Matematik notesnota, bab 6

Bentuk Geometri Tiga Dimensi

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 98–119

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh membandingkan, membezakan dan mengklasifikasikan prisma, piramid, silinder, kon dan sfera, serta menghuraikan sifat geometrinya (6.1.1)
Saya boleh menganalisis bentangan piramid, prisma, silinder dan kon, serta melukis bentangan dan membina model (6.2.1)
Saya boleh menerbitkan rumus luas permukaan kubus, kuboid, piramid, prisma, silinder dan kon, dan menentukan luas permukaannya (6.3.1)
Saya boleh menentukan luas permukaan sfera dengan menggunakan rumus (6.3.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan luas permukaan bentuk tiga dimensi, termasuk bentuk gabungan (6.3.3)
Saya boleh menerbitkan rumus isi padu prisma dan silinder, dan seterusnya membentuk rumus isi padu piramid dan kon (6.4.1)
Saya boleh menentukan isi padu prisma, silinder, kon, piramid dan sfera dengan menggunakan rumus (6.4.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan isi padu bentuk tiga dimensi (6.4.3)

Perhatikan tin susu, topi parti berbentuk kon, bola sepak dan kotak hadiah. Semuanya ialah bentuk tiga dimensi: ada panjang, lebar dan tinggi, jadi menempati ruang. Buku teks membuka bab ini dengan Menara Tun Mustapha di Sabah, sebuah bangunan berbentuk silinder. Dalam bab ini anda akan menghuraikan sifat geometri bentuk tiga dimensi, melukis bentangannya, dan menghitung luas permukaan serta isi padunya.

Perkataan geometri datang daripada dua perkataan Yunani: geo (bumi) dan metria (ukuran). Euclid digelar ‘Bapa Geometri’ dan bukunya Elements ialah rujukan utama pengajian geometri (Imbasan Silam, m.s. 99).

Dalam buku teks, jejari ditulis j, tinggi ditulis t dan tinggi sendeng ditulis s. Nota ini mengikut simbol yang sama.

Istilah	Maksud
bentuk dua dimensi / tiga dimensi	bentuk dengan dua ukuran asas / tiga ukuran asas
sifat geometri	ciri sesuatu bentuk (tapak, puncak, permukaan)
bentangan	susunan rata semua permukaan suatu bentuk tiga dimensi
luas permukaan	jumlah luas semua permukaan
isi padu	ukuran ruang yang dipenuhi bentuk itu
keratan rentas	bentuk yang diperoleh apabila pepejal dipotong serenjang dengan panjangnya

6.1Sifat geometri bentuk tiga dimensi

Bentuk dua dimensi (segi tiga, segi empat tepat, poligon) hanya mempunyai panjang dan lebar. Bentuk ini mempunyai luas permukaan tetapi tidak mempunyai isi padu. Bentuk tiga dimensi mempunyai panjang, lebar dan tinggi, jadi mempunyai luas permukaan dan isi padu (Tip, m.s. 107).

Bentuk tiga dimensi terbina daripada cantuman bentuk dua dimensi. Ada yang mempunyai permukaan rata (prisma, piramid) dan ada yang melengkung (silinder, kon, sfera).

Lima bentuk dalam satu baris: prisma segi tiga, piramid tapak segi empat sama, silinder, kon dan sfera — Prisma, piramid, silinder, kon dan sfera (rujuk jadual, m.s. 101).

Bentuk geometri	Sifat geometri
Prisma	Dua tapak rata berbentuk poligon yang kongruen dan selari; permukaan rata yang lain (muka sisi) berbentuk segi empat; mempunyai keratan rentas yang seragam.
Piramid	Satu tapak rata berbentuk poligon; muka lain berbentuk segi tiga yang bertemu di puncak.
Silinder	Dua tapak rata berbentuk bulatan yang kongruen dan selari; satu permukaan sisi melengkung yang mencantumkan dua tapak.
Kon	Satu tapak rata berbentuk bulatan; satu puncak; satu permukaan melengkung yang menyambungkan tapak dengan puncak.
Sfera	Semua titik pada permukaan sfera berjarak sama dari satu titik tetap, iaitu pusat sfera; satu permukaan melengkung.

Kongruen bermaksud sama saiz dan sama bentuk (Imbas Kembali, m.s. 101). Piramid dan prisma dinamakan mengikut bentuk tapak: tetrahedron (tapak segi tiga), prisma heksagon, prisma segi tiga. Kubus dan kuboid ialah prisma kerana keratan rentasnya segi empat sama atau segi empat tepat dan seragam (Jom Fikir dan Tahukah Anda, m.s. 101 dan 111).

Terdapat dua jenis pepejal. Polihedron ialah pepejal dengan permukaan rata dan setiap mukanya ialah poligon (prisma, piramid, kubus). Pepejal bukan polihedron mempunyai permukaan melengkung (sfera, silinder, kon). Kubus juga dipanggil heksahedron kerana mempunyai enam permukaan (m.s. 105 dan 107).

Contoh: namakan bentuk

Bentuk tiga dimensi manakah yang mempunyai satu puncak dan satu permukaan melengkung?

Satu puncak dan tapak bulatan: ini ialah kon (Jom Cuba 6.1, soalan 2a).
Piramid juga ada satu puncak, tetapi tapaknya poligon dan tiada permukaan melengkung.

Namakan bentuk yang mempunyai satu puncak dan tapaknya berbentuk poligon, dan bentuk yang semua titik di permukaannya berjarak sama dari pusat.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

Piramid. Sfera.

6.2Bentangan bentuk tiga dimensi

Bentangan suatu bentuk tiga dimensi diperoleh dengan membuka dan membentangkan setiap permukaan bentuk itu menjadi dua dimensi. Jika bentangan dilipat semula di sepanjang garis putus-putus, bentuk tiga dimensi itu terbina semula (Rangsangan Minda, m.s. 102).

Susunan bentangan suatu bentuk tiga dimensi boleh dipelbagaikan. Misalnya kubus mempunyai beberapa bentuk bentangan yang berbeza, tetapi semuanya terdiri daripada enam segi empat sama yang sama. Sfera tidak mempunyai bentangan yang tepat kerana permukaannya melengkung ke semua arah.

Bentangan silinder: segi empat tepat dengan satu bulatan di atas dan satu di bawah — Bentangan silinder. Panjang segi empat tepat ialah lilitan bulatan, 2πj, dan lebarnya ialah tinggi t.

Bentangan kon: satu sektor berjejari s dan satu bulatan berjejari j — Bentangan kon: satu sektor (permukaan melengkung) dan satu bulatan (tapak). Jejari sektor ialah tinggi sendeng s.

Bentangan prisma segi tiga: tiga segi empat tepat dalam satu baris dengan segi tiga di atas dan bawah segi empat tepat tengah — Bentangan prisma segi tiga: 3 segi empat tepat dan 2 segi tiga.

Bentangan piramid tapak segi empat sama: satu segi empat sama dengan satu segi tiga pada setiap sisi — Bentangan piramid tapak segi empat sama: 1 segi empat sama dan 4 segi tiga.

Bentuk	Permukaan dalam bentangan
Kubus	6 segi empat sama
Kuboid	6 segi empat tepat (muka bertentangan sama saiz)
Prisma segi tiga	2 segi tiga + 3 segi empat tepat
Piramid tapak segi empat sama	1 segi empat sama + 4 segi tiga
Silinder	2 bulatan + 1 segi empat tepat
Kon	1 bulatan + 1 sektor (permukaan melengkung)

Untuk membina model: lukis bentangan pada kertas grid 1 cm persegi, gunting, lipat di sepanjang garis putus-putus, dan tetapkan bentuknya dengan pita pelekat (Jom Cuba 6.2).

Panjang segi empat tepat dalam bentangan silinder ialah 2πj (lilitan), bukan 2j. Segi empat tepat itu membalut bulatan satu pusingan penuh.

Contoh 1 (m.s. 103): lakarkan bentangan

Kon: satu sektor dan satu bulatan.
Tetrahedron (piramid tapak segi tiga): 4 segi tiga yang bercantum.
Prisma segi tiga: tiga segi empat tepat dalam satu baris, dengan satu segi tiga di atas dan satu di bawah segi empat tepat tengah.

Bentangan terdiri daripada 2 segi tiga dan 3 segi empat tepat. Apakah bentuknya? Bentangan terdiri daripada 1 bulatan dan 1 sektor. Apakah bentuknya?

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

Prisma segi tiga. Kon.

6.3Luas permukaan bentuk tiga dimensi

Luas permukaan bentuk tiga dimensi dihitung dengan menjumlahkan luas semua permukaan bentuk itu, iaitu luas bentangannya. Unitnya ialah unit persegi: mm², cm², m² (m.s. 105).

Bentuk	Luas permukaan
Kubus (sisi a)	6 × luas segi empat sama = 6a²
Kuboid (p × l × t)	jumlah luas 6 segi empat tepat = 2(pl + pt + lt); jika tapak segi empat sama: (4 × luas segi empat tepat) + (2 × luas segi empat sama)
Piramid tapak segi empat sama	luas tapak + (4 × luas segi tiga)
Prisma segi tiga	(2 × luas segi tiga) + (3 × luas segi empat tepat)
Silinder tertutup	2πj² + 2πjt
Kon tertutup	πj² + πjs
Sfera	4πj²

Asal usul rumus silinder dan kon

Silinder. Bentangan ialah dua bulatan dan satu segi empat tepat. Panjang segi empat tepat ialah lilitan bulatan (2πj) dan lebarnya ialah tinggi silinder (t). Maka luas permukaan = (2 × πj²) + (2πj × t) = 2πj² + 2πjt.

Kon. Potong permukaan melengkung kepada 88 sektor yang sama saiz, lalu susun sektor itu berselang-seli. Susunan itu hampir menjadi segi empat tepat ABCD. Jumlah AB + CD ialah lilitan tapak kon, 2πj, jadi AB = ½ × 2πj = πj. Lebar BC ialah tinggi sendeng s. Luas permukaan melengkung = πj × s = πjs, dan luas permukaan kon = πj² + πjs (m.s. 106).

Kon dengan jejari j, tinggi tegak t dan tinggi sendeng s ditandakan — Jejari j, tinggi tegak t dan tinggi sendeng s membentuk segi tiga bersudut tegak, jadi s² = j² + t².

Rumus kon menggunakan tinggi sendeng s, bukan tinggi tegak t. Jika soalan memberi t, cari s = √(j² + t²) dahulu. Contohnya j = 7 cm dan t = 24 cm memberi s = 25 cm.

Contoh 2 (m.s. 107): kubus, kuboid dan piramid

Kubus bersisi 4 cm: 6 × (4 cm × 4 cm) = 6 × 16 = 96 cm².
Kuboid 7 cm × 4 cm × 4 cm: (4 × 4 cm × 7 cm) + (2 × 4 cm × 4 cm) = 112 + 32 = 144 cm².
Piramid tapak 8 cm × 8 cm, tinggi sendeng segi tiga 5 cm: 4(12 × 8 × 5) + (8 × 8) = 80 + 64 = 144 cm².

Contoh: prisma segi tiga

Keratan rentas prisma ialah segi tiga bersudut tegak bersisi 3 cm, 4 cm dan 5 cm. Panjang prisma 10 cm. Hitung luas permukaannya.

Luas segi tiga = 12 × 3 × 4 = 6 cm².
Tiga segi empat tepat: (3 + 4 + 5) × 10 = 120 cm².
Luas permukaan = (2 × 6) + 120 = 132 cm².

Contoh 3 dan 4 (m.s. 108): silinder dan kon

Guna π = 227.

Silinder, j = 7 cm, t = 9 cm:
2πj² + 2πjt = (2 × 227 × 7²) + (2 × 227 × 7 × 9) = 308 + 396 = 704 cm².
Kon tegak, j = 3 cm, s = 5 cm (tinggi tegak 4 cm):
πj² + πjs = (227 × 3²) + (227 × 3 × 5) = 28.29 + 47.14 = 75.43 cm².

Luas permukaan sfera

Luas permukaan sfera berjejari j = 4πj² (6.3.2).

Contoh 5 (m.s. 109)

Sfera berjejari 14 cm. Luas permukaan = 4 × 227 × 14² = 2 464 cm².

Jejari ialah separuh daripada diameter. Bola berdiameter 20 cm mempunyai j = 10 cm. Sfera wujud di alam sekitar, misalnya buih dan titisan air (Jom Fikir, m.s. 108).

Penyelesaian masalah: bentuk gabungan

Kubus bersisi 5 cm dengan piramid tapak segi empat sama di atasnya, tinggi tegak 6 cm dan tinggi sendeng s — Contoh 6: bongkah gabungan piramid dan kubus (m.s. 109).

Contoh 6 (m.s. 109): kubus dan piramid

Sebuah bongkah ialah gabungan piramid dan kubus bersisi 5 cm. Tinggi bongkah ialah 11 cm. Hitung luas permukaannya dalam unit m².

Memahami masalah: hitung luas permukaan bentuk gabungan. Muka atas kubus dan tapak piramid bercantum, jadi tidak dikira. Ada 5 segi empat sama dan 4 segi tiga.
Merancang strategi: tentukan bentuk yang terlibat dan rumus luas permukaan setiap bentuk.
Tinggi tegak piramid = 11 − 5 = 6 cm. Tinggi sendeng s = √(6² + 2.5²) = √42.25 = 6.5 cm.
Jumlah luas permukaan = 5(5 × 5) + 4(12 × 5 × 6.5) = 125 + 65 = 190 cm².
Membuat kesimpulan: 1 m² = 10 000 cm², maka 190 ÷ 10 000 = 0.019 m².

1 m = 100 cm, jadi 1 m² = 100 cm × 100 cm = 10 000 cm² (m.s. 109).

Apabila dua bentuk bercantum, permukaan yang bersentuhan tersembunyi dan tidak dikira. Hemisfera pepejal berjejari j mempunyai permukaan melengkung 2πj² dan satu bulatan rata πj².

Hitung luas permukaan silinder tertutup berjejari 3.5 cm dan tinggi 8 cm (π = 227).

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

2πj² = 2 × 227 × 3.5² = 77. 2πjt = 2 × 227 × 3.5 × 8 = 176. Jumlah = 253 cm².

6.4Isi padu bentuk tiga dimensi

Isi padu bentuk tiga dimensi ialah ukuran ruang yang memenuhi bentuk itu. Unitnya ialah unit padu: mm³, cm³, m³ (m.s. 110). Juga 1 liter = 1 000 cm³.

Isi padu prisma dan silinder (6.4.1)

Kuboid ialah sejenis prisma: isi padu = panjang × lebar × tinggi = luas tapak × tinggi. Potong kuboid kepada dua bahagian sama saiz melalui pepenjuru, maka terhasil dua prisma segi tiga. Isi padu satu prisma segi tiga = ½ × panjang × lebar × tinggi = luas segi tiga × tinggi.

Isi padu prisma = luas keratan rentas × tinggi
Isi padu silinder = luas tapak × tinggi = πj²t

Untuk silinder, bayangkan 10 keping syiling berbentuk bulatan disusun menegak. Keratan rentasnya ialah bulatan, maka isi padu = πj² × t (m.s. 111).

Isi padu piramid dan kon

Enam piramid sama saiz boleh dimuatkan dalam kubus yang luas tapaknya sama dengan tapak piramid dan tingginya dua kali tinggi piramid. Maka isi padu satu piramid ialah 16 daripada isi padu kuboid itu, dan kerana tinggi kuboid = 2 × tinggi piramid, isi padu piramid = 13 × luas tapak × tinggi (m.s. 111).

Dalam aktiviti dengan sagu (m.s. 112), kon dan silinder yang sama luas tapak dan sama tinggi digunakan. Didapati 3 kon sagu memenuhi satu silinder, jadi isi padu kon = 13 isi padu silinder = 13πj²t.

Silinder dan kon dengan jejari tapak dan tinggi yang sama — Tiga kon memenuhi satu silinder, maka isi padu kon ialah 13 isi padu silinder.

Bentuk	Isi padu
Prisma	luas keratan rentas × tinggi
Silinder	πj²t
Piramid	13 × luas tapak × tinggi
Kon	13πj²t
Sfera	43πj³
Hemisfera	23πj³

Luas permukaan menggunakan unit persegi, isi padu menggunakan unit padu. Dalam rumus isi padu piramid dan kon, t ialah tinggi tegak, bukan tinggi sendeng.

Menghitung isi padu (6.4.2)

Contoh 7 hingga 10 (m.s. 112 dan 113)

Prisma tegak, keratan rentas segi tiga dengan tapak 8 cm dan tinggi 3 cm (daripada teorem Pythagoras, √(5² − 4²) = 3 cm), panjang 12 cm: (12 × 8 × 3) × 12 = 144 cm³.
Silinder, j = 3.5 cm, t = 12 cm: 227 × 3.5 × 3.5 × 12 = 462 cm³.
Kon, j = 7 cm, t = 12 cm: 13 × 227 × 7 × 7 × 12 = 616 cm³.
Piramid tapak 4 cm × 4 cm, t = 3 cm: 13 × (4 × 4) × 3 = 16 cm³.

Contoh 11 dan 12 (m.s. 114): sfera dan hemisfera

Sfera, j = 7 cm: 43 × 227 × 7 × 7 × 7 = 1 437.33 cm³.
Hemisfera, j = 5 cm: 12 × 43πj³ = 23 × 227 × 5³ = 261.90 cm³ (dua tempat perpuluhan).

Rumus lain dalam Jom Fikir (m.s. 109) memakai diameter d: isi padu sfera = πd³/6 dan silinder = πd²t/4. Anda boleh menggunakannya jika diameter diberi.

Penyelesaian masalah (6.4.3)

Contoh 13 (m.s. 114 dan 115): bekas aiskrim

Bekas aiskrim ialah silinder (j = 2.5 cm, t = 6 cm) dengan kon di atasnya (tinggi tegak 4 cm). Jika 10 000 bekas dijual, berapa liter aiskrim diperlukan? Bundarkan kepada liter yang terhampir (π = 227).

Silinder: 227 × 2.5 × 2.5 × 6 = 117.86 cm³.
Kon: 13 × 227 × 2.5 × 2.5 × 4 = 26.19 cm³.
Satu bekas = 117.86 + 26.19 = 144.05 cm³. Untuk 10 000 bekas: 1 440 500 cm³.
1 liter = 1 000 cm³, maka 1 440 500 ÷ 1 000 = 1 440.5 liter, iaitu kira-kira 1 441 liter (kepada liter yang terhampir).

Contoh: kon dalam silinder berisi air

Silinder berjejari 7 cm dan tinggi 15 cm penuh dengan air. Sebuah kon pepejal berjejari 4 cm dan tinggi 7 cm dimasukkan sepenuhnya, kemudian dikeluarkan. Berapakah isi padu air yang tinggal? (Jom Cuba 6.4, soalan 3)

Isi padu silinder = 227 × 7² × 15 = 2 310 cm³.
Isi padu kon = 13 × 227 × 4² × 7 = 117.33 cm³. Isi padu ini ialah air yang disesarkan.
Air yang tinggal = 2 310 − 117.33 = 2 192.67 cm³.

Jika isi padu diberi dan anda diminta mencari satu panjang, jadikan panjang itu perkara rumus. Untuk silinder, t = isi padu ÷ (πj²). Semak jawapan dengan memasukkannya semula ke dalam rumus.

Hitung isi padu piramid bertapak segi empat tepat 8 cm × 5 cm dan tinggi 6 cm. Kemudian hitung isi padu hemisfera berjejari 3 cm (π = 227).

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

Piramid: 13 × 40 × 6 = 80 cm³. Hemisfera: 23 × 227 × 3³ = 56.57 cm³.

Inti pati bab

Bentuk	Luas permukaan	Isi padu
Prisma	(2 × luas segi tiga) + (3 × luas segi empat tepat)	luas keratan rentas × tinggi
Piramid	luas tapak + (4 × luas segi tiga)	13 × luas tapak × tinggi
Silinder	2πj² + 2πjt	πj²t
Kon	πj² + πjs	13πj²t
Sfera	4πj²	43πj³

Projek mini (m.s. 119): cipta sebuah robot daripada kubus, kuboid, prisma, piramid, silinder, kon dan sfera. Murid menghasilkan bentuk itu sendiri dan boleh menggabungkannya.