Matematik notesnota, bab 11
Transformasi Isometri
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 206–243
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh memerihalkan perubahan bentuk, saiz, kedudukan dan orientasi suatu objek yang melalui transformasi, dan menerangkan padanan satu-dengan-satu antara titik-titik dalam transformasi (11.1.1)
- Saya boleh menerangkan idea kekongruenan dalam transformasi dan mengenal pasti bentuk yang kongruen (11.1.2)
- Saya boleh mengenal translasi dan memerihalkannya dengan pelbagai perwakilan termasuk vektor translasi (11.2.1, 11.2.2)
- Saya boleh menentukan imej, objek dan vektor bagi suatu translasi, dan menyelesaikan masalah yang melibatkan translasi (11.2.3, 11.2.4)
- Saya boleh mengenal pantulan, memerihalkannya dengan paksi pantulan dan pelbagai perwakilan (11.3.1, 11.3.2)
- Saya boleh menentukan imej, objek dan paksi bagi suatu pantulan, dan menyelesaikan masalah yang melibatkan pantulan (11.3.3, 11.3.4)
- Saya boleh mengenal putaran, memerihalkannya dengan pusat, sudut dan arah putaran (11.4.1, 11.4.2)
- Saya boleh menentukan imej, objek, pusat, sudut dan arah bagi suatu putaran, dan menyelesaikan masalah yang melibatkan putaran (11.4.3, 11.4.4)
- Saya boleh menyiasat hubungan antara kesan translasi, pantulan dan putaran terhadap jarak di antara dua titik pada objek dengan imej, dan menerangkan isometri (11.5.1)
- Saya boleh menerangkan hubungan isometri dengan kekongruenan dan menyelesaikan masalah yang melibatkan isometri dan kekongruenan (11.5.2, 11.5.3)
- Saya boleh menerangkan simetri putaran dan menentukan peringkat simetri putaran bagi suatu objek (11.6.1, 11.6.2)
Imej dalam air dan cermin, kipas siling yang berpusing dan seorang murid yang berjalan ke perhentian bas ialah contoh transformasi. Imej Masjid Tuanku Mizan Zainal Abidin pada permukaan tasik Putrajaya juga ialah contoh transformasi. Dalam bab ini anda mempelajari tiga transformasi isometri, iaitu translasi, pantulan dan putaran, serta mengapa imej yang dihasilkan sentiasa kongruen dengan objek.
| Rangkai kata | English |
|---|---|
| objek, imej | object, image |
| penjelmaan (transformasi), translasi, vektor | transformation, translation, vector |
| pantulan, paksi pantulan | reflection, axis of reflection |
| putaran, pusat putaran | rotation, centre of rotation |
| ikut arah jam, lawan arah jam | clockwise, anticlockwise |
| isometri, kekongruenan, orientasi | isometry, congruency, orientation |
| simetri putaran, peringkat simetri putaran | rotational symmetry, order of rotational symmetry |
11.1Transformasi
11.1.1 Transformasi dalam bentuk, saiz, kedudukan dan orientasi suatu objek
Dalam Aktiviti Kreatif buku teks (m.s. 208), Akmal menyikat rambut di hadapan cermin, duduk di bawah kipas siling yang berpusing dan berjalan dari rumah ke perhentian bas. Setiap situasi mengubah kedudukan atau orientasi Akmal, tetapi bentuknya tidak berubah.
| Situasi | Transformasi |
|---|---|
| Akmal berjalan dari rumahnya ke perhentian bas | Translasi (menggelongsor mengikut garis lurus) |
| Akmal di hadapan cermin | Pantulan (dibalikkan pada suatu garis) |
| Kipas siling yang berpusing | Putaran (berputar pada satu titik tetap) |
Transformasi ialah proses mengubah kedudukan, orientasi atau saiz imej suatu objek melalui translasi, pantulan dan putaran. Bentuk rajah asal dinamakan objek. Selepas transformasi, bentuk itu dinamakan imej. Imej yang dihasilkan oleh transformasi isometri adalah kongruen.
Padanan satu-dengan-satu. Apabila objek bergerak, setiap titik pada objek mengikut corak pergerakan yang sama. Setiap titik objek dipadankan dengan satu titik imej sahaja, dan sebaliknya. Contohnya, objek ABCD digerakkan tiga unit ke kanan dan tiga unit ke atas kepada imej A′B′C′D′ (m.s. 209).
Saiz bayang-bayang berubah apabila lampu suluh digerakkan ke hadapan atau ke belakang (Aktiviti, m.s. 208), jadi bayang-bayang bukan imej bagi suatu transformasi isometri.
Contoh 1 (m.s. 209): yang manakah transformasi?
Suatu rajah ialah transformasi jika rupa bentuknya tidak berubah; hanya kedudukan atau orientasi yang berubah.Rajah (a) dan (b) ialah transformasi (hanya kedudukan berubah); rajah (c) dan (d) bukan transformasi kerana rupa bentuknya berubah.
Contoh 2 (m.s. 210): padanan objek dan imej
ABCDEF ialah objek dan PQRSTU ialah imej.(a) Imej bagi titik C ialah T, kerana bentuk yang sama tetapi kedudukan yang berlainan.
(b) Imej bagi garisan AB ialah RS, kerana imej itu mempunyai ukuran yang sama panjang.
(c) Imej bagi ∠BCD ialah ∠STU, kerana ∠BCD mempunyai saiz yang sama dengan ∠STU.
11.1.2 Kekongruenan
Kongruen. Dua objek adalah kongruen jika kedua-duanya mempunyai bentuk dan saiz yang sama, tanpa mengambil kira orientasi pergerakannya.
Pembaris, protraktor, jangka lukis dan kertas surih digunakan untuk menyemak kekongruenan. Dalam Aktiviti (m.s. 210), dua segi tiga bersisi 5 cm, 8 cm dan 11 cm dipotong daripada kertas biru dan kertas merah. Apabila dicantumkan, kedua-duanya bertindih tepat, dan sudut yang sepadan sama besar.
Kongruen ialah perihal sama bentuk dan sama saiz. Pada segi tiga yang kongruen, sisi yang sepadan sama panjang dan sudut yang sepadan sama besar.
Semua duit syiling 10 sen adalah kongruen. Duit syiling 20 sen dan 10 sen adalah serupa tetapi bukan kongruen, kerana saiznya berbeza (m.s. 211).
Tahukah anda? Orientasi ialah hala sesuatu, contohnya arah jam, lawan arah jam, sebelah kiri dan sebelah kanan (m.s. 211).
Contoh 3 (m.s. 211): pasangan rajah yang kongruen
(a) Tidak kongruen, kerana saiz yang tidak sama.(b) Kongruen, kerana saiz sama walaupun kedudukan dan orientasi tidak sama.
Segi tiga ABC mempunyai sisi 6 cm, 8 cm dan 10 cm. Segi tiga PQR mempunyai sisi 10 cm, 6 cm dan 8 cm. Adakah kedua-duanya kongruen? Mengapa?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Ya. Ketiga-tiga pasangan sisi sama panjang, maka bentuk dan saiznya sama. Susunan panjang sisi tidak penting.
11.2Translasi
11.2.1 Translasi
Translasi ialah pemindahan semua titik pada suatu satah mengikut arah yang sama dan melalui jarak yang sama. Di bawah suatu translasi, objek dan imej mempunyai bentuk, saiz dan orientasi yang sama.
11.2.2 Perwakilan translasi dalam bentuk vektor translasi
Vektor translasi ialah pergerakan yang mempunyai arah dan magnitud. Vektor ini diwakili oleh anak panah. Translasi dihuraikan dengan arah dan jarak pergerakan (ke kanan, ke kiri, ke atas, ke bawah; bilangan unit) atau dengan vektor translasi ab.
- a mewakili pergerakan selari dengan paksi-x. a bernilai positif jika objek bergerak ke kanan dan negatif jika objek bergerak ke kiri.
- b mewakili pergerakan selari dengan paksi-y. b bernilai positif jika objek bergerak ke atas dan negatif jika objek bergerak ke bawah.
Contoh 5 (m.s. 214): huraian kepada vektor
| Titik P bergerak | Vektor translasi |
|---|---|
| (a) 2 unit ke kiri dan 3 unit ke bawah | −2−3 |
| (b) 5 unit ke kanan dan 5 unit ke bawah | 5−5 |
| (c) 6 unit ke bawah | 0−6 |
| (d) 3 unit ke kanan | 30 |
Dalam vektor ab, nombor atas (a) ialah gerakan mengufuk dan nombor bawah (b) ialah gerakan mencancang. Koordinat ditulis (x, y) dengan x dahulu, dan vektor juga menulis gerakan mengufuk dahulu. Pergerakan translasi sentiasa bermula dengan ke kiri atau ke kanan, kemudian baru ke atas atau ke bawah.
Jangan tertukar kedua-dua nombor. Nombor atas ialah arah kiri atau kanan dan nombor bawah ialah arah atas atau bawah.
11.2.3 Imej dan objek dalam suatu translasi
Imej bagi suatu objek dalam suatu translasi akan sentiasa sama dari segi bentuk, saiz dan orientasi.
Di bawah translasi ab, objek P(x, y) dipetakan kepada imej P′(x + a, y + b).
Untuk mencari objek daripada imej R′(x′, y′): R = (x′ − a, y′ − b).
Untuk mencari vektor daripada objek (x, y) dan imej (x′, y′): vektor = x′ − xy′ − y.
Untuk mencari objek daripada imej R′(x′, y′): R = (x′ − a, y′ − b).
Untuk mencari vektor daripada objek (x, y) dan imej (x′, y′): vektor = x′ − xy′ − y.
Contoh 9 (m.s. 216): imej
Tentukan imej bagi titik Q(3, 1) di bawah translasi −52.Q′ = (3 + (−5), 1 + 2) = (−2, 3)
Kaedah alternatif: 31 + −52 = −23.
Contoh 10 (m.s. 216): objek
Cari objek A jika imej A′ di bawah translasi 3−2 ialah (a) (−6, 1) (b) (9, 0).(a) A = (−6 − 3, 1 − (−2)) = (−9, 3)
(b) A = (9 − 3, 0 − (−2)) = (6, 2)
Contoh 11 (m.s. 217): vektor translasi
P′(3, 6) ialah imej bagi P(2, 9). Vektor translasi = 3 − 26 − 9 = 1−3.Vektor = imej tolak objek: (x′ − x, y′ − y). Semak dengan menambahkan vektor itu pada objek.
(a) Cari imej bagi (5, −3) di bawah −24. (b) M(−2, 5) dipetakan kepada M′(4, 1). Tulis vektor translasi.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) (5 + (−2), −3 + 4) = (3, 1)
(b) 4 − (−2)1 − 5 = 6−4
(b) 4 − (−2)1 − 5 = 6−4
11.2.4 Penyelesaian masalah
Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan.
Contoh 12 (m.s. 217): buah dam
Agnes menggerakkan buah damnya dari A ke B dan kemudian ke C pada papan dam. Pergerakan translasi ialah ke kiri atau ke kanan, ke atas atau ke bawah.(a) A ke B: 4 unit ke kiri, 2 unit ke bawah, maka vektor ialah −4−2.
(b) B ke C: 3 unit ke kanan, 2 unit ke bawah, maka vektor ialah 3−2.
Daripada A terus ke C: −4 + 3−2 + (−2) = −1−4.
11.3Pantulan
11.3.1 Pantulan
Pantulan ialah transformasi yang berlaku apabila semua titik pada satah dibalikkan dalam satah yang sama pada suatu garis. Garis itu dinamakan paksi pantulan. Imej yang kelihatan dalam cermin ialah hasil pantulan.
Di bawah suatu pantulan:
- objek dan imej berada pada sebelah yang bertentangan dengan paksi pantulan;
- objek dan imej mempunyai jarak serenjang yang sama dari paksi pantulan;
- bentuk dan saiz imej adalah sama dengan objek, tetapi orientasinya songsang (imej cermin);
- imej bagi suatu titik yang ada pada paksi pantulan ialah titik itu sendiri.
Semua titik yang terletak pada paksi pantulan tidak berubah kedudukannya semasa mengalami suatu transformasi.
Simetri ialah padanan tepat dari segi saiz dan bentuk antara satu bahagian atau sisi suatu arah objek. Garis simetri ialah garisan yang membahagikan suatu bentuk kepada dua bahagian yang kongruen. Garis ini ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis yang menyambungkan objek dan imej, dan ia ialah paksi pantulan bagi imej dan objek.
11.3.2 Penerangan tentang pantulan
| Pantulan titik (x, y) | Imej | Contoh: (3, −2) |
|---|---|---|
| pada paksi-x | (x, −y) | (3, 2) |
| pada paksi-y | (−x, y) | (−3, −2) |
Kedua-dua rumus ini ialah Tahukah Anda pada m.s. 221. Segi tiga di atas (A(−2, 1), B(1, 4), C(3, 2)) mengikut contoh buku teks.
Huraikan pantulan dengan menyatakan paksi (contohnya “pantulan pada garis y = 1”), bukan sekadar perkataan “pantulan”.
11.3.3 Imej bagi suatu objek
Untuk melukis imej suatu rajah di bawah pantulan pada garis LM (Contoh 16, m.s. 220):
- Pilih mana-mana bucu dan bina garis serenjang dari bucu itu ke garisan LM, dan panjangkan melebihi paksi pantulan.
- Selarikan garisan itu kepada semua bucu yang lain.
- Tentukan jarak bucu dari paksi pantulan dan tandakan jarak yang sama dari paksi di atas garisan yang sama. Lakukan perkara yang sama pada semua bucu, kemudian sambung bucu imej mengikut susunan yang sama.
11.3.4 Penyelesaian masalah
Contoh 17 (m.s. 221): paksi pantulan daripada M dan M′
M′ ialah imej bagi M. Cari P′ di bawah pantulan yang sama.Merancang strategi: tentukan pasangan bucu bagi imej dan objek, lukis garis serenjang bagi kedua-dua pasangan bucu, dan bina pembahagi dua sama bagi garis serenjang itu.
Paksi pantulan ialah y = 1. Titik P(−3, 3) berada 2 unit di atas paksi, maka P′ berada 2 unit di bawahnya: y = 1 − 2 = −1. Jadi P′ ialah (−3, −1).
Untuk mencari paksi: ambil titik tengah bagi titik objek dan titik imej. Jika koordinat-y sama, paksi ialah garis mencancang x = (x + x′) ÷ 2. Jika koordinat-x sama, paksi ialah garis mengufuk y = (y + y′) ÷ 2.
Contoh tambahan: L(4, 1) dipetakan kepada L′(4, 5)
Koordinat-x sama, maka paksi mengufuk. Titik tengah 1 dan 5 ialah (1 + 5) ÷ 2 = 3, maka paksi ialah y = 3.Imej bagi (−3, −1): jaraknya ke paksi ialah 3 − (−1) = 4, maka y = 3 + 4 = 7. Imej ialah (−3, 7) (sama dengan Jom Cuba 11.3 soalan 8).
(a) Cari imej bagi (−6, 2) pada paksi-y. (b) Q(−1, 3) dipetakan kepada Q′(5, 3). Nyatakan paksi pantulan.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) (6, 2)
(b) Koordinat-y sama, maka paksi mencancang. Titik tengah: (−1 + 5) ÷ 2 = 2, maka paksi ialah x = 2.
(b) Koordinat-y sama, maka paksi mencancang. Titik tengah: (−1 + 5) ÷ 2 = 2, maka paksi ialah x = 2.
11.4Putaran
11.4.1 Putaran
Putaran ialah transformasi yang berlaku apabila setiap titik berputar pada suatu titik tetap yang tertentu dan mengikut arah yang tertentu, melalui suatu sudut. Jarum jam dan kipas siling berputar pada pusat putarannya.
Sifat imej bagi putaran:
- imej yang dihasilkan mempunyai bentuk, saiz dan orientasi yang sama dengan objek;
- pusat putaran ialah satu titik pegun;
- jarak semua titik imej ke pusat putaran adalah sama dengan jarak objek ke pusat putaran.
11.4.2 Putaran dalam pelbagai perwakilan
Untuk memerihalkan suatu putaran, nyatakan pusat, sudut dan arah putaran yang memetakan objek kepada imej.
Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 224.
Imej yang dihasilkan melalui putaran 180° ikut arah jam adalah sama dengan putaran 180° lawan arah jam.
Contoh 18 (m.s. 224): perihalkan putaran
(a) Putaran 90° ikut arah jam pada titik T.(b) Putaran 90° lawan arah jam pada titik S.
11.4.3 Menentukan imej dan objek bagi putaran
Kertas surih, protraktor dan jangka lukis digunakan untuk mencari imej atau objek.
Contoh 19 (m.s. 225 dan 226): putar ΔPQR 90° lawan arah jam pada titik M
Kaedah 1 (kertas surih). (1) Lukis garisan dari titik M ke titik P. (2) Tentukan sudut 90° lawan arah jam. (3) Lukis semula bentuk segi tiga PQR di atas kertas surih. (4) Tekan pensel pada titik M dan putarkan kertas surih 90° lawan arah jam.Kaedah 2 (protraktor). (1) Bina garis MP. (2) Dengan protraktor, lukis garis MP′ berukuran 90° lawan arah jam dengan jarak yang sama dengan MP. (3) Ulang langkah 2 dengan garisan MR dan MQ. (4) Sambungkan P′, R′ dan Q′ menjadi segi tiga yang sama dengan PRQ.
Jika soalan menggunakan grid segi empat sama, putaran 90°, 180° dan 270° tidak perlu menggunakan protraktor.
Contoh 20 (m.s. 227): objek bagi Q′ selepas putaran 180° ikut arah jam pada M
(1) Lukis garisan yang menyambungkan M dan Q′ serta panjangkan dengan jarak yang sama dengan MQ′ di arah yang bertentangan. (2) Tandakan titik Q pada garisan yang dipanjangkan dengan MQ = MQ′.Secara umum, untuk mencari objek, terbalikkan arah putaran dan putar imej dengan sudut yang sama.
Jika B ialah pusat putaran, kedudukan imej B tidak akan berubah.
Rumus putaran pada asalan (Tahukah Anda, m.s. 225)
| Putaran pada asalan | (x, y) menjadi | Contoh (3, 2) |
|---|---|---|
| 90° lawan arah jam | (−y, x) | (−2, 3) |
| 180° | (−x, −y) | (−3, −2) |
| 270° lawan arah jam (sama dengan 90° ikut arah jam) | (y, −x) | (2, −3) |
Contoh 22 (m.s. 228): koordinat imej
Imej bagi A(−3, 2) di bawah putaran 90° ikut arah jam pada asalan O. Putaran 90° ikut arah jam = 270° lawan arah jam, maka (x, y) menjadi (y, −x): A′ = (2, 3).Contoh 23 (m.s. 228): koordinat objek
K′(−2, −3) ialah imej bagi K di bawah putaran 90° ikut arah jam pada titik L(1, 0). Terbalikkan arah: putar K′ pada L sebanyak 90° lawan arah jam.Vektor dari L ke K′ = (−3, −3). Putaran 90° lawan arah jam: (−y, x) = (3, −3). K = (1 + 3, 0 + (−3)) = (4, −3).
Contoh tambahan: pusat putaran bukan asalan
Putar (−3, 4) sebanyak 90° lawan arah jam pada titik (2, 1). Tolak pusat: (−3 − 2, 4 − 1) = (−5, 3). Putar: (−3, −5). Tambah pusat: (−3 + 2, −5 + 1) = (−1, −4). Semak: kedua-dua titik berjarak √34 dari pusat.Apabila pusat putaran bukan asalan, rumus (x, y) menjadi (−y, x) tidak boleh digunakan terus. Alihkan pusat ke asalan dahulu (tolak), putar, kemudian tambah pusat semula.
11.4.4 Penyelesaian masalah: menentukan pusat, sudut dan arah putaran
Jika objek dan imej diberi, pusat, sudut dan arah putaran ditentukan dengan kaedah pembinaan geometri (Contoh 21, m.s. 227 dan 228):
- Sambungkan titik A ke A′. Bina pembahagi dua sama serenjang bagi garis AA′.
- Ulang langkah 1 bagi garis BB′ atau CC′.
- Titik persilangan dua garisan pembahagi dua sama serenjang itu ialah pusat putaran (ditandakan D).
- Ukur sudut CDC′ dengan protraktor.
Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), m.s. 228.
Cari imej bagi (−4, 1) di bawah putaran 180° pada asalan. Kemudian cari imej bagi (3, 2) di bawah putaran 90° lawan arah jam pada asalan.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
180°: (−x, −y) = (4, −1).
90° lawan arah jam: (−y, x) = (−2, 3).
90° lawan arah jam: (−y, x) = (−2, 3).
11.5Translasi, pantulan dan putaran sebagai isometri
11.5.1 Hubungan translasi, pantulan dan putaran dengan isometri
Isometri ialah transformasi yang mengekalkan jarak di antara sebarang dua titik pada objek asal. Isometri mengekalkan bentuk dan saiz asal objek, jadi imej adalah kongruen dengan objek. Translasi, pantulan dan putaran ialah isometri.
| Transformasi | Bentuk dan saiz | Orientasi | Diperlukan untuk menghuraikannya |
|---|---|---|---|
| Translasi | Sama | Sama | Vektor translasi |
| Pantulan | Sama | Songsang | Paksi pantulan |
| Putaran | Sama | Sama | Pusat, sudut dan arah putaran |
Contoh 24 (m.s. 230): imej isometri
Objek ialah sebuah segi empat selari. Rajah A ialah imej isometri kerana bentuk dan saiznya sama. Rajah B bukan imej isometri kerana saiznya tidak sama. Rajah C bukan isometri kerana bentuk dan saiznya tidak sama.11.5.2 Hubungan isometri dan kekongruenan
Di bawah suatu isometri, objek dan imej adalah sama bentuk dan sama saiz. Oleh itu, objek dan imej adalah kongruen. Isometri ialah transformasi yang imejnya kongruen dengan objek.
Contoh 25 (m.s. 232): jenis isometri
Objek A, B, C dan D adalah kongruen.(a) A kepada B: putaran
(b) A kepada C: translasi
(c) A kepada D: pantulan
11.5.3 Penyelesaian masalah
Apabila menamakan poligon yang kongruen, tertib huruf mesti berdasarkan bucu atau sudut yang sepadan. Contohnya, sisi empat ABCD dan sisi empat SRQP adalah kongruen (m.s. 232).
Contoh 26 (m.s. 232): sudut pada imej isometri
ABCD ialah imej bagi PQCS di bawah suatu isometri. DCS ialah garis lurus dan sudut di C ialah 50°. Cari ∠PQC.∠QCS = (180° − 50°) ÷ 2 = 130° ÷ 2 = 65°
∠PQC = 360° − 90° − 90° − 65° = 115°
Contoh tambahan: dua transformasi berturut-turut
Titik P(2, 1) ditranslasikan oleh 3−2, kemudian dipantulkan pada paksi-y, kemudian diputarkan 90° lawan arah jam pada asalan.Selepas translasi: (2 + 3, 1 + (−2)) = (5, −1).
Selepas pantulan pada paksi-y: (−5, −1).
Selepas putaran: (−y, x) = (1, −5).
Lakukan transformasi mengikut tertib, imej setiap langkah menjadi objek langkah seterusnya. Jika pantulan dibuat dahulu: (−2, 1), kemudian translasi: (1, −1). Hasilnya berbeza, jadi tertib penting.
Sebuah rajah diubah sehingga semua panjang sisinya menjadi dua kali ganda. Adakah ini isometri? Mengapa?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Bukan isometri. Jarak di antara dua titik berubah, maka imej tidak kongruen dengan objek.
11.6Simetri putaran
11.6.1 Simetri putaran
Simetri putaran. Suatu bentuk mempunyai simetri putaran jika bentuk itu tidak berubah (kelihatan sama) selepas putaran kurang daripada 360° pada satu titik tetap.
11.6.2 Peringkat simetri putaran bagi objek
Peringkat simetri putaran ialah bilangan kali suatu bentuk menepati dirinya sendiri dalam satu putaran lengkap (360°). Buku teks menyatakan bilangan paksi simetri adalah sama dengan peringkat simetri putaran.
| Bentuk | Peringkat simetri putaran | Putaran terkecil |
|---|---|---|
| Segi tiga sama sisi | 3 | 120° |
| Segi empat sama | 4 | 90° |
| Segi empat tepat (bukan segi empat sama) | 2 | 180° |
| Segi lima sekata | 5 | 72° |
| Segi tiga tidak sama sisi | 1 (tiada simetri putaran) | 360° |
Contoh 28 (m.s. 236): segi lima sekata
Kedudukan A berada di kedudukan D dalam segi lima sekata. Dengan kertas surih, A → B → C → D ialah tiga pergerakan peringkat, iaitu peringkat pertama, kedua dan ketiga, maka A berada di kedudukan D selepas peringkat ketiga ikut arah jam. Segi lima sekata ini menepati dirinya sendiri lima kali dalam satu putaran lengkap, maka peringkat simetri putarannya ialah 5.Bagi poligon sekata dengan n sisi, peringkat ialah n dan putaran terkecil ialah 360° ÷ n. Dalam bentuk heksagram (Jom Cuba 11.6 soalan 3), A ke C ialah 2 peringkat ikut arah jam atau 4 peringkat lawan arah jam, dan 2 + 4 = 6 ialah peringkat bagi bentuk itu.
Peringkat 1 bermakna tiada simetri putaran, kerana hanya putaran 360° menepatkan bentuk itu kepada dirinya sendiri. Bentuk yang tidak sekata seperti segi tiga tidak sama sisi atau logo yang tidak berpusat tidak mempunyai simetri putaran.
Nyatakan peringkat simetri putaran bagi (a) segi lima sekata (b) segi empat sama.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 5 (putaran terkecil 360° ÷ 5 = 72°)
(b) 4 (putaran terkecil 90°)
(b) 4 (putaran terkecil 90°)
Inti pati bab
| Isometri | Sifat |
|---|---|
| Translasi | Pemindahan semua titik pada satu satah mengikut arah dan magnitud suatu vektor. Orientasi tidak berubah; imej berada pada vektor tertentu dari objek. |
| Pantulan | Objek dan imej berada pada sebelah yang bertentangan dengan paksi pantulan, jarak serenjang yang sama dari paksi, bentuk dan saiz sama tetapi orientasi songsang, dan titik pada paksi ialah titik itu sendiri. |
| Putaran | Berputar pada pusat putaran melalui suatu sudut. Imej mengekalkan rupa bentuk asal tetapi kedudukannya berubah. |
| Isometri dan kekongruenan | Isometri mengekalkan jarak di antara dua titik, maka imej kongruen (sama bentuk dan saiz). |
| Simetri putaran | Bentuk yang diputarkan kurang daripada 360° pada satu titik tetap masih kelihatan sama. |
Projek Mini (m.s. 243): reka bentuk logo kelas yang menggunakan transformasi isometri untuk melambangkan kerjasama, perpaduan, bertoleransi, menghormati dan keazaman yang kuat, dan terangkan makna setiap butiran.