Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepadaTextbookBuku teks Matematik Tingkatan 1 (KSSM), pageshalaman 292-306
What this chapter coversMatlamat bab ini
Saya boleh mengenal pasti dan mendefinisikan hipotenus bagi sebuah segi tiga bersudut tegak (13.1.1)
Saya boleh menentukan hubungan antara sisi segi tiga bersudut tegak dan menerangkan teorem Pythagoras merujuk kepada hubungan itu (13.1.2)
Saya boleh menentukan panjang sisi yang tidak diketahui bagi sebuah segi tiga bersudut tegak dan bagi gabungan bentuk geometri (13.1.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan teorem Pythagoras (13.1.4)
Saya boleh menentukan sama ada suatu segi tiga ialah segi tiga bersudut tegak dan memberi justifikasi berdasarkan akas teorem Pythagoras (13.2.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan akas teorem Pythagoras (13.2.2)
Sudut tegak wujud dalam banyak objek di sekeliling kita: sudut bilik, bingkai pintu dan tangga yang bersandar pada dinding. Dalam pembinaan bangunan, jurubina menggunakan teorem Pythagoras untuk memastikan penjuru dinding bangunan yang dibina bersudut tegak (buku teks m.s. 292). Bab ini mempunyai dua bahagian: teorem Pythagoras dan akasnya.
Pythagoras (569 S.M. - 475 S.M.) ialah ahli matematik dan ahli falsafah Yunani. Beliau ialah orang pertama yang membuktikan teorem ini (m.s. 293). Istilah penting: hipotenus, teorem Pythagoras, akas teorem Pythagoras.
13.1Teorem Pythagoras
Hipotenus (13.1.1)
Saiz skrin monitor komputer (19 inci, 21 inci) diukur mengikut panjang pepenjurunya. Pepenjuru itu ialah sisi terpanjang bagi segi tiga bersudut tegak yang dibentuk oleh panjang dan lebar skrin (m.s. 294).
Sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut tegak bagi sebuah segi tiga bersudut tegak dipanggil hipotenus.
Walau bagaimana segi tiga itu diputar, hipotenus ialah sisi yang tidak menyentuh sudut tegak.
Letakkan jari pada tanda sudut tegak, kemudian lihat lurus ke seberang segi tiga. Sisi yang anda nampak ialah hipotenus.
Menyebut sisi terpanjang bagi sebarang segi tiga sebagai hipotenus. Hanya segi tiga bersudut tegak mempunyai hipotenus. Dalam segi tiga di bawah, sisi a ialah sisi terpanjang tetapi bukan hipotenus kerana sudut yang bertentangan dengannya ialah 95°, bukan 90° (Mari Berbincang, m.s. 294).
Contoh 1 (m.s. 295): kenal pasti hipotenus
(a) Sudut tegak di B, jadi hipotenus ialah AC.
(b) Dalam segi tiga PSR, sudut tegak di S, jadi hipotenus ialah PR.
Dalam segi tiga PRQ, sudut tegak di R, jadi hipotenus ialah PQ.
Apabila dua segi tiga berkongsi satu sisi, lihat satu segi tiga pada satu masa. PR ialah hipotenus bagi segi tiga PSR tetapi bukan hipotenus bagi segi tiga PRQ.
Segi tiga XYZ mempunyai sudut tegak di Y. (a) Namakan hipotenus. (b) Sudut yang manakah bertentangan dengan hipotenus?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) XZ (sisi yang tidak menyentuh Y) (b) ∠XYZ, iaitu sudut tegak
Hubungan antara sisi segi tiga bersudut tegak (13.1.2)
Dalam Aktiviti Penerokaan 2 (m.s. 295), segi empat sama dilukis pada setiap sisi segi tiga bersudut tegak ABC. Bentuk-bentuk pada segi empat sama di sisi AB dan BC dialihkan ke dalam segi empat sama di sisi AC dan ternyata memenuhinya sepenuhnya. Cuba dengan segi tiga yang sisinya 3, 4 dan 5 unit dan kira petak unit.
9 + 16 = 25: dua segi empat sama yang kecil memenuhi segi empat sama yang besar dengan tepat.
Teorem Pythagoras: dalam segi tiga bersudut tegak, luas segi empat sama pada hipotenus sama dengan jumlah luas segi empat sama pada dua sisi yang lain (m.s. 296). Jika c ialah hipotenus, a dan b ialah dua sisi yang lain: c² = a² + b²
Contoh 2 (m.s. 296): nyatakan hubungan antara panjang sisi
(a) Sudut tegak di Q, jadi hipotenus ialah PR: PR² = QR² + PQ²
(b) Hipotenus ialah c: c² = a² + b²
Meletakkan hipotenus pada sebelah yang salah, contohnya QR² = PR² + PQ². Hipotenus sentiasa berseorangan pada satu sebelah tanda sama dengan.
Menulis c = a + b. Teorem ini tentang kuasa dua sisi: 5 = 3 + 4 salah, tetapi 5² = 3² + 4² betul.
Tiga nombor a, b dan c yang memuaskan c² = a² + b² dipanggil trirangkap Pythagoras (Tahukah Anda?, m.s. 297).
a
b
c
a² + b²
c²
3
4
5
9 + 16 = 25
25
5
12
13
25 + 144 = 169
169
6
8
10
36 + 64 = 100
100
7
24
25
49 + 576 = 625
625
8
15
17
64 + 225 = 289
289
9
12
15
81 + 144 = 225
225
Gandaan sesuatu trirangkap juga ialah trirangkap: 3, 4, 5 menjadi 6, 8, 10 dan 9, 12, 15.
Menentukan panjang sisi yang tidak diketahui (13.1.3)
Jika panjang dua sisi sebuah segi tiga bersudut tegak diberi, teorem Pythagoras memberi sisi yang ketiga. Mula-mula tentukan: adakah sisi yang tidak diketahui itu hipotenus? (m.s. 296).
Mencari
Langkah
Rumus
hipotenus (sisi terpanjang)
kuasa dua, tambah, punca kuasa dua
c = √(a² + b²)
sisi yang lebih pendek
kuasa dua, tolak, punca kuasa dua
a = √(c² − b²)
Contoh 3 (m.s. 297): hitung nilai x
(a)x ialah hipotenus, maka tambah. x² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400 x = √400 = 20 (b) 26 cm ialah hipotenus, maka tolak.
26² = x² + 24² x² = 26² − 24² = 676 − 576 = 100 x = √100 = 10
Kalkulator: panjang hipotenus boleh dihitung dengan fungsi Pol. Misalnya, bagi Contoh 3(a), tekan Pol( 12 , 16 ) = (Celik Kalkulator, m.s. 297).
Terlupa langkah terakhir. x² = 400 bermakna x = √400 = 20, bukan 400.
Menambah apabila sisi yang dicari ialah sisi yang lebih pendek. Dalam (b), √(26² + 24²) = 35.38 lebih panjang daripada hipotenus, yang mustahil. Semak: hipotenus mesti sisi terpanjang.
Gabungan bentuk geometri
Sesetengah rajah mempunyai dua segi tiga bersudut tegak yang bercantum. Cari sisi yang dikongsi dahulu, kemudian gunakannya dalam segi tiga kedua.
Simpan nilai kuasa dua (seperti QS² = 100) dan gunakan terus dalam segi tiga seterusnya. Ini menjimatkan satu langkah dan mengelakkan ralat pembundaran.
Hitung nilai x. Beri jawapan betul kepada dua tempat perpuluhan jika perlu.
(a) Dua sisi yang lebih pendek ialah 10 cm dan 24 cm; hipotenus ialah x cm.
(b) Hipotenus ialah 15 cm dan satu sisi 9 cm; sisi yang lain ialah x cm.
(c) Dua sisi yang lebih pendek ialah 4 cm dan 7 cm; hipotenus ialah x cm.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
PVRQ dan RUTS ialah segi empat sama dengan sisi 12 cm dan 16 cm. Hitung perimeter seluruh rajah.
VR = 12 cm, RU = 16 cm dan ∠VRU = 90°.
VU² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400, VU = 20 cm
Perimeter = 20 + 16 + 16 + 16 + 12 + 12 + 12 = 104 cm
Menambah garis dalaman VR dan RU kepada perimeter. Perimeter hanyalah sempadan luar.
Menyelesaikan masalah (13.1.4)
Lukis (atau cari) segi tiga bersudut tegak dalam cerita itu, tandakan sudut tegak, labelkan sisi yang diketahui dan tentukan sama ada sisi yang dicari ialah hipotenus. Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat refleksi (m.s. 298).
Zon Aplikasi Matematik (m.s. 298): tangga ahli bomba
Seorang kanak-kanak terperangkap di tingkat tiga yang terbakar, 6 m dari tanah mengufuk. Kaki tangga dari dinding bangunan ialah 4.5 m. Berapakah panjang tangga itu?
Memahami masalah: tinggi 6 m, jarak kaki tangga dari dinding 4.5 m, cari panjang tangga. Merancang strategi: lukis segi tiga bersudut tegak PQR dan guna teorem Pythagoras. Tangga ialah hipotenus. Melaksanakan strategi: PR² = PQ² + QR² = 4.5² + 6² = 20.25 + 36 = 56.25, PR = √56.25 = 7.5 m Membuat refleksi: 7.5² = 56.25 betul, dan 7.5 m lebih panjang daripada 6 m dan 4.5 m.
Kapal A berada 34 km ke utara kapal B. Kapal C berada 10 km ke barat kapal A. Hitung jarak antara kapal B dengan kapal C, betul kepada dua tempat perpuluhan (Latih Diri 13.1d).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Utara dan barat berserenjang, jadi ∠BAC = 90° dan BC ialah hipotenus. BC² = 34² + 10² = 1 156 + 100 = 1 256 BC = √1 256 = 35.44 km
Seutas tali 7.2 m diikat pada puncak sebatang tiang bendera dan pada tanah mengufuk 4.5 m dari kaki tiang. Hitung tinggi tiang itu, betul kepada dua tempat perpuluhan (Mahir Diri 13.1).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Tali ialah hipotenus. tinggi² = 7.2² − 4.5² = 51.84 − 20.25 = 31.59 tinggi = √31.59 = 5.62 m
PQSU ialah sebuah segi empat tepat dengan PQ = 17 cm dan PU = 12 cm. R terletak pada QS dengan RQ = 4 cm, dan T terletak pada US dengan UT = 11 cm. Hitung perimeter rantau berlorek PQRTU (Latih Diri 13.1d).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
TS = 17 − 11 = 6 cm dan SR = 12 − 4 = 8 cm. RT² = 6² + 8² = 100, RT = 10 cm Perimeter = 17 + 4 + 10 + 11 + 12 = 54 cm
13.2Akas teorem Pythagoras
Menentukan sama ada segi tiga bersudut tegak (13.2.1)
Teorem berkata: sudut tegak → c² = a² + b². Akasnya pula: jika sisi memenuhi c² = a² + b², segi tiga itu mesti mempunyai sudut tegak. Maka kita boleh menguji sebuah segi tiga hanya dengan panjang sisinya (Aktiviti Penerokaan 3, m.s. 300).
Kekalkan sisi 6 dan 8 dan ubah sisi terpanjang c. Hanya c = 10 memberi sudut tegak.
Bandingan (c = sisi terpanjang)
Sudut yang bertentangan dengan c
c² < a² + b²
sudut tirus (kurang daripada 90°)
c² = a² + b²
sudut tegak (90°)
c² > a² + b²
sudut cakah (lebih daripada 90° tetapi kurang daripada 180°)
Akas teorem Pythagoras: jika c² = a² + b², maka sudut yang bertentangan dengan sisi c ialah sudut tegak.
Contoh 6 (m.s. 301): adakah segi tiga bersudut tegak?
(a) Sisi terpanjang = 25 cm. 25² = 625 dan 24² + 7² = 576 + 49 = 625
625 = 625, maka DEF ialah segi tiga bersudut tegak (sudut tegak di E, bertentangan dengan DF). (b) Sisi terpanjang = 20 cm. 20² = 400 dan 18² + 12² = 324 + 144 = 468
400 ≠ 468, maka STU bukan segi tiga bersudut tegak.
Menguji dengan sisi yang salah sebagai c. Sentiasa kuasa duakan sisi terpanjang secara berasingan. Bagi 27 m, 45 m, 35 m, sisi terpanjang ialah 45 m, bukan nombor yang ditulis terakhir.
Memutuskan dengan melihat sahaja. Segi tiga yang "nampak" bersudut tegak mungkin tidak. Anda mesti menunjukkan pengiraan dan menulis kesimpulan.
Adakah panjang sisi berikut membentuk segi tiga bersudut tegak? Tunjukkan kerja anda. (a) 9 cm, 40 cm, 41 cm (b) 27 m, 45 m, 35 m (c) 2.5 cm, 6 cm, 6.5 cm (d) 13 m, 84 m, 85 m
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 41² = 1 681; 9² + 40² = 81 + 1 600 = 1 681. Sama, maka ya. (b) 45² = 2 025; 27² + 35² = 729 + 1 225 = 1 954. Tidak sama, maka bukan (sudut yang bertentangan dengan 45 m ialah sudut cakah). (c) 6.5² = 42.25; 2.5² + 6² = 6.25 + 36 = 42.25. Sama, maka ya. (d) 85² = 7 225; 13² + 84² = 169 + 7 056 = 7 225. Sama, maka ya.
Menyelesaikan masalah yang melibatkan akas (13.2.2)
Contoh 7 (m.s. 301): hitung nilai x
20² + 21² = 400 + 441 = 841 = 29², jadi 20 cm, 21 cm dan 29 cm memuaskan c² = a² + b². Maka ∠PQS = 90°.
∠SQR = 360° − 90° − 155° = 115° x = 180° − 115° − 28° = 37°
Contoh 8 (m.s. 302): straw Sheila
Sheila diberi tiga batang straw yang panjangnya 15 cm, 20 cm dan 25 cm. Dapatkah dia membentuk rangka segi tiga bersudut tegak?
15² + 20² = 225 + 400 = 625 dan 25² = 625. Maka 15² + 20² = 25², jadi ya: sudut yang bertentangan dengan straw 25 cm ialah sudut tegak.
Untuk menyemak sama ada dinding tegak: tangga 2.5 m bersandar pada dinding dengan kaki tangga 1.5 m dari dinding, dan puncaknya 2 m tinggi. 1.5² + 2² = 2.25 + 4 = 6.25 = 2.5². Maka dinding itu membuat sudut tegak dengan tanah, iaitu dinding itu tegak (Latih Diri 13.2b).
Dalam rajah, PQRS ada pepenjuru QS. PQ = 6 m, QS = 8 m, PS = 10 m, ∠QRS = 65° dan ∠QSR = 45°. Cari ∠PQR (Latih Diri 13.2b).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
