Matematik notesnota, bab 8

Graf Fungsi

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 144–167

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menerangkan maksud fungsi sebagai hubungan yang setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej dalam kodomain (8.1.1)
Saya boleh mengenal pasti hubungan satu kepada satu, banyak kepada satu, satu kepada banyak dan banyak kepada banyak, serta menentukan yang manakah fungsi (8.1.1)
Saya boleh mengenal pasti fungsi dan memberi justifikasi berdasarkan pasangan tertib, jadual, graf dan persamaan (8.1.2)
Saya boleh menyatakan domain, kodomain, objek, imej dan julat, serta menulis fungsi dengan tatatanda f(x) (8.1.2)
Saya boleh membina jadual nilai bagi fungsi linear dan bukan linear (8.2.1)
Saya boleh melukis graf fungsi linear, kuadratik, kubik dan salingan dengan skala yang diberikan (8.2.1)
Saya boleh mentafsir graf fungsi untuk mencari nilai x dan y serta membuat inferens dan ramalan (8.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan graf fungsi (8.2.3)

Harga tiket taman tema air, ketinggian bola yang disepak dan bayaran sewa basikal bergantung pada kuantiti lain. Apabila satu kuantiti ditentukan oleh kuantiti yang lain, hubungan itu boleh ditulis sebagai fungsi dan dilukis sebagai graf. Dalam bab ini kamu akan menentukan sama ada sesuatu hubungan ialah fungsi, membina jadual nilai, melukis graf garis lurus dan graf lengkung, dan mentafsir graf untuk menyelesaikan masalah.

Istilah (Rangkai Kata)	Bahasa Inggeris
fungsi	function
hubungan	relation
pemboleh ubah	variable
graf fungsi	graph of function
jadual nilai	table of values
fungsi linear, fungsi bukan linear	linear function, non-linear function
fungsi kuadratik, fungsi kubik	quadratic function, cubic function
fungsi salingan	reciprocal function
skala	scale

8.1Fungsi

8.1.1 Definisi fungsi

Dalam Aktiviti Kreatif (m.s. 146), jumlah harga tiket bergantung pada bilangan dan kategori ahli keluarga. Dalam Rangsangan Minda (m.s. 146–147), setiap nombor input pada kalkulator memberi hanya satu nombor output: ∛64 = 4, ∛27 = 3, 2³ = 8 dan 3³ = 27. Maka, fungsi ialah hubungan yang setiap input mempunyai hanya satu output.

Hubungan ialah padanan unsur dari set A kepada set B. Hubungan boleh diwakili dengan rajah anak panah, graf atau pasangan tertib. Fungsi ialah hubungan yang setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej dalam kodomain.

Mengenal pasti fungsi

Terdapat dua jenis hubungan yang menghasilkan fungsi dan dua jenis yang bukan fungsi (buku teks m.s. 147–149, Contoh 1 dan 2).

Hubungan satu kepada satu dan banyak kepada satu ialah fungsi. Hubungan satu kepada banyak dan banyak kepada banyak bukan fungsi.

Jenis hubungan	Maksud	Contoh (pasangan tertib)	Fungsi?
Satu kepada satu	Setiap objek mempunyai satu imej, dan setiap imej hanya mempunyai satu objek	A = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}	Ya
Banyak kepada satu	Setiap objek mempunyai satu imej, tetapi lebih daripada satu objek dihubungkan dengan imej yang sama	B = {(6, 3), (9, 3), (21, 3)}	Ya
Satu kepada banyak	Objek dalam domain mempunyai lebih daripada satu imej	R = {(3, 3), (3, 6), (4, 4), (4, 8)}	Bukan
Banyak kepada banyak	Sekurang-kurangnya satu objek mempunyai lebih daripada satu imej dan lebih daripada satu objek mempunyai imej yang sama	S = {(24, 4), (24, 6), (24, 8), (18, 6), (16, 4), (16, 8)}	Bukan

Jangan keliru antara “satu imej bagi setiap objek” dengan “satu objek bagi setiap imej”. Hubungan banyak kepada satu ialah fungsi (kuasa dua bagi −2 dan 2 sama-sama 4). Hubungan satu kepada banyak bukan fungsi.

Ujian cepat bagi pasangan tertib: lihat nombor pertama. Jika satu nombor pertama muncul dua kali dengan nombor kedua yang berbeza, hubungan itu bukan fungsi. Pada graf, tiada dua titik yang berada tepat di atas satu sama lain (nilai x sama, nilai y berbeza).

Nyatakan jenis hubungan dan sama ada hubungan itu fungsi. (a) {(1, 5), (2, 5), (3, 7)} (b) {(2, 4), (2, 6), (5, 10)} (c) {(−3, 9), (3, 9), (4, 16)}

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) Banyak kepada satu (1 dan 2 berkongsi imej 5). Fungsi.
(b) Satu kepada banyak (objek 2 mempunyai dua imej, 4 dan 6). Bukan fungsi.
(c) Banyak kepada satu (−3 dan 3 berkongsi imej 9). Fungsi.

8.1.2 Perwakilan fungsi

Rajah anak panah dari set P dengan 9, 16, 25 dan 36 kepada set Q dengan 1, 3, 4, 5 dan 6. Anak panah ialah 9 kepada 3, 16 kepada 4, 25 kepada 5 dan 36 kepada 6. Nombor 1 dalam Q tidak menerima anak panah — Fungsi f memetakan x kepada √x. Julat = {3, 4, 5, 6} (berwarna jingga). Buku teks m.s. 149.

Set P = {9, 16, 25, 36} ialah domain. Unsur-unsurnya dinamakan objek.
Set Q = {1, 3, 4, 5, 6} ialah kodomain.
Unsur dalam set Q yang dihubungkan kepada objek dalam set P dinamakan imej. Set imej ialah julat: {3, 4, 5, 6}.

Julat boleh lebih kecil daripada kodomain. Nombor 1 ialah unsur kodomain tetapi tiada objek dipetakan kepadanya, jadi 1 bukan dalam julat.

Tatatanda fungsi. “x dipetakan kepada x − 1” ditulis f : x → x − 1 atau f(x) = x − 1. Bagi 6, 5 dan 4 hasilnya ialah 5, 4 dan 3 (buku teks m.s. 148, Tahukah Anda). Tatatanda f(x) diperkenalkan oleh Leonhard Euler (Imbasan Silam, m.s. 145).

Sesuatu fungsi boleh diwakili dengan pasangan tertib, jadual, graf atau persamaan.

Contoh 1: set P = {1, 2, 3} dipetakan kepada set Q = {4, 5, 6} dengan menambah 3 (m.s. 150)

Perwakilan	Bentuk
Pasangan tertib	{(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
Jadual	P: 1, 2, 3 dan Q: 4, 5, 6
Graf	Tiga titik (1, 4), (2, 5), (3, 6) diplot pada satah Cartes
Persamaan	y = x + 3 atau f(x) = x + 3

Daripada 4 = 1 + 3, 5 = 2 + 3 dan 6 = 3 + 3, corak yang sama ialah “tambah 3”, jadi f(x) = x + 3. Bagi hubungan “tolak 8” daripada set {10, 12, 18, 20} kepada {2, 4, 10, 12}, persamaannya ialah R = S − 8 (m.s. 150, Jom Cuba 8.1 No. 5).

Fungsi f memetakan x kepada 5 − 2x bagi domain {0, 1, 2, 3}. Tulis fungsi itu sebagai pasangan tertib dan nyatakan julatnya.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

f(0) = 5, f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = −1.
Pasangan tertib: {(0, 5), (1, 3), (2, 1), (3, −1)}. Julat = {5, 3, 1, −1}.

8.2Graf fungsi

Graf fungsi ialah perwakilan fungsi pada satah Cartes. Setiap titik pada graf ialah pasangan tertib (x, y) yang memenuhi persamaan fungsi. x ialah pemboleh ubah tak bersandar dan y ialah pemboleh ubah bersandar kerana nilai y bergantung pada nilai x.

Contohnya, lengkung lambungan bola yang disepak ialah graf s = 25t − 2.5t², dengan t ialah masa dalam saat dan s ialah tinggi dalam meter (buku teks m.s. 151).

8.2.1 Membina jadual nilai dan melukis graf

Gantikan setiap nilai x yang diberikan ke dalam fungsi untuk mendapatkan y. Letakkan kurungan pada nombor negatif dan kira kuasa sebelum mendarab (buku teks m.s. 152, Contoh 4).

Contoh 2: jadual nilai bagi y = 2x² − 1

x = −1: y = 2(−1)² − 1 = 2(1) − 1 = 1
x = 0: y = 2(0)² − 1 = −1
x = 1: y = 2(1)² − 1 = 1
x = 2: y = 2(2)² − 1 = 2(4) − 1 = 7

x	−1	0	1	2
y	1	−1	1	7

Dalam 2x², hanya x yang dikuasaduakan. Bagi x = −2, tulis 2(−2)² = 2 × 4 = 8. Dua kesilapan biasa: menulis −2² = −4, atau (2 × −2)² = 16.

Kalkulator saintifik boleh digunakan untuk jadual nilai: masukkan fungsi dengan ALPHA ), kemudian tekan CALC dan nilai x (buku teks m.s. 152, Tip).

Langkah-langkah melukis graf

Bina jadual nilai bagi fungsi yang diberikan.
Lukis setiap paksi dengan skala yang diberikan atau dengan skala yang sesuai.
Plotkan titik (x, y) bagi pasangan tertib daripada jadual nilai.
Sambung titik-titik itu dengan garis lurus (menggunakan pembaris) atau lengkung yang licin. Labelkan graf dengan fungsinya.

Empat jenis graf fungsi

Fungsi	Kuasa x	Bentuk am	Bentuk graf
Linear	1	y = mx + c (m kecerunan, c pintasan-y)	Garis lurus
Kuadratik	2	f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0	Parabola
Kubik	3	ax³ + c, a ≠ 0	Lengkung kubik (bentuk S)
Salingan	−1 atau −2	y = ax atau y = axⁿ dengan n = −1, −2	Hiperbola

Contoh 3: fungsi linear y = 2x + 4 untuk −2 ≤ x ≤ 3 (m.s. 153)

Skala paksi-x: 2 cm kepada 1 unit. Skala paksi-y: 2 cm kepada 2 unit.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	0	2	4	6	8	10

Graf garis lurus y = 2x + 4 melalui (-2, 0), (0, 4) dan (3, 10) — Garis lurus: y bertambah 2 setiap kali x bertambah 1.

Contoh 4: fungsi kuadratik y = x² − 2x − 3 untuk −2 ≤ x ≤ 4 (m.s. 154)

x	−2	−1	0	1	2	3	4
y	5	0	−3	−4	−3	0	5

Parabola y = x kuasa dua tolak 2x tolak 3 dengan titik terendah (1, -4) dan menyilang paksi-x pada -1 dan 3 — Parabola. Titik terendah ialah (1, −4) dan lengkung simetri pada x = 1.

Contoh 5: fungsi kubik y = 12 − x³ untuk −3 ≤ x ≤ 3 (m.s. 155)

Skala paksi-x: 2 cm kepada 1 unit. Skala paksi-y: 2 cm kepada 5 unit.

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y	39	20	13	12	11	4	−15

Lengkung y = 12 tolak x kuasa tiga menurun dari (-3, 39) ke (3, -15), hampir mendatar berhampiran (0, 12) — Lengkung kubik. Dengan skala 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, nilai besar 39 dan −15 masih muat pada kertas graf.

Contoh 6: fungsi salingan y = 24x untuk −4 ≤ x ≤ 4 (m.s. 156)

Skala paksi-x: 2 cm kepada 1 unit. Skala paksi-y: 2 cm kepada 5 unit.

x	−4	−3	−2	−1	1	2	3	4
y	−6	−8	−12	−24	24	12	8	6

Hiperbola y = 24 per x dengan satu cabang di sebelah kanan atas dan satu cabang di sebelah kiri bawah, tidak menyentuh paksi — Dua cabang. Graf tidak menyentuh paksi-y kerana x = 0 tidak memberi nilai y.

Bagi y = 24x, fungsi tidak tertakrif jika x = 0 (tidak boleh membahagi dengan 0). Tiada titik pada x = 0, jadi jangan sambungkan dua cabang merentasi paksi-y.

Contoh 7: y = x⁻² untuk −4 ≤ x ≤ 4 (m.s. 157)

Skala paksi-x: 2 cm kepada 1 unit. Skala paksi-y: 2 cm kepada 0.5 unit. Contoh: x = −3 memberi y = (−3)⁻² = 19 ≈ 0.11; x = 0.5 memberi y = (0.5)⁻² = 4.

x	−4	−3	−2	−1	−0.5	0.5	1	2	3	4
y	0.06	0.11	0.25	1	4	4	1	0.25	0.11	0.06

Graf y = x kuasa tolak 2 dengan dua cabang di atas paksi-x, satu di sebelah kiri dan satu di sebelah kanan paksi-y, menghampiri paksi-y apabila x menghampiri 0 — Bentuk graf ini juga ialah hiperbola. Semua nilai y positif kerana x⁻² = 1x².

Melukis lengkung: gunakan pensel yang tajam, plot setiap titik dengan teliti, kemudian lukis satu lengkung yang licin. Jangan sambung titik pada lengkung dengan garis lurus yang pendek. Pembaris fleksibel boleh membantu (buku teks m.s. 154).

(a) Lengkapkan jadual nilai bagi y = x² + 1 untuk x = −2, −1, 0, 1, 2. (b) Nyatakan bentuk grafnya. (c) Lengkapkan jadual bagi y = 6x untuk x = −3, −2, −1, 1, 2, 3.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) y = 5, 2, 1, 2, 5
(b) Parabola (fungsi kuadratik, kuasa tertinggi 2)
(c) y = −2, −3, −6, 6, 3, 2 (hiperbola)

8.2.2 Tafsiran graf fungsi

Daripada graf, kita boleh membuat tafsiran dan ramalan. Untuk membaca nilai, lukis garis bantu putus-putus ke graf, kemudian ke paksi yang satu lagi (buku teks m.s. 158, Contoh 10 dan 11).

Graf y = 2x + 2 dengan garis putus-putus menunjukkan bahawa x = 2 memberi y = 6 dan y = 4 memberi x = 1 — Apabila x = 2, y = 6. Apabila y = 4, x = 1.

Diberi x, cari y: lukis garis mencancang dari x sehingga bertemu graf, kemudian garis mengufuk ke paksi-y.
Diberi y, cari x: lukis garis mengufuk dari y sehingga bertemu graf, kemudian garis mencancang ke paksi-x.

Parabola y = x kuasa dua tolak 2 dengan garis mengufuk putus-putus pada y = 7 bertemu lengkung pada x = -3 dan x = 3 — Bagi y = x² − 2, garis y = 7 bertemu lengkung dua kali: x = −3 atau x = 3.

Satu nilai y pada lengkung boleh memberi dua nilai x. Baca kedua-dua belah lengkung. Bagi y = x² − 2 dan y = 7, jawapannya x = 3 dan x = −3. (Semak: 3² − 2 = 7 dan (−3)² − 2 = 7.)

Contoh 8: membaca graf jualan nasi goreng (m.s. 159, Contoh 13)

Graf keuntungan Anis ialah garis lurus melalui asalan: 10 bungkus memberi RM5, 20 bungkus memberi RM10 dan 40 bungkus memberi RM20. Maka 20 bungkus memberi keuntungan RM10, keuntungan RM20 diperoleh daripada 40 bungkus, dan 26 bungkus memberi RM13. Inferens: jumlah keuntungan meningkat jika bilangan bungkus yang dijual bertambah. Ramalan berdasarkan trend: 60 bungkus memberi RM30, kerana garis itu diteruskan dengan arah yang sama.

Contoh 9: bola jatuh dari ketinggian 4 meter (m.s. 159, Contoh 12)

Daripada graf, apabila x = 1 minit, y = 2, jadi jarak bola dari tanah pada minit pertama ialah 2 meter. Bola menyentuh tanah apabila tinggi y = 0, iaitu pada x = 2: bola menyentuh tanah pada minit ke-2.

8.2.3 Penyelesaian masalah

Selesaikan masalah dengan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dengan membaca graf, dan membuat kesimpulan dengan unit (buku teks m.s. 160–161).

Contoh 10: simpanan Johan dan Erika (m.s. 160, Contoh 14)

Graf menunjukkan jumlah wang (RM) yang disimpan mengikut bilangan hari. Garis Johan melalui (0, 0) dan (30, 120), jadi y = 4x. Garis Erika bermula pada RM20 dan sampai RM80 pada hari ke-30, jadi y = 20 + 2x.

Dua garis lurus. Johan bermula pada 0 dan sampai RM120 pada hari ke-30. Erika bermula pada RM20 dan sampai RM80 pada hari ke-30. Kedua-dua bersilang pada hari ke-10 dengan RM40 — Titik persilangan (10, 40) menunjukkan simpanan yang sama.

Hari ke-20: Johan RM80 dan Erika RM60.
Simpanan sama pada titik persilangan (10, 40): pada hari ke-10, jumlah mereka sama, iaitu RM40.
Pada hari ke-25: RM100 − RM70 = RM30, jadi perbezaan RM30 pada hari ke-25.
Pada hari ke-30, Johan RM120 dan Erika RM80, jadi Johan mendapat hadiah kerana simpanannya lebih banyak.

Contoh 11: lompatan Jibam (m.s. 161, Contoh 15)

Tinggi Jibam ialah y = 6 + x − x² meter selepas x saat, dan batu bergerak dengan y = 2x.

Lengkung y = 6 + x tolak x kuasa dua dengan titik tertinggi (0.5, 6.25) dan garis lurus y = 2x. Kedua-duanya bersilang di (2, 4). Lengkung menyentuh paksi-x pada x = 3 — Titik maksimum (0.5, 6.25); persilangan (2, 4); Jibam sampai ke tanah pada x = 3.

Ketinggian maksimum: titik tertinggi lengkung ialah (0.5, 6.25), jadi ketinggian maksimum ialah 6.25 m. (Semak: 6 + 0.5 − 0.25 = 6.25.)
Batu mengenai Jibam pada titik persilangan dua graf. Pada x = 2: 6 + 2 − 4 = 4 dan 2(2) = 4, jadi titiknya (2, 4): pada saat ke-2.
Jibam menyentuh tanah apabila y = 0. Pada x = 3: 6 + 3 − 9 = 0, jadi pada saat ke-3.

Di titik persilangan dua graf, kedua-dua fungsi mempunyai nilai x dan y yang sama. Titik itu menjawab soalan “bilakah kedua-duanya sama?” Untuk menyemak, gantikan nilai x ke dalam kedua-dua persamaan.

Tulis jawapan lengkap dengan unit. “6.25” tidak mencukupi: tulis 6.25 meter. Baca skala dengan teliti kerana satu petak boleh bernilai 1, 2 atau 5 unit.

Graf y = 2x + 2 melalui (0, 2) dan (3, 8). (a) Cari y apabila x = 2. (b) Cari x apabila y = −2. (c) Bagi y = x² − 2, cari nilai x apabila y = 7.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) y = 2(2) + 2 = 6
(b) −2 = 2x + 2, 2x = −4, x = −2
(c) x² = 9, maka x = 3 atau x = −3

Inti pati bab

Fungsi: hubungan yang setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej dalam kodomain (satu kepada satu atau banyak kepada satu).
Perwakilan fungsi: pasangan tertib, jadual, graf dan persamaan.
Graf fungsi: bina jadual nilai, lukis paksi dengan skala, plot titik, sambung dengan garis lurus atau lengkung yang licin.