Matematik notesnota, bab 7

Koordinat

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 120–143

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menerangkan maksud jarak di antara dua titik pada satah Cartes dan membaca skala pada paksi (7.1.1)
Saya boleh menerbitkan rumus jarak di antara dua titik yang mempunyai koordinat-x atau koordinat-y yang sama (7.1.2)
Saya boleh menentukan jarak di antara dua titik pada satah Cartes dengan teorem Pythagoras dan rumus jarak (7.1.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan jarak di antara dua titik dalam sistem koordinat Cartes (7.1.4)
Saya boleh menerangkan maksud titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes (7.2.1)
Saya boleh menerbitkan rumus titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes (7.2.2)
Saya boleh menentukan koordinat titik tengah di antara dua titik pada satah Cartes (7.2.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan titik tengah dalam sistem koordinat Cartes (7.2.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem koordinat Cartes (7.3.1)

7.1Jarak dalam sistem koordinat Cartes

Satah Cartes terdiri daripada satu garis nombor mengufuk (paksi-x) dan satu garis nombor mencancang (paksi-y) yang bersilang pada sudut tegak. Titik persilangannya ialah asalan, O(0, 0). Koordinat ialah pasangan nombor (x, y) yang menentukan kedudukan suatu titik.

Koordinat (x, y): nilai x ditulis dahulu diikuti nilai y (buku teks m.s. 123). Nilai nombor bertambah ke kanan dan ke atas, dan berkurang ke kiri dan ke bawah.

Satah Cartes dengan empat titik, satu dalam setiap sukuan: (3, 4) dalam sukuan I, (−3, 4) dalam sukuan II, (−3, −4) dalam sukuan III dan (3, −4) dalam sukuan IV — Empat sukuan. Tanda bagi (x, y) ialah (+, +), (−, +), (−, −) dan (+, −).

7.1.1 Jarak dua titik pada satah Cartes

Jarak di antara dua titik ialah ukuran jauh atau ruang di antara kedua-dua titik itu. Untuk menentukannya, lukis segi tiga bersudut tegak: sisi mengufuk ialah jarak mengufuk dan sisi mencancang ialah jarak mencancang. Kedua-duanya dibaca daripada skala pada paksi.

Titik A(1, 2) dan B(5, 7) disambung oleh garis. Garis putus-putus mengufuk dari A ke C(5, 2) ialah jarak mengufuk dan garis mencancang dari C ke B ialah jarak mencancang — Jarak mengufuk AC = 4 unit dan jarak mencancang CB = 5 unit. Perjalanan terus dari A ke B tanpa melalui C ialah jarak yang terpendek.

Teorem Pythagoras memberikan AB² = AC² + CB², jadi AB = √(AC² + CB²).

Skala ialah nilai yang diwakili oleh satu kotak pada paksi. Skala boleh berbeza pada paksi-x dan paksi-y, misalnya 1, 2, 5 atau 10 unit sekotak.

Empat satah Cartes dengan skala yang berbeza: (a) A(−1, 4) dan B(−1, −2), skala 1 unit; (b) P(−15, 4) dan Q(15, 4), skala paksi-x 5 unit dan paksi-y 2 unit; (c) D(−20, −2) dan E(20, −2), skala paksi-x 10 unit dan paksi-y 1 unit; (d) F(12, 8) dan G(12, 0), skala paksi-x 4 unit dan paksi-y 2 unit — Contoh 1: jarak = bilangan kotak × skala. (a) AB = 6 × 1 = 6 unit; (b) PQ = 6 × 5 = 30 unit; (c) DE = 4 × 10 = 40 unit; (d) FG = 4 × 2 = 8 unit.

Menganggap satu kotak sentiasa 1 unit. Baca skala pada kedua-dua paksi dahulu, kemudian darabkan bilangan kotak dengan skala paksi yang betul. Garis mengufuk menggunakan skala paksi-x dan garis mencancang menggunakan skala paksi-y.

7.1.2 Rumus jarak bagi dua titik yang mempunyai koordinat-x atau koordinat-y yang sama

Keadaan	Garis ialah	Jarak
Koordinat-y sama: A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₁)	Mengufuk	AB = x₂ − x₁
Koordinat-x sama: C(x₁, y₂) dan D(x₁, y₁)	Mencancang	CD = y₂ − y₁

Tolak nilai yang lebih kecil daripada nilai yang lebih besar supaya jarak positif. Jarak tidak pernah negatif.

Contoh 2 (m.s. 126): jarak di antara pasangan titik

(a) (2, −3) dan (4, −3): koordinat-y sama, jarak = 4 − 2 = 2 unit
(b) (0, 1) dan (0, −2): koordinat-x sama, jarak = 1 − (−2) = 3 unit

Contoh 3 (m.s. 126): melengkapkan koordinat

A(1, y) berada di atas C(1, 3) dan AC = 5 unit: y − 3 = 5, maka y = 8. A ialah (1, 8).
B(x, 3) sejajar dengan C(1, 3) dan CB = 4 unit: x − 1 = 4, maka x = 5. B ialah (5, 3).

Menulis 1 − (−2) sebagai 1 − 2 = −1. Tanda negatif koordinat kekal: 1 − (−2) = 1 + 2 = 3.

Cari jarak di antara (a) (−6, 4) dan (3, 4) (b) (5, −2) dan (5, −9).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) Koordinat-y sama: 3 − (−6) = 9 unit
(b) Koordinat-x sama: −2 − (−9) = 7 unit

7.1.3 Jarak di antara dua titik pada satah Cartes

Jika garis lurus yang menyambungkan dua titik tidak selari dengan paksi-x atau paksi-y, jaraknya ditentukan dengan teorem Pythagoras. Jarak AB ialah hipotenus segi tiga bersudut tegak.

Titik A(2, 1) dan B(6, 4) disambung oleh garis; garis putus-putus mengufuk 4 unit dari A ke C(6, 1) dan garis mencancang 3 unit dari C ke B — AC = 6 − 2 = 4 unit dan CB = 4 − 1 = 3 unit, maka AB² = 4² + 3² = 25 dan AB = 5 unit.

Rumus jarak. Jarak di antara A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂):
AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

Contoh 4 (m.s. 128): A(1, 7) dan B(5, 1)

Kaedah 1. Lukis segi tiga bersudut tegak ACB. AC = 6 unit, BC = 4 unit.
AB² = BC² + AC² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52, maka AB = √52 = 7.21 unit
Kaedah 2. AB = √[(5 − 1)² + (1 − 7)²] = √(4² + (−6)²) = √(16 + 36) = √52 = 7.21 unit

Contoh 5 (m.s. 128): P(−2, 6) dan Q(4, 1)

PQ = √[(4 − (−2))² + (1 − 6)²]
= √(6² + (−5)²) = √(36 + 25) = √61
= 7.81 unit

Susunan dua titik tidak penting kerana setiap beza dikuasaduakan. Semak jawapan: jarak mesti lebih panjang daripada jarak mengufuk dan jarak mencancang.

Menulis (x₂ − x₁)² sebagai x₂² − x₁², atau menambah dua beza tanpa menguasaduakannya. Hitung setiap kurungan, kuasa duakan, tambah, kemudian punca kuasa duakan jumlah itu.

Hitung jarak di antara A(−1, 2) dan B(5, 10).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Mengufuk 5 − (−1) = 6, mencancang 10 − 2 = 8
AB = √(36 + 64) = √100 = 10 unit

7.1.4 Penyelesaian masalah

Buku teks (m.s. 129) menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan.

Contoh 6 (m.s. 129): perimeter segi tiga sama kaki

Bucu A(1, 1), B(3, 4) dan C(5, 1). Perimeter = AB + BC + AC.
AC = 5 − 1 = 4 unit (koordinat-y sama)
AB = √(3² + 2²) = √13 = 3.6 unit, dan BC = √13 = 3.6 unit, maka AB = BC
Perimeter = 3.6 + 3.6 + 4 = 11.2 unit

Contoh 7 (m.s. 129): nilai v

A(v, 3), B(6, 9) dan AB = 10 unit.
10 = √[(6 − v)² + (9 − 3)²], maka 10² = (6 − v)² + 36
(6 − v)² = 100 − 36 = 64, maka 6 − v = 8 dan v = −2

Apabila nilai tidak diketahui berada dalam kurungan yang dikuasaduakan, hasilnya ialah dua nilai (± punca kuasa dua). Gunakan petunjuk dalam soalan atau rajah untuk memilih yang betul.

7.2Titik tengah dalam sistem koordinat Cartes

7.2.1 Titik tengah di antara dua titik

Titik tengah ialah titik yang membahagi dua sama suatu tembereng garis (buku teks m.s. 133).

Titik tengah boleh ditentukan dengan membina pembahagi dua sama serenjang bagi garis itu. Dalam Contoh 9, titik tengah AB (segi tiga bersudut tegak ACB) ditemui di persilangan pembahagi dua sama serenjang AC dan BC, iaitu P(3, 4).

Pada garis nombor, jarak dari titik tengah ke kedua-dua hujung adalah sama. Dalam Contoh 8(a), jarak AP dan jarak PB ialah 4 unit setiap satu, maka P ialah titik tengah AB (bukan M atau Q).

7.2.2 Rumus titik tengah

Titik tengah bagi garis condong ditentukan dengan membahagi dua jarak mengufuk dan jarak mencancang. Koordinat-x titik tengah ialah min dua koordinat-x, dan koordinat-y titik tengah ialah min dua koordinat-y.

Rumus titik tengah. Titik tengah bagi A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) = ( (x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2 )

Menggunakan tolak dalam rumus titik tengah, iaitu (x₂ − x₁)/2. Itu memberikan separuh jarak, bukan koordinat. Rumus titik tengah menambah koordinat.

7.2.3 Koordinat titik tengah di antara dua titik

Garis lurus dari A(2, 0) ke B(6, 4) dengan titik tengah M(4, 2) ditandakan; garis putus-putus dari M ke kedua-dua paksi — A(2, 0) dan B(6, 4): M = ((2 + 6)/2, (0 + 4)/2) = (4, 2). Persilangan pembahagi dua sama serenjang dengan garis AB memberikan titik M yang sama.

Contoh 10 (m.s. 136): A(2, 5) dan B(2, 1)

Titik tengah AB = ( (2 + 2)/2 , (5 + 1)/2 ) = (4/2 , 6/2) = (2, 3)

Contoh 11 (m.s. 136): M(10, 7) dan N(4, 1)

Titik tengah MN = ( (10 + 4)/2 , (7 + 1)/2 ) = (14/2 , 8/2) = (7, 4)

Tambah dua koordinat-x dan bahagi dua. Lakukan yang sama bagi y. Kekalkan tanda negatif: titik tengah (−6, 3) dan (4, −9) ialah ((−6 + 4)/2, (3 + (−9))/2) = (−1, −3).

7.2.4 Penyelesaian masalah titik tengah

Jika titik tengah dan satu hujung diketahui, gantikan nilai ke dalam rumus titik tengah dan selesaikan satu persamaan bagi x dan satu bagi y.

Contoh 12 (m.s. 137): titik P pada garis PAQ

A(0, 2) ialah titik tengah PQ dan Q ialah (2, 0). Katakan P = (x, y).
(x + 2)/2 = 0, maka x = −2; (y + 0)/2 = 2, maka y = 4. P ialah (−2, 4).

Contoh 13 (m.s. 137): P(2, 9) ialah titik tengah KL dan K ialah (−3, 12)

(−3 + x₂)/2 = 2, maka −3 + x₂ = 4 dan x₂ = 7
(12 + y₂)/2 = 9, maka 12 + y₂ = 18 dan y₂ = 6
Koordinat L ialah (7, 6).

Cara pintas: dari K ke titik tengah, x bergerak +5 dan y bergerak −3. Buat pergerakan yang sama sekali lagi dari titik tengah untuk sampai ke L: (2 + 5, 9 − 3) = (7, 6).

(a) Cari titik tengah bagi (−4, 1) dan (6, 7). (b) M(1, 2) ialah titik tengah AB dan A ialah (−3, 5). Cari B.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) ((−4 + 6)/2, (1 + 7)/2) = (1, 4)
(b) (−3 + x)/2 = 1 memberi x = 5; (5 + y)/2 = 2 memberi y = −1. B ialah (5, −1).

7.3Sistem koordinat Cartes

7.3.1 Penyelesaian masalah koordinat

Banyak masalah menggabungkan tiga idea: garis selari dengan paksi mempunyai koordinat yang sama; rumus jarak memberi panjang; rumus titik tengah memberi pusat dan titik yang hilang (m.s. 140).

Jika anda tahu	Maka
Garis selari dengan paksi-x	Kedua-dua titik mempunyai koordinat-y yang sama
Garis selari dengan paksi-y	Kedua-dua titik mempunyai koordinat-x yang sama
Bentuk ialah segi empat tepat, segi empat sama atau rombus	Dua pepenjuru mempunyai titik tengah yang sama
Segi tiga sama kaki	Dua sisi sama panjang, maka uji jarak sisi

Contoh 14 (m.s. 140): segi empat selari

B(11, 6), AB = 5 unit dan AB selari dengan DC (paksi-x). D ialah (1, 2).
(a) AB selari dengan paksi-x, maka koordinat-y A ialah 6. Koordinat-x A = 11 − 5 = 6. A ialah (6, 6).
(b) AC selari dengan paksi-y, maka koordinat-x C ialah 6; DC selari dengan paksi-x, maka koordinat-y C sama dengan D, iaitu 2. C ialah (6, 2). Titik tengah AC = ((6 + 6)/2, (6 + 2)/2) = (6, 4).

Menukar peranan dua koordinat. Selari dengan paksi-x bermaksud nilai y dikongsi, dan nilai x berbeza.

Garis PQ selari dengan paksi-y. P ialah (3, −2) dan Q ialah (3, 6). Cari (a) PQ, (b) titik tengah PQ.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 6 − (−2) = 8 unit
(b) (3, (−2 + 6)/2) = (3, 2)

Nota ditulis daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), Bab 7, m.s. 120 hingga 143. Rajah lain dilukis untuk laman ini.