19 > 15, betul.

Zon Aplikasi Matematik (m.s. 161): bilangan maksimum buku

Buku berharga RM12.50 sebuah. Ghani membelanja tidak lebih daripada RM80. Katakan n ialah bilangan buku.
Memahami masalah: 12.5n tidak boleh melebihi 80.
Merancang strategi: bina ketaksamaan, selesaikan dan tafsirkan.
Melaksanakan strategi: 12.5n ≤ 80, maka n ≤ 80 ÷ 12.5 = 6.4. Oleh kerana n bilangan buku, n mesti nombor bulat, maka maksimum ialah 6 buah.
Membuat refleksi: 12.5 × 6 = 75 (< 80) dan 12.5 × 7 = 87.5 (> 80).

Garis nombor dari 4 hingga 9, bulatan penuh di 6.4 dengan anak panah ke kiri; titik di 4, 5 dan 6

Apabila jawapan perlu nombor bulat (orang, buku, bulan), tafsirkan penyelesaiannya. ‘Maksimum’ ambil nombor bulat terbesar yang masih memuaskan ketaksamaan. ‘Minimum’ ambil nombor bulat terkecil yang memuaskannya, dan semak kedua-duanya.

Latih Diri 7.2b no. 3 (m.s. 162): bilangan bulan minimum

Sadiah mempunyai RM120 dan menyimpan RM40 setiap bulan. Dia mahu jumlah simpanannya melebihi RM500.
120 + 40n > 500, maka 40n > 380 dan n > 9.5. Nombor bulat terkecil ialah 10 bulan. Semak: 120 + 40 × 10 = 520 (> 500), tetapi 120 + 40 × 9 = 480 (< 500).

Latih Diri 7.2b. Selesaikan (a) x + 3 ≥ 10 (b) −2x < 18 (c) −7 > x3 (d) 16 − 5x ≤ −4. (e) Fatimah dibayar 10 sen bagi setiap tin minuman yang dijual dan mahu memperoleh sekurang-kurangnya RM20 sejam. Berapa tin sekurang-kurangnya?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) x ≥ 7
(b) x > −9 (bahagi dengan −2, songsangkan)
(c) x < −21 (darab dengan 3: −21 > x, bacaan yang sama)
(d) x ≥ 4 (−5x ≤ −20, songsangkan)
(e) 0.10n ≥ 20, maka n ≥ 200 tin

Menyelesaikan ketaksamaan linear serentak (7.2.3)

Contohnya, pengambilan gula harian ialah antara 25 g dan 37.5 g, iaitu m > 25 dan m < 37.5. Dua ketaksamaan seperti ini ialah ketaksamaan linear serentak. Penyelesaiannya ialah nilai-nilai yang memuaskan kedua-duanya, iaitu bahagian sepunya pada garis nombor (m.s. 162).

Contoh 8 (m.s. 162 – 163): selesaikan ketaksamaan linear serentak

(a) 2x + 5 < 11 dan 3x − 10 < 5.
2x + 5 < 11 memberi 2x < 6, x < 3. 3x − 10 < 5 memberi 3x < 15, x < 5. Bahagian sepunya: x < 3.

Garis nombor dari 1 hingga 7 dengan x < 3 dan x < 5; bahagian sepunya ialah x < 3

(b) 8x + 5 ≥ 5x − 13 dan 3x − 4 > 9x + 20.
Yang pertama: 3x ≥ −18, x ≥ −6. Yang kedua: −6x > 24, x < −4 (songsangkan simbol). Penyelesaian: −6 ≤ x < −4.

Garis nombor dari −8 hingga −2 dengan x ≥ −6 dan x < −4; bahagian sepunya di antara −6 dan −4

Contoh tambahan: x + 4 > 6 dan 3x ≤ 18

x > 2 dan x ≤ 6, maka 2 < x ≤ 6. Jika x ialah integer, x = 3, 4, 5, 6.

Garis nombor dari 0 hingga 8 dengan x > 2 dan x ≤ 6; bahagian sepunya di antara 2 dan 6

Jika dua ketaksamaan tidak bertindih, seperti x < 2 dan x > 5, maka tiada penyelesaian.

Garis nombor dari 0 hingga 7 dengan x < 2 dan x > 5 yang tidak bertindih

Hanya menulis penyelesaian bagi satu ketaksamaan. Selesaikan kedua-duanya, kemudian cari nilai yang memuaskan kedua-duanya dengan garis nombor. Bulatan penuh bagi ≤ dan ≥, bulatan kosong bagi < dan >.

Latih Diri 7.2c. Selesaikan (a) x + 2 > 4 dan 4x > 20 (b) x − 3 ≤ −6 dan 3x − 4 ≤ 5 (c) 5x − 3 < 2 dan 4x + 6 ≥ x + 3

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) x > 2 dan x > 5, maka x > 5
(b) x ≤ −3 dan x ≤ 3, maka x ≤ −3
(c) x < 1 dan x ≥ −1, maka −1 ≤ x < 1

Eksplorasi Matematik (m.s. 167): taman hiburan

Perbelanjaan harian tetap: RM10 000 + RM2 500 × 12 tunggangan = RM40 000. Kos yang berubah setiap pelawat: RM30. Pendapatan berubah setiap pelawat: 76 + 50 + 30 + 5 = RM161. Pendapatan tetap dari penaja: RM8 000. Katakan n pelawat sehari. Untung apabila pendapatan melebihi perbelanjaan: 161n + 8 000 > 40 000 + 30n, maka 131n > 32 000 dan n > 244.27. Bilangan minimum ialah 245 pelawat sehari. Semak: 131 × 245 = 32 095 (> 32 000), tetapi 131 × 244 = 31 964 (< 32 000).

Ringkasan bab. Ketaksamaan: <, >, ≤, ≥. Sifat akas dan transitif. Tambah atau tolak: simbol kekal. Darab atau bahagi dengan nombor positif: simbol kekal. Darab atau bahagi dengan nombor negatif: simbol disongsangkan. Ketaksamaan serentak: ambil bahagian sepunya.