Matematik notesnota, bab 10

Kecerunan Garis Lurus

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 188–205

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh memerihalkan kecuraman dan arah kecondongan berdasarkan situasi harian, dan menerangkan maksud kecerunan sebagai nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk (10.1.1)
Saya boleh menerbitkan rumus kecerunan suatu garis lurus pada satah Cartes (10.1.2)
Saya boleh membuat generalisasi tentang kecerunan garis lurus, iaitu kecerunan positif, negatif, sifar dan tidak tertakrif (10.1.3)
Saya boleh menentukan kecerunan suatu garis lurus daripada rajah, dua titik dan pintasan (10.1.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan kecerunan garis lurus (10.1.5)

10.1Kecerunan

Kecerunan ialah darjah kecuraman. Dalam bab ini kecerunan dikira daripada jarak mencancang dan jarak mengufuk, daripada koordinat dua titik, dan daripada pintasan-x dan pintasan-y.

10.1.1 Kecuraman dan arah kecondongan

Aktiviti Kreatif (m.s. 190): guli pada kad manila

Kad manila 20 cm × 9 cm dilipat menjadi peluncur dan hujung kirinya ditinggikan dengan pemadam. Apabila ketinggian peluncur ditambah, guli bergerak lebih laju. Kelajuan guli bergantung pada ketinggian peluncur: semakin tinggi peluncur, semakin curam laluannya.

Bukit dengan titik A, B, C, D, E dan F di sepanjang cerun; dua orang berbasikal menuruni sebelah kanan bukit — Farid dan Afif berasa sukar meneruskan kayuhan di laluan C, tetapi basikal mereka sangat laju apabila menuruni laluan E. Semakin curam cerun, semakin sukar mendakinya dan semakin laju menuruninya.

Kecerunan suatu garis lurus menunjukkan kecuramannya. Semakin besar nilai mutlak kecerunan, semakin curam garis lurus itu. Tanda positif atau negatif menunjukkan arah kecondongan garis lurus.

Garis yang membentuk sudut yang lebih besar dengan paksi-x mempunyai kecerunan yang lebih tinggi. Garis yang membentuk 60° lebih curam daripada garis yang membentuk 30° (Tahukah Anda?, m.s. 192).

Tangga MN dengan sudut 30 darjah dan eskalator KL dengan sudut 45 darjah — Contoh 1: sudut 45° pada eskalator KL lebih besar daripada 30° pada tangga MN, maka KL lebih curam daripada MN dan mempunyai nilai kecerunan yang lebih besar.

Kecerunan ialah nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk.

Papan gelongsor dengan titik A di atas, titik C di hujung bawah dan titik B di bawah A; AB ialah 2 m dan CB ialah 3 m — Papan gelongsor: AB = 2 m ialah **jarak mencancang** dan CB = 3 m ialah **jarak mengufuk**.

Contoh 2 (m.s. 191): jarak mencancang dan jarak mengufuk

(a) Segi tiga bersudut tegak PQR dengan PQ = 2 m dan QR = 4 m: jarak mencancang, PQ = 2 m; jarak mengufuk, QR = 4 m.
(b) Pada grid, R berada 4 unit di atas S dan P berada 5 unit di kiri S: jarak mencancang, RS = 4 unit; jarak mengufuk, PS = 5 unit.

Pada satah Cartes, perubahan y ialah jarak mencancang dan perubahan x ialah jarak mengufuk. Maka kecerunan, m = jarak mencancangjarak mengufuk.

Garis PQ dengan sisi mengufuk putus-putus 3 unit dan sisi mencancang putus-putus 4 unit membentuk segi tiga bersudut tegak — Contoh 3(a) (m.s. 192): jarak mencancang 4 unit, jarak mengufuk 3 unit. Kecerunan PQ = 43.

m mewakili kecerunan garis lurus (m.s. 192). Jarak mencancang ditulis di atas dan jarak mengufuk di bawah.

Menulis jarak mengufuk ÷ jarak mencancang. Garis yang lebih curam mesti memberikan nombor yang lebih besar, jadi jarak mencancang berada di atas.

Contoh 3(b) (m.s. 192): jarak mencancang 2 unit, jarak mengufuk 3 unit

Kecerunan BC = 23. Garis BC kurang curam daripada PQ kerana 23 < 43.

Jom Fikir (m.s. 191): lori berat

Pemandu lori berat menekan pedal minyak ketika menaiki bukit yang curam dan memecut dari bawah sebelum pendakian. Pendakian yang curam memerlukan lebih banyak daya enjin untuk menaikkan lori; mencapai kelajuan yang cukup di bawah membantu lori mendaki.

Semak pantas. Jarak mencancang sebuah tangga ialah 15 m dan jarak mengufuknya 20 m. Cari kecerunan tangga itu.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Kecerunan = 15 ÷ 20 = 34

10.1.2 Rumus kecerunan garis lurus pada satah Cartes

Kecerunan garis lurus yang melalui A (x₁, y₁) dan B (x₂, y₂) dikira daripada nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk.

Rumus kecerunan. m = y₂ − y₁x₂ − x₁

Garis melalui A(3, 1) dan B(6, 7) dengan jarak mengufuk 3 dan jarak mencancang 6 ditandakan — Contoh 4(a) (m.s. 194): A (3, 1) dan B (6, 7). m = 7 − 16 − 3 = 63 = 2.

Contoh 4(b) (m.s. 194): P (4, −1) dan Q (3, 5)

Padankan dahulu: x₁ = 4, y₁ = −1, x₂ = 3, y₂ = 5.
Kecerunan = 5 − (−1)3 − 4 = 6−1 = −6

Menukar susunan. Jika bahagian atas bermula dengan y₂, bahagian bawah mesti bermula dengan x₂. Jangan tulis (y₂ − y₁) ÷ (x₁ − x₂). Berhati-hati dengan tanda: 5 − (−1) = 6, bukan 4.

Kecerunan daripada pintasan

Pintasan-x ialah titik persilangan garis lurus dengan paksi-x, di (x, 0). Pintasan-y ialah titik persilangan garis lurus dengan paksi-y, di (0, y).

Rumus kecerunan: m = −pintasan-ypintasan-x

Garis melalui L(4, 0) dan M(0, 8) dengan pintasan-x 4 dan pintasan-y 8 — Contoh 6(a) (m.s. 194): L (4, 0) dan M (0, 8). Pintasan-x = 4, pintasan-y = 8, maka m = −84 = −2.

Garis	Pintasan-x	Pintasan-y	Kecerunan
Contoh 5(a)	−5	8	−8−5 = 85
Contoh 5(b)	3	4	−43
Contoh 6(b): G (−3, 0) dan K (0, 9)	−3	9	−9−3 = 3

Titik pada paksi-x ialah (x, 0) dan titik pada paksi-y ialah (0, y). Jika garis memotong paksi-x di −4 dan paksi-y di 3, koordinat pintasan-x ialah (−4, 0) dan koordinat pintasan-y ialah (0, 3) (m.s. 194).

Contoh 7 (m.s. 195): garis AB dan PQ

AB: pintasan-y = 2, pintasan-x = −3, maka m = −2−3 = 23.
PQ: pintasan-y = 3, pintasan-x = 3, maka m = −33 = −1.

Terlupa tanda negatif di hadapan pecahan m = −pintasan-ypintasan-x. Semak: garis yang condong ke kanan mesti memberikan kecerunan positif.

Jom Fikir (m.s. 194): garis lurus y = mx + c

Dalam y = mx + c, m ialah kecerunan dan c ialah pintasan-y. Garis y = 2x + 1 dan y = 2x + 3 mempunyai kecerunan yang sama (2) tetapi pintasan-y yang berbeza (1 dan 3), jadi kedua-duanya selari.

Semak pantas. Cari kecerunan garis yang melalui (a) A (−1, 3) dan B (4, −2); (b) garis dengan pintasan-x 5 dan pintasan-y −10.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) m = −2 − 34 − (−1) = −55 = −1
(b) m = −−105 = 2

10.1.3 Kecerunan garis lurus

Aktiviti Rangsangan Minda (m.s. 195) meminta anda memplot P (1, 1), Q (3, 5), R (−2, −2), S (−2, 8), W (−4, 1), V (−7, 8), T (−4, 3) dan U (6, 3). Hasilnya:

Garis	Kecerunan	Arah kecondongan	Positif atau negatif
PQ	5 − 13 − 1 = 2	Kanan	Positif
RS	8 − (−2)−2 − (−2) = 100	Mencancang	Tidak tertakrif
WV	8 − 1−7 − (−4) = −73	Kiri	Negatif
TU	3 − 36 − (−4) = 0	Mengufuk	Sifar

Titik daripada buku teks m.s. 195. Pasangan RS menggunakan R (−2, −2) dan S (−2, 8), iaitu koordinat-x yang sama.

Empat garis: satu condong ke kanan, satu condong ke kiri, satu mengufuk dan satu mencancang — Empat jenis kecerunan.

Garis lurus	Kecerunan
Condong ke kanan (naik dari kiri ke kanan)	Positif
Condong ke kiri (turun dari kiri ke kanan)	Negatif
Mengufuk (selari dengan paksi-x): koordinat-y sama	Sifar (0)
Mencancang (selari dengan paksi-y): koordinat-x sama	Tidak tertakrif (∞)

Semakin garis lurus AB menghampiri keadaan mencancang, semakin besar nilai kecerunan. Semakin garis itu menghampiri keadaan mengufuk, semakin kecil nilai kecerunan (m.s. 196). Maka semakin besar nilai mutlak kecerunan, semakin curam garis lurus itu.

Contoh 8 (m.s. 196): jenis kecerunan

Garis EF, GH dan KL condong ke kiri: kecerunan negatif. Garis IJ dan MN condong ke kanan: kecerunan positif. Garis AB mengufuk: kecerunan sifar. Garis PQ mencancang: kecerunan tidak tertakrif.

Contoh 9 (m.s. 197): paling curam dan paling landai

Garis MN paling menghampiri keadaan mencancang, maka kecerunannya paling besar. Garis OJ paling menghampiri keadaan mengufuk, maka kecerunannya paling kecil.

Menyangka kecerunan negatif bermakna cerun yang rendah. Nilai kecuraman ditentukan oleh nilai mutlak: −4 lebih curam daripada 3. Tanda hanya menunjukkan arah.

Semak pantas. Tanpa pengiraan, nyatakan jenis kecerunan garis yang melalui (a) (2, 5) dan (7, 5); (b) (−3, 1) dan (−3, 8).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) Koordinat-y sama: garis mengufuk, kecerunan sifar.
(b) Koordinat-x sama: garis mencancang, kecerunan tidak tertakrif.

10.1.4 Menentukan kecerunan

Kecerunan boleh ditentukan dengan tiga cara. Pilih cara yang sesuai dengan maklumat yang diberi.

Maklumat yang diberi	Rumus
Rajah dengan jarak mencancang dan jarak mengufuk	m = jarak mencancangjarak mengufuk
Koordinat dua titik	m = y₂ − y₁x₂ − x₁
Pintasan-x dan pintasan-y	m = −pintasan-ypintasan-x

Aktiviti (m.s. 197): ukur anak tangga dengan tali dan pita pengukur. Nisbah “jarak mencancang kepada jarak mengufuk” digunakan, bukan songsangannya, kerana nisbah itu bertambah apabila tangga bertambah curam.

Jamali, rumah, hutan, tepi sungai dan jarak mengufuk 40 m dan 10 m serta jarak mencancang 20 m dan 50 m — Contoh 10: tepi sungai ke rumah Jamali, jarak mencancang 20 m dan jarak mengufuk 40 m; rumah ke hutan, jarak mencancang 50 − 20 = 30 m dan jarak mengufuk 10 m.

Contoh 10 (m.s. 198): kecerunan laluan Jamali

(a) Rumah ke hutan: kecerunan = 3010 = 3
(b) Tepi sungai ke rumah: kecerunan = 2040 = 12
Laluan rumah ke hutan lebih curam kerana 3 > 12.

10.1.5 Penyelesaian masalah

Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan. Daripada m = −pintasan-ypintasan-x, terbitkan:

Pintasan-x = −pintasan-ym dan Pintasan-y = −m × (pintasan-x)

Contoh 11(a) (m.s. 198): mencari pintasan-x

Garis melalui P (0, −4) dengan m = −2. Pintasan-y = −4.
Pintasan-x = −−4−2 = −2. Koordinat pintasan-x ialah (−2, 0).

Contoh 11(b) (m.s. 199): mencari pintasan-y

Garis melalui Q (6, 0) dengan m = 13. Pintasan-x = 6.
Pintasan-y = −13 × 6 = −2. Koordinat pintasan-y ialah (0, −2).

Contoh 12 (m.s. 199): nilai v

Garis dengan m = 4 dan pintasan-y = −8 memotong paksi-x di v.
v = pintasan-x = −−84 = 2

Contoh 13 (m.s. 199 hingga 200): jenis sisi empat

A (−9, −2), B (−7, 2), C (−4, 3), D (−6, −1).
m_AD = −1 − (−2)−6 − (−9) = 13 m_BC = 3 − 2−4 − (−7) = 13
m_DC = 3 − (−1)−4 − (−6) = 2 m_AB = 2 − (−2)−7 − (−9) = 2
AD selari dengan BC dan AB selari dengan DC, maka ABCD ialah segi empat selari.

Sisi empat ABCD dengan A(-9, -2), B(-7, 2), C(-4, 3) dan D(-6, -1) pada satah Cartes — Dua garis yang mempunyai kecerunan yang sama adalah **selari**.

Garis selari mempunyai kecerunan yang sama, m₁ = m₂. Dalam Contoh 13, kedua-dua pasang sisi bertentangan selari.

Semak pantas. Garis lurus mempunyai m = 3 dan pintasan-y = −6. Cari koordinat pintasan-x.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Pintasan-x = −−63 = 2. Koordinat ialah (2, 0).

Rumusan bab (Inti Pati Bab, m.s. 204)

Kaedah	Rumus kecerunan, m
Jarak	jarak mencancangjarak mengufuk
Dua titik	y₂ − y₁x₂ − x₁
Pintasan	−pintasan-ypintasan-x

Projek Mini (m.s. 205)

Cari ketinggian dari aras laut dan jarak mengufuk beberapa gunung di Malaysia (contoh: Gunung Tahan, Gunung Korbu, Gunung Mulu), hitung kecerunan setiap gunung, dan susun nilainya daripada yang tertinggi kepada yang terendah. Bandingkan dengan rakan.