Matematik notesnota, bab 3

Rumus Algebra

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 42–53

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh membentuk rumus berdasarkan suatu situasi (3.1.1)
Saya boleh menukar perkara rumus bagi suatu persamaan algebra (3.1.2)
Saya boleh menentukan nilai suatu pemboleh ubah apabila nilai pemboleh ubah lain diberikan (3.1.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan rumus (3.1.4)

3.1Rumus algebra

Pemboleh ubah ialah kuantiti yang nilainya belum dikenal pasti atau boleh berubah (contohnya m, n, x). Pemalar ialah kuantiti yang nilainya tetap (contohnya 3 atau RM6). Ungkapan algebra ialah gabungan dua atau lebih sebutan algebra menggunakan operasi tambah, tolak, darab atau bagi. Rumus algebra ialah ungkapan algebra yang ditulis dalam bentuk persamaan dan menghubungkan beberapa pemboleh ubah.

Contohnya Badrul menerima wang saku RM5 sehari dan berbelanja RM4.50 sehari. Wang simpanan bergantung kepada bilangan hari, jadi wang simpanan = (5 − 4.50) × bilangan hari. Dengan mengubah nilai pemboleh ubah, jumlah wang simpanan dapat ditentukan (Aktiviti Kreatif, m.s. 44).

3.1.1 Membentuk rumus

Bacalah situasi itu, wakilkan setiap kuantiti yang tidak diketahui dengan satu huruf, kemudian hubungkan kuantiti itu dengan operasi yang betul. Jadual berikut (Rangsangan Minda, m.s. 44–45) menunjukkan bilangan penari dalam sebuah kelab kebudayaan.

Jadual penari. Sumazau: Melayu a, Cina 2c, India 2a. Kuda Kepang: Melayu 2b, Cina b, India 5b. Singa: Melayu 2c, Cina 3a, India c — Bilangan penari mengikut jenis tarian dan bangsa. Huruf a, b dan c ialah pemboleh ubah.

Jadual daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 45.

Tambahkan sebutan mengikut bangsa atau mengikut tarian:

s, bilangan penari bangsa Cina: s = 2c + b + 3a
d, bilangan penari tarian Kuda Kepang: d = 2b + b + 5b = 8b
w, bilangan penari India dan Melayu: w = (2a + 5b + c) + (a + 2b + 2c) = 3a + 7b + 3c

Dalam rumus di atas, s, d dan w ialah perkara rumus: huruf tunggal di sebelah kiri atau kanan persamaan. Pemboleh ubah boleh diwakili oleh mana-mana huruf a hingga z.

Contoh 1 (m.s. 45): harga jualan kek dengan diskaun

Suzi menjual kek coklat pada harga RM3 sepotong dan kek keju pada harga dua kali ganda harga kek coklat. Sempena pembukaan cawangan baru, semua harga kek diberikan diskaun 10%. Terbitkan rumus harga jualan, z, jika m potong kek coklat dan n potong kek keju berjaya dijual.
Harga kek keju = 2 × RM3 = RM6
Harga sebelum diskaun = (m × RM3) + (n × RM6) = 3m + 6n
Selepas diskaun 10%, bayaran = 100% − 10% = 90% = 0.9
z = 0.9(3m + 6n) = 2.7m + 5.4n

Diskaun 10% bermaksud membayar 90%, bukan 10%. Darabkan seluruh kurungan dengan 0.9, bukan satu sebutan sahaja.

Contoh tambahan: bayaran sewa

Bayaran sewa sebuah gelanggang sepak takraw ialah RM5 bagi satu jam yang pertama dan RM3 bagi setiap jam yang berikutnya (Menjana Kecemerlangan, m.s. 51). Bagi h jam, jam yang berikutnya ialah (h − 1).
p = 5 + 3(h − 1) = 3h + 2. Semakan: h = 4 memberi p = 3(4) + 2 = RM14, dan 5 + 3 + 3 + 3 = 14.

Seorang tukang jahit mengenakan bayaran RM30 untuk sehelai baju kurung dan RM18 untuk sehelai skirt. (a) Tulis rumus jumlah bayaran, C, bagi k helai baju kurung dan s helai skirt. (b) Cari C apabila k = 2 dan s = 3.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

(a) C = 30k + 18s
(b) C = 30(2) + 18(3) = 60 + 54 = RM114

3.1.2 Menukar perkara rumus

Perimeter, P, sebuah segi tiga sama kaki dengan tapak a dan dua sisi sama panjang b ialah P = a + 2b. Perkara rumus ialah P. Rumus ini boleh ditulis semula dengan a sebagai perkara rumus, a = P − 2b, atau dengan b sebagai perkara rumus, b = P − a2.

Anggaplah persamaan sebagai neraca: lakukan operasi yang sama pada kedua-dua belah persamaan. Untuk mengasingkan perkara rumus yang baharu, buat operasi songsang mengikut tertib terbalik.

Pemboleh ubah itu telah	Operasi songsang pada kedua-dua belah
ditambah: + q	tolak q
ditolak: − q	tambah q
didarab dengan q	bahagi dengan q
dibahagi dengan q	darab dengan q
dikuasaduakan: p²	punca kuasa dua
punca kuasa dua: √p	kuasa dua

Pekali bagi perkara rumus mestilah 1 dan perkara rumus sebaik-baiknya ditulis di sebelah kiri. Jika anda mendapat −m = ..., darabkan kedua-dua belah dengan −1.

Contoh 2 (m.s. 46): ungkapkan m sebagai perkara rumus

(a) q = m + p. Tolak p daripada kedua-dua belah: m = q − p
(b) b = 2s − m. Tambah m: m + b = 2s, maka m = 2s − b. (Buku teks menulis 2s − m = b, −m = b − 2s, kemudian mendarab dengan −1 untuk mendapat m = 2s − b.)
(c) a = 52m. Darab dengan 2m: 2am = 5. Bahagi dengan 2a: m = 52a
(d) t = m − n−3. Darab dengan −3: m − n = −3t. Tambah n: m = n − 3t

Contoh 3 (m.s. 47): ungkapkan p sebagai perkara rumus

(a) q = √p. Kuasa duakan kedua-dua belah: p = q²
(b) s = p². Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah: p = √s
(c) w = √(p3). Kuasa duakan: w² = p3, maka p = 3w²
(d) t = 1p². Darab dengan p²: tp² = 1, p² = 1t, maka p = √(1t)

Ingat: (√a)² = a dan √(a²) = a. Salingan bagi x ialah 1x. Punca kuasa dua boleh memberi dua nilai: jika x² = a maka x = ±√a.

Bahagikan setiap sebutan. Daripada y = 3x − 5, x = y + 53, bukan y + 53. Apabila mengkuasaduakan, kuasa duakan seluruh sebelah persamaan itu.

Ungkapkan x sebagai perkara rumus. (a) y = 3x − 5 (b) T = √(2x)

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

(a) y + 5 = 3x, maka x = y + 53
(b) T² = 2x, maka x = T²2

3.1.3 Menentukan nilai pemboleh ubah

Nilai perkara rumus diperoleh apabila nilai semua pemboleh ubah lain diberikan, dengan menggantikan nilai itu ke dalam rumus. Sebaliknya, nilai suatu pemboleh ubah lain boleh diperoleh apabila nilai perkara rumus dan pemboleh ubah yang lain diberikan.

Contoh 4 (m.s. 47–48): diberi w = 7t − 5u

(a) t = 3 dan u = −2: w = 7(3) − 5(−2) = 21 + 10 = 31
(b) w = 15 dan u = 4: 7t − 5(4) = 15, 7t = 35, t = 5

Letakkan nilai negatif dalam kurungan apabila menggantikan: 5(−2), bukan 5−2.

Contoh 5 (m.s. 48): diberi m = 14(p − q)², cari q jika m = 16 dan p = 3

Kaedah buku teks: 4m = (p − q)², maka p − q = √(4m), q = p − √(4m) = 3 − √64 = 3 − 8 = −5.
Kaedah alternatif (tip, m.s. 48): gantikan dahulu, 16 = 14(3 − q)², jadi (3 − q)² = 64, 3 − q = 8 dan q = −5.

Semak dengan menggantikan semula: 14(3 − (−5))² = 14 × 64 = 16.

Diberi P = 3x² − 4y, cari (a) P apabila x = −2 dan y = 5, (b) y apabila P = 7 dan x = 3.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

(a) P = 3(−2)² − 4(5) = 12 − 20 = −8
(b) 7 = 3(3)² − 4y = 27 − 4y, maka 4y = 20 dan y = 5

3.1.4 Menyelesaikan masalah

Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi (pilih huruf, tulis persamaan), melaksanakan strategi, kemudian membuat kesimpulan.

Contoh 6 (m.s. 48–49): ayam goreng di kantin

Harga seketul ayam goreng ialah dua kali ganda harga sebungkus roti. Dengan RM5, Azman membeli dua bungkus roti dan seketul ayam. Baki RM1 disimpan. Jika Azman membawa RM12, berapa ketul ayam goreng yang dapat dibeli dengan jumlah bilangan roti yang sama?
Harga roti = RMx, harga ayam = RM2x. Jumlah belanja: 2x + 2x + 1 = 5, 4x = 4, x = 1. Roti RM1 dan ayam RM2.
Biarkan y = bilangan ketul ayam: (RM1 × 2) + (RM2 × y) = RM12, 2 + 2y = 12, y = 5.
Azman dapat membeli 5 ketul ayam goreng.

Sebuah buku nota berharga RMx dan sebatang pen berharga RM(x − 1). Maya membayar RM13 bagi 3 buku nota dan 2 batang pen. Cari harga sebuah buku nota dan sebatang pen.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

3x + 2(x − 1) = 13, 5x − 2 = 13, x = 3. Buku nota RM3, pen RM2. Semak: 9 + 4 = 13.

Inti pati bab

Tugasan	Cara
Membentuk rumus	Namakan kuantiti, hubungkan dengan operasi, gunakan kurungan untuk diskaun
Menukar perkara rumus	Operasi songsang mengikut tertib terbalik, sama pada kedua-dua belah, pekali perkara rumus ialah 1
Mencari nilai	Gantikan dengan kurungan, kemudian selesaikan persamaan
Masalah ayat	Fahami, rancang, laksanakan, buat kesimpulan

Projek Mini (m.s. 53): buat papan mengira untuk harga tiga barang (pen, air mineral, buku tulis) dengan jumlah keseluruhan = a × harga + b × harga + c × harga.