Matematik notesnota, bab 2
Bentuk Piawai
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), pageshalaman 30–49
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh menerangkan maksud angka bererti dan menentukan bilangan angka bererti (a.b.) suatu nombor (2.1.1)
- Saya boleh membundarkan suatu nombor kepada bilangan angka bererti yang tertentu, termasuk jawapan kalkulator (2.1.2)
- Saya boleh mengenal dan menulis nombor dalam bentuk piawai A × 10ⁿ, dengan 1 ≤ A < 10 dan n integer, serta menukar antara nombor tunggal dengan bentuk piawai (2.2.1)
- Saya boleh melaksanakan operasi tambah, tolak, darab dan bahagi yang melibatkan nombor dalam bentuk piawai (2.2.2)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan nombor dalam bentuk piawai, termasuk awalan sistem metrik (2.2.3)
2.1Angka Bererti
Dalam kehidupan seharian kita menggunakan anggaran dan penghampiran. Jarak Bumi ke Bulan sebanyak 384 400 km ialah nilai hampir, bukan nilai sebenar. Darjah penghampiran menunjukkan tahap kejituan sesuatu ukuran. Angka bererti (a.b.) memberitahu kita tahap kejituan itu.
Angka bererti suatu integer atau perpuluhan ialah digit-digit dalam nombor itu yang dinyatakan tepat kepada suatu darjah ketepatan yang dikehendaki. Bilangan angka bererti dikira bermula daripada digit bukan sifar yang pertama.
Menentukan bilangan angka bererti
| Jenis digit | Angka bererti? | Contoh |
|---|---|---|
| Semua digit bukan sifar | Ya | 2 763 (4 a.b.) |
| Sifar di antara digit bukan sifar | Ya | 5 008 (4 a.b.); 12.051 (5 a.b.) |
| Sifar sebelum digit bukan sifar yang pertama | Bukan (hanya menentukan nilai tempat) | 0.0809 (3 a.b.); 0.7803 (4 a.b.) |
| Sifar di bahagian akhir perpuluhan | Ya (menunjukkan tahap kejituan) | 1.2700 (5 a.b.) |
| Sifar di bahagian akhir integer | Bergantung pada tahap kejituan yang dikehendaki | 15 000: lihat Contoh 1(d) |
Rumusan Cetusan Minda 2 dan generalisasi, buku teks m.s. 33-34.
Contoh 1 (buku teks m.s. 34): bilangan angka bererti
Penyelesaian:(a) 2 763: 4 a.b.
(b) 5 008: 4 a.b. (sifar antara digit bukan sifar)
(c) 7 409: 4 a.b.
(d) 15 000: (i) ribu terhampir, 2 a.b.; (ii) ratus terhampir, 3 a.b.; (iii) puluh terhampir, 4 a.b.; (iv) sa terhampir, 5 a.b.
(e) 0.7803: 4 a.b.; (f) 0.0809: 3 a.b.
(g) 12.051: 5 a.b.; (h) 1.2700: 5 a.b.
Sifar di hadapan 0.0045 hanya memegang nilai tempat, jadi 0.0045 ada 2 a.b. Tetapi 0.004 50 ada 3 a.b. kerana sifar terakhir di hujung perpuluhan ialah angka bererti.
Bagi suatu nombor bulat, sifar di hujung tidak dianggap angka bererti melainkan tahap kejituan dinyatakan. Contohnya 8 750 = 8 800 (2 a.b.) dan 8 750 = 9 000 (1 a.b.).
Membundarkan kepada bilangan angka bererti tertentu
Kaedahnya sama dengan membundarkan kepada nilai tempat. Lihat digit yang terletak selepas angka bererti terakhir yang dikekalkan.
- Jika digit itu 5 atau lebih, tambah 1 kepada digit terakhir yang dikekalkan. Jika kurang daripada 5, digit itu tidak berubah.
- Bagi integer, gantikan digit-digit yang digugurkan dengan sifar (titik perpuluhan terletak di belakang digit terakhir).
- Bagi perpuluhan, digit-digit selepas digit yang dibundarkan digugurkan.
Contoh 2 (m.s. 35): bundarkan kepada 2 angka bererti
(a) 63 479: 4 < 5, maka digit 3 tidak berubah; gantikan 4, 7, 9 dengan sifar. 63 479 = 63 000(b) 2 476: 7 > 5, maka tambah 1 kepada 4. 2 476 = 2 500
(c) 6 953: 5 = 5, maka tambah 1 kepada 9. 6 953 = 7 000
Contoh 3 dan 4 (m.s. 35-36): perpuluhan
68.79 kepada (a) 3 a.b.: 9 > 5, maka 7 menjadi 8, 68.79 = 68.8; (b) 1 a.b.: 8 > 5, maka 6 menjadi 7 dan 8 diganti sifar, 68.79 = 70.0.008025 kepada (a) 3 a.b.: 5 = 5, maka 2 menjadi 3, 0.008025 = 0.00803; (b) 2 a.b.: 2 < 5, maka digit 0 tidak berubah, 0.008025 = 0.0080.
Selepas membundar, saiz nombor mesti sama: 63 479 menjadi 63 000, bukan 63.
Sifar terakhir 0.0080 mesti ditulis kerana ia menunjukkan 2 a.b. Jika ditulis 0.008, nombor itu hanya ada 1 a.b.
Jawapan kalkulator
Kekalkan semua digit pada kalkulator dan bundarkan hanya pada akhir pengiraan, kepada bilangan angka bererti yang diminta.
Contoh: 8.59 ÷ 2.1 − 1.26 (betul kepada 3 a.b.)
8.59 ÷ 2.1 = 4.0904…; 4.0904… − 1.26 = 2.8304… = 2.83(a) Berapakah angka bererti bagi 0.070 30? (b) Bundarkan 5 261 kepada 2 angka bererti. (c) Bundarkan 0.005 709 kepada 2 angka bererti.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 7, 0, 3, 0: 4 a.b. (sifar sebelum 7 tidak dikira)
(b) 5 300
(c) 0.0057
(b) 5 300
(c) 0.0057
2.2Bentuk Piawai
Bidang astronomi, biologi, fizik dan kejuruteraan sering menggunakan nombor yang terlalu besar atau terlalu kecil. Nombor itu ditulis dalam bentuk piawai untuk memudahkan penulisan.
Bentuk piawai ialah cara menulis suatu nombor tunggal dalam bentuk A × 10n, dengan keadaan 1 ≤ A < 10 dan n ialah integer.
Contohnya, keluasan negara Malaysia ialah 330 803 000 000 m². Nilai ini boleh ditulis sebagai 3.308 × 1011 m² atau 3.30803 × 1011 m² mengikut bilangan angka bererti yang dikehendaki.
Sudut Diskusi: 5.1 × 100 ialah bentuk piawai kerana 1 ≤ 5.1 < 10 dan 0 ialah integer.
Nombor tunggal kepada bentuk piawai
- Nombor bernilai lebih daripada 1 memberi indeks positif.
- Nombor bernilai kurang daripada 1 memberi indeks negatif.
- Letakkan titik perpuluhan selepas digit bukan sifar yang pertama. Indeks ialah bilangan tempat titik itu bergerak: positif jika ke kiri, negatif jika ke kanan.
| Nombor tunggal | Titik perpuluhan bergerak | Bentuk piawai |
|---|---|---|
| 28 | 1 tempat ke kiri | 2.8 × 101 |
| 2 805.3 | 3 tempat ke kiri | 2.8053 × 103 |
| 0.325 | 1 tempat ke kanan | 3.25 × 10−1 |
| 0.00325 | 3 tempat ke kanan | 3.25 × 10−3 |
| 0.03025 | 2 tempat ke kanan | 3.025 × 10−2 |
Contoh 5 dan 6, buku teks m.s. 37-38.
12.5 × 103 dan 0.8 × 10−4 bukan bentuk piawai kerana A tidak berada antara 1 dengan 10. Tulis 1.25 × 104 dan 8 × 10−5.
Bentuk piawai kepada nombor tunggal
Jika indeks positif, nombor itu bernilai 10 atau lebih. Jika indeks negatif, nombor itu bernilai kurang daripada 1. Isi tempat kosong dengan sifar.
Contoh 7 dan 8 (m.s. 38)
4.17 × 105 = 4.17 × 100 000 = 417 0008.063 × 10−5 = 8.063 × 1/100 000 = 0.000 080 63
Awalan sistem metrik
| Awalan | Simbol | Nombor tunggal | Bentuk piawai |
|---|---|---|---|
| eksa | E | 1 000 000 000 000 000 000 | 1 × 1018 |
| peta | P | 1 000 000 000 000 000 | 1 × 1015 |
| tera | T | 1 000 000 000 000 | 1 × 1012 |
| giga | G | 1 000 000 000 | 1 × 109 |
| mega | M | 1 000 000 | 1 × 106 |
| kilo | k | 1 000 | 1 × 103 |
| hekto | h | 100 | 1 × 102 |
| deka | da | 10 | 1 × 101 |
| desi | d | 0.1 | 1 × 10−1 |
| centi | c | 0.01 | 1 × 10−2 |
| mili | m | 0.001 | 1 × 10−3 |
| mikro | µ | 0.000 001 | 1 × 10−6 |
| nano | n | 0.000 000 001 | 1 × 10−9 |
| piko | p | 0.000 000 000 001 | 1 × 10−12 |
| femto | f | 0.000 000 000 000 001 | 1 × 10−15 |
| atto | a | 0.000 000 000 000 000 001 | 1 × 10−18 |
Jadual Cetusan Minda 3, buku teks m.s. 39; nilai bentuk piawai dilengkapkan dengan hukum indeks.
Contoh 9 dan 10 (m.s. 38): unit metrik
3 050 terabait dalam bait: 3 050 × 1012 = (3.05 × 103) × 1012 = 3.05 × 1015 bait (hukum indeks am × an = am+n).0.0057 nanometer dalam meter: 0.0057 × 10−9 = (5.7 × 10−3) × 10−9 = 5.7 × 10−12 meter.
(a) Tulis 0.000 408 dalam bentuk piawai. (b) Tulis 9.1 × 104 sebagai nombor tunggal. (c) Ungkapkan 75 mikrometer dalam meter, dalam bentuk piawai.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 4.08 × 10−4
(b) 91 000
(c) 75 × 10−6 = 7.5 × 101 × 10−6 = 7.5 × 10−5 meter
(b) 91 000
(c) 75 × 10−6 = 7.5 × 101 × 10−6 = 7.5 × 10−5 meter
Operasi tambah dan tolak
Jika indeks sama, faktorkan 10n. Jika indeks berbeza, samakan indeks dahulu. Buku teks menasihati: tukarkan indeks bernilai kecil kepada indeks bernilai besar (Kaedah 2). Kemudian tambah atau tolak nilai A dan kekalkan indeks.
| Operasi | Hukum |
|---|---|
| Tambah | S × 10n + T × 10n = (S + T) × 10n |
| Tolak | S × 10n − T × 10n = (S − T) × 10n |
Contoh 11 (m.s. 40): indeks sama dan berbeza
(a) 2.73 × 103 + 5.92 × 103 = (2.73 + 5.92) × 103 = 8.65 × 103(b) 4.27 × 105 + 9.35 × 105 = 13.62 × 105 = 1.362 × 101 × 105 = 1.362 × 106
(c) 7.02 × 104 + 2.17 × 105: tukar 7.02 × 104 = 0.702 × 105, maka (0.702 + 2.17) × 105 = 2.872 × 105
(d) 9.45 × 106 − 3.24 × 105: tukar 3.24 × 105 = 0.324 × 106, maka (9.45 − 0.324) × 106 = 9.126 × 106
Contoh 12 (m.s. 41): indeks negatif
(a) 3.58 × 10−3 + 9.24 × 10−3 = 12.82 × 10−3 = 1.282 × 10−2(b) 8.21 × 10−4 + 1.49 × 10−5 = 8.21 × 10−4 + 0.149 × 10−4 = 8.359 × 10−4
(c) 2.3 × 10−5 − 4.6 × 10−6 = 2.3 × 10−5 − 0.46 × 10−5 = 1.84 × 10−5
Jangan tambah indeks apabila menambah nombor: 2 × 103 + 3 × 103 = 5 × 103, bukan 5 × 106.
Bijak Teknologi: tekan Mode beberapa kali sehingga skrin menunjukkan Fix, Sci, Norm, kemudian tekan 2 untuk memilih Sci (bentuk piawai). Semak jawapan kalkulator dengan pengiraan manual.
Operasi darab dan bahagi
- Darab: (A × 10m) × (B × 10n) = (A × B) × 10m + n. Darab nilai A dan tambah indeks.
- Bahagi: (A × 10m) ÷ (B × 10n) = (A ÷ B) × 10m − n. Bahagi nilai A dan tolak indeks.
- Jika hasil A bukan antara 1 dengan 10, laraskan supaya jawapan berada dalam bentuk piawai.
Contoh 13 (m.s. 42)
(a) 3 × 105 × 4.9 × 102 = 14.7 × 107 = 1.47 × 101 × 107 = 1.47 × 108(b) 7.5 × 10−3 × 5 × 10−6 = 37.5 × 10−9 = 3.75 × 10−8
(c) (5.9 × 105) ÷ (2 × 102) = 2.95 × 105−2 = 2.95 × 103
(d) (6.8 × 10−3) ÷ (4 × 10−6) = 1.7 × 10−3−(−6) = 1.7 × 103
Hitung dan nyatakan jawapan dalam bentuk piawai. (a) 4.5 × 106 + 3 × 105 (b) (3 × 10−2) × (5 × 104) (c) (8.4 × 103) ÷ (2.1 × 10−2)
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 4.5 × 106 + 0.3 × 106 = 4.8 × 106
(b) 15 × 102 = 1.5 × 103
(c) 4 × 103−(−2) = 4 × 105
(b) 15 × 102 = 1.5 × 103
(c) 4 × 103−(−2) = 4 × 105
Menyelesaikan masalah
Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan (dengan unit).
Contoh 14 (m.s. 43): rim kertas
Satu rim ada 800 helai, ketebalan sehelai 9.4 × 10−3 cm. Ketebalan n rim ialah 225.6 cm.Ketebalan 1 rim = 800 × 9.4 × 10−3 = 7.52 cm.
n = 225.6 ÷ 7.52 = 30 rim.
Contoh 15 (m.s. 43): tanah segi tiga bersudut tegak
(b) Luas = ½ × 2.1 × 102 × 2.8 × 102 = 2.94 × 104 m². Kos = 2.94 × 104 × 45 = RM1 323 000.
Contoh 16 (m.s. 44): luas permukaan Bumi
Diameter Bumi 1.2742 × 104 km, luas permukaan sfera = 4πj2, π = 3.142.Jejari = 1.2742 × 104 ÷ 2 = 6.371 × 103 km.
Luas = 4 × 3.142 × (6.371 × 103)2 = 510 130 608.1 = 5.101 × 108 km2 (4 a.b.).
Semak unit dahulu. Tukarkan unit kepada yang sama (contohnya cm kepada meter, atau jam kepada saat) sebelum menambah, menolak atau membahagi.
Sudut Diskusi: apabila bentuk piawai terlibat, operasi darab dan bahagi biasanya lebih mudah kerana indeks hanya ditambah atau ditolak, tanpa perlu menyamakan indeks.
Peta Konsep
Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 KSSM, m.s. 48.