Matematik notesnota, bab 10

Perimeter dan Luas

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), pageshalaman 224–245

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menentukan perimeter pelbagai bentuk apabila panjang sisi diberi atau perlu diukur (10.1.1)
Saya boleh menganggar perimeter pelbagai bentuk, seterusnya menilai ketepatan anggaran dengan membandingkannya dengan nilai yang diukur (10.1.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan perimeter (10.1.3)
Saya boleh menganggar luas pelbagai bentuk dengan menggunakan pelbagai kaedah (10.2.1)
Saya boleh menerbitkan rumus luas segi tiga, segi empat selari, lelayang dan trapezium berdasarkan luas segi empat tepat (10.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan luas segi tiga, segi empat selari, lelayang, trapezium dan gabungan bentuk-bentuk tersebut (10.2.3)
Saya boleh membuat dan mengesahkan konjektur tentang perkaitan antara perimeter dan luas (10.3.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan perimeter dan luas segi tiga, segi empat tepat, segi empat sama, segi empat selari, lelayang, trapezium dan gabungan bentuk-bentuk tersebut (10.3.2)

Seorang petani yang ingin memagar sawah padi perlu tahu perimeter, iaitu jarak mengelilingi sawah itu. Seorang petani yang ingin tahu berapa banyak padi boleh ditanam pula perlu tahu luas, iaitu saiz permukaan tanah yang diliputi. Dalam bab ini anda akan mencari perimeter pelbagai bentuk, menggunakan rumus luas segi tiga, segi empat selari, lelayang dan trapezium, dan mengkaji perkaitan antara perimeter dengan luas.

Perkataan "perimeter" berasal daripada bahasa Yunani: peri bermaksud keliling dan meter bermaksud hitung. Catatan tentang luas ditemui dalam dokumen matematik Rhind Papyrus dari Mesir, kira-kira 1650 S.M. (buku teks m.s. 225).

Istilah	Maksud
perimeter	jumlah ukuran panjang sisi yang mengelilingi suatu kawasan tertutup
luas	saiz permukaan yang diliputi oleh suatu bentuk, dalam unit persegi (cm², m²)
panjang, lebar, tinggi	ukuran segi empat tepat; tinggi bagi segi tiga dan segi empat selari diukur secara tegak pada tapak
segi empat sama, segi empat tepat	segi empat dengan empat sudut tegak; semua sisi segi empat sama sama panjang
segi tiga, segi empat selari, lelayang, trapezium	bentuk yang rumus luasnya diterbitkan dalam bab ini
unit persegi, rumus, konjektur	segi empat sama berisi 1 unit; peraturan am dalam simbol; andaian yang dibuat daripada corak lalu disahkan

10.1Perimeter

Bagaimanakah anda menentukan perimeter? (10.1.1)

Perimeter ialah jumlah ukuran panjang sisi yang mengelilingi suatu kawasan tertutup. Untuk mencarinya, tambahkan panjang semua sisi. Perimeter ialah panjang, maka unitnya cm, m atau km (bukan cm²).

Dalam bentuk yang hanya mempunyai sisi mengufuk dan sisi menegak, sesetengah sisi tidak dilabelkan. Cari sisi itu daripada sisi yang diberi: jumlah sisi mengufuk di atas sama dengan jumlah sisi mengufuk di bawah, dan jumlah sisi menegak di kiri sama dengan jumlah sisi menegak di kanan.

Contoh 1(a) (buku teks m.s. 226)

Bentuk PQRSTUVW: PQ, RS dan TU sama panjang iaitu 4 cm, QR 3 cm, UV 9 cm

Tentukan perimeter bentuk PQRSTUVW.

PQ = RS = TU = 4 cm dan QR = ST = 3 cm.
VW = PQ + RS + TU = 4 + 4 + 4 = 12 cm, dan WP = UV = 9 cm.
Perimeter = PQ + QR + RS + ST + TU + UV + VW + WP = 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + 9 + 12 + 9 = 48 cm

Contoh 1(b) (buku teks m.s. 226)

Bentuk ABCDEF: AB 6 cm, BC 4 cm, DE 5 cm, FA 9 cm, EG 3 cm; garis putus-putus BE dan GD

CD = AF − GE = 9 − 3 = 6 cm. EF = AB = 6 cm.
Perimeter = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 6 + 4 + 6 + 5 + 6 + 9 = 36 cm

Jalan pintas bagi Contoh 1(a): tanpa tonjolan, bentuk itu ialah segi empat tepat 12 cm × 9 cm dengan perimeter 2 × (12 + 9) = 42 cm. Tonjolan menambah dua sisi menegak 3 cm + 3 cm, kerana sisi mengufuk di atasnya hanya menggantikan sisi 4 cm yang sama panjang. Maka perimeter = 42 + 6 = 48 cm.

Pergi mengelilingi bentuk mengikut turutan dan tanda setiap sisi yang telah ditambah. Murid sering terlupa sisi pendek yang tidak dilabelkan.

Contoh 2: sisi melengkung (buku teks m.s. 226 hingga 227)

Panjang garis lengkung diukur dengan benang: letakkan benang di sepanjang lengkung, luruskan, kemudian ukur benang itu dengan pembaris. Bagi objek berbentuk gerbang dalam buku teks, sisi yang diberi ialah 1 cm, 3 cm, 6 cm, 3 cm, 1 cm dan lengkung 6.3 cm.

Perimeter = 1 + 3 + 6 + 3 + 1 + 6.3 = 20.3 cm

Perimeter sebuah bilik makmal yang berbentuk segi empat tepat ialah 64 m. Panjangnya 23 m. Cari lebarnya. (Mahir Diri 10.1 no. 1)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Separuh perimeter = 64 ÷ 2 = 32 m = panjang + lebar. Lebar = 32 − 23 = 9 m.

Bagaimanakah anda menganggar perimeter dengan tepat? (10.1.2)

Kertas grid segi empat sama atau kertas graf boleh digunakan untuk menganggar perimeter suatu bentuk. Dalam Aktiviti Penerokaan 1 (berpasangan) anda menyurih bentuk objek (misalnya daun) pada kertas grid bersisi 1 cm, menganggar perimeternya dengan mengira petak, kemudian mengukur perimeter sebenar dengan pembaris atau benang dan membandingkan kedua-duanya.

Peratusan ralat = beza antara nilai anggaran dengan nilai sebenarnilai sebenar × 100%. Semakin kecil peratusan ralat, semakin jitu nilai anggaran itu.

Contoh: peratusan ralat (jawapan Latih Diri 10.1b, buku teks m.s. 228 dan 320)

Bentuk (a): anggaran 10 cm, ukuran 9.9 cm. Beza = 10 − 9.9 = 0.1 cm. Peratusan ralat = 0.1 ÷ 9.9 × 100% = 1.01%.
Bentuk (b): anggaran 11.5 cm, ukuran 12.3 cm. Beza = 12.3 − 11.5 = 0.8 cm. Peratusan ralat = 0.8 ÷ 12.3 × 100% = 6.5%.
Anggaran bentuk (a) lebih jitu kerana peratusan ralatnya lebih kecil.

Bahagikan beza dengan nilai sebenar (nilai yang diukur), bukan nilai anggaran. Gunakan beza positif.

Seorang murid menganggar perimeter sebuah bentuk sebagai 12.5 cm. Perimeter yang diukur ialah 12.6 cm. Hitung peratusan ralat, betul kepada 2 tempat perpuluhan.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Beza = 12.6 − 12.5 = 0.1. Peratusan ralat = 0.1 ÷ 12.6 × 100% = 0.79%. Anggaran itu sangat jitu.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah perimeter? (10.1.3)

Zon Aplikasi Matematik: memagar kawasan letak kereta (buku teks m.s. 228 hingga 229)

Pelan kawasan letak kereta KLMABCDEFG: KL 32 m, LM dan AM 8 m, AB 45 m, CD dan DE 35 m, EF 12 m, FG 30 m, laluan masuk HJ 10 m di tapak — Seluruh kawasan dipagar kecuali laluan masuk HJ dan pintu utama. Kos memagar RM80 semeter.

Cari sisi yang tidak diberi. BC = DE + FG − (AM + LK) = 35 + 30 − (8 + 32) = 25 m. GK = LM + AB + CD + EF = 8 + 45 + 35 + 12 = 100 m.
Panjang pagar = (AB + BC + CD + DE + EF + FG + GK + KL) − HJ = (45 + 25 + 35 + 35 + 12 + 30 + 100 + 32) − 10 = 314 − 10 = 304 m. Sisi LM dan AM tidak dipagar kerana pintu utama berada di sudut itu.
Kos = 304 × RM80 = RM24 320.

Kaedah alternatif: perimeter seluruh kawasan = 2 × [(LM + AB + CD + EF) + (DE + FG)] = 2 × [(8 + 45 + 35 + 12) + (35 + 30)] = 2 × 165 = 330 m. Panjang pagar = 330 − HJ − LM − MA = 330 − 10 − 8 − 8 = 304 m.

Soalan kos pagar: (1) cari perimeter, (2) tolak bahagian yang tidak dipagar seperti pintu atau laluan, (3) darabkan dengan kos semeter. Tolak pintu hanya sekali.

10.2Luas segi tiga, segi empat selari, lelayang dan trapezium

Bagaimanakah anda menganggar luas pelbagai bentuk? (10.2.1)

Luas bentuk yang tidak sekata boleh dianggar dengan dua kaedah dalam buku teks.

(i) Grid bersisi 1 unit. Kira petak yang penuh, kemudian kira petak yang meliputi setengah atau lebih sebagai satu petak.

Bentuk tidak sekata pada grid; petak penuh bertanda tik dan petak setengah atau lebih bertanda pangkah — Petak penuh (tanda tik) = 44. Petak meliputi setengah atau lebih (tanda pangkah) = 10. Luas lebih kurang 44 + 10 = 54 unit².

(ii) Garis-garis berjarak 1 unit. Lukis garis menegak berjarak 1 unit. Setiap garis dianggap satu segi empat tepat dengan lebar 1 unit, maka luasnya = panjang garis × 1.

Bentuk tidak sekata dengan sembilan garis menegak berjarak 1 unit, bernombor 1 hingga 9 — Panjang 9 garis: 4.4, 6.6, 7.2, 7.8, 8.0, 8.0, 6.4, 5.4 dan 2.6. Jumlah = 56.4, maka luas lebih kurang 56.4 unit².

Dua kaedah memberi nilai yang hampir (54 dan 56.4 unit²) kerana kedua-duanya anggaran. Kaedah garis biasanya lebih jitu kerana panjang diukur terus.

Bagaimanakah anda menerbitkan rumus luas pelbagai bentuk? (10.2.2)

Aktiviti Penerokaan 2 hingga 5 (berkumpulan) menerbitkan setiap rumus daripada luas segi empat tepat (panjang × lebar).

Empat rajah: segi tiga ialah separuh segi empat tepat; segi empat selari = a darab b; lelayang ialah separuh segi empat tepat a kali b; dua trapezium membentuk segi empat selari dengan tapak a + b — Setiap rumus diterbitkan daripada luas segi empat tepat (berdasarkan Aktiviti Penerokaan 2 hingga 5, m.s. 232 hingga 235).

Segi tiga (Aktiviti Penerokaan 2): pepenjuru membahagi segi empat tepat ABCD (a × b) kepada dua segi tiga sama luas, maka segi tiga ABD = ½ab. Untuk segi tiga yang tingginya jatuh di dalam atau di luar tapak, hasilnya sama.
Segi empat selari (Aktiviti Penerokaan 3): dua segi tiga BCE dan ADF sama luas, maka segi empat selari ABEF mempunyai luas yang sama dengan segi empat tepat ABCD, iaitu ab.
Lelayang (Aktiviti Penerokaan 4): lelayang terterap dalam segi empat tepat a × b; empat segi tiga di dalam lelayang masing-masing separuh daripada segi empat tepat kecil di sekelilingnya, maka lelayang = ½ab.
Trapezium (Aktiviti Penerokaan 5): dua trapezium yang sama diputar dan dicantum menjadi satu segi empat selari bertapak (a + b) dan tinggi t, maka satu trapezium = ½(a + b)t.

Luas segi tiga = ½ × panjang tapak × tinggi | Luas segi empat selari = panjang tapak × tinggi | Luas lelayang = ½ × hasil darab panjang dua pepenjuru | Luas trapezium = ½ × (hasil tambah dua sisi selari) × tinggi

Tapak dan tinggi sentiasa bersudut tegak. Dalam segi tiga atau segi empat selari, jangan gunakan sisi condong sebagai tinggi. Dalam trapezium, jumlahkan dua sisi yang selari sahaja.

Rumus luas segi empat selari dan rumus luas lelayang boleh digunakan untuk mencari luas rombus (Mari Berbincang, m.s. 235).

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan pelbagai bentuk? (10.2.3)

Contoh 3 (buku teks m.s. 236 hingga 237)

Segi tiga tapak 5 cm tinggi 4 cm; segi empat selari tapak 6.2 cm tinggi 3 cm; trapezium sisi selari 2 cm dan 5.4 cm tinggi 3 cm; lelayang pepenjuru (3 + 2) cm dan (2 + 2) cm

Luas = ½ × 5 × 4 = 10 cm²
Luas = 6.2 × 3 = 18.6 cm²
Luas = ½ × (2 + 5.4) × 3 = ½ × 7.4 × 3 = 11.1 cm²
Pepenjuru panjang = 3 + 2 = 5 cm dan pepenjuru pendek = 2 + 2 = 4 cm. Luas = ½ × 5 × 4 = 10 cm²

Zon Aplikasi Matematik: tanah PRTV (buku teks m.s. 237)

Tanah segi empat tepat PRTV 16 m panjang dan 10 m lebar; segi tiga PQW untuk pisang, trapezium UTSX untuk rambutan, selebihnya berlorek untuk betik

Segi tiga PQW ditanam pokok pisang dan trapezium UTSX ditanam pokok rambutan. Selebihnya berlorek untuk pokok betik. Cari luas kawasan berlorek.

Luas PRTV = (12 + 4) × (5 + 5) = 16 × 10 = 160 m².
Luas PQW = ½ × 4 × 5 = 10 m².
Luas UTSX = ½ × (3 + 4) × 5 = 17.5 m².
Luas berlorek = 160 − 10 − 17.5 = 132.5 m² (luas PRTV − luas PQW − luas UTSX).

Bagi bentuk gabungan, bahagikan kepada bentuk yang rumusnya diketahui dan tambah luasnya, atau tolak bentuk yang tidak termasuk daripada bentuk yang lebih besar (kawasan berlorek).

Hitung luas (a) segi tiga bertapak 6 cm dan tinggi 5 cm, (b) segi empat selari bertapak 7 cm dan tinggi 3.5 cm, (c) trapezium yang sisi selarinya 2.4 cm dan 6 cm serta tingginya 4 cm. (Latih Diri 10.2c)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) ½ × 6 × 5 = 15 cm². (b) 7 × 3.5 = 24.5 cm². (c) ½ × (2.4 + 6) × 4 = ½ × 8.4 × 4 = 16.8 cm².

10.3Perkaitan antara Perimeter dan Luas

Apakah perkaitan antara perimeter dan luas? (10.3.1)

Kassim mempunyai sebidang tanah kosong dan sepanjang 20 m pagar. Bagaimanakah dia memagar supaya luas kawasan paling besar? Konjektur ialah andaian yang dibuat daripada corak. Dalam Aktiviti Penerokaan 6 anda memeriksa dua perkara untuk segi empat tepat: apakah yang berlaku kepada luas apabila perimeter ditetapkan, dan apakah yang berlaku kepada perimeter apabila luas ditetapkan.

Perimeter ditetapkan 36 cm

Panjang + lebar = 36 ÷ 2 = 18 cm, maka lebar = 18 − panjang.

Panjang (cm)	17	16	15	14	13	12	11	10	9
Lebar (cm)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Luas (cm²)	17	32	45	56	65	72	77	80	81
Beza panjang dan lebar (cm)	16	14	12	10	8	6	4	2	0

Empat segi empat tepat berperimeter 36 cm: 17 kali 1, 14 kali 4, 12 kali 6 dan 9 kali 9 dengan luas 17, 56, 72 dan 81 sentimeter persegi — Perimeter yang sama, luas berbeza: semakin hampir kepada segi empat sama, semakin besar luasnya.

Luas ditetapkan 36 cm²

Panjang (cm)	36	18	12	9	6
Lebar (cm)	1	2	3	4	6
Perimeter (cm)	74	40	30	26	24

Bagi segi empat tepat dengan perimeter yang sama: semakin besar beza antara panjang dengan lebar, semakin kecil luasnya; luas terbesar apabila ia menjadi segi empat sama.
Bagi segi empat tepat dengan luas yang sama: semakin besar beza antara panjang dengan lebar, semakin besar perimeternya; perimeter terkecil apabila ia menjadi segi empat sama.

Dengan 20 m pagar, Kassim mendapat luas terbesar jika dia membentuk segi empat sama bersisi 5 m (luas 25 m²). Sebaliknya, segi empat tepat 9 m × 1 m (juga perimeter 20 m) hanya memberi 9 m².

Lebar sekeping kadbod segi empat tepat ialah 24 cm dan luasnya 960 cm². Cari perimeter kadbod itu. (Mahir Diri 10.3 no. 1)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Panjang = 960 ÷ 24 = 40 cm. Perimeter = 2 × (40 + 24) = 128 cm.

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang melibatkan perimeter dan luas? (10.3.2)

Contoh 4 (buku teks m.s. 241)

Luas sebuah kebun berbentuk segi empat sama ialah 500 m². Cari perimeter kebun itu.

Katakan panjang sisi = x m. Maka x² = 500, jadi x = √500 = 22.36 (2 tempat perpuluhan).
Perimeter = 22.36 × 4 = 89.44 m

Contoh 5 (buku teks m.s. 241)

Segi empat tepat PQRT dengan segi tiga PQS di dalamnya; S terletak pada sisi TR

Segi tiga PQS berada di dalam segi empat tepat PQRT. Perimeter segi empat tepat ialah 42 cm dan panjangnya dua kali lebarnya. Cari luas segi tiga PQS.

Katakan lebar = x cm dan panjang = y cm. Perimeter: 2x + 2y = 42 ... (1). Panjang dua kali lebar: y = 2x ... (2).
Gantikan (2) ke dalam (1): 2x + 2(2x) = 42, 6x = 42, x = 7, maka y = 14.
Tapak segi tiga PQS = PQ = 14 cm dan tingginya ialah lebar 7 cm. Luas = ½ × 14 × 7 = 49 cm².

Titik S boleh berada di mana-mana pada sisi TR; tinggi segi tiga PQS sentiasa 7 cm kerana tapak PQ selari dengan TR, maka luasnya tetap.

(a) Perimeter tapak sebuah dewan segi empat sama ialah 82 m. Cari luas tapak dewan itu. (b) Panjang sebuah segi empat tepat 5 cm lebih daripada lebarnya dan perimeternya 40 cm. Cari luasnya. (Latih Diri 10.3b)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) Sisi = 82 ÷ 4 = 20.5 m. Luas = 20.5² = 420.25 m².
(b) Lebar w, panjang w + 5: 2w + 2(w + 5) = 40, 4w = 30, w = 7.5 cm, panjang = 12.5 cm. Luas = 7.5 × 12.5 = 93.75 cm².

Rumusan perimeter dan luas

Peta konsep Rumusan: perimeter segi tiga P = a + b + c, segi empat selari P = 2a + 2b, lelayang P = 2a + 2b, trapezium P = a + b + c + d; luas segi tiga L = setengah ab, segi empat selari L = ab, lelayang L = setengah ab, trapezium L = setengah (a + b) t — Rumusan Bab 10

Tugasan (m.s. 245): anda diberi 20 m reben merah untuk mengelilingi tapak pameran di tepi dinding dengan 1 m ruang masuk dan keluar. Gunakan perkaitan antara perimeter dengan luas untuk memilih ukuran yang memberi luas terbesar, kemudian tulis laporan.