Matematik notesnota, bab 13

Kebarangkalian Mudah

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), pageshalaman 276–293

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh melaksanakan eksperimen kebarangkalian mudah dan menentukan nisbah kekerapan berlakunya suatu peristiwa kepada bilangan cubaan sebagai kebarangkalian eksperimen (13.1.1)
Saya boleh membuat kesimpulan bahawa kebarangkalian eksperimen menuju kepada satu nilai apabila bilangan cubaan cukup besar (13.1.2)
Saya boleh menentukan ruang sampel dan peristiwa bagi suatu eksperimen dengan senarai dan gambar rajah pokok (13.2.1)
Saya boleh membina model kebarangkalian teori dan membuat perkaitan antara kebarangkalian teori dengan kebarangkalian eksperimen (13.2.2)
Saya boleh menentukan kebarangkalian suatu peristiwa dengan P(A) = n(A) ÷ n(S) (13.2.3)
Saya boleh memerihalkan peristiwa pelengkap dalam perkataan dan dengan menggunakan tatatanda set (13.3.1)
Saya boleh menentukan kebarangkalian peristiwa pelengkap dengan P(A') = 1 − P(A) (13.3.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan kebarangkalian suatu peristiwa (13.4.1)

13.1Kebarangkalian eksperimen

Kebarangkalian ialah ukuran kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa, dinyatakan sama ada dalam bentuk pecahan atau peratusan. Nilainya antara 0 dengan 1.

Garis nombor kebarangkalian: 0 bermaksud tidak akan berlaku, 0.5 bermaksud mungkin berlaku dan 1 bermaksud pasti akan berlaku — Skala kebarangkalian. Peristiwa yang mustahil berlaku mempunyai kebarangkalian 0 dan peristiwa yang pasti berlaku mempunyai kebarangkalian 1 (buku teks m.s. 286 dan 288).

Kebarangkalian boleh ditulis sebagai pecahan, peratusan atau nombor perpuluhan, contohnya 3/4, 75% atau 0.75 (m.s. 286).

13.1.1 Eksperimen kebarangkalian

Dalam Rangsangan Minda (m.s. 278), sekeping duit syiling dilambung 25, 50 dan 100 kali dan kekerapan muncul ‘angka’ dan ‘gambar’ dicatat. Nisbah kekerapan muncul kepada bilangan lambungan ialah kebarangkalian eksperimen.

Kebarangkalian eksperimen bagi suatu peristiwa = kekerapan berlakunya peristiwa ÷ bilangan cubaan. Ia diperoleh daripada suatu eksperimen yang benar-benar dilakukan.

Contoh: melambung dadu adil (cara menulis nisbah)

Sebiji dadu adil dilambung 16 kali dan nombor genap muncul 7 kali. Kebarangkalian eksperimen mendapat nombor genap = 7 ÷ 16 = ⁷⁄₁₆. Hasilnya berbeza antara kumpulan kerana setiap eksperimen ialah satu percubaan sebenar.

Menulis nisbah songsang, iaitu bilangan cubaan ÷ kekerapan. Bahagian atas ialah kekerapan peristiwa dan bahagian bawah ialah jumlah cubaan.

13.1.2 Kebarangkalian eksperimen apabila cubaan banyak

Dalam simulasi di m.s. 279, duit syiling dilambung sebanyak 1 200 kali dan kebarangkalian eksperimen mendapat ‘gambar’ menuju kepada satu nilai, iaitu 0.5. Kelima-lima graf eksperimen berbentuk hampir sama.

Graf nisbah gambar kepada bilangan lambungan yang berubah banyak pada mulanya kemudian menghampiri garis putus-putus 0.5 apabila lambungan menghampiri 1 200 — Rajah simulasi komputer yang dilukis untuk laman ini (benih tetap): selepas 1 200 lambungan nisbah gambar ialah 0.512, hampir 0.5. Nilai awalnya berubah-ubah banyak.

Kesimpulan: kebarangkalian eksperimen menuju kepada satu nilai tertentu jika eksperimen diulangi dengan bilangan cubaan yang cukup besar.

Sekeping duit syiling dilambung 20 kali dan gambar muncul 14 kali. (a) Apakah kebarangkalian eksperimen mendapat gambar? (b) Jika duit syiling itu dilambung 5 000 kali, nilai manakah yang akan didekati oleh nisbah itu?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 14 ÷ 20 = 7/10
(b) Menghampiri 0.5, kerana cubaan yang banyak menghampiri kebarangkalian teori 1/2.

13.2Kebarangkalian teori yang melibatkan kesudahan sama boleh jadi

13.2.1 Ruang sampel dan peristiwa

Eksperimen ialah prosedur yang dilakukan untuk memerhati kesudahan yang mungkin. Kesudahan ialah keputusan yang mungkin bagi sesuatu eksperimen. Ruang sampel, S, ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu eksperimen. Peristiwa ialah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu bagi suatu ruang sampel dan merupakan subset bagi ruang sampel (m.s. 280 dan 282).

Eksperimen	Ruang sampel	n(S)
Melambung sebiji dadu adil	S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}	6
Melambung sekeping duit syiling	S = {angka, gambar}	2
Memilih satu huruf daripada SEMPURNA	S = {S, E, M, P, U, R, N, A}	8
Memilih satu nombor perdana daripada 20 hingga 40	S = {23, 29, 31, 37}	4

Kesudahan boleh berupa pasangan, contohnya (P, M). Gambar rajah pokok boleh digunakan untuk menunjukkan aliran proses serta untuk menyusun atur dan mengira kesudahan suatu peristiwa (m.s. 281).

Gambar rajah pokok dengan pensel P bercabang kepada empat pemadam M, H, B dan K, dan kesudahan (P, M), (P, H), (P, B) dan (P, K) — Contoh 3: Palin memilih sebatang pensel P dan satu pemadam berwarna merah (M), hijau (H), biru (B) atau kuning (K). S = {(P, M), (P, H), (P, B), (P, K)}, maka n(S) = 4.

Gambar rajah pokok bagi dua lambungan duit syiling dengan kesudahan (A, A), (A, G), (G, A) dan (G, G) — Dua lambungan sekeping duit syiling (A = angka, G = gambar): S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)} dan n(S) = 4. Kebarangkalian mendapat gambar dalam kedua-dua lambungan ialah 1/4.

Contoh 5 dan 6 (m.s. 284): peristiwa sebagai subset

Kad berhuruf K, A, S, U, T dalam balang: S = {K, A, S, U, T}.
(a) Peristiwa memilih huruf konsonan = {K, S, T}
(b) Peristiwa memilih huruf vokal = {A, U}
Balang A ada kad I, balang B ada I, K, A, N. S = {(I, I), (I, K), (I, A), (I, N)}. Peristiwa X (huruf sama) = {(I, I)}; peristiwa Y (sekurang-kurangnya satu konsonan) = {(I, K), (I, N)}.

Contoh 4 (m.s. 283): mungkin atau tidak mungkin berlaku

Kad bernombor 1 hingga 9, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
(i) Nombor lebih besar daripada 5: mungkin berlaku
(ii) Nombor dengan dua digit: tidak mungkin berlaku
(iii) Faktor bagi 15: mungkin berlaku (1, 3 dan 5)

Menulis ruang sampel dengan unsur tidak lengkap, atau memasukkan kesudahan yang mustahil. Senaraikan setiap kesudahan sekali sahaja dan semak bahawa bilangannya betul dengan n(S).

13.2.2 Model kebarangkalian teori

Dadu adil mempunyai enam kesudahan 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 yang berpeluang sama rata. Kebarangkalian mendapat nombor 4 ialah 1 daripada 6, iaitu 1/6. Nombor ganjil (1, 3, 5) berlaku 3 kali daripada 6, iaitu 3/6 = 1/2 (m.s. 284 dan 285).

Kebarangkalian teori bagi peristiwa A ialah P(A) = n(A) ÷ n(S) apabila semua kesudahan berpeluang sama rata. n(A) ialah bilangan kesudahan dalam peristiwa A dan n(S) ialah bilangan kesudahan dalam ruang sampel.

Jadual hasil tambah dua dadu dengan semua sel bernilai 5 dilorekkan merah jambu; terdapat 4 sel — Hasil tambah dua dadu adil: n(S) = 36. Hasil tambah 5 muncul 4 kali, maka kebarangkalian teori = 4/36 = 1/9 (m.s. 285).

Jika dadu dilambung 36 kali dan hasil tambah 5 muncul 12 kali, kebarangkalian eksperimen = 12/36 = 1/3. Apabila bilangan percubaan cukup besar, kebarangkalian eksperimen (1/3 dalam contoh buku) menghampiri kebarangkalian teori (1/9).

13.2.3 Menentukan kebarangkalian suatu peristiwa

Contoh 7 (m.s. 286): epal

Kotak mengandungi 25 biji epal hijau dan 35 biji epal merah. A = mendapat epal hijau. n(A) = 25, n(S) = 25 + 35 = 60.
P(A) = 25/60 = 5/12

Contoh 8 (m.s. 286): wang saku

Pramjit mendapat RM5 setiap hari Selasa, Rabu dan Khamis. Dalam 4 minggu: n(A) = 3 × 4 = 12 hari, n(S) = 7 × 4 = 28 hari.
P(A) = 12/28 = 3/7

Sebuah kedai basikal mempunyai 35 buah basikal dan menjual 15 buah pada bulan Januari. Hitung kebarangkalian menjual sebuah basikal pada bulan itu.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

P = 15/35 = 3/7

13.3Kebarangkalian peristiwa pelengkap

13.3.1 Memerihalkan peristiwa pelengkap

Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A, ditulis A', terdiri daripada semua kesudahan dalam ruang sampel yang bukan kesudahan A. Dalam rajah Venn, set semesta ξ ialah ruang sampel S.

Rajah Venn: set semesta sembilan gandaan 3 yang pertama; A mengandungi 6, 12, 18, 24 dan di luar A ialah 3, 9, 15, 21, 27 — Rangsangan Minda m.s. 287: S = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}. A = {6, 12, 18, 24} (nombor genap) dan A' = {3, 9, 15, 21, 27}. P(A) = 4/9 dan P(A') = 5/9.

Peristiwa A	Peristiwa pelengkap A'
Mendapat ‘angka’ apabila duit syiling dilambung	Mendapat ‘gambar’
Memilih hari {Isnin, Khamis} daripada hari dalam seminggu	{Ahad, Selasa, Rabu, Jumaat, Sabtu}
A = {2, 4} bagi dadu	A' = {1, 3, 5, 6}

Contoh 9 (m.s. 288): kuasa dua sempurna

Jambak bunga bernombor ganjil 1 hingga 29: S = {1, 3, 5, …, 29} (15 unsur). A = jambak yang bilangan kuntuman ialah kuasa dua sempurna = {1, 9, 25}.
(i) Dalam perkataan: A' ialah peristiwa memilih nombor yang bukan kuasa dua sempurna.
(ii) Dalam tatatanda set: A' = {3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 29}.

Memasukkan satu unsur A di dalam A' atau tertinggal satu unsur. Semak bahawa n(A) + n(A') = n(S).

13.3.2 Kebarangkalian peristiwa pelengkap

P(A) + P(A') = 1, maka P(A') = 1 − P(A) dan P(A) = 1 − P(A'). Nilai kebarangkalian sentiasa memenuhi 0 ⩽ P(A) ⩽ 1.

Jika P(A) = 0, peristiwa A pasti tidak berlaku. Jika P(A) = 1, peristiwa A pasti berlaku (m.s. 288).

Contoh 10 (m.s. 288): nombor perdana 1 hingga 20 (dua kaedah)

S = {1, 2, …, 20}, n(S) = 20. A = nombor perdana = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, n(A) = 8. P(A) = 8/20 = 2/5.
Kaedah 1: P(A') = 1 − 8/20 = 12/20 = 3/5
Kaedah 2: A' ada 12 unsur, P(A') = 12/20 = 3/5

Contoh 11 (m.s. 289): daripada rajah Venn

Set semesta mempunyai 10 unsur dan n(A') = 5 maka P(A') = 5/10 = 1/2.

Bekas mengandungi 3 kad biru dan 2 kad merah, satu kad diambil secara rawak. (a) P(biru) (b) P(bukan biru) daripada petua pelengkap.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 3/5
(b) 1 − 3/5 = 2/5

13.4Kebarangkalian mudah

13.4.1 Penyelesaian masalah

Ikut empat langkah buku teks (m.s. 290): memahami masalah, merancang strategi (tentukan S, n(S), peristiwa A dan n(A)), melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan.

Contoh 12 (m.s. 290): usahawan kemeja

Menghasilkan 80 helai sebulan dan menjual 60 helai. Keuntungan menjual 15 helai ialah RM135.
(a) P(terjual) = 60/80 = 3/4
(b) Dalam dua bulan terjual 3/4 × 80 × 2 = 120 helai. Keuntungan = 120 ÷ 15 × RM135 = RM1 080
(c) P(tidak terjual) = 1 − 3/4 = 1/4. Bilangan helai tidak terjual = 1/4 × 80 = 20 helai

Jika n(A) dan P(A) diketahui, n(S) = n(A) ÷ P(A). Contohnya, jika 15 borang penyertaan memberi kebarangkalian menang 3/25, jumlah borang = 15 ÷ 3/25 = 125 (Jom Cuba 13.4, no. 1, m.s. 291).

Sebuah bekas mengandungi 35 biji guli merah dan beberapa biji guli biru. Kebarangkalian mengambil guli merah ialah 7/15. Cari (a) kebarangkalian guli biru (b) bilangan guli biru.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 1 − 7/15 = 8/15
(b) Jumlah guli = 35 ÷ 7/15 = 75, maka guli biru = 75 − 35 = 40 biji.

Mengira hanya kebarangkalian tetapi lupa menjawab soalan akhir (bilangan atau keuntungan). Baca soalan sekali lagi dan tulis kesimpulan.

Nota ditulis daripada buku teks Matematik Tingkatan 2 (KSSM), Bab 13, m.s. 276 hingga 293. Semua rajah dilukis untuk laman ini.