Matematik notesnota, bab 5

Bulatan

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 74–97

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mengenal bahagian bulatan: pusat, jejari, diameter, perentas, lengkok, sektor, tembereng dan lilitan, serta menerangkan sifat bulatan (5.1.1)
Saya boleh membina bulatan berjejari diberi, diameter melalui satu titik, perentas dengan panjang diberi dan sektor bulatan dengan sudut diberi menggunakan jangka lukis, pembaris dan protraktor (5.1.2)
Saya boleh menentukan dan menerangkan bahawa diameter ialah paksi simetri, jejari yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama perentas itu, pembahagi dua sama serenjang dua perentas bertemu di pusat, perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang dan sama jarak dari pusat (5.2.1)
Saya boleh menentukan pusat dan panjang jejari bagi suatu bulatan melalui pembinaan geometri (5.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sifat simetri perentas (5.2.3)
Saya boleh menentukan hubungan antara lilitan dengan diameter bulatan, mentakrifkan π serta menerbitkan rumus lilitan bulatan (5.3.1)
Saya boleh menerbitkan rumus luas bulatan (5.3.2)
Saya boleh menentukan lilitan, luas bulatan, panjang lengkok, luas sektor dan ukuran lain yang berkaitan (5.3.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan bulatan (5.3.4)

Muka jam, tayar, syiling dan meja bulat semuanya berbentuk bulatan. Bulatan ialah lingkaran bagi satu titik yang bergerak pada jarak yang sama dari satu titik tetap. Dalam bab ini anda akan mengenal bahagian bulatan, membina bulatan, menggunakan sifat simetri perentas untuk mencari panjang yang tidak diketahui, dan menghitung lilitan, luas bulatan, panjang lengkok dan luas sektor.

Istilah	Maksud ringkas
bulatan (circle), lilitan (circumference)	lengkung tertutup; panjang lengkung itu ialah lilitan atau perimeter bulatan
pusat (centre), jejari (radius), diameter (diameter)	titik tetap; garis dari pusat ke lilitan; garis melalui pusat dari lilitan ke lilitan
perentas (chord), lengkok (arc)	garis lurus yang menyambung dua titik pada lilitan; sebahagian daripada lilitan
sektor (sector), tembereng (segment)	rantau dibatasi satu lengkok dan dua jejari; rantau dibatasi satu lengkok dan satu perentas
minor / major, simetri (symmetry)	kecil / besar; paksi simetri ialah garis yang membahagi bentuk kepada dua bahagian yang sama

5.1Sifat bulatan

5.1.1 Mengenal bahagian bulatan

Bulatan ialah lingkaran bagi satu titik yang bergerak sama jarak dari satu titik tetap yang dipanggil pusat. Jarak itu ialah jejari. Panjang lengkung yang tertutup itu dinamakan lilitan (perimeter bulatan).

Lapan bulatan berwarna menerangkan jejari, lilitan, pusat, tembereng, sektor, lengkok, perentas dan diameter — Bahagian bulatan

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 77.

Bahagian	Maksud
Pusat	Satu titik tetap yang berjarak sama dari semua titik pada lilitan
Jejari	Garis lurus dari pusat bulatan ke sebarang titik pada lilitan
Diameter	Garis lurus yang menyentuh lilitan dan melalui pusat (diameter = 2 × jejari)
Perentas	Garis lurus yang menyambung sebarang dua titik pada lilitan
Lengkok	Sebahagian daripada lilitan (lengkok minor lebih pendek, lengkok major lebih panjang)
Sektor	Rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari
Tembereng	Rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan satu perentas

Diameter ialah perentas yang paling panjang bagi sesuatu bulatan. Jejari bukan perentas kerana satu hujungnya ialah pusat, bukan titik pada lilitan.

Mengelirukan sektor dengan tembereng. Sektor mempunyai dua jejari (seperti sepotong piza). Tembereng dipotong oleh satu perentas dan tidak mempunyai bucu di pusat.

Contoh 1 (berdasarkan buku teks m.s. 77)

Dalam rajah di bawah, O ialah pusat bulatan. Namakan (a) garis AB, (b) garis OP, (c) rantau di bawah garis AB yang dibatasi oleh AB dan lengkoknya.

Bulatan berpusat O dengan perentas AB, jejari OP dan rantau kecil di bawah AB

(a) AB ialah perentas (tidak melalui pusat). (b) OP ialah jejari (dari pusat ke lilitan). (c) Rantau itu ialah tembereng minor.

Namakan (a) garis lurus yang menyambung dua titik pada lilitan tetapi tidak melalui pusat, (b) rantau antara satu perentas dengan lengkoknya, (c) rantau antara dua jejari dengan satu lengkok.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) Perentas
(b) Tembereng
(c) Sektor

5.1.2 Membina bulatan dan bahagiannya

Gunakan jangka lukis, pembaris, protraktor dan pensel.

Bulatan berjejari diberi: tandakan titik O, ukur jangka lukis sepanjang jejari pada pembaris, letakkan hujung tajam pada O dan lukis bulatan.
Diameter melalui titik Q dalam bulatan berpusat O: sambungkan O dan Q dengan garis lurus dan lanjutkan sehingga menyentuh lilitan. Garis yang melalui Q dan pusat itu ialah diameter.
Perentas sepanjang 3 cm dari titik P pada bulatan: ukur jangka lukis 3 cm, letakkan hujung tajam pada P dan lukis lengkok yang memotong lilitan di A. Sambungkan P ke A; garisan PA ialah perentas.
Sektor bersudut 60° berjejari 2 cm: lukis bulatan berjejari OA = 2 cm. Dengan protraktor, tandakan titik pada sudut 60° dari OA, lukis jejari OB. Maka AOB ialah sektor bulatan.

Sektor AOB berjejari 2 cm dengan sudut 60 darjah pada pusat O — Sektor *AOB* bersudut 60° dan berjejari 2 cm (m.s. 79)

Untuk mengukur sudut dengan protraktor, letakkan pusat protraktor di atas bucu sudut dan pastikan garisan bernilai 0 terletak di atas satu lengan. Baca sudut menggunakan skala luar atau skala dalam, mulai dari 0 pada lengan itu.

Huraikan cara melukis perentas 4 cm dari titik P pada bulatan berjejari 3 cm.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Ukur jangka lukis 4 cm. Letakkan hujung tajam pada P dan lukis lengkok yang memotong lilitan di A. Sambungkan P dan A dengan pembaris. PA ialah perentas 4 cm. (Ini boleh dilakukan kerana 4 cm kurang daripada diameter 6 cm.)

5.2Sifat simetri perentas

5.2.1 Ciri-ciri bulatan

Bulatan kelihatan sama selepas dilipat pada sebarang diameter, jadi bulatan mempunyai bilangan paksi simetri yang tidak terhingga. Daripada idea ini, lima sifat berikut diperoleh.

1. Diameter ialah paksi simetri bulatan.
2. Jejari yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama perentas itu, dan sebaliknya.
3. Pembahagi dua sama serenjang dua perentas bertemu di pusat bulatan.
4. Perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang.
5. Dua perentas yang sama panjang adalah sama jarak dari pusat bulatan, dan sebaliknya.

Bulatan berpusat O dengan perentas AB; jejari OP serenjang dengan AB di M; AM dan MB bertanda sama panjang — Jejari OP serenjang dengan perentas AB, maka AM = MB (m.s. 81, 83)

Bulatan berpusat O dengan dua perentas sama panjang AB dan CD; OM dan ON ialah jarak serenjang dari pusat dan sama panjang — AB = CD, maka OM = ON dan lengkok AB = lengkok CD (m.s. 82)

“Jarak dari pusat” sentiasa bermaksud jarak serenjang, iaitu jarak terpendek dari O ke perentas. Dua jejari dan satu perentas membentuk segi tiga sama kaki; garis serenjang dari pusat ke perentas membentuk dua segi tiga bersudut tegak, jadi teorem Pythagoras boleh digunakan: (separuh perentas)² + (jarak dari pusat)² = (jejari)².

Contoh 2 (buku teks m.s. 83)

O ialah pusat bulatan dan MN ialah perentas. K ialah titik tengah MN dengan OK = 3 cm dan NK = 4 cm. Hitung panjang ON dan namakan sudut yang sama saiz dengan ∠ONK.

OK serenjang dengan MN, maka segi tiga OKN bersudut tegak di K.
ON² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, maka ON = √25 = 5 cm.
OM = ON (jejari), maka segi tiga OMN sama kaki dan ∠ONK = ∠OMK.

Contoh 3 (buku teks m.s. 83)

Perentas MN berserenjang dengan jejari OP di S. Jejari bulatan ialah 10 cm dan OS = 8 cm. (a) Adakah MS = SN? (b) Hitung panjang MN.

(a) Ya, MS = SN, kerana jejari yang berserenjang dengan perentas membahagi dua sama perentas itu.
(b) OM ialah jejari = 10 cm. MS = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 cm.
MN = 2 × 6 = 12 cm.

Contoh 4 (buku teks m.s. 84)

RS dan TU ialah perentas yang sama panjang dan POQ ialah garis lurus melalui pusat O. Diberi OP = 5 cm dan RS = 24 cm. Hitung (a) PR, (b) jejari bulatan.

(a) OP serenjang dengan RS, maka PR = 24 ÷ 2 = 12 cm.
(b) OR ialah jejari: OR = √(PR² + OP²) = √(12² + 5²) = √169 = 13 cm.
Perentas yang sama panjang menghasilkan lengkok yang sama panjang, jadi lengkok minor RMS dan TNU sama panjang.

Memberikan MS (separuh perentas) sebagai panjang perentas, atau menjumlahkan kuasa dua untuk mencari sisi yang lebih pendek. Jejari ialah hipotenus segi tiga bersudut tegak itu, maka sisi pendek = √(jejari² − sisi lain²).

Bulatan berjejari 13 cm. Sebuah perentas sepanjang 24 cm. Hitung jarak serenjang perentas itu dari pusat.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Separuh perentas = 24 ÷ 2 = 12 cm
Jarak = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 cm

5.2.2 Pusat dan jejari bulatan

Untuk menentukan pusat sebuah bulatan yang sudah dilukis: lukis dua perentas, misalnya PQ dan PR. Bina pembahagi dua sama serenjang bagi setiap perentas. Titik persilangan kedua-dua garis itu ialah pusat O. Jarak dari O ke lilitan (garisan OT) ialah jejari.

Bulatan dengan perentas PQ dan PR; pembahagi dua sama serenjang bagi setiap perentas ialah garis putus-putus merah yang bersilang di pusat O — Pembahagi dua sama serenjang bagi dua perentas bersilang di pusat (m.s. 84)

Pembahagi dua sama serenjang bagi sebarang perentas akan sentiasa bersilang di pusat bulatan. Maka dua perentas sudah mencukupi.

5.2.3 Penyelesaian masalah melibatkan sifat simetri perentas

Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan.

Contoh 5 (buku teks m.s. 85)

Tingkap berbentuk bulat berdiameter 50 cm disokong oleh tiga batang besi PR, US dan QT. Diberi QT = 31 cm dan US = 48 cm. Hitung panjang PR.

Bulatan berpusat O; perentas PR di sebelah kiri, perentas US di sebelah kanan; QT melalui pusat dan berserenjang dengan kedua-dua perentas

Memahami: diameter = 50 cm, QT = 31 cm, US = 48 cm; cari PR.
Merancang: jejari = 50 ÷ 2 = 25 cm; cari OT, kemudian OQ = QT − OT, kemudian PQ, dan PR = PQ × 2.
Melaksanakan: OT = √(25² − 24²) = √49 = 7 cm; OQ = 31 − 7 = 24 cm; PQ = √(25² − 24²) = 7 cm; PR = 7 + 7 = 14 cm.
Kesimpulan: panjang PR ialah 14 cm.

Dua perentas selari di sisi yang berlawanan bagi O: jarak antara perentas = jumlah dua jarak dari O. Dua perentas selari di sisi yang sama: jarak antara perentas = beza dua jarak itu.

5.3Lilitan dan luas bulatan

5.3.1 Hubungan lilitan bulatan dengan diameter

Jika anda mengukur lilitan dan diameter jam randik, baldi dan tayar basikal, kemudian membahagi lilitan dengan diameter, anda sentiasa mendapat nilai yang hampir sama, iaitu lebih kurang 3.14.

Nisbah lilitan ÷ diameter adalah sama bagi semua bulatan dan dinamakan π (dibaca “pai”). Nilainya ialah 3.142 atau 227; gunakan nilai yang diberi dalam soalan.
Lilitan = πd = 2πj (kerana diameter = 2 × jejari)

5.3.2 Rumus luas bulatan

Bahagikan bulatan kepada banyak sektor nipis dan susun bersebelahan. Bentuk itu menghampiri segi empat tepat dengan tinggi = j dan tapak = separuh lilitan = πj. Maka luas = tapak × tinggi = πj × j = πj².

Luas bulatan = πj². Jejari dikuasaduakan, bukan diameter dan bukan π.

Menggunakan diameter dalam πj², atau menghitung (πj)². Jika diameter diberi, bahagi dua dahulu untuk mendapat jejari.

5.3.3 Lilitan, luas bulatan, panjang lengkok dan luas sektor

Diketahui	Dicari	Kaedah
jejari atau diameter	lilitan	lilitan = 2πj atau πd
lilitan	jejari (kemudian luas)	j = lilitan ÷ 2π
luas	jejari	j² = luas ÷ π, kemudian punca kuasa dua

Contoh 6 (buku teks m.s. 88)

Hitung lilitan bulatan jika (a) diameter 14 cm (π = 227), (b) jejari 21.3 cm (π = 3.142).

(a) Lilitan = πd = 227 × 14 = 44 cm

(b) Lilitan = 2πj = 2 × 3.142 × 21.3 = 133.85 cm

Contoh 7 (buku teks m.s. 88)

(a) Lilitan bulatan 88 cm. Hitung diameter (π = 227). (b) Lilitan bulatan 36.8 cm. Hitung jejari, betul kepada dua tempat perpuluhan (π = 3.142).

(a) 227 × d = 88, maka d = 88 × 722 = 28 cm

(b) 2 × 3.142 × j = 36.8, maka j = 36.8 ÷ 6.284 = 5.86 cm

Contoh 8 (buku teks m.s. 88)

Hitung luas bulatan (π = 227) yang (a) berdiameter 10 cm, (b) berjejari 7 cm.

(a) j = 10 ÷ 2 = 5 cm. Luas = 227 × 5² = 78.57 cm²

(b) Luas = 227 × 7² = 154 cm²

Contoh 9 (buku teks m.s. 89)

Luas bulatan ialah 616 cm². Hitung jejari dan diameter (π = 227).

πj² = 616, maka j² = 616 × 722 = 196 dan j = √196 = 14 cm. Diameter = 2 × 14 = 28 cm.

Contoh 10 (buku teks m.s. 89)

Lilitan bulatan ialah 66 cm. Hitung luas bulatan (π = 227).

2 × 227 × j = 66, maka j = 66 × 744 = 10.5 cm.
Luas = 227 × 10.5² = 346.5 cm²

Contoh 11 (buku teks m.s. 89)

Luas bulatan ialah 75.46 cm². Hitung lilitan bulatan (π = 227).

227 × j² = 75.46, maka j² = 75.46 × 722 = 24.01 dan j = √24.01 = 4.9 cm.
Lilitan = 2 × 227 × 4.9 = 30.8 cm

(π = 227) (a) Lilitan bulatan ialah 77 cm. Hitung diameter. (b) Hitung luas bulatan berjejari 2.8 cm.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 227 × d = 77, d = 77 × 722 = 24.5 cm
(b) Luas = 227 × 2.8² = 227 × 7.84 = 24.64 cm²

Panjang lengkok dan luas sektor

Lengkok ialah sebahagian lilitan dan sektor ialah sebahagian luas bulatan. Setiap satu berkadar dengan sudut pada pusat berbanding 360°.

Bulatan berpusat O dengan sektor AOB; sudut theta di pusat dan lengkok AB berwarna biru — Lengkok AB dan sektor *AOB* dengan sudut θ pada pusat (m.s. 90, 91)

Panjang lengkok ÷ lilitan = θ ÷ 360°, maka panjang lengkok2πj = θ360°
Luas sektor ÷ luas bulatan = θ ÷ 360°, maka luas sektorπj² = θ360°
θ (dibaca “teta”, huruf Yunani) mewakili sudut pada pusat bulatan.

Lengkok major dan sektor major menggunakan sudut 360° − θ. Apabila mencari jejari atau sudut, susun semula rumus dahulu: j daripada 2πj = panjang lengkok × 360°θ; θ daripada θ360° = luas sektorπj².

Contoh 12 (buku teks m.s. 90)

Bulatan berjejari 14 cm dan berpusat di O. Hitung panjang lengkok minor PQ yang mencangkum 60° pada pusat, betul kepada dua tempat perpuluhan (π = 227).

Panjang lengkok = 60°360° × 2 × 227 × 14 = 14.67 cm

Contoh 13 (buku teks m.s. 90)

Bulatan berjejari 21 cm dan berpusat di O. ∠ROS = 72°. Hitung panjang lengkok major RS (π = 227).

Sudut pada pusat bagi lengkok major = 360° − 72° = 288°
Panjang lengkok = 288°360° × 2 × 227 × 21 = 105.6 cm

Contoh 14 (buku teks m.s. 91)

Panjang lengkok suatu bulatan ialah 11 cm dan sudut pada pusat ialah 45°. Hitung jejari (π = 227).

2πj = 11 × 360°45° = 88, maka 2 × 227 × j = 88 dan j = 88 × 744 = 14 cm.

Contoh 15 (buku teks m.s. 91)

Bulatan berpusat O dan berjejari 21 mm. Hitung luas sektor minor MON jika ∠MON = 100° (π = 227).

Luas sektor = 100°360° × 227 × 21² = 385 mm²

Contoh 16 (buku teks m.s. 92)

Luas sektor QOP ialah 18.48 cm² dan jejari 12 cm. Hitung θ (π = 227).

θ360° = luas sektorπj², maka θ = 18.48 ÷ (227 × 12 × 12) × 360° = 14.7°

Menggunakan sudut sektor minor apabila soalan meminta lengkok atau sektor major. Gunakan 360° − θ.

(π = 227) Bulatan berjejari 12 cm. Sudut pada pusat ialah 150°. Hitung (a) panjang lengkok minor, (b) luas sektor minor, betul kepada dua tempat perpuluhan.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 150°360° × 2 × 227 × 12 = 31.43 cm
(b) 150°360° × 227 × 12² = 188.57 cm²

Tahukah anda? Sudut juga boleh diukur dalam radian. 1 radian ialah sudut pada pusat bulatan apabila panjang lengkok sama dengan jejari. Sudut pada lilitan dalam semibulatan ialah 90°.

5.3.4 Penyelesaian masalah melibatkan bulatan

Kebanyakan masalah menggabungkan beberapa bentuk. Pecahkan rajah kepada segi empat, segi tiga dan bahagian bulatan, hitung setiap luas (atau panjang), kemudian tambah atau tolak.

Contoh 17 (buku teks m.s. 92)

Sebuah taman rekreasi berbentuk segi empat tepat berukuran 63 m panjang dan 58 m lebar. Setiap penjuru ditanam pokok bunga dalam sukuan bulatan berjejari 7 m dan di tengah taman terdapat kolam ikan bulat berdiameter 28 m. Selebihnya ditanam rumput karpet. Hitung luas kawasan rumput (π = 227).

Luas taman = 58 × 63 = 3 654 m²
Luas tanaman bunga = 4 × 14 πj² = 227 × 7² = 154 m²
Luas kolam ikan = 227 × 14² = 616 m²
Luas rumput = 3 654 − 154 − 616 = 2 884 m²

Dua bulatan sepusat; kawasan antara bulatan berjejari 6 cm dan bulatan berjejari 8 cm diwarnakan — Anulus ialah kawasan antara dua bulatan sepusat (m.s. 92, Jom Fikir)

Luas anulus = πJ² − πj² = π(J² − j²), dengan J ialah jejari bulatan besar dan j jejari bulatan kecil. Bagi rajah di atas: 227 × (8² − 6²) = 227 × 28 = 88 cm². Jangan tolak jejari dahulu: (8 − 6)² ialah kesilapan lazim.

Pelan taman berbentuk segi empat tepat 20 m × 14 m. Sebuah kolam bulat berjejari 7 m dibina di dalamnya. Hitung luas kawasan yang bukan kolam (π = 227).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Luas segi empat tepat = 20 × 14 = 280 m²
Luas kolam = 227 × 7² = 154 m²
Luas selebihnya = 280 − 154 = 126 m²

Rumus penting (Inti pati bab)

Ukuran	Rumus
Lilitan	πd = 2πj
Luas bulatan	πj²
Panjang lengkok	θ360° × 2πj
Luas sektor	θ360° × πj²

Projek mini dalam buku teks (m.s. 97): membina papan nombor daripada empat bulatan sepusat berjejari 5 cm, 15 cm, 20 cm dan 25 cm yang dibahagi kepada 20 sektor yang sama besar. Setiap sektor mempunyai sudut 360° ÷ 20 = 18° pada pusat.