Matematik notesnota, bab 4

Poligon

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 54–73

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menghuraikan sifat geometri poligon sekata menggunakan pelbagai perwakilan, dan membezakan poligon sekata daripada poligon tak sekata (4.1.1)
Saya boleh membina poligon sekata menggunakan pelbagai kaedah (jangka lukis dan pembaris, membahagi sama sudut di pusat bulatan, perisian geometri dinamik) dan menerangkan rasional langkah-langkah pembinaan (4.1.2)
Saya boleh menerbitkan rumus hasil tambah sudut pedalaman suatu poligon, (n − 2) × 180° (4.2.1)
Saya boleh membuat dan mengesahkan konjektur bahawa hasil tambah sudut peluaran sebuah poligon ialah 360° (4.2.2)
Saya boleh menentukan nilai sudut pedalaman, sudut peluaran dan bilangan sisi suatu poligon (4.2.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan poligon (4.2.4)

Dalam kehidupan seharian, gabungan bentuk poligon terdapat di sekeliling kita, terutamanya dalam reka bentuk bangunan. Corak geometri ini dapat dilihat pada Masjid Terapung Tanjung Bungah, Pulau Pinang. Poligon juga digunakan dalam logo, mural, simetri pada lukisan, seni bina dan reka bentuk pakaian. Perkataan poligon berasal daripada poly (banyak) dan gon (sudut). Poligon dinamakan mengikut bilangan sisinya; bagi poligon yang lebih besar, ahli matematik menulis mengikut bilangan sisi, contohnya 17-gon.

Istilah	Maksud
poligon sekata, poligon tak sekata	poligon yang semua sisi dan sudut pedalamannya sama / tidak sama
paksi simetri	garis lipatan; kedua-dua bahagian tepat bertindih
sisi, bucu	garis lurus yang membentuk poligon, titik pertemuan dua sisi
sudut pedalaman, sudut peluaran	sudut di dalam poligon, sudut di luar poligon apabila sisi dipanjangkan
sudut penggenap	dua sudut yang berjumlah 180°
konjektur	proposisi atau teorem yang kelihatan benar, tetapi belum dibuktikan secara formal

4.1Poligon sekata

4.1.1 Sifat geometri poligon sekata

Imbas kembali: poligon ialah bentuk tertutup pada satah yang dibatasi tiga atau lebih garis lurus sebagai sisi-sisinya.

Poligon sekata ialah poligon yang semua sisinya sama panjang dan semua sudut pedalamannya sama saiz (kongruen). Poligon tak sekata ialah poligon yang tidak semua sisinya sama panjang.

Pentagon sekata dengan sisi sama dan sudut sama; rombus dengan sisi sama tetapi sudut tidak sama; segi empat tepat dengan sudut sama tetapi sisi tidak sama; pentagon tak sekata — Poligon sekata mesti mempunyai sisi sama **dan** sudut sama

Sisi sama sahaja tidak mencukupi (rombus) dan sudut sama sahaja juga tidak mencukupi (segi empat tepat). Segi empat sama ialah segi empat sekata, dan segi tiga sama sisi ialah segi tiga sekata.

Contoh 1 (buku teks m.s. 57)

Tentukan sama ada rajah ialah poligon sekata atau poligon tak sekata. Penyelesaian: (a) segi tiga yang sisi dan sudutnya tidak sama, (b) segi empat tepat, (e) pentagon yang sisinya tidak semua sama dan (f) satu bentuk lagi yang sisinya tidak semua sama ialah poligon tak sekata. (c) Heksagon yang semua sisi dan sudutnya sama, serta (d) segi empat sama, ialah poligon sekata.

Poligon boleh juga dikelaskan mengikut bentuknya (Tahukah Anda, m.s. 57). Poligon cembung tiada sudut pedalaman lebih daripada 180°. Poligon cengkung mempunyai sekurang-kurangnya satu sudut pedalaman lebih daripada 180°. Poligon kompleks mempunyai garisan yang bersilang dalam poligon itu. Bulatan, bentuk tak tertutup dan objek tiga dimensi bukan poligon.

Sebuah pentagon cembung dan sebuah bentuk anak panah cengkung dengan satu sudut pedalaman melebihi 180 darjah — Poligon cembung dan poligon cengkung

Menentukan paksi simetri

Dengan melipat, tentukan paksi simetri poligon sekata dan poligon tak sekata (Rangsangan Minda, m.s. 58).

Segi tiga sama sisi dengan 3 paksi simetri bergaris putus-putus, segi empat sama 4, pentagon sekata 5, heksagon sekata 6 — Bilangan paksi simetri poligon sekata sama dengan bilangan sisinya

Bilangan paksi simetri bagi sebuah poligon sekata sama dengan bilangan sisi poligon tersebut. Bagi poligon tak sekata, bilangan paksi simetri harus diterokai dengan kaedah lipatan.

Poligon sekata	Bilangan sisi	Bilangan bucu	Bilangan paksi simetri
segi tiga sama sisi	3	3	3
segi empat sama	4	4	4
pentagon sekata	5	5	5
heksagon sekata	6	6	6
heptagon sekata	7	7	7
oktagon sekata	8	8	8
nonagon sekata	9	9	9

Nyatakan bilangan paksi simetri bagi a) dekagon sekata, b) segi empat tepat yang bukan segi empat sama, c) poligon sekata 15 sisi. (Berdasarkan Jom Cuba 4.1, m.s. 61)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 10 (dekagon mempunyai 10 sisi)
b) 2 (segi empat tepat ialah poligon tak sekata; paksinya menyambung titik tengah sisi yang bertentangan)
c) 15

4.1.2 Membina poligon sekata

Poligon sekata boleh dibina menggunakan pelbagai kaedah: perisian geometri dinamik (pilih regular polygon dan masukkan bilangan bucu), lipatan kertas (origami; contohnya pentagon dan oktagon pada m.s. 56 dan 59), serta pembaris dan jangka lukis (m.s. 60). Idea utama dengan jangka lukis ialah jejari jangka lukis tidak diubah supaya semua sisi sama panjang.

Aktiviti 3 (m.s. 60): heksagon sekata bersisi 3.5 cm

Bina bulatan berjejari 3.5 cm. Tandakan satu titik pada lilitan dan label sebagai A.
Bina satu lengkok berjejari 3.5 cm dari A dan tandakannya sebagai B.
Bina lengkok berjarak 3.5 cm dari B dan tandakannya sebagai C. Ulang langkah itu sehingga F.
Lukiskan garisan AB, BC, CD, DE, EF dan FA untuk membentuk heksagon sekata.

Empat langkah membina heksagon sekata: bulatan dengan titik A, titik B, titik C hingga F, dan heksagon ABCDEF — Membina heksagon sekata dengan jangka lukis dan pembaris

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 60.

Bulatan dengan heksagon sekata ABCDEF di dalamnya, pusat O disambung ke setiap bucu, sudut AOB = 60 darjah

Rasional: jejari bulatan sama dengan panjang sisi, jadi setiap segi tiga seperti OAB mempunyai tiga sisi yang sama. Segi tiga itu sama sisi, maka ∠AOB = 60°, dan 6 × 60° = 360° memenuhi pusat bulatan dengan tepat.

Dua aktiviti lain pada m.s. 60: segi tiga sama sisi bersisi 5 cm (bina AB = 5 cm, kemudian dua lengkok berjejari 5 cm dari A dan B bersilang di C) dan segi empat sama bersisi 4 cm (bina AB = 4 cm, bina garis serenjang melalui A, lengkok 4 cm dari A menentukan D, dua lengkok 4 cm dari B dan D bersilang di C).

Poligon sekata juga boleh dibina dengan membahagi sama sudut di pusat bulatan mengikut bilangan sisi (m.s. 60). Sudut di pusat antara dua bucu jiran ialah 360° ÷ n. Bagi pentagon sekata, 360° ÷ 5 = 72°, maka tanda lima titik berjarak 72° pada bulatan dengan protraktor, kemudian sambungkannya.

Kaedah yang paling jitu untuk membina poligon sekata ialah menggunakan perisian geometri dinamik.

Poligon yang dilukis dengan protraktor kurang tepat berbanding jangka lukis kerana ralat kecil bertambah. Jangan ubah jejari jangka lukis semasa menanda bucu di sekeliling bulatan.

a) Berapakah sudut di pusat antara dua bucu jiran bagi oktagon sekata? b) Nonagon sekata dilukis dengan membahagi sama sudut di pusat bulatan. Berapa darjah jarak antara bucu-bucunya? (Berdasarkan Jom Cuba 4.1 no. 4 dan 5, m.s. 61-62)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 360° ÷ 8 = 45°
b) 360° ÷ 9 = 40°

4.2Sudut pedalaman dan sudut peluaran poligon

Sudut pedalaman ialah sudut yang terbentuk oleh dua sisi bersebelahan di dalam sesuatu poligon. Sudut peluaran ialah sudut yang terbentuk apabila satu sisi poligon dipanjangkan; ia ialah penggenap kepada sudut pedalaman. Maka sudut pedalaman + sudut peluaran = 180°.

Pentagon dengan satu bucu menunjukkan sudut pedalaman a di dalam, sisi dipanjangkan, dan sudut peluaran b di luar; a + b = 180 darjah — a ialah sudut pedalaman, b ialah sudut peluaran pada bucu yang sama: a + b = 180°

4.2.1 Hasil tambah sudut pedalaman

Sambungkan satu bucu ke bucu-bucu lain (Rangsangan Minda, m.s. 62-63). Poligon n sisi terbahagi kepada (n − 2) segi tiga, dan hasil tambah sudut segi tiga ialah 180°.

Pentagon dibahagi kepada 3 segi tiga, heksagon kepada 4 segi tiga, heptagon kepada 5 segi tiga dengan pepenjuru dari satu bucu — Bilangan segi tiga = n − 2

Poligon	Bilangan sisi (n)	Bilangan segi tiga	Hasil tambah sudut pedalaman
segi tiga	3	1	1 × 180° = 180°
segi empat	4	2	2 × 180° = 360°
pentagon	5	3	3 × 180° = 540°
heksagon	6	4	4 × 180° = 720°
heptagon	7	5	5 × 180° = 900°
oktagon	8	6	6 × 180° = 1 080°
nonagon	9	7	7 × 180° = 1 260°
dekagon	10	8	8 × 180° = 1 440°

Hasil tambah sudut pedalaman suatu poligon = (n − 2) × 180°.

Nama poligon yang lebih besar (m.s. 63): 12 dodekagon, 13 tridekagon, 14 tetradekagon, 15 pentadekagon, 16 heksadekagon, 17 heptadekagon, 18 oktadekagon, 19 enneadekagon, 20 ikosagon.

Contoh 2 (m.s. 63)

Nyatakan bilangan segi tiga yang terbentuk bagi (a) poligon 13 sisi, (b) poligon 18 sisi.

(a) Bilangan segi tiga = 13 − 2 = 11
(b) Bilangan segi tiga = 18 − 2 = 16
Hasil tambah sudut pedalaman: (a) 11 × 180° = 1 980°, (b) 16 × 180° = 2 880°.

Contoh 3 (m.s. 64)

Hitung nilai x bagi poligon berikut.

(a) Pentagon dengan sudut pedalaman 100, 130, 60, 90 darjah dan x. (b) Segi empat dengan sudut pedalaman 130, 60, 90 darjah dan x

(a) Hasil tambah sudut pedalaman = (5 − 2) × 180° = 540°
x + 100° + 130° + 60° + 90° = 540°, maka x + 380° = 540° dan x = 160°
(b) Hasil tambah sudut pedalaman = (4 − 2) × 180° = 360°
x + 130° + 60° + 90° = 360°, maka x = 360° − 280° = 80°

Tolak 2 dahulu sebelum mendarab: (n − 2) × 180°. Bagi heksagon, (6 − 2) × 180° = 720°, bukan 6 × 180° = 1 080°.

a) Cari hasil tambah sudut pedalaman heptagon, poligon 9 sisi dan poligon 12 sisi. b) Empat sudut pedalaman sebuah pentagon ialah 120°, 100°, 130° dan 70°. Cari sudut kelima. (Berdasarkan Jom Cuba 4.2, m.s. 67)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Heptagon: 5 × 180° = 900°. 9 sisi: 7 × 180° = 1 260°. 12 sisi: 10 × 180° = 1 800°.
b) 540° − (120° + 100° + 130° + 70°) = 540° − 420° = 120°

4.2.2 Hasil tambah sudut peluaran

Dengan perisian geometri dinamik (Rangsangan Minda, m.s. 64), buat konjektur untuk setiap poligon, tarik bucu untuk mengubah saiz sisi, dan semak hasil tambah sudut peluaran.

Hasil tambah sudut peluaran sebuah poligon ialah 360°, tidak kira bilangan sisinya.

Konjektur ialah proposisi atau teorem yang kelihatan benar. Keputusan konjektur tidak dibuktikan secara formal, tetapi ia membolehkan kita membuat spekulasi daripada suatu situasi matematik (m.s. 64).

Contoh 4 (m.s. 65)

(a) Hitung nilai x bagi segi tiga yang sudut peluarannya 120°, 160° dan x. (b) ABCDE ialah pentagon sekata. BCF dan EDF ialah garis lurus. Hitung nilai x = ∠CFD.

Segi tiga dengan sisi dipanjangkan pada setiap bucu; sudut peluaran 120, 160 darjah dan x

Pentagon sekata ABCDE dengan BC dan ED dipanjangkan bertemu di F; x ialah sudut CFD

(a) Hasil tambah sudut peluaran = 360°: x + 160° + 120° = 360°, maka x = 360° − 280° = 80°
(b) Sudut peluaran pentagon sekata = 360° ÷ 5 = 72°, maka ∠FCD = ∠FDC = 72°
x = 180° − 72° − 72° = 36°

Hasil tambah sudut peluaran ialah 360° bagi setiap poligon. Hanya hasil tambah sudut pedalaman yang berubah mengikut n.

4.2.3 Sudut pedalaman, sudut peluaran dan bilangan sisi

Bagi poligon sekata n sisi:
Sudut peluaran = 360° ÷ n
Sudut pedalaman = (n − 2) × 180° ÷ n atau 180° − sudut peluaran
Bilangan sisi n = 360° ÷ sudut peluaran

Contoh 5 (m.s. 65)

Hitung sudut pedalaman bagi sebuah heksagon sekata.

n = 6. Hasil tambah sudut pedalaman = (6 − 2) × 180° = 4 × 180° = 720°
Sudut pedalaman = 720° ÷ 6 = 120°

Contoh 6 (m.s. 65)

Dalam sebuah poligon tujuh sisi, sudut peluarannya ialah 30°, (30° + b), b, 50°, 45°, 15° dan 60°. Hitung nilai b.

Hasil tambah sudut peluaran = 360°
360° = 30° + (30° + b) + b + 50° + 45° + 15° + 60° = 230° + 2b
2b = 360° − 230° = 130°, maka b = 65°

Contoh 7 (m.s. 66)

Hitung sudut peluaran bagi sebuah oktagon sekata.

n = 8, hasil tambah sudut peluaran = 360°
Sudut peluaran = 360° ÷ 8 = 45°

Contoh 8 (m.s. 66)

Hitung bilangan sisi sebuah poligon sekata yang sudut pedalamannya (a) 108°, (b) 144°.

(a) Sudut peluaran = 180° − 108° = 72°, maka n = 360° ÷ 72° = 5
(b) Sudut peluaran = 180° − 144° = 36°, maka n = 360° ÷ 36° = 10

Contoh tambahan: persamaan

Dalam sebuah poligon sekata, sudut pedalaman ialah (5y + 10)° dan sudut peluaran ialah (y + 20)°. Cari bilangan sisi.

Pedalaman + peluaran = 180°: 5y + 10° + y + 20° = 180°, maka 6y = 150° dan y = 25°
Sudut peluaran = 25° + 20° = 45°
n = 360° ÷ 45° = 8 sisi (oktagon). Sudut pedalaman = 5(25°) + 10° = 135°.

Bilangan sisi mestilah nombor bulat. Sudut pedalaman 130° memberi sudut peluaran 50° dan 360 ÷ 50 = 7.2, maka tiada poligon sekata dengan sudut pedalaman 130°.

a) Cari sudut peluaran dan sudut pedalaman bagi poligon sekata 20 sisi. b) Sudut peluaran sebuah poligon sekata ialah 18°. Berapakah bilangan sisinya? c) Cari bilangan sisi poligon sekata yang sudut pedalamannya 156°. d) Adakah poligon sekata boleh mempunyai sudut pedalaman 130°? Terangkan.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) Peluaran = 360° ÷ 20 = 18°, pedalaman = 180° − 18° = 162°
b) n = 360° ÷ 18 = 20
c) Peluaran = 24°, n = 360 ÷ 24 = 15
d) Tidak. Peluaran = 50° dan 360 ÷ 50 = 7.2 bukan nombor bulat.

4.2.4 Penyelesaian masalah

Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan. Lukis rajah, tandakan maklumat yang diketahui dan beri sebab bagi setiap sudut.

Contoh 9 (m.s. 66)

Rajah ialah heksagon sekata PQRSTU pada corak sebiji bola sepak. Sudut y ialah sudut pedalaman heksagon, x berada dalam segi tiga sama kaki UPQ dan z = x (sudut selang seli). (a) Hitung sudut y. (b) Hitung perbezaan antara y dengan (x + z).

(a) y = (6 − 2) × 180° ÷ 6 = 120°
x = (180° − 120°) ÷ 2 = 30°, z = 30°
(b) y − (x + z) = 120° − (30° + 30°) = 60°

Dalam masalah poligon sekata, cari dahulu sudut peluaran 360° ÷ n kerana ia biasanya paling cepat.

Inti pati bab

Perkara	Fakta penting	Contoh
Poligon sekata	Semua sisi sama panjang dan semua sudut pedalaman sama saiz	Rombus bukan poligon sekata
Paksi simetri	Poligon sekata n sisi mempunyai n paksi simetri	Heksagon sekata: 6
Pembinaan	Jejari jangka lukis tetap; sudut di pusat = 360° ÷ n	Heksagon: 6 segi tiga sama sisi
Pedalaman + peluaran	180° pada bucu yang sama	120° + 60°
Hasil tambah sudut pedalaman	(n − 2) × 180°	Oktagon: 1 080°
Hasil tambah sudut peluaran	360° bagi setiap poligon	Sentiasa 360°
Poligon sekata	Peluaran = 360° ÷ n; pedalaman = 180° − peluaran	n = 9: 40° dan 140°
Bilangan sisi	n = 360° ÷ sudut peluaran	Peluaran 24°: n = 15

Projek mini (m.s. 73): reka cipta logo perniagaan kedai makanan anda menggunakan gabungan dua atau tiga poligon (perisian geometri dinamik, alat geometri atau origami) dan bentangkan rasionalnya di dalam kelas.