Matematik notesnota, bab 8

Garis dan Sudut

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), pageshalaman 168-199

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menentu dan menerangkan kekongruenan tembereng garis dan kekongruenan sudut (8.1.1)
Saya boleh menganggar dan mengukur saiz tembereng garis dan sudut serta menerangkan cara anggaran diperoleh (8.1.2)
Saya boleh mengenal, membanding beza dan menerangkan sifat sudut pada garis lurus, sudut refleks dan sudut putaran lengkap (8.1.3)
Saya boleh memerihalkan sifat sudut pelengkap, sudut penggenap dan sudut konjugat (8.1.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut pelengkap, sudut penggenap dan sudut konjugat (8.1.5)
Saya boleh membina tembereng garis, pembahagi dua sama serenjang, garis serenjang dan garis selari dengan jangka lukis dan pembaris sahaja, serta menerangkan rasional langkah-langkah pembinaan (8.1.6)
Saya boleh membina sudut dan pembahagi dua sama sudut dengan jangka lukis dan pembaris sahaja serta menerangkan rasional langkah-langkah pembinaan (8.1.7)
Saya boleh mengenal pasti, menerangkan dan melukis sudut bertentang bucu dan sudut bersebelahan pada garis bersilang, termasuk garis serenjang (8.2.1)
Saya boleh menentukan nilai sudut yang berkaitan dengan garis bersilang apabila nilai sudut lain diberi (8.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut yang berkaitan dengan garis bersilang (8.2.3)
Saya boleh mengenal, menerangkan dan melukis garis selari dan garis rentas lintang (8.3.1)
Saya boleh mengenal, menerangkan dan melukis sudut sepadan, sudut selang-seli dan sudut pedalaman (8.3.2)
Saya boleh menentukan sama ada dua garis lurus adalah selari berdasarkan sifat sudut yang berkaitan dengan garis rentas lintang (8.3.3)
Saya boleh menentukan nilai sudut yang berkaitan dengan garis selari dan garis rentas lintang apabila nilai sudut lain diberi (8.3.4)
Saya boleh mengenal dan mewakilkan sudut dongak dan sudut tunduk dalam situasi kehidupan sebenar (8.3.5)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut yang berkaitan dengan garis selari dan garis rentas lintang (8.3.6)

Lihat sekeliling anda: tepi pintu, garisan gelanggang badminton dan rangka basikal terdiri daripada garis yang bertemu pada sudut. Dalam bidang kejuruteraan, garis dan sudut memberikan struktur binaan keindahan dan kestabilan, seperti kabel dan tiang pada jambatan. Juruukur tanah pula menggunakan sudut untuk menentukan jarak dan ketinggian. Dalam bab ini anda menganggar, mengukur dan membina garis dan sudut, kemudian mempelajari sifat sudut pada garis bersilang serta garis selari dan garis rentas lintang. Ahli matematik Euclid dari Alexandria (325 S.M. hingga 265 S.M.) menjadikan titik dan garis sebagai asas pembinaan geometri.

Istilah (Jaringan Kata)	Maksud ringkas
tembereng garis	sebahagian daripada garis lurus dengan panjang tertentu
kekongruenan	sama panjang (tembereng garis) atau sama saiz (sudut)
sudut refleks, sudut putaran lengkap	sudut antara 180° dengan 360°; sudut 360°
sudut pelengkap, sudut penggenap, sudut konjugat	dua sudut yang jumlahnya 90°, 180° dan 360°
pembahagi dua sama serenjang, pembahagi dua sama sudut	garis yang membahagi tembereng garis (serenjang) atau sudut kepada dua bahagian yang sama
garis bersilang, garis selari, garis rentas lintang	garis yang bertemu, tidak bertemu, dan garis yang memotong dua atau lebih garis lain
sudut bertentang bucu, sudut bersebelahan	sudut yang bertentangan di titik persilangan; sudut yang bersebelahan pada garis lurus
sudut sepadan, sudut selang-seli, sudut pedalaman	pasangan sudut pada garis selari yang dipotong garis rentas lintang
sudut dongak, sudut tunduk	sudut antara garis mengufuk dengan arah penglihatan ke atas atau ke bawah

8.1Garis dan sudut

Kekongruenan tembereng garis dan sudut (8.1.1)

Dalam Aktiviti Penerokaan 1, anda menyeret titik pada dua tembereng garis dan dua sudut dengan GeoGebra. Anda mendapati dua tembereng garis sentiasa sama panjang dan dua sudut sentiasa sama saiz.

Tembereng garis kongruen mempunyai panjang yang sama. Sudut kongruen mempunyai saiz yang sama. Tembereng garis ditanda dengan huruf abjad besar pada dua titik hujungnya: PQ = 6 cm bermaksud tembereng garis PQ panjangnya 6 cm.

Sudut ditanda dengan simbol ∠ dan tiga huruf besar. Huruf di tengah ialah bucu (tempat dua lengan bertemu).

Sudut PQR sebesar 40 darjah dengan bucu Q — ∠PQR = 40°. Kita juga boleh menulis ∠RQP = 40° atau ∠Q = 40°.

AB dan CD sama panjang 4 cm dengan satu tanda; sudut PQR dan sudut XYZ sama 50 darjah — AB dan CD kongruen. ∠PQR dan ∠XYZ kongruen walaupun panjang lengannya berbeza.

Saiz sudut bergantung pada bukaan antara dua lengan, bukan pada panjang lengan yang dilukis. Lengan yang lebih panjang tidak menjadikan sudut lebih besar.

∠ABC = 72° dan ∠DEF = 72°. AB = 5 cm dan DE = 8 cm. Adakah dua sudut itu kongruen?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Ya. Kedua-dua sudut ialah 72°. Panjang lengan tidak mempengaruhi kekongruenan.

Menganggar dan mengukur (8.1.2)

Saiz tembereng garis boleh dianggar dengan membandingkannya dengan objek yang diketahui saiznya. Jika sebiji getah pemadam panjangnya 4 cm dan garis AB sepanjang dua pemadam dan separuh pemadam lagi, maka AB kira-kira 4 + 4 + 2 = 10 cm. Untuk mengukur dengan tepat, gunakan pembaris dan mulakan daripada tanda 0.

Pembaris dari 0 hingga 8 cm; tembereng garis dari 0 hingga 6 cm — Tembereng garis PQ bermula pada 0 dan berakhir pada 6, maka PQ tepat 6 cm.

Untuk menganggar sudut, bandingkan dengan sudut tegak (90°). Sudut yang kelihatan lebih besar daripada sudut tegak ialah sudut yang lebih besar daripada 90°. Sudut yang kelihatan kurang sedikit daripada sudut tegak mungkin kira-kira 80°. Untuk mengukur dengan tepat, gunakan protraktor.

Protraktor dengan pusat pada B; lengan BC pada garis 0 skala dalam; lengan BA menunjukkan 135 pada skala dalam dan 45 pada skala luar — Lengan BC berada pada garis 0° skala dalam, maka baca skala dalam: ∠ABC = 135° (tepat).

Cara menggunakan protraktor (m.s. 172)

Letakkan pusat protraktor tepat pada bucu B.
Selaraskan garis 0° dengan satu lengan (BC).
Mulai daripada 0 pada lengan itu, baca skala yang sama sehingga lengan yang lain. Di sini skala dalam bermula dengan 0 pada BC, maka ∠ABC = 135°.
Semak dengan anggaran: ∠ABC lebih besar daripada sudut tegak, maka 135° (bukan 45°) munasabah.

Protraktor mempunyai dua skala. Jika skala yang salah dibaca, jawapan menjadi 180° tolak jawapan sebenar (45° dan bukan 135°). Semak: adakah sudut itu tirus atau cakah?

Sudut pada garis lurus, sudut refleks dan sudut putaran lengkap (8.1.3)

Dalam Aktiviti Penerokaan 2, anda menyeret titik merah pada sudut sehingga sudut berada pada garis lurus dan sehingga membuat satu putaran lengkap. Anda juga mencari jumlah sudut yang dipaparkan.

Sudut tirus 40, sudut tegak 90, sudut cakah 130, sudut pada garis lurus 180, sudut refleks 250 dan putaran lengkap 360 — Jenis-jenis sudut

Sudut	Saiz	Contoh
Sudut tirus	lebih daripada 0° dan kurang daripada 90°	40°
Sudut tegak	tepat 90° (ditanda dengan petak kecil)	bucu sebuah buku
Sudut cakah	lebih daripada 90° dan kurang daripada 180°	130°
Sudut pada garis lurus	tepat 180°	jumlah sudut pada garis lurus ialah 180°
Sudut refleks	lebih daripada 180° dan kurang daripada 360°	250°
Sudut putaran lengkap	tepat 360°	jumlah sudut pada satu titik ialah 360°

Jumlah sudut pada garis lurus ialah 180°. Jumlah sudut pada satu titik (satu putaran lengkap) ialah 360°. Sudut refleks lebih daripada 180° dan kurang daripada 360°.

Sudut pelengkap, sudut penggenap dan sudut konjugat (8.1.4)

Dalam Aktiviti Penerokaan 3, anda mendapati jumlah dua sudut ialah sentiasa 90° (Penerokaan 1), 180° (Penerokaan 2) atau 360° (Penerokaan 3).

35 dan 55 membentuk sudut tegak; 110 dan 70 membentuk garis lurus; 140 dan 220 membentuk putaran lengkap — Tiga jenis pasangan sudut

Pasangan	Jumlah dua sudut	Contoh
Sudut pelengkap	90°	35° dan 55°
Sudut penggenap	180°	110° dan 70°
Sudut konjugat	360°	140° dan 220°

Ingat mengikut susunan abjad: pelengkap (90°) sebelum penggenap (180°) dan konjugat (360°) ialah satu putaran penuh. Jika satu sudut dalam pasangan konjugat ialah tirus atau cakah, sudut yang lagi satu ialah sudut refleks.

Menyelesaikan masalah sudut pelengkap, penggenap dan konjugat (8.1.5)

Contoh 1: sudut pada satu titik (m.s. 175)

Lima sudut pada satu titik: p, 54 darjah, s, r dan q

p dan 54° ialah sudut pelengkap. p dan q ialah sudut penggenap. Sudut konjugat bagi r ialah 260°. Hitung p, q, r dan s.

p + 54° = 90° (sudut pelengkap), maka p = 90° − 54° = 36°
p + q = 180° (sudut penggenap), maka q = 180° − 36° = 144°
r + 260° = 360° (sudut konjugat), maka r = 360° − 260° = 100°
Sudut putaran lengkap: s + 100° + 144° + 36° + 54° = 360°
s + 334° = 360°, maka s = 26°

Menggunakan beza dua sudut (jenis Latih Diri 8.1e no. 2, m.s. 176)

p dan q ialah sudut penggenap dengan p > q. Beza antara p dengan q ialah 52°. Hitung p dan q.

p + q = 180° dan p − q = 52°.
Tolak beza daripada 180°: 180° − 52° = 128°. Bahagi dua sama banyak: 128° ÷ 2 = 64°, maka q = 64°.
p = 64° + 52° = 116°. Semakan: 116° + 64° = 180° ✓

"Sudut penggenap bagi 27°" ialah 180° − 27° = 153°, bukan 90° − 27°. Baca soalan dengan teliti: pasangan yang manakah dinamakan?

a) Nyatakan sudut pelengkap, sudut penggenap dan sudut konjugat bagi 27°. b) m dan n ialah sudut konjugat dan n ialah dua kali m. Hitung m dan n.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 90° − 27° = 63°; 180° − 27° = 153°; 360° − 27° = 333°
b) m + 2m = 360°, 3m = 360°, m = 120°, n = 240°

Pembinaan geometri (8.1.6)

Pembinaan geometri ialah kaedah melukis dengan menggunakan alat geometri, iaitu jangka lukis dan pembaris (alat tepi lurus) sahaja. Gunakan pensel yang tajam. Jangan padam garis pembinaan kerana lengkok-lengkok itu menunjukkan kaedah anda.

Contoh 2: tembereng garis AB = 8 cm

Lukis garis dan tanda titik A. Ukur jarak 8 cm pada jangka lukis menggunakan pembaris. Dari A, tanda titik B pada garis dengan jarak itu.

Contoh 3: pembahagi dua sama serenjang bagi PQ

Jika garis AB serenjang dengan tembereng garis CD dan membahagi CD kepada dua bahagian sama panjang, AB disebut pembahagi dua sama serenjang CD.

Lengkok dari P dan Q bersilang di atas dan di bawah PQ; garis melalui dua titik persilangan ialah pembahagi dua sama serenjang

Buka jangka lukis supaya bukaannya lebih daripada separuh panjang PQ.
Bina dua lengkok dari P, satu di atas PQ dan satu di bawah PQ.
Tanpa mengubah bukaan, bina dua lengkok dari Q yang bersilang dengan lengkok dari P.
Lukis garis yang menyambungkan dua titik persilangan. Garis itu membahagi PQ kepada dua bahagian sama dan serenjang dengan PQ.

Jika bukaan jangka lukis kurang daripada separuh PQ, lengkok dari P dan Q tidak akan bersilang.

Contoh 4: garis serenjang kepada PQ melalui titik M di luar PQ

Lengkok dari M memotong PQ di R dan S; lengkok dari R dan S bersilang di bawah; garis dari M serenjang dengan PQ

Dengan bukaan jangka lukis yang sama, bina dua lengkok pada PQ dari M. Labelkan titik itu R dan S.
Dengan bukaan yang sama dari R dan dari S, bina lengkok supaya bersilang di sebelah lagi PQ.
Lukis garis yang menyambungkan M dengan titik persilangan itu.

Contoh 5: garis serenjang kepada PQ melalui titik N pada PQ

N pada PQ; R dan S di kiri dan kanan N; lengkok dari R dan S bersilang di atas dan di bawah; garis melalui N ialah serenjang

Dari N, bina dua lengkok pada PQ. Labelkan R dan S.
Besarkan bukaan jangka lukis kepada lebih daripada NR. Dari R dan dari S, bina lengkok di atas dan di bawah PQ supaya bersilang.
Lukis garis yang menyambungkan N dengan dua titik persilangan itu.

Kaedah ini ialah pembinaan pembahagi dua sama serenjang bagi tembereng garis RS, yang kebetulan melalui N (titik tengah RS).

Contoh 6: garis selari dengan PQ melalui titik R

Lengkok membentuk segi empat selari PQSR; garis RS selari dengan PQ

Dengan bukaan sama dengan jarak PR, bina satu lengkok melalui R dari P.
Kekalkan bukaan itu, bina satu lengkok dari Q.
Dengan bukaan sama dengan jarak PQ, bina satu lengkok dari R yang bersilang dengan lengkok dari Q. Labelkan titik persilangan itu S.
Lukis garis RS. PQSR ialah segi empat selari, maka RS selari dengan PQ.

Membina sudut dan pembahagi dua sama sudut (8.1.7)

Selain menggunakan protraktor, sudut 60° boleh dibina dengan jangka lukis dan pembaris sahaja berdasarkan sudut dalam segi tiga sama sisi. Tiga tembereng garis yang sama panjang membentuk segi tiga dengan sudut pedalaman 60°.

Contoh 7: ∠PQR = 60°

Lengkok dari Q memotong QR di S; lengkok dari S dengan jejari sama memotongnya di P; sudut PQR ialah 60 darjah

Bina satu lengkok panjang dari Q yang bersilang dengan QR. Tanda titik persilangan sebagai S.
Kekalkan bukaan jangka lukis dan bina satu lengkok dari S yang bersilang dengan lengkok pertama. Tanda titik persilangan sebagai P.
Lukis garis yang menyambungkan P dengan Q. QS = SP = QP, maka segi tiga PQS ialah segi tiga sama sisi dan ∠PQR = 60°.

Contoh 8: pembahagi dua sama sudut

Jika suatu garis membahagikan suatu sudut kepada dua sudut yang sama saiz, garis itu disebut pembahagi dua sama sudut.

Lengkok dari Q memotong lengan di M dan N; lengkok dari M dan N bersilang di S; QS membahagi sudut 60 darjah kepada 30 dan 30

Bina satu lengkok panjang dari Q yang bersilang dengan kedua-dua lengan QP dan QR. Tanda titik persilangan sebagai M dan N.
Dengan bukaan yang sama, bina satu lengkok dari M dan dari N supaya bersilang di S.
Lukis garis QS. QS ialah pembahagi dua sama ∠PQR, maka ∠PQS = ∠SQR = 30°.

Bermula dengan 60° dan pengetahuan tentang pembahagi dua sama sudut, anda boleh membina sudut lain dengan tepat:

Sudut	Cara membina
30°	bahagi dua sama 60°
15°	bahagi dua sama 30°
120°	60° + 60° (bina lengkok yang sama dua kali berturut-turut)
90°	60° + 30°, atau garis serenjang
45°	bahagi dua sama 90°
75°	60° + 15°
105°	90° + 15°

Hanya sudut yang boleh diperoleh daripada 60° dengan membahagi dua sama dan menambah boleh dibina dengan jangka lukis dan pembaris sahaja. Sudut 40° dan 50° tidak boleh; gunakan protraktor.

Terangkan dengan ringkas bagaimana anda membina sudut 105°.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Bina 60° dan bahagi dua sama untuk mendapat 30°, bahagi dua sama lagi untuk mendapat 15°. Bina 90° (60° + 30°), kemudian tambah 15°: 90° + 15° = 105°.

8.2Sudut yang berkaitan dengan garis bersilang

Dalam Aktiviti Penerokaan 4, anda menanda dan membandingkan sudut pada dua garis yang bersilang.

Dua garis bersilang membentuk sudut a (kiri), b (bawah), c (kanan) dan d (atas) — Dua garis lurus bersilang membentuk empat sudut

Sudut bertentang bucu berada bertentangan antara satu sama lain di titik persilangan. Sudut bertentang bucu adalah sama: ∠a = ∠c dan ∠b = ∠d.
Sudut bersebelahan pada garis bersilang berada bersebelahan pada garis lurus. Hasil tambahnya 180°: ∠a + ∠d = 180°, ∠d + ∠c = 180°, ∠c + ∠b = 180°, ∠b + ∠a = 180°.

Dua garis serenjang dengan empat tanda sudut tegak — Jika dua garis bersilang adalah berserenjang, semua sudut ialah 90°

Contoh 9: mengenal pasti sudut (m.s. 186)

Dua garis bersilang membentuk sudut p, q dan r (p dan r bertentangan). (a) Sudut bertentang bucu ialah p dan r. (b) Sudut bersebelahan ialah p dan q, serta q dan r.

Contoh 10: mencari x dan y (m.s. 186)

RSTU ialah garis mengufuk. PSQ memotongnya di S membentuk 135 darjah dan x. PTV memotongnya di T membentuk 62 darjah dan y

PSQ, RSTU dan PTV ialah garis lurus. Cari nilai x dan y.

x + 135° = 180° (sudut bersebelahan pada garis bersilang), maka x = 180° − 135° = 45°.
y = 62° (sudut bertentang bucu).

Contoh 11: menyelesaikan masalah (m.s. 187)

POR dan TOQ ialah garis lurus bersilang di O. Antara OP dan OU ialah x, antara OU dan OT ialah 60 darjah, kemudian y dan y, dan sudut QOR ialah 72 darjah

POR dan TOQ ialah garis lurus. Cari nilai x dan y.

∠POT = ∠QOR = 72° (sudut bertentang bucu).
x + 60° = 72°, maka x = 72° − 60° = 12°.
∠TOR + 72° = 180° (sudut bersebelahan), maka ∠TOR = 108°.
y + y = 108°, 2y = 108°, maka y = 54°.

Sudut bertentang bucu sama, bukan penggenap. Hanya sudut yang bersebelahan pada garis lurus berjumlah 180°.

Dua garis lurus bersilang. Satu sudut ialah 40°. Dua sudut yang bersebelahan dengannya masing-masing ialah 2y. Cari y dan sudut yang keempat.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

2y + 40° = 180° (sudut bersebelahan), 2y = 140°, y = 70°.
Sudut keempat bertentang bucu dengan 40°, maka sudut itu ialah 40°.

8.3Sudut yang berkaitan dengan garis selari dan garis rentas lintang

Garis selari dan garis rentas lintang (8.3.1)

Garis selari tidak akan bertemu walaupun dipanjangkan. Garis selari ditanda dengan anak panah (>) yang sepadan. Garis rentas lintang ialah garis lurus yang bersilang dengan dua atau lebih garis lurus. Contohnya, palang AB pada kuda-kuda papan lukisan memotong dua kaki yang selari.

Sudut sepadan, sudut selang-seli dan sudut pedalaman (8.3.2)

Dalam Aktiviti Penerokaan 5, anda menyeret garis rentas lintang pada dua garis selari dan membandingkan sudut yang terbentuk.

Tiga rajah: sudut sepadan a dan b pada kedudukan yang sama; sudut selang-seli b dan c di antara dua garis dan di sisi bertentangan; sudut pedalaman d dan c di antara dua garis dan di sisi yang sama — Garis rentas lintang memotong dua garis selari

Pasangan sudut	Kedudukan	Bentuk	Sifat
Sudut sepadan	kedudukan yang sama pada setiap persilangan	huruf F	sama, ∠a = ∠b
Sudut selang-seli	di antara dua garis, di sisi garis rentas lintang yang bertentangan	huruf Z	sama, ∠b = ∠c
Sudut pedalaman	di antara dua garis, di sisi garis rentas lintang yang sama	huruf C atau U	hasil tambah 180°, ∠c + ∠d = 180°

Sifat ini hanya benar apabila garis-garisnya selari. Periksa anak panah selari dahulu.

Adakah dua garis selari? (8.3.3)

Songsangkan sifat itu: jika sudut sepadan sama, atau sudut selang-seli sama, atau hasil tambah sudut pedalaman ialah 180°, maka dua garis itu selari.

Contoh 12 (m.s. 190)

(a) PQ dan RS dengan sudut sepadan 48 darjah dan 48 darjah. (b) PQ dan RS dengan sudut pedalaman 42 darjah dan 128 darjah

Sudut sepadan, 48°, adalah sama. Maka PQ dan RS selari.
42° + 128° = 170° ≠ 180°. Hasil tambah sudut pedalaman sepatutnya 180° jika PQ dan RS selari. Maka PQ dan RS tidak selari.

Menentukan nilai sudut (8.3.4)

Contoh 13 (m.s. 191)

PQ, RS dan TU selari. AB dan CD ialah garis rentas lintang. 60 darjah di bawah PQ di kiri AB; a di atas RS di kanan AB; 118 darjah di atas PQ di kiri CD; b di atas TU di kiri CD; c di bawah RS di kiri CD

PQ, RS dan TU ialah garis selari. Cari nilai a, b dan c.

a = 60° (sudut selang-seli dengan 60°).
b = 118° (sudut sepadan dengan 118°).
b + c = 180° (sudut pedalaman), 118° + c = 180°, maka c = 180° − 118° = 62°.

Contoh bentuk Z: cari a dan b (jenis Latih Diri 8.3d no. 2, m.s. 191)

AB selari dengan CD. E berada pada AB. Sudut ECB ialah 28 darjah dan sudut BCD ialah 37 darjah. a ialah sudut AEC dan b ialah sudut EBC

AB selari dengan CD. Cari a dan b.

b dan ∠BCD = 37° ialah sudut selang-seli (garis rentas lintang BC), maka b = 37°.
a dan ∠ECD ialah sudut selang-seli (garis rentas lintang EC). ∠ECD = 28° + 37° = 65°, maka a = 65°.

Dua garis selari dipotong oleh garis rentas lintang. Satu sudut ialah 75°. Apakah saiz yang mungkin bagi tujuh sudut yang lain?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Hanya 75° atau 105° (180° − 75°). Setiap sudut sama dengan 75° (bertentang bucu, sepadan atau selang-seli) atau penggenap bagi 75°.

Sudut dongak dan sudut tunduk (8.3.5)

Dalam bidang ukur tanah, juruukur tanah menggunakan sudut dongak dan sudut tunduk untuk menentukan jarak dan ketinggian. Aktiviti Penerokaan 6 menunjukkan bahawa kedudukan dua titik pada aras yang tidak sama menghasilkan sudut dongak atau sudut tunduk.

Sudut dongak: apabila seseorang melihat objek pada aras yang lebih tinggi, sudut antara arah penglihatannya dengan garis mengufuk disebut sudut dongak. Sudut tunduk: apabila seseorang melihat objek pada aras yang lebih rendah, sudut antara arah penglihatannya dengan garis mengufuk disebut sudut tunduk.

Contoh 14: Devi dan Umi (m.s. 193)

Devi berada di aras lebih rendah dan Umi di aras lebih tinggi. a ialah sudut dongak Umi dari Devi dan b ialah sudut tunduk Devi dari Umi, kedua-duanya diukur dari garis mengufuk — a = sudut dongak Umi dari Devi; b = sudut tunduk Devi dari Umi. Dua garis mengufuk selari, maka a = b (sudut selang-seli).

Lukis dan labelkan (a) sudut a yang mewakili sudut dongak Umi dari Devi, dan (b) sudut b yang mewakili sudut tunduk Devi dari Umi. Sudut a diukur di Devi, antara garis mengufuk dengan garis ke arah Umi. Sudut b diukur di Umi, antara garis mengufuk dengan garis ke arah Devi.

Sudut dongak dan sudut tunduk sentiasa diukur dari garis mengufuk, bukan dari garis pugak seperti dinding atau menara.

Buku teks bertanya: adakah "sudut dongak dan sudut tunduk adalah sentiasa sudut tirus"? Ya, kerana kedua-duanya diukur dari garis mengufuk ke arah penglihatan dan saiznya antara 0° dengan 90°. Bagi dua objek pada aras berbeza, sudut dongak dari objek yang lebih rendah sama dengan sudut tunduk dari objek yang lebih tinggi (sudut selang-seli).

Menyelesaikan masalah (8.3.6)

Contoh 15 (m.s. 194)

PV selari dengan QU; QR selari dengan OS. PQR, QOU, POT dan VOR ialah garis lurus. 110 darjah di Q, 62 darjah di V, 75 darjah di O dan x di O

POT, QOU, PQR dan VOR ialah garis lurus. (a) Cari x. (b) Andaikan PV ialah garis mengufuk dan ∠PVO ialah sudut tunduk O dari V. Cari sudut dongak P dari O.

∠QOS = ∠PQO = 110° (sudut selang-seli) dan ∠QOR = ∠PVR = 62° (sudut sepadan). Maka x = 110° − 62° = 48°.
∠QOV + 62° = 180° (sudut pedalaman), maka ∠QOV = 118°. ∠POQ = 118° − 75° = 43°. Sudut dongak P dari O ialah 43°.

Sudut tunduk sebuah bot dari Siti di atas sebuah bangunan ialah 32°. Berapakah sudut dongak Siti dari bot itu, dan berapakah sudut antara arah penglihatan Siti dengan dinding bangunan yang tegak?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Sudut dongak = 32° (sudut selang-seli antara dua garis mengufuk). Dinding tegak membentuk 90° dengan garis mengufuk, maka sudut dengan dinding = 90° − 32° = 58°.

Rumusan

Fakta	Sifat
Sudut pada garis lurus	jumlah 180°
Sudut pada satu titik (putaran lengkap)	jumlah 360°
Sudut pelengkap / penggenap / konjugat	pasangan berjumlah 90° / 180° / 360°
Sudut refleks	antara 180° dengan 360°
Sudut bertentang bucu	sama
Sudut bersebelahan pada garis bersilang	jumlah 180°
Sudut sepadan (garis selari)	sama (bentuk F)
Sudut selang-seli (garis selari)	sama (bentuk Z)
Sudut pedalaman (garis selari)	jumlah 180° (bentuk C)
Sudut dongak dan sudut tunduk	diukur dari garis mengufuk; antara dua titik, kedua-duanya sama

Pembinaan	Idea utama
Pembahagi dua sama serenjang	lengkok yang sama dari kedua-dua hujung, bukaan lebih daripada separuh panjang garis
Garis serenjang	lengkok dari titik membentuk R dan S, kemudian lengkok yang sama dari R dan S
Garis selari	lengkapkan segi empat selari dengan dua pasang lengkok yang sama
Sudut 60°	segi tiga sama sisi: bukaan yang sama dari Q kemudian dari S
Pembahagi dua sama sudut	lengkok dari dua lengan bersilang pada pembahagi; 60° → 30° → 15°

Bahagian lain dalam buku

Bahagian Marilah Praktis (m.s. 197 hingga 199) mengandungi soalan Uji Diri Anda, Masteri Kendiri dan Cabar Diri Anda yang melibatkan KBAT. Tugasan meminta anda menulis laporan tentang cara garis selari dan garis serenjang serta sudut dongak dan sudut tunduk membantu jurugambar. Eksplorasi Matematik menggunakan GeoGebra untuk membina sudut 120° dan membina pembahagi dua sama serenjang, garis serenjang dan sudut 30° dengan alat yang terhad.