Matematik notesnota, bab 9

Poligon Asas

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), pageshalaman 200–222

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menyatakan hubung kait antara bilangan sisi, bucu dan pepenjuru poligon, dan mencari bilangan pepenjuru dengan n(n − 3) ÷ 2 (9.1.1)
Saya boleh melukis poligon, melabel bucunya mengikut urutan dan menamakannya, dari segi tiga hingga dekagon (9.1.2)
Saya boleh mengenal dan menyenaraikan sifat geometri segi tiga sama sisi, sama kaki, tak sama kaki, bersudut tirus, bersudut cakah dan bersudut tegak, serta paksi simetrinya (9.2.1)
Saya boleh membuat dan mengesahkan konjektur tentang hasil tambah sudut pedalaman, sudut pedalaman dan sudut peluaran bersebelahan, serta hubungan sudut peluaran dengan dua sudut pedalaman bertentangan bagi segi tiga (9.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan segi tiga (9.2.3)
Saya boleh menghuraikan sifat geometri segi empat sama, segi empat tepat, segi empat selari, rombus, trapezium dan lelayang, serta paksi simetrinya (9.3.1)
Saya boleh membuat dan mengesahkan konjektur tentang sudut pedalaman dan sudut peluaran sisi empat serta sudut bertentangan dalam segi empat selari (9.3.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sisi empat (9.3.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan segi tiga dan sisi empat (9.3.4)

Di siling dan kubah Masjid Putra di Putrajaya, anda boleh melihat segi tiga, heksagon, oktagon dan banyak lagi bentuk yang disusun menjadi corak yang cantik. Setiap bentuk itu ialah poligon. Arkitek dan pereka menggunakan sifat poligon dan petua sudut supaya bentuk-bentuk itu muat dengan tepat. Dalam bab ini anda akan menamakan poligon, mengira pepenjuru, mempelajari sifat segi tiga dan sisi empat, dan menggunakan fakta sudut untuk mencari sudut yang tidak diketahui.

Gambar foto siling dan kubah Masjid Putra yang dihias dengan banyak bentuk poligon — Poligon pada siling Masjid Putra

Gambar foto daripada buku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), m.s. 200.

Istilah (Jaringan Kata)	Maksud
poligon, sisi, bucu	bentuk tertutup, garis yang membentuknya, sudut penjuru
pepenjuru	garis lurus yang menyambung dua bucu yang tidak bersebelahan
segi tiga, sisi empat	poligon 3 sisi, poligon 4 sisi
segi empat sama, segi empat tepat	sisi empat dengan semua sudut 90°
segi empat selari, rombus, trapezium, lelayang	jenis sisi empat khas
sudut pedalaman, sudut peluaran	sudut di dalam poligon, sudut di luar apabila sisi dipanjangkan
sudut tirus, sudut cakah, sudut tegak	kurang daripada 90°, antara 90° dengan 180°, tepat 90°
konjektur	terkaan berdasarkan pemerhatian

Melintas Zaman: Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), ahli matematik Jerman, menemui cara membina poligon sekata 17 sisi dengan hanya jangka lukis dan alat tepi lurus.

9.1Poligon

Poligon ialah suatu bentuk tertutup pada suatu satah yang sisinya terdiri daripada tiga atau lebih garis lurus. Bucu ialah titik penjuru tempat dua sisi bertemu. Pepenjuru ialah garis lurus yang menyambung dua bucu yang tidak bersebelahan.

Bulatan bukan poligon (tiada sisi lurus). Bentuk yang ada ruang terbuka juga bukan poligon (tidak tertutup).

Menamakan poligon

Poligon dinamakan mengikut bilangan sisinya.

Lapan poligon sekata: segi tiga 3 sisi, sisi empat 4, pentagon 5, heksagon 6, heptagon 7, oktagon 8, nonagon 9, dekagon 10 — Nama poligon (buku teks m.s. 204)

Bilangan sisi	3	4	5	6	7	8	9	10
Nama	segi tiga	sisi empat	pentagon	heksagon	heptagon	oktagon	nonagon	dekagon

Hubungan antara sisi, bucu dan pepenjuru

Sisi empat dengan 2 pepenjuru, pentagon dengan 5, heksagon dengan 9 dan heptagon dengan 14, semua pepenjuru dilukis — Semua pepenjuru poligon 4, 5, 6 dan 7 sisi (Aktiviti Penerokaan 1, m.s. 202 – 203)

Bagi setiap poligon, bilangan bucu = bilangan sisi. Bagi poligon dengan n sisi, bilangan pepenjuru = n(n − 3)2.

Mengapa? Dari setiap bucu, kita boleh melukis pepenjuru ke semua bucu lain kecuali bucu itu sendiri dan dua jirannya, iaitu n − 3 pepenjuru. Jumlahnya n(n − 3), tetapi setiap pepenjuru dikira dua kali (sekali dari setiap hujung), maka bahagikan dengan 2.

Buku teks juga menunjukkan kaedah langkah demi langkah: katakan m = bilangan sisi − 3. Bilangan pepenjuru = 2m + (m − 1) + (m − 2) + … + 1.

Contoh 1 (buku teks m.s. 203)

Cari bilangan bucu dan bilangan pepenjuru bagi sebuah poligon dengan 10 sisi.

Bilangan bucu = bilangan sisi = 10
Kaedah langkah: m = 10 − 3 = 7, maka bilangan pepenjuru = 2(7) + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 35
Rumus: 10(10 − 3)2 = 702 = 35 pepenjuru

Jangan lupa membahagi dengan 2. Poligon 9 sisi mempunyai 9 × 62 = 27 pepenjuru, bukan 54. Nilai n − 3 (= 6) hanyalah bilangan pepenjuru dari satu bucu.

Cari bilangan bucu dan bilangan pepenjuru bagi poligon dengan a) 6 sisi, b) 9 sisi, c) 12 sisi, d) 20 sisi. (Latih Diri 9.1a, m.s. 203)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 6 bucu; 6(3) ÷ 2 = 9 pepenjuru
b) 9 bucu; 9(6) ÷ 2 = 27 pepenjuru
c) 12 bucu; 12(9) ÷ 2 = 54 pepenjuru
d) 20 bucu; 20(17) ÷ 2 = 170 pepenjuru

Melukis, melabel dan menamakan poligon

Kenal pasti bilangan sisi poligon itu.
Tandakan bilangan titik yang sama dengan bilangan sisi (tiada tiga titik atau lebih sebaris).
Sambungkan semua titik itu supaya menjadi satu bentuk tertutup.
Labelkan bucu-bucu dan namakan poligon itu.

Bucu poligon selalunya dilabelkan mengikut susunan abjad, dan poligon itu dinamakan sama ada mengikut arah jam atau lawan arah jam bucu-bucunya.

Contoh 2 (buku teks m.s. 204)

Lukis sebuah poligon dengan enam sisi. Kemudian labelkan dan namakan poligon itu.

Heksagon dengan bucu A, B, C, D, E, F dilabelkan mengikut urutan

Maka, poligon itu ialah heksagon ABCDEF. Ia juga boleh dinamakan BCDEFA atau FEDCBA kerana huruf-hurufnya mengelilingi bentuk itu mengikut urutan.

Baca huruf mengikut urutan di sekeliling bentuk itu. "ABDCEF" bukan nama heksagon di atas kerana ia melompat dari B ke D merentasi bentuk itu.

Benar atau palsu? a) Poligon dengan 11 sisi mempunyai 11 bucu. b) Poligon dengan 12 sisi mempunyai 54 pepenjuru. c) Oktagon mempunyai 8 pepenjuru. (a dan b daripada Mahir Diri 9.1, m.s. 205)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Benar: bucu = sisi.
b) Benar: 12(9) ÷ 2 = 54.
c) Palsu: 8(5) ÷ 2 = 20 pepenjuru. Oktagon mempunyai 8 sisi dan 8 bucu.

9.2Sifat segi tiga dan sudut pedalaman serta sudut peluaran segi tiga

Jenis segi tiga

Dalam rajah, sisi yang mempunyai tanda yang sama adalah sama panjang, sudut dengan lengkok yang sama adalah sama besar, dan petak kecil menandakan sudut tegak. Garis putus-putus ialah paksi simetri (garis lipatan yang menjadikan dua bahagian bertindih tepat).

Segi tiga sama sisi dengan tiga sisi sama dan 3 paksi simetri; segi tiga sama kaki dengan dua sisi sama dan 1 paksi; segi tiga tak sama kaki tanpa paksi simetri — Segi tiga mengikut sifat sisi (Jadual (a), buku teks m.s. 207)

Mengikut sisi	Sifat geometri	Paksi simetri
Segi tiga sama sisi	Semua sisi sama panjang. Semua sudut pedalaman ialah 60°.	3
Segi tiga sama kaki	Dua daripada sisinya sama panjang. Dua sudut tapak adalah sama.	1
Segi tiga tak sama kaki	Semua sisinya tidak sama panjang. Semua sudut pedalaman tidak sama.	tiada

Segi tiga bersudut tirus dengan sudut 60, 50 dan 70 darjah; bersudut cakah dengan sudut 35, 25 dan 120 darjah; bersudut tegak dengan sudut 90, 35 dan 55 darjah — Segi tiga mengikut sifat sudut (Jadual (b), buku teks m.s. 207)

Mengikut sudut	Sifat geometri
Segi tiga bersudut tirus	Semua sudut dalam segi tiga ialah sudut tirus (kurang daripada 90°).
Segi tiga bersudut cakah	Satu daripada sudut dalam segi tiga ialah sudut cakah (antara 90° dengan 180°).
Segi tiga bersudut tegak	Satu daripada sudut dalam segi tiga ialah sudut tegak (90°).

Sesebuah segi tiga boleh mempunyai dua nama, satu daripada sisi dan satu daripada sudut. Contohnya, segi tiga dengan sudut 90°, 45° dan 45° ialah segi tiga sama kaki bersudut tegak, dengan 1 paksi simetri. Segi tiga sama sisi juga ialah segi tiga sama kaki yang istimewa.

Untuk menentukan jenis segi tiga mengikut sudut, anda perlu tahu ketiga-tiga sudutnya. Jika dua sudut ialah 25° dan 35°, segi tiga itu bukan bersudut tirus: sudut ketiga = 180° − 25° − 35° = 120°, maka ia bersudut cakah.

Benar atau palsu? Terangkan. a) Segi tiga sama kaki mungkin bersudut cakah. b) Segi tiga bersudut tegak mungkin segi tiga sama kaki. c) Segi tiga tak sama kaki mempunyai satu paksi simetri. (Mari Berbincang, m.s. 207)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Benar, contohnya sudut 120°, 30°, 30°.
b) Benar, sudut 90°, 45°, 45° dengan dua sisi pendek sama panjang.
c) Palsu: segi tiga tak sama kaki tiada paksi simetri.

Sudut pedalaman dan sudut peluaran segi tiga

Sudut pedalaman ialah sudut di dalam segi tiga pada sesuatu bucu. Apabila sebuah sisi dipanjangkan, sudut antara garis yang dipanjangkan itu dengan sisi yang seterusnya ialah sudut peluaran.

Segi tiga dengan sudut pedalaman a, b, c; sisi dipanjangkan pada bucu sudut c untuk memberi sudut peluaran d — a, b dan c sudut pedalaman; d sudut peluaran (buku teks m.s. 209)

Bagi suatu segi tiga (Aktiviti Penerokaan 3):
(i) hasil tambah sudut pedalaman ialah 180°: a + b + c = 180°
(ii) hasil tambah sudut pedalaman dan sudut peluaran bersebelahan ialah 180° (sudut pada garis lurus): c + d = 180°
(iii) sudut peluaran sama dengan hasil tambah dua sudut pedalaman bertentangan: d = a + b

Fakta (iii) datang daripada (i) dan (ii): c + d dan a + b + c kedua-duanya 180°, maka d = a + b. Ia menjimatkan satu langkah dalam banyak soalan.

Contoh 3 (buku teks m.s. 209)

(a) Segi tiga dengan sudut 92 darjah, 37 darjah dan x. (b) Segi tiga dengan sudut pedalaman 79 dan 28 darjah, dan sudut peluaran x pada bucu ketiga

Cari nilai x bagi setiap rajah.

(a) 92° + 37° + x = 180° (hasil tambah sudut pedalaman)
129° + x = 180°, maka x = 180° − 129° = 51°
(b) x = 79° + 28° (sudut peluaran = hasil tambah dua sudut pedalaman bertentangan)
x = 107°

Cari nilai p atau x dalam setiap segi tiga. (a dan b daripada Latih Diri 9.2b no. 1, c daripada no. 2, m.s. 209)

(a) segi tiga dengan sudut 100 dan 45 darjah dan p. (b) segi tiga bersudut tegak dengan 43 darjah dan p. (c) segi tiga dengan sudut pedalaman 44 dan 38 darjah dan sudut peluaran x pada bucu ketiga

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) p = 180° − 100° − 45° = 35°
b) p = 180° − 90° − 43° = 47°
c) x = 44° + 38° = 82°

Menyelesaikan masalah yang melibatkan segi tiga

Banyak masalah memerlukan dua atau tiga langkah. Tulis setiap sudut yang anda cari bersama sebabnya, kemudian gunakannya pada langkah seterusnya. Simbol Δ digunakan untuk mewakili segi tiga.

Contoh 4 (buku teks m.s. 210)

Dalam rajah, PQRS ialah garis lurus dan TQ = TS. Hitung nilai x dan y.

Titik P, Q, R, S pada garis lurus; T di atas; TQ = TS ditandakan; sudut RTS = 46 darjah, sudut TRS = 84 darjah; x ialah sudut PQT; y ialah sudut QTR

Dalam ΔRST: ∠RST + 84° + 46° = 180°, maka ∠RST = 180° − 84° − 46° = 50°
TQ = TS, maka ΔQST sama kaki: ∠TQS = ∠RST = 50° (sudut tapak segi tiga sama kaki)
x + 50° = 180° (sudut pedalaman dan sudut peluaran bersebelahan), maka x = 130°
Dalam ΔQST: ∠QTS = 180° − 50° − 50° = 80°
y + 46° = 80°, maka y = 34°

Sudut tapak segi tiga sama kaki ialah sudut yang bertentangan dengan sisi yang sama panjang, bukan sudut di antara dua sisi itu. Lihat tanda pada sisi sebelum memutuskan sudut mana yang sama.

9.3Sifat sisi empat dan sudut pedalaman serta sudut peluaran sisi empat

Jenis sisi empat

Anak panah menandakan sisi selari: sisi dengan anak panah yang sama adalah selari.

Segi empat sama dengan 4 paksi simetri; segi empat tepat 2; segi empat selari tiada; rombus 2 (pada pepenjurunya); trapezium tiada; lelayang 1 — Sisi empat khas dan paksi simetrinya (buku teks m.s. 213)

Jenis sisi empat	Sifat geometri	Paksi simetri
Segi empat tepat	Pasangan sisi bertentangan sama panjang dan selari. Semua sudut pedalaman 90°. Pepenjuru sama panjang dan membahagi dua sama antara satu sama lain.	2
Segi empat sama	Semua sisi sama panjang. Pasangan sisi bertentangan selari. Semua sudut pedalaman 90°. Pepenjuru sama panjang dan membahagi dua sama serenjang antara satu sama lain.	4
Segi empat selari	Pasangan sisi bertentangan sama panjang dan selari. Sudut bertentangan sama. Pepenjuru membahagi dua sama antara satu sama lain.	tiada
Rombus	Semua sisi sama panjang. Pasangan sisi bertentangan selari. Sudut bertentangan sama. Pepenjuru membahagi dua sama serenjang antara satu sama lain.	2
Trapezium	Hanya satu pasangan sisi bertentangan yang selari.	tiada
Lelayang	Dua pasang sisi bersebelahan sama panjang. Mempunyai sepasang sudut bertentangan yang sama. Satu daripada pepenjuru membahagi dua sama serenjang bagi pepenjuru yang lain. Satu daripada pepenjuru membahagi dua sama sudut pada bucunya.	1

Kes khas: segi empat sama juga ialah segi empat tepat dan rombus (ia mempunyai semua sifat kedua-duanya). Segi empat tepat dan rombus ialah segi empat selari yang istimewa.

"Membahagi dua sama" tidak sama dengan "serenjang" (bertemu pada 90°). Pepenjuru segi empat tepat membahagi dua sama antara satu sama lain tetapi tidak serenjang kecuali ia segi empat sama.

a) Sisi empat manakah yang semua sisinya sama panjang? b) Sisi empat manakah yang semua sudutnya 90°? c) Nyatakan dua sifat rombus yang tiada pada segi empat selari biasa. (Mari Berbincang m.s. 213, Marilah Praktis no. 2 m.s. 221 dan Mahir Diri 9.3 no. 1 m.s. 218)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Segi empat sama dan rombus
b) Segi empat sama dan segi empat tepat
c) Semua sisi sama panjang; pepenjuru bersilang serenjang; mempunyai 2 paksi simetri (mana-mana dua)

Sudut pedalaman dan sudut peluaran sisi empat

Sisi empat dengan sudut pedalaman a, b, c, d dan sudut peluaran e di sebelah c; segi empat selari dengan sudut p, q, r, s dengan p bertentangan r dan q bertentangan s — Sudut sisi empat dan segi empat selari (buku teks m.s. 214 – 215)

Bagi suatu sisi empat (Aktiviti Penerokaan 5):
(a) hasil tambah sudut pedalaman ialah 360°: a + b + c + d = 360°
(b) hasil tambah sudut pedalaman dan sudut peluaran bersebelahan ialah 180°: c + e = 180°
(c) dalam segi empat selari (atau rombus), sudut bertentangan adalah sama: p = r dan q = s. Dua sudut yang bersebelahan berjumlah 180°: p + q = 180°.

Mengapa 360°? Sebuah pepenjuru membahagi mana-mana sisi empat kepada dua segi tiga, dan 2 × 180° = 360°.

Contoh 5 (buku teks m.s. 215)

Dalam setiap rajah, PST ialah garis lurus. Hitung nilai x dan y.

(a) Sisi empat PQRS dengan sudut peluaran TSR = 100 darjah, sudut PQR = 145 darjah, sudut SPQ = 52 darjah, x = sudut RSP, y = sudut QRS. (b) Segi empat selari dengan sudut 42 darjah, x = sudut RSP, y = sudut peluaran RST

(a) x + 100° = 180° (sudut pedalaman dan sudut peluaran bersebelahan), maka x = 80°
y + 80° + 52° + 145° = 360° (hasil tambah sudut pedalaman sisi empat)
y + 277° = 360°, maka y = 83°
(b) x = 42° (sudut bertentangan dalam segi empat selari adalah sama)
y + 42° = 180°, maka y = 138°

Dalam rajah, PQT ialah garis lurus. Hitung nilai x. (Latih Diri 9.3b no. 1, m.s. 216)

Sisi empat PQRS dengan sudut P = 68 darjah, sudut S = 115 darjah, sudut R = 118 darjah; PQ dipanjangkan ke T; x ialah sudut peluaran RQT

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

∠PQR = 360° − 68° − 115° − 118° = 59°
x = 180° − 59° = 121°

Menyelesaikan masalah yang melibatkan sisi empat

Contoh 6 (buku teks m.s. 216)

PQRU ialah sebuah segi empat sama dan QRSV ialah sebuah segi empat selari. PVR ialah garis lurus. Cari nilai x dan y.

Segi empat sama PQRU dengan pepenjuru PR; segi empat selari QRSV dengan V pada PR; sudut VSR = 72 darjah; x = sudut RVS; y = sudut PVQ

∠PQR = 90° dan PQ = QR, maka ∠QRV = 90° ÷ 2 = 45°.
VS selari dengan QR, maka x = ∠QRV = 45° (sudut selang-seli)
∠QVS + 72° = 180°, maka ∠QVS = 108°
∠QVR = 108° − 45° = 63°
PVR garis lurus, maka y = 180° − 63° = 117°

Menyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan segi tiga dan sisi empat

Contoh 7 (buku teks m.s. 217)

QRTU ialah sebuah segi empat selari dan PQRS ialah garis lurus. Cari nilai x dan y.

Segi empat selari QRTU pada garis PQRS dengan sudut PQU = 112 darjah; pepenjuru QT dengan sudut QTR = 36 darjah dan x = sudut TQR; segi tiga RST dengan sudut sama pada R dan S, y = sudut RTS

∠QRT = 112° (sudut sepadan, QU selari dengan RT)
Dalam ΔQRT: x + 112° + 36° = 180°, maka x = 32°
∠TRS + 112° = 180° (sudut pada garis lurus), maka ∠TRS = 68°
Dalam ΔRST, ∠TSR = ∠TRS = 68°: y + 68° + 68° = 180°, maka y = 44°

Beri sebab bagi setiap sudut (garis lurus, hasil tambah sudut, sudut bertentangan, segi tiga sama kaki, garis selari). Jika anda tidak dapat memberi sebab, anda mungkin telah menganggap sesuatu yang tidak diberi, seperti dua garis selari.

Empat sudut dalam sebuah sisi empat adalah dalam nisbah 3 : 4 : 5 : 6. Cari sudut yang terbesar. (Marilah Praktis no. 6, m.s. 221)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Jumlah bahagian = 3 + 4 + 5 + 6 = 18
Satu bahagian = 360° ÷ 18 = 20°
Sudut terbesar = 6 × 20° = 120°

Rumusan

Perkara	Fakta penting	Contoh
Poligon	Bentuk tertutup dengan 3 atau lebih sisi lurus; dinamakan mengikut bilangan sisi	5 sisi: pentagon; 8 sisi: oktagon
Bucu, pepenjuru	Bucu = sisi; pepenjuru = n(n − 3) ÷ 2	10 sisi: 10 bucu, 35 pepenjuru
Penamaan	Huruf mengikut urutan di sekeliling bentuk	heksagon ABCDEF
Segi tiga mengikut sisi	Sama sisi (3 paksi), sama kaki (1 paksi), tak sama kaki (tiada)	Sama kaki: sudut tapak sama
Segi tiga mengikut sudut	Bersudut tirus, bersudut cakah, bersudut tegak	25°, 35°, 120°: bersudut cakah
Sudut segi tiga	Sudut pedalaman 180°; pedalaman + peluaran bersebelahan = 180°; peluaran = hasil tambah dua pedalaman bertentangan	79° + 28° = 107°
Sisi empat	Segi empat sama (4 paksi), segi empat tepat (2), rombus (2), lelayang (1), segi empat selari dan trapezium (tiada)	Segi empat sama juga ialah rombus
Sudut sisi empat	Sudut pedalaman 360°; pedalaman + peluaran bersebelahan = 180°; segi empat selari: sudut bertentangan sama	360° − 80° − 52° − 145° = 83°