Matematik notesnota, bab 12

Sukatan Kecenderungan Memusat

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 244–275

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menentukan mod, min dan median bagi suatu set data tak terkumpul, termasuk data dalam jadual kekerapan (12.1.1)
Saya boleh membuat kesimpulan tentang kesan perubahan suatu set data, termasuk kewujudan nilai ekstrem, terhadap nilai mod, min dan median (12.1.2)
Saya boleh mengumpulkan data, membina dan mentafsir jadual kekerapan bagi data terkumpul (12.1.3)
Saya boleh menentukan kelas mod dan min bagi suatu set data terkumpul dengan titik tengah kelas (12.1.4)
Saya boleh memilih dan menjustifikasikan sukatan kecenderungan memusat yang sesuai untuk memerihalkan taburan suatu set data, termasuk set data yang mempunyai nilai ekstrem (12.1.5)
Saya boleh menentukan mod, min dan median daripada perwakilan data (12.1.6)
Saya boleh mengaplikasikan kefahaman tentang sukatan kecenderungan memusat untuk membuat ramalan, membentuk hujah yang meyakinkan dan membuat kesimpulan (12.1.7)

Sukatan kecenderungan memusat ialah sukatan yang dapat menunjukkan kedudukan sesuatu kumpulan data dan memerihalkan maklumat keseluruhan data itu dengan satu nilai sahaja. Sukatan ini digunakan dalam ekonomi, statistik, perniagaan, perusahaan dan pendidikan. Tiga jenis sukatan kecenderungan memusat ialah min, median dan mod.

Cara mengingat. Mod = nilai yang paling kerap muncul. Median = nilai di tengah-tengah selepas data disusun mengikut tertib. Min = nilai purata (jumlah nilai data dibahagi bilangan data).

Istilah	Maksud
kekerapan	bilangan kali sesuatu item muncul dalam suatu set data
jadual kekerapan	jadual yang menyenaraikan setiap item data dan kekerapan bagi item itu
perwakilan data	carta pai, carta palang, graf garis, plot titik, plot batang dan daun, piktograf
nilai ekstrem	nilai yang terlalu kecil atau terlalu besar berbanding data lain dalam set itu

12.1.1Mod, min dan median bagi suatu set data tak terkumpul

Mod

Mod bagi suatu set data ialah nilai yang paling tinggi kekerapannya. Kadang-kadang ada dua mod (kekerapan tertinggi yang sama). Set data itu tiada mod apabila kekerapan semua nilai adalah sama.

Contoh 1 (buku teks m.s. 247): nyatakan mod

(a) 4, 5, 2, 3, 4, 4, 5 → 4 muncul 3 kali, maka mod = 4.
(b) M, N, L, M, L, P, L, L, P → L muncul 4 kali, maka mod = L.
(c) Kopi, Teh, Kopi, Kopi, Susu, Teh, Susu, Teh → Kopi dan Teh masing-masing 3 kali, maka mod = Kopi dan Teh.
(d) 2, 4, 6, 8, 10 → tiada nombor yang berulang, maka tiada mod.

Mod ialah nilai yang paling kerap muncul, bukan kekerapannya. Dalam (a), mod ialah 4, bukan 3.

Median

Median bagi data yang ganjil bilangannya ialah nilai yang berada di tengah-tengah selepas data disusun mengikut tertib menaik atau menurun. Median bagi data yang genap bilangannya ialah purata dua nilai di tengah-tengah.

Contoh 2 dan Contoh 3 (buku teks m.s. 249): median

Wang saku lima orang murid: RM5, RM8, RM3, RM7, RM5. Susun: 3, 5, 5, 7, 8. Median = RM5.
Gol pasukan Seladang dalam 10 permainan: 1, 5, 1, 1, 4, 2, 5, 1, 4, 4. Susun: 1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 4, 5, 5. Ada 10 data (genap), maka median = (2 + 4) ÷ 2 = 3.

Susun data mengikut tertib dahulu. Nilai di tengah-tengah senarai yang belum disusun bukan median.

Median daripada jadual kekerapan dan perwakilan data

Jika data dalam jadual kekerapan, plot titik atau carta palang, cari kedudukan data dengan menambah kekerapan. Biar n ialah jumlah kekerapan.

Carta alir. Median: jumlah kekerapan n genap, purata data pada kedudukan ke-(n/2) dan (n/2 + 1); jumlah kekerapan n ganjil, data pada kedudukan ke-(n + 1)/2. — Kedudukan median bagi n genap dan n ganjil.

Contoh 5 (buku teks m.s. 250 dan 251): 12 kumpulan menjawab teka silang kata

Masa (minit)	10	20	30	40
Kekerapan	2	4	5	1
Kedudukan data	1–2	3–6	7–11	12

n = 12 (genap), maka median = purata data ke-6 dan ke-7. Data ke-6 ialah 20 dan data ke-7 ialah 30, maka median = (20 + 30) ÷ 2 = 25 minit.

Plot titik kehadiran murid ke perpustakaan dalam enam hari: 1 murid 2 titik, 2 murid 4 titik, 3 murid 4 titik, 4 murid 2 titik, 6 murid 1 titik. — Contoh 6.1 (m.s. 251): n = 13 (ganjil), maka median ialah data ke-(13 + 1) ÷ 2 = ke-7. Mengira titik dari kiri: 2, 6, 10, ... Data ke-7 ialah 3. Median = 3.

Min

Min = jumlah nilai data ÷ bilangan data. Bagi jadual kekerapan, min = hasil tambah (data × kekerapan) ÷ jumlah kekerapan.

Contoh 7 (buku teks m.s. 252): wang jogathon lima tingkatan

RM373.50, RM424.00, RM363.00, RM485.15, RM355.10. Min = RM2 000.75 ÷ 5 = RM400.15.

Contoh 9 (buku teks m.s. 253): min daripada jadual kekerapan

Penggunaan Internet (jam): 1, 2, 3, 4, 5. Bilangan murid: 2, 6, 11, 7, 9.
Data × kekerapan: 2, 12, 33, 28, 45. Jumlah = 120. Jumlah kekerapan = 35.
Min = 120 ÷ 35 = 3.43 jam.

Contoh lain: buku yang dipinjam oleh 24 orang murid

Bilangan buku	1	2	3	4
Kekerapan	4	8	6	6
Buku × kekerapan	4	16	18	24

Mod = 2 buku (kekerapan tertinggi 8).
Median: n = 24, maka purata data ke-12 dan ke-13. Kedudukan ialah 1–4, 5–12, 13–18, 19–24. Data ke-12 ialah 2 dan data ke-13 ialah 3, maka median = 2.5.
Min = (4 + 16 + 18 + 24) ÷ 24 = 62 ÷ 24 = 2.58 (2 tempat perpuluhan).

Dalam jadual kekerapan, min bukan (1 + 2 + 3 + 4) ÷ 4. Setiap nilai mesti didarab dengan kekerapannya dahulu, kemudian dibahagi dengan jumlah kekerapan.

Cari mod, median dan min bagi 8, 3, 6, 3, 10, 3, 9, 6.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

Mod = 3 (muncul 3 kali).
Susun: 3, 3, 3, 6, 6, 8, 9, 10. Median = (6 + 6) ÷ 2 = 6.
Min = 48 ÷ 8 = 6.

Kewujudan nilai ekstrem

Nilai ekstrem ialah nilai yang terlalu kecil atau terlalu besar dalam suatu set data, iaitu nilainya terlalu jauh daripada nilai data yang lain.

Plot titik masa membina model poligon tiga dimensi: 5, 6, 7, 7, 8, 9 dan satu titik yang jauh pada 20 ditandakan nilai ekstrem. — Contoh 10 (m.s. 253): 20 ialah nilai ekstrem kerana nilainya jauh lebih besar daripada data yang lain. Dalam Contoh 11 (m.s. 254), −5 ialah nilai ekstrem dalam −5, 0, 1, 3, 3, 5, 6 kerana jauh lebih kecil.

Contoh 12 (buku teks m.s. 254): kesan nilai ekstrem

Wang saku lima murid: RM3, RM4, RM4, RM6, RM8. Mod = RM4, median = RM4, min = RM25 ÷ 5 = RM5.
Gantikan RM8 dengan RM32 (nilai ekstrem): mod = RM4, median = RM4, min = RM49 ÷ 5 = RM9.80.
Min bertambah RM4.80 tetapi median dan mod tidak berubah.

Nilai ekstrem mempengaruhi min. Median dan mod tidak berubah dengan adanya nilai ekstrem.

12.1.2Kesan perubahan suatu set data terhadap nilai mod, min dan median

Data diubah	Min, median dan mod
Secara seragam: setiap data ditambah, ditolak, didarab atau dibahagi dengan nombor yang sama	Ketiga-tiganya berubah secara seragam juga
Secara tidak seragam: data diubah dengan nilai yang berbeza	Ketiga-tiganya berubah secara tidak seragam; kira semula

Contoh 13 (buku teks m.s. 255 dan 256): harga lima alat tulis

RM1, RM2, RM3, RM3, RM6: min = RM3, median = RM3, mod = RM3.
(i) Setiap harga ditambah RM2: RM3, RM4, RM5, RM5, RM8, maka min = RM5, median = RM5, mod = RM5. Ketiga-tiganya juga bertambah RM2.
(ii) Setiap harga didarab 3: RM3, RM6, RM9, RM9, RM18, maka min = RM9, median = RM9, mod = RM9. Ketiga-tiganya juga didarab 3.

Contoh 14 (buku teks m.s. 256): perubahan tidak seragam

Skor Raju: 3, 6, 6, maka min = 5, median = 6, mod = 6. Tambah 1, 2 dan 3 kepada data pertama, kedua dan ketiga: 4, 8, 9.
Min baharu = 21 ÷ 3 = 7, median baharu = 8 dan tiada mod. Min bertambah 2, median bertambah 2 tetapi mod hilang, maka ketiga-tiganya berubah secara tidak seragam.

Jika setiap data didarab 3, min, median dan mod juga didarab 3, bukan ditambah 3.

Min, median dan mod suatu set skor ialah 12, 10 dan 9. Setiap skor dibahagi 2 kemudian ditambah 1. Nyatakan min, median dan mod baharu.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

Bahagi 2: 6, 5, 4.5. Tambah 1: min = 7, median = 6, mod = 5.5.

12.1.3Mengorganisasikan data bagi jadual kekerapan data terkumpul

Bagi data yang banyak, data dikelaskan dalam kelas yang mempunyai selang kelas yang sama. Tandakan gundalan bagi setiap data pada kelasnya, kemudian kira kekerapan. Satu gundalan lima ditulis //// dengan satu garis melintang.

Contoh 15 (buku teks m.s. 257): markah ujian 30 orang murid

Markah	Gundalan	Kekerapan
0–19	///	3
20–39	//// /	6
40–59	//// //// /	11
60–79	//// /	6
80–99	////	4

Jumlah = 3 + 6 + 11 + 6 + 4 = 30, sama dengan bilangan murid. Markah 85 terletak dalam kelas 80–99.

Carta palang markah. Kelas 0 hingga 19: 3, 20 hingga 39: 6, 40 hingga 59: 11, 60 hingga 79: 6, 80 hingga 99: 4. — Data terkumpul yang sama sebagai carta palang. Palang paling tinggi ialah kelas mod, 40–59.

Contoh 16 (buku teks m.s. 258): masa bangun pagi 20 kawan Silvia

Kelas 5:00–5:29, 5:30–5:59, 6:00–6:29, 6:30–6:59, 7:00–7:29 mempunyai kekerapan 2, 4, 5, 8, 1. Murid paling ramai bangun pada 6:30 a.m. hingga 6:59 a.m. (8 orang) dan hanya seorang bangun pada 7:00 a.m. hingga 7:29 a.m.

Selepas membuat gundalan, semak bahawa jumlah kekerapan sama dengan bilangan data. Data yang tercicir atau dikira dua kali akan menyebabkan jumlah yang salah.

12.1.4Kelas mod dan min bagi suatu set data terkumpul

Kelas mod ialah kelas yang mempunyai kekerapan tertinggi. Titik tengah kelas = (had bawah + had atas) ÷ 2. Titik tengah mewakili semua data dalam kelas itu.

Contoh 17 dan Contoh 18 (buku teks m.s. 258 dan 259): kelas mod

Wang saku 30 murid: kekerapan bagi kelas 1–10, 11–20, 21–30, 31–40, 41–50, 51–60 ialah 2, 7, 8, 5, 6, 2. Kekerapan tertinggi = 8, maka kelas mod = 21–30.
Markah 40–44, 45–49, 50–54, 55–59, 60–64, 65–69 dengan kekerapan 7, 4, 1, 4, 9, 5: kekerapan tertinggi = 9, maka kelas mod = 60–64.

Min bagi data terkumpul = hasil tambah (kekerapan × titik tengah) ÷ jumlah kekerapan. Dalam simbol, x̄ = Σfx ÷ Σf. Σ dibaca “sigma” dan bermaksud hasil tambah, f ialah kekerapan, x ialah titik tengah dan x̄ dibaca “x bar”.

Contoh 20 (buku teks m.s. 260 dan 261): tinggi 30 batang anak pokok

Tinggi (cm)	Titik tengah, x	Kekerapan, f	fx
5–9	(5 + 9) ÷ 2 = 7	4	28
10–14	12	5	60
15–19	17	4	68
20–24	22	8	176
25–29	27	7	189
30–34	32	2	64
Jumlah		30	585

Min = 585 ÷ 30 = 19.5 cm.

Titik tengah kelas 20–24 ialah 22, bukan 20 atau 24. Dalam rumus min, darabkan titik tengah dengan kekerapan, bukan dengan had kelas.

Kelas 70–74, 75–79, 80–84 dan 85–89 mempunyai kekerapan 4, 10, 8 dan 2 (Contoh 19, m.s. 260). Cari kelas mod dan titik tengah setiap kelas.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

Kekerapan tertinggi = 10, maka kelas mod = 75–79.
Titik tengah: 72, 77, 82 dan 87.

12.1.5Pemilihan sukatan kecenderungan memusat yang paling sesuai

Pemilihan sukatan kecenderungan memusat mesti diberi justifikasi yang jelas supaya tepat dan mewakili seluruh data.

Sukatan	Dipilih apabila
Min	semua data perlu dilibatkan dan tiada nilai ekstrem; jika ada nilai ekstrem, min tidak memberi tafsiran yang tepat
Median	terdapat nilai ekstrem, kerana nilai ekstrem tidak mempengaruhi median
Mod	data ialah data kategori atau ingin menentukan item dengan kekerapan paling tinggi, seperti item kegemaran atau item popular

Contoh 21 (buku teks m.s. 262 dan 263): memilih sukatan

Plot batang dan daun berat guli: min kerana tiada nilai ekstrem.
Piktograf perisa aiskrim kegemaran: mod kerana data ialah data kategori dan ingin menentukan item kegemaran.
Plot titik masa pemanduan dari Ipoh ke Melaka dengan satu titik yang jauh pada 2 jam: median kerana ada nilai ekstrem.
Carta pai buah-buahan kegemaran: mod. Carta palang masa mengulang kaji dengan satu palang yang amat tinggi: median.

Soalan “Mengapakah sukatan ini dipilih?” dijawab dengan satu alasan: ada atau tiada nilai ekstrem, atau data itu data kategori.

12.1.6Mod, min dan median daripada perwakilan data

Perwakilan data	Cara menentukan
Carta palang, plot titik	Mod ialah palang atau titik yang paling tinggi. Median dan min dikira daripada kekerapan seperti dalam jadual kekerapan.
Piktograf	Mod ialah item dengan simbol paling banyak. Jika setiap item mempunyai bilangan simbol yang sama, tiada mod.
Carta pai	Mod ialah sektor dengan sudut paling besar (atau peratusan paling besar).
Plot batang dan daun	Baca setiap nilai daripada batang dan daun mengikut kekunci, kemudian cari mod, median dan min.

Contoh 22 (buku teks m.s. 264): mod daripada perwakilan data

(a) Carta palang pelancong ke pulau peranginan: Pulau Perhentian dan Pulau Langkawi mempunyai palang yang sama paling tinggi, maka mod ialah Pulau Perhentian dan Pulau Langkawi.
(b) Piktograf buah-buahan kegemaran yang setiap buah mempunyai 3 simbol: tiada mod.
(c) Carta pai pengangkutan ke sekolah: sudut bagi bas ialah 140°, paling besar, maka mod ialah bas.
(d) Jadual keuntungan jualan: aksesori wanita 130 % paling tinggi, maka mod ialah aksesori wanita.

Contoh 23 (buku teks m.s. 265): komisen 30 orang pekerja restoran

Komisen RM30, 31, 32, 33, 34, 35 dengan kekerapan 4, 5, 9, 7, 4, 1 (jumlah kekerapan 30).
Min = (4 × 30 + 5 × 31 + 9 × 32 + 7 × 33 + 4 × 34 + 1 × 35) ÷ 30 = 965 ÷ 30 = RM32.17.
Median = purata data ke-15 dan ke-16 = (32 + 32) ÷ 2 = RM32. Mod = RM32.
Pecahan pekerja yang menerima RM32 atau kurang = (4 + 5 + 9) ÷ 30 = 18/30 = 3/5.

Contoh 24 (buku teks m.s. 265 dan 266): mencari nilai yang tidak diketahui

Bilangan kesalahan ejaan 0, 1, 2, 3, 4, 5 dengan kekerapan 4, 8, x, 6, 5, 4.
(a) Min = 2.4: (0 + 8 + 2x + 18 + 20 + 20) ÷ (x + 27) = (2x + 66) ÷ (x + 27) = 2.4. Maka 2x + 66 = 2.4x + 64.8, 0.4x = 1.2 dan x = 3.
(b) Median = 3 dan x paling besar: median ialah data 3 yang pertama. Bilangan data sebelum 3 ialah 4 + 8 + x = 12 + x dan bilangan data selepasnya ialah 5 + 5 + 4 = 14 (lima data 3 yang lain, lima data 4 dan empat data 5). Maka 12 + x = 14 dan x = 2. Nilai maksimum bagi x ialah 2.
(c) Mod = 2: kekerapan x mesti lebih daripada 8, maka nilai minimum bagi x ialah 9.

12.1.7Sukatan kecenderungan memusat dalam membuat ramalan, membentuk hujah dan membuat kesimpulan

Apabila membandingkan atau memilih sukatan yang paling sesuai, julat juga perlu diambil kira. Julat ialah beza antara nilai terkecil dengan nilai terbesar (m.s. 266).

Contoh 25 (buku teks m.s. 266): memilih wakil sekolah ke pertandingan boling

Skor Ramesh: 116, 118, 200, 207, 209. Skor Khairil: 240, 240, 75, 220, 75.
Min Ramesh = 850 ÷ 5 = 170 dan min Khairil = 850 ÷ 5 = 170. Min sama, maka min tidak boleh membezakan mereka.
Julat Ramesh = 209 − 116 = 93. Julat Khairil = 240 − 75 = 165.
Julat Ramesh lebih rendah, maka pencapaiannya lebih konsisten. Khairil mempunyai skor yang amat rendah (nilai ekstrem) yang menjadikan julatnya besar. Ramesh lebih tepat dipilih.

Contoh 26 (buku teks m.s. 267): tiga pasukan bola keranjang

Jaringan dalam lima perlawanan. Kijang: 65, 95, 32, 96, 88. Harimau: 50, 90, 65, 87, 87. Seladang: 90, 85, 46, 44, 80.
Min: Kijang 75.2, Harimau 75.8, Seladang 69. Dengan min, pilih Harimau (min tertinggi).
Median: Kijang 88, Harimau 87, Seladang 80. Dengan median, pilih Kijang (median tertinggi).
Untuk melaporkan pencapaian Harimau kepada pengetua, buku teks memilih min kerana min menggunakan keseluruhan data dan tiada nilai ekstrem dalam data itu.

Contoh 27 (buku teks m.s. 268): pilihan makanan di kantin

Carta palang Januari dan Februari menunjukkan pilihan makanan 400 murid. Data ialah data kategori, maka mod sesuai. Nasi lemak ialah mod bagi kedua-dua bulan, maka pernyataan bahawa nasi lemak paling digemari adalah benar. Bihun goreng mempunyai kekerapan paling rendah dalam kedua-dua bulan, maka jualannya perlu dikurangkan.

Dalam jawapan hujah, sebut tiga perkara: sukatan yang dipilih, nilai yang dikira dan sebab (ada atau tiada nilai ekstrem, data kategori, atau julat yang kecil menunjukkan konsisten).