Matematik notesnota, bab 2
Pemfaktoran dan Pecahan Algebra
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 18-41
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh menerangkan maksud kembangan ungkapan algebra dan kembangan dua ungkapan algebra (2.1.1)
- Saya boleh melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra (2.1.2)
- Saya boleh mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan gabungan operasi termasuk kembangan (2.1.3)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan kembangan dua ungkapan algebra (2.1.4)
- Saya boleh menghubungkaitkan pendaraban ungkapan algebra dengan konsep faktor dan pemfaktoran, dan menyenaraikan faktor bagi hasil darab ungkapan algebra (2.2.1)
- Saya boleh memfaktorkan ungkapan algebra dengan pelbagai kaedah (FSTB, beza antara dua kuasa dua, pendaraban silang dan mengumpulkan faktor sepunya) (2.2.2)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan pemfaktoran (2.2.3)
- Saya boleh melaksanakan penambahan dan penolakan ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran (2.3.1)
- Saya boleh melaksanakan pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran (2.3.2)
- Saya boleh melaksanakan gabungan operasi ungkapan algebra yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran (2.3.3)
2.1Kembangan
Kembangan ungkapan algebra ialah hasil pendaraban satu atau dua ungkapan algebra. Setiap sebutan di dalam kurungan mesti didarab dengan setiap sebutan di luar kurungan.
Kaedah jubin algebra (Aktiviti Kreatif)
Luas segi empat tepat boleh dikira dengan dua kaedah. Contohnya, kertas biru 6 cm × 6 cm dan kertas hijau 6 cm × 2 cm: Kaedah 1 ialah luas biru + luas hijau = 36 + 12 = 48 cm2; Kaedah 2 ialah panjang × (lebar biru + lebar hijau) = 6 × (6 + 2) = 48 cm2. Kedua-dua kaedah memberi jawapan yang sama, jadi 6(6 + 2) = 6 × 6 + 6 × 2. Hal yang sama berlaku untuk jubin algebra: jika sisi segi empat sama ialah x cm dan sisi segi empat tepat ialah 3 cm, luas ABCD = x(x + 3) = x2 + 3x cm2.
Kembangan dengan satu kurungan
Gunakan Hukum Kalis Agihan: a(b + c) = ab + ac dan a(b − c) = ab − ac. Perhatikan tanda: (+) × (+) = +, (+) × (−) = −, (−) × (+) = −, (−) × (−) = +.
Contoh 1 (m.s. 21–22): kembangkan
(a) 6(3 + 4w) = (6 × 3) + (6 × 4w) = 18 + 24w(b) 3r(r − 2s) = 3r2 − 6rs
(c) −5b(a + 3) = −5ab − 15b
(d) −2y3(9y − 3z + 6x) = −6y2 + 2yz − 4xy
Terlupa tanda di hadapan kurungan. Dalam (c), −5b mendarab kedua-dua sebutan, jadi +3 menjadi −15b, bukan +15b.
Kembangan dua ungkapan algebra
Dalam Aktiviti, segi empat sama RSTU bersisi a + b dibahagi kepada empat bahagian A, B, C dan D. Kaedah 1 menjumlahkan empat luas itu dan Kaedah 2 mengira (a + b)(a + b). Kedua-duanya memberi a2 + ab + ab + b2. Maka setiap sebutan dalam kurungan pertama mesti didarab dengan setiap sebutan dalam kurungan kedua.
Rajah dilukis semula berdasarkan buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 22–23.
Contoh 2 (m.s. 23–24): kembangkan
(a) (y + 1)(y − 3) = y(y − 3) + 1(y − 3) = y2 − 3y + y − 3 = y2 − 2y − 3(b) (4 + 3r)(2 + r) = 8 + 4r + 6r + 3r2 = 3r2 + 10r + 8
(c) (3r + 4s)(r − 2s) = 3r2 − 6rs + 4sr − 8s2 = 3r2 − 2rs − 8s2
(d) (3p + 2)2 = (3p + 2)(3p + 2) = 9p2 + 6p + 6p + 4 = 9p2 + 12p + 4
Sebutan algebra disusun daripada kuasa tertinggi kepada kuasa terendah. Ingat sr = rs, maka 4sr dan −6rs ialah sebutan serupa yang boleh diselesaikan.
Tiga hasil yang perlu diingat
| Kembangan | Hasil |
|---|---|
| (a + b)2 = (a + b)(a + b) | a2 + 2ab + b2 |
| (a − b)2 = (a − b)(a − b) | a2 − 2ab + b2 |
| (a + b)(a − b) | a2 − b2 |
(a + b)(a − b) = a2 − b2, tetapi (a + b)(a + b) bukan a2 + b2 dan (a − b)(a − b) bukan a2 − b2. Sebutan tengah 2ab tidak boleh ditinggalkan. Ujian: a = 3, b = 2 memberi (3 + 2)2 = 25 tetapi 32 + 22 = 13.
Jom Fikir: pengembangan (a + b)n mempunyai pekali yang sama dengan baris Segi Tiga Pascal (1, 2, 1 untuk n = 2; 1, 3, 3, 1 untuk n = 3).
Tahukah Anda? Kaedah alternatif untuk (a + 2)(a + 1): pendaraban silang atau bentuk lazim (pendaraban bersusun). Kedua-duanya memberi a2 + 3a + 2.
Jom cuba: Kembangkan (a) (2x + 3)(x − 5) (b) (x − 7)2
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 2x2 − 10x + 3x − 15 = 2x2 − 7x − 15
(b) x2 − 14x + 49
(b) x2 − 14x + 49
Gabungan operasi termasuk kembangan
Ikut hukum BODMAS: kurungan (kembangkan dahulu), kemudian darab dan bahagi, akhir sekali tambah dan tolak. Selesaikan sebutan serupa pada akhir.
Contoh 3 (m.s. 25): permudahkan
(a) (3w − 2)(4w − 1) − 10w = 12w2 − 3w − 8w + 2 − 10w = 12w2 − 21w + 2(b) (r − 3t)2 + 4rt = r2 − 3rt − 3rt + 9t2 + 4rt = r2 − 2rt + 9t2
(c) (x + y)(x − y) + x(x − 2y) = x2 − y2 + x2 − 2xy = 2x2 − y2 − 2xy
Penyelesaian masalah
Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan.
Contoh 4 (m.s. 25): luas permaidani
Permaidani Puan Maria panjangnya (3r − 2) m dan lebarnya (r + 1) m. Luas = (3r − 2)(r + 1) = 3r2 + 3r − 2r − 2 = (3r2 + r − 2) m2.Contoh 5 (m.s. 25–26): baki wang saku
Ramesh menerima RM50 untuk (y − 8) hari. Setiap hari dia membelanjakan RM(x − 3) untuk secawan kopi dan RM(x + 4) untuk mi rebus.Memahami: belanja sehari = (x − 3) + (x + 4) = 2x + 1.
Merancang: jumlah belanja = hari × harga = (y − 8)(2x + 1) = 2xy + y − 16x − 8.
Melaksanakan: baki = 50 − (2xy + y − 16x − 8) = 58 − 2xy − y + 16x.
Kesimpulan: baki wang saku ialah RM(58 − 2xy − y + 16x).
Tanda tolak di hadapan kurungan mengubah tanda semua sebutan di dalamnya: 50 − (2xy + y − 16x − 8) memberi +16x dan +8.
2.2Pemfaktoran
Pemfaktoran ialah proses menulis ungkapan algebra sebagai hasil darab dua atau lebih sebutan atau ungkapan algebra. Pemfaktoran ialah songsangan kepada kembangan: a(a + b) = a2 + ab ialah kembangan jika dibaca dari kiri ke kanan dan pemfaktoran jika dibaca dari kanan ke kiri.
Faktor, faktor sepunya dan FSTB
Faktor bagi 3p ialah 1, 3, p dan 3p (kerana 1 × 3p dan 3 × p). Faktor sepunya ialah faktor bagi dua atau lebih sebutan. Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) ialah faktor yang terbesar antara semua faktor sepunya. 1 ialah faktor bagi semua sebutan algebra.
Contoh 6 (m.s. 28): senaraikan faktor sepunya
(a) 6h = 2 × 3 × h dan 4gh = 2 × 2 × g × h. Faktor sepunya ialah 1, 2, h dan 2h, maka FSTB = 2h.(b) 9c2d, 3d2e dan 6def: faktor sepunya ialah 1, 3, d dan 3d, maka FSTB = 3d.
Memfaktorkan dengan pelbagai kaedah
| Apa yang anda lihat | Kaedah | Contoh |
|---|---|---|
| Semua sebutan ada faktor sepunya | Menggunakan FSTB | 8x + 12x2 = 4x(2 + 3x) |
| Dua sebutan kuasa dua sempurna dengan tanda tolak | Beza antara dua kuasa dua: x2 − y2 = (x + y)(x − y) | 9m2 − 100 = (3m + 10)(3m − 10) |
| Tiga sebutan ax2 + bx + c | Pendaraban silang | m2 − 2m − 8 = (m + 2)(m − 4) |
| Empat sebutan | Mengumpulkan sebutan yang ada faktor sepunya (Hukum Kalis Agihan) | pq + qr + ps + rs = (q + s)(p + r) |
Semak jawapan dengan kaedah kembangan. Hasil kembangan mesti sama dengan ungkapan asal. FSTB juga boleh dicari dengan pembahagian berulang (membahagi semua sebutan dengan faktor sepunya sehingga tiada faktor sepunya lagi).
Menggunakan FSTB
Contoh 7 (m.s. 29): faktorkan
(a) 3x + 15 = 3(x + 5)(b) 7m + 21m2 = 7m(1 + 3m) (FSTB = 7m)
Beza antara dua kuasa dua
x2 − y2 ialah sebutan beza kuasa dua. Kaedah ini hanya boleh digunakan jika kedua-dua sebutan algebra ialah kuasa dua sempurna (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …). Contohnya x2 − 4 = x2 − 22 = (x + 2)(x − 2).
Contoh 8 (m.s. 29–30): faktorkan
(a) b2 − 1 = b2 − 12 = (b + 1)(b − 1)(b) 9m2 − 100 = (3m)2 − 102 = (3m + 10)(3m − 10)
(c) 3y2 − 147 = 3(y2 − 49) = 3(y + 7)(y − 7)
(d) 5k2 − 80 = 5(k2 − 16) = 5(k + 4)(k − 4)
Berhenti terlalu awal. 3y2 − 147 belum menjadi beza dua kuasa dua sempurna sehingga FSTB 3 dikeluarkan dahulu. Sentiasa keluarkan faktor sepunya dahulu.
| Identiti pemfaktoran | Hasil |
|---|---|
| (x + y)2 | (x + y)(x + y) = x2 + 2xy + y2 |
| (x − y)2 | (x − y)(x − y) = x2 − 2xy + y2 |
| x2 − y2 | (x + y)(x − y) |
Pendaraban silang untuk ax2 + bx + c
Bagi ax2 + bx + c dengan a ≠ 0 dan a, b, c integer. Contoh x2 + 6x + 8 (a = 1, b = 6, c = 8):
- Langkah 1: bandingkan pekali dengan ax2 + bx + c.
- Langkah 2: faktor bagi 8 ialah 1, 2, 4 dan 8. Pilih 2 dan 4 kerana 2 × 4 = 8 (menepati c).
- Langkah 3: 2 + 4 = 6 (menepati b).
- Langkah 4: lakukan darab silang: 4x + 2x = 6x.
- Langkah 5: faktor x2 + 6x + 8 ialah (x + 2)(x + 4).
Rajah dilukis semula berdasarkan buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 30.
Contoh 9–11 (m.s. 31): faktorkan
(a) x2 − 6x + 9: faktor 9 yang berjumlah −6 ialah −3 dan −3, maka (x − 3)(x − 3) = (x − 3)2.(b) m2 − 2m − 8: hasil darab −8 dan hasil tambah −2 ialah 2 dan −4, maka (m + 2)(m − 4).
(c) 2m2 + 7m + 6: cubaan pertama (2m + 1)(m + 6) memberi 13m (salah); cubaan kedua (2m + 3)(m + 2) memberi 4m + 3m = 7m (betul).
(d) −2y2 − 9y + 5 = (2y − 1)(−y − 5)
(e) −3x2 − 8x − 5 = (3x + 5)(−x − 1)
Jom Fikir: −2y2 − 9y + 5 juga boleh ditulis (−2y + 1)(y + 5). Kedua-dua jawapan betul kerana (2y − 1)(−y − 5) dan (−2y + 1)(y + 5) memberi kembangan yang sama.
Tahukah Anda? Pemfaktoran juga boleh dibuat dengan pembahagian panjang: (x2 + 6x + 8) ÷ (x + 2) = x + 4 tanpa baki.
Empat sebutan: mengumpulkan faktor sepunya
Contoh 12 (m.s. 32): faktorkan
(a) pq + qr + ps + rs = (pq + qr) + (ps + rs) = q(p + r) + s(p + r) = (q + s)(p + r)(b) 2px + 6qy − 4py − 3qx: susun semula 2px − 4py − 3qx + 6qy = 2p(x − 2y) − 3q(x − 2y) = (x − 2y)(2p − 3q)
Jom cuba: Faktorkan (a) x2 − 100 (b) x2 + 2x − 15 (c) 6xy + 2y + 9x + 3
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) (x + 10)(x − 10)
(b) hasil darab −15 dan hasil tambah 2 ialah 5 dan −3: (x + 5)(x − 3)
(c) 2y(3x + 1) + 3(3x + 1) = (2y + 3)(3x + 1)
(b) hasil darab −15 dan hasil tambah 2 ialah 5 dan −3: (x + 5)(x − 3)
(c) 2y(3x + 1) + 3(3x + 1) = (2y + 3)(3x + 1)
Penyelesaian masalah
Contoh 13 (m.s. 32): padang yang ditenggelami air
Luas padang bola sepak segi empat tepat ialah (4x2 + 16x) m2. Lebarnya 4x m. Dua segi tiga bersudut tegak yang sama saiz ditenggelami air.Panjang = luas ÷ lebar = 4x(x + 4)4x = (x + 4) m.
Tapak setiap segi tiga = 4x ÷ 2 = 2x, maka luas dua segi tiga = 2 × 12 × 2x × (x + 4) = 2x2 + 8x.
Luas kawasan yang tidak ditenggelami air = 4x2 + 16x − (2x2 + 8x) = (2x2 + 8x) m2.
2.3Ungkapan algebra dan hukum operasi asas aritmetik
Pecahan algebra mempunyai ungkapan algebra pada pengangka, penyebut atau kedua-duanya. Hukumnya sama seperti pecahan nombor, tetapi anda perlu memfaktorkan dahulu apabila ada kembangan atau pemfaktoran.
Penambahan dan penolakan
Contoh 14 (m.s. 34): permudahkan
(a) 2x2 − 2(4x + 5) = 2x2 − 8x − 10 = 2(x2 − 4x − 5) = 2(x − 5)(x + 1)(b) 4w(w − 2) − 5 = 4w2 − 8w − 5 = (2w − 5)(2w + 1)
Penyebut yang sama: tambah atau tolak pengangka sahaja dan salin penyebut.
Contoh 15 (m.s. 34): permudahkan
(a) 4a5 + 3a5 = 7a5(b) y2x − 3y2x = y − 3y2x = −2y2x = −yx
(c) x + 25w − x − 55w = x + 2 − (x − 5)5w = 75w
Menolak pecahan yang pengangkanya mempunyai dua sebutan. Dalam (c), tanda tolak mengubah kedua-dua sebutan (x − 5): −(x − 5) = −x + 5. Tulis pengangka di dalam kurungan sebelum menolak. Ingat juga tanda negatif tidak boleh berada di bahagian penyebut.
Penyebut berbeza: samakan penyebut dengan Gandaan Sepunya Terkecil (GSTK) dahulu.
Contoh 16–18 (m.s. 35): permudahkan
(a) 34y − 12y = 34y − 24y = 14y (satu penyebut ialah gandaan penyebut lain)(b) 4rs − 2rs = 4rs − 2r2rs = 4 − 2r2rs
(c) 5x3 − 3x2 = 10x6 − 9x6 = x6 (penyebut tiada faktor sepunya)
(d) 2a3 + b2c = 4ac6c + 3b6c = 4ac + 3b6c
(e) 14p + 46p: GSTK = 12p, maka 312p + 812p = 1112p
(f) m4r − 5m14rs: GSTK = 28rs, maka 7ms28rs − 10m28rs = 7ms − 10m28rs
Jom cuba: Permudahkan a3 + 2a5
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
5a15 + 6a15 = 11a15
Pendaraban dan pembahagian
Faktorkan pengangka dan penyebut, tukar ÷ kepada × dengan salingan pecahan itu, kemudian permudahkan faktor sepunya. Contoh: (2p + 4) ÷ (p2 − 4) = 2(p + 2)(p + 2)(p − 2) = 2p − 2.
Contoh 19 (m.s. 36): permudahkan
(a) a2 − 12ab × b21 + a = (a + 1)(a − 1)2ab × b(b)1 + a = b(a − 1)2a(b) (h + k)22k − h × 6k − 3hh2 − k2 = (h + k)(h + k)2k − h × 3(2k − h)(h + k)(h − k) = 3(h + k)h − k
(c) 5aa + 2b ÷ 2ab3a + 6b = 5aa + 2b × 3(a + 2b)2ab = 152b
(d) a − b3a + b ÷ (a − b)26a + 2b = a − b3a + b × 2(3a + b)(a − b)(a − b) = 2a − b
Memotong sebutan dan bukan faktor. x + 22 bukan x + 1; hanya faktor (yang didarab) boleh dipotong, jadi faktorkan dahulu. Ingat juga a + 1 = 1 + a, a − b = −(b − a) dan (p − q)2 = (q − p)2.
Jom cuba: Permudahkan x + 2x2 − 4
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
x + 2(x + 2)(x − 2) = 1x − 2
Gabungan operasi
Kembangkan dan faktorkan mengikut keperluan, kemudian tambah, tolak, darab atau bahagi. Permudahkan setiap pecahan sebelum menggabungkannya. Ingat: dua sebutan boleh difaktorkan dengan a2 − b2 = (a + b)(a − b); tiga sebutan dengan pendaraban silang; empat sebutan dengan mengumpulkan faktor sepunya.
Contoh 20 (m.s. 37): selesaikan
(a) 25b(15a + 25b) + ab = 25b × 5(3a + 5b) + ab = 2(3a + 5b)b + ab = 7a + 10bb(b) 9k2 − 12k + 4(3k + 2)(3k − 2) = (3k − 2)(3k − 2)(3k + 2)(3k − 2) = 3k − 23k + 2
(c) 12m − 18m24n2 − 16n × nm = 6m(2 − 3m)4n(n − 4) × nm = 3(2 − 3m)2(n − 4)
Jom cuba: Permudahkan x2 − 9x + 3 × 2x − 3
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(x + 3)(x − 3)x + 3 × 2x − 3 = 2
Inti pati bab
| Topik | Ringkasan |
|---|---|
| Kembangan | a(x + y) = ax + ay; (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by; (b + c)2 = b2 + 2bc + c2; (b − c)(b + c) = b2 − c2 |
| Pemfaktoran | Songsangan kepada kembangan: 2a − a2 = a(2 − a); a2 − 36 = (a − 6)(a + 6); a2 − 7a + 10 = (a − 5)(a − 2); ab + ac + bd + cd = (b + c)(a + d) |
| Tambah dan tolak | Samakan penyebut dahulu, kemudian tambah atau tolak pengangka sahaja. |
| Darab dan bahagi | Faktorkan jika perlu sebelum pendaraban atau pembahagian; tukar ÷ kepada × salingan. |
Projek Mini: sukatan sebaldi air (dilabel z) diukur dengan botol mineral kecil (dilabel x) dan botol mineral besar (dilabel y). Tulis hubungan algebra bagi sukatan itu dan bandingkan hasil antara kumpulan.