Matematik notesnota, bab 4

Lukisan Berskala

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), pageshalaman 86-105

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mengkaji dan menerangkan hubungan antara ukuran sebenar objek dengan lukisan pelbagai saiz objek tersebut, dan menerangkan maksud lukisan berskala (4.1.1)
Saya boleh mentafsir skala suatu lukisan berskala dalam bentuk 1 : n (4.1.2)
Saya boleh menentukan skala, ukuran objek atau ukuran lukisan berskala (4.1.3)
Saya boleh melukis lukisan berskala bagi suatu objek dan sebaliknya (4.1.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan lukisan berskala, termasuk peta, luas dan laju (4.1.5)

Peta dalam telefon, pelan rumah dan model kapal terbang semuanya ialah lukisan berskala. Peta menunjukkan Johor Bahru dan Kuala Lumpur hanya beberapa sentimeter jaraknya, tetapi jarak sebenar ratusan kilometer. Lukisan itu lebih kecil, namun setiap panjang telah diubah dengan kadar yang sama. Bab ini menerangkan cara mentafsir dan menentukan skala, serta cara melukis lukisan berskala dan menyelesaikan masalah.

Istilah	Maksud
skala	nisbah ukuran lukisan berskala kepada ukuran objek
lukisan berskala	lukisan suatu objek dengan semua ukuran berkadaran dengan ukuran objek
objek	benda sebenar (atau lukisan asal) yang dilukis semula
jarak sebenar	jarak di permukaan bumi, bukan jarak pada peta
grid	petak segi empat sama pada kertas grid, digunakan untuk menyalin dan membesarkan atau mengecilkan lukisan

Standard Pembelajaran bab ini: (4.1.1) mengkaji hubungan antara ukuran sebenar objek dengan lukisan pelbagai saiz dan menerangkan maksud lukisan berskala; (4.1.2) mentafsir skala; (4.1.3) menentukan skala, ukuran objek atau ukuran lukisan berskala; (4.1.4) melukis lukisan berskala bagi suatu objek dan sebaliknya; (4.1.5) menyelesaikan masalah yang melibatkan lukisan berskala.

4.1Lukisan Berskala

Apakah lukisan berskala? (4.1.1)

Lukisan berskala ialah lukisan suatu objek dengan keadaan semua ukuran dalam lukisan adalah berkadaran dengan ukuran pada objek. Panjang berubah dengan kadar yang sama, tetapi saiz sudut tidak berubah.

Contoh 1 (m.s. 88): Adakah ini lukisan berskala?

Objek PQRST dilukis dengan saiz yang berbeza pada kertas grid (Rajah 1, 2 dan 3).

Objek PQRST berwarna merah jambu dengan sudut 45 darjah di Q, dan tiga lukisannya: Rajah 1 sama saiz, Rajah 2 lebih kecil dan Rajah 3 lebih besar; semuanya mengekalkan sudut 45 darjah — Objek *PQRST* dan Rajah 1, Rajah 2, Rajah 3

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 88.

Rajah 1: panjang semua sisi dan saiz semua sudut sama dengan objek.
Rajah 2: panjang semua sisi berkurangan dengan kadar yang sama, saiz sudut tidak berubah.
Rajah 3: panjang semua sisi bertambah dengan kadar yang sama, saiz sudut tidak berubah.

Maka Rajah 1, 2 dan 3 ialah lukisan berskala bagi objek PQRST.

Lukisan bukan lukisan berskala jika hanya sebahagian sisi yang diubah. Segi empat tepat 4 cm × 3 cm yang dilukis semula sebagai 8 cm × 3 cm masih mempunyai sudut tegak, tetapi panjang diubah dengan kadar yang berbeza (8 ÷ 4 = 2 dan 3 ÷ 3 = 1), jadi lukisan itu bukan lukisan berskala.

Segi empat tepat 3 cm × 2 cm dilukis semula sebagai (i) 6 cm × 4 cm dan (ii) 6 cm × 2 cm. Yang manakah lukisan berskala?

Lihat jawapanSembunyi jawapan

(i) Ya: 6 ÷ 3 = 2 dan 4 ÷ 2 = 2, kedua-dua panjang digandakan dengan kadar yang sama.
(ii) Bukan: 6 ÷ 3 = 2 tetapi 2 ÷ 2 = 1, kadar berbeza.

Mentafsir skala (4.1.2)

Skala = ukuran lukisan berskalaukuran objek. Skala ditulis sebagai nisbah ukuran lukisan berskala : ukuran objek, dalam bentuk 1 : n dengan n ialah integer positif atau pecahan. Skala 1 : n bermaksud 1 unit pada lukisan berskala mewakili n unit pada objek.

Tiga segi empat tepat: apabila n kurang daripada 1 lukisan lebih besar (4 cm kali 2 cm), apabila n sama dengan 1 lukisan sama saiz (2 cm kali 1 cm), apabila n lebih daripada 1 lukisan lebih kecil (1 cm kali 0.5 cm) — Satu objek (2 cm × 1 cm) dilukis dengan tiga skala yang berbeza

Nilai n	Contoh skala	Lukisan berskala
n < 1	1 : 12	lebih besar daripada objek
n = 1	1 : 1	sama saiz dengan objek
n > 1	1 : 2	lebih kecil daripada objek

Skala 1 : 12 kelihatan ganjil, tetapi bermaksud 1 unit pada lukisan hanya mewakili 12 unit pada objek. Maka lukisan dua kali lebih panjang daripada objek. Sentiasa tulis lukisan dahulu, objek kemudian.

a) Apakah maksud skala 1 : 5? b) Skala 1 : 14: adakah lukisan lebih besar atau lebih kecil daripada objek, dan berapa kali?

Lihat jawapanSembunyi jawapan

a) 1 cm pada lukisan mewakili 5 cm pada objek (lukisan lebih kecil).
b) n = 14 < 1, maka lukisan lebih besar: setiap panjang 4 kali panjang objek.

Menentukan skala (4.1.3)

Bandingkan sisi yang sepadan: skala = ukuran lukisan berskalaukuran objek = 1n. Jika lukisan dan objek berada pada grid segi empat sama yang sama saiz, kira bilangan petak.

Contoh 2 dan 3 (m.s. 91): grid sama saiz

Objek PQRS pada grid dan lukisan berskala P'Q'R'S' yang lebih kecil, dengan PQ 4 petak dan P'Q' 2 petak — Contoh 2: PQ ialah 4 petak, *P'Q'* ialah 2 petak

Contoh 2: skala = P'Q'PQ = 24 = 12. Semakan dengan P'S'PS = 36 = 12. Maka skala = 1 : 2.

Objek KLM dan lukisan berskala K'L'M' yang lebih besar, KL 3 petak dan K'L' 9 petak — Contoh 3: KL ialah 3 petak, *K'L'* ialah 9 petak

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 91.

Contoh 3: skala = K'L'KL = 93 = 31 dan L'M'LM = 124 = 31. Skala = 3 : 1. Untuk mendapat nilai 1 di sebelah kiri, bahagi kedua-dua sebutan dengan 3: 3 : 1 = 1 : 13. Maka skala = 1 : 13.

Contoh 4 (m.s. 92): grid berlainan saiz

Segi tiga PQR pada grid petak 1 cm dan lukisan berskala P'Q'R' pada grid petak 2 cm, setiap satu 4 petak lebar — Objek pada grid 1 cm, lukisan berskala pada grid 2 cm

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 92.

Kaedah 1 (guna ukuran): skala = Q'R'QR = 6 cm3 cm = 21 = 2 : 1 = 1 : 12.
Kaedah 2 (guna saiz grid, kerana bilangan petak objek dan lukisan sama): skala = saiz grid lukisansaiz grid objek = 2 cm1 cm = 2 : 1 = 1 : 12.

Contoh 5 (m.s. 92–93): sisi condong

Sisi KN pada grid objek (petak 1 cm) ialah √(3² + 4²) = 5 cm. Sisi K'N' pada grid lukisan (petak 0.5 cm) ialah √(1.5² + 2²) = 2.5 cm. Skala = 2.55 = 12 : 1 = 1 : 2. Kaedah saiz grid memberi jawapan yang sama: 0.5 cm1 cm = 12 : 1.

Jika n ialah pecahan, kita boleh kekalkan bentuk 1 : 12 atau tulis semula dengan darab: 12 : 1 = 1 : 2.

Sisi 5 cm pada objek dilukis sebagai 20 cm dalam lukisan berskala. Tentukan skala dalam bentuk 1 : n.

Lihat jawapanSembunyi jawapan

Skala = 20 : 5 = 4 : 1 = 1 : 14.

Mencari ukuran sebenar atau ukuran lukisan (4.1.3)

Gunakan skala sebagai kadaran dan samakan unit terlebih dahulu. Ingat: 1 km = 1 000 m = 100 000 cm; 1 m = 100 cm.

Contoh 6 dan 7 (m.s. 93): peta

Contoh 6: peta berskala 1 : 300 000. Sungai 3 cm pada peta. Jarak sebenar = 3 × 300 000 = 900 000 cm = 9 km. (Kaedah lain: 1 cm : 3 km, maka 3 cm : 9 km.)

Contoh 7: peta Johor berskala 1 cm : 10 km. Kluang ke Ayer Hitam ialah 2 cm pada peta. Jarak sebenar = 2 × 10 = 20 km.

Contoh 8 (m.s. 94): skala 1 : 13

Khairul melukis segi empat sama dengan skala 1 : 13. Sisi sebenar ialah 6 cm. Setiap unit pada lukisan mewakili 13 unit pada objek, jadi sisi lukisan = 6 ÷ 13 = 6 × 3 = 18 cm.

Apabila n ialah pecahan, lukisan lebih besar, jadi jawapan untuk ukuran lukisan mesti lebih besar daripada ukuran objek. Jika jawapan anda lebih kecil, anda telah membahagi sedangkan sepatutnya mendarab.

a) Peta berskala 1 : 200 000. Jalan 6 cm pada peta. Berapakah jarak sebenar dalam km? b) Peta berskala 1 cm : 4 km. Jarak sebenar 18 km. Berapakah jarak pada peta?

Lihat jawapanSembunyi jawapan

a) 6 × 200 000 = 1 200 000 cm = 12 km.
b) 18 ÷ 4 = 4.5 cm.

Melukis lukisan berskala (4.1.4)

Lukisan berskala boleh dilukis dengan tiga cara: (a) pada kertas grid yang sama saiz bagi skala yang berlainan; (b) pada kertas grid yang berlainan saiz; (c) di atas kertas kosong mengikut skala yang diberi.

Contoh 9 (m.s. 95): grid sama saiz

Lukis lukisan berskala bagi PQRS pada grid segi empat sama dengan skala 1 : 12. Setiap sisi lukisan ialah dua kali panjang sisi objek, jadi kira petak pada objek dan gandakan.

Contoh 10 (m.s. 95–96): grid berlainan saiz

ΔPQR dilukis semula pada (i) grid 1.5 cm × 1.5 cm dan (ii) grid 0.5 cm × 0.5 cm. Bilangan petak bagi setiap sisi sama dengan objek. Skala = saiz grid lukisansaiz grid objek:

Segi tiga P'Q'R' dilukis pada grid petak 1.5 cm — Lukisan pada grid 1.5 cm

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 96.

(i) 1.5 cm1 cm = 1.5 : 1 = 1 : 23
(ii) 0.5 cm1 cm = 0.5 : 1 = 1 : 2

Contoh 11 (m.s. 96): bina di atas kertas kosong

Bina lukisan berskala bagi segi tiga PQR dengan PQ = 6 cm, PR = 4 cm dan ∠P = 30°, dengan skala 1 : 2.

Segi tiga PQR dengan PQ 6 cm, PR 4 cm dan sudut P 30 darjah, bersebelahan lukisannya dengan P'Q' 3 cm, P'R' 2 cm dan sudut 30 darjah yang sama — Panjang dibahagi dua, sudut 30° disalin dengan tepat

Panjang lukisan: P'Q' = 6 ÷ 2 = 3 cm dan P'R' = 4 ÷ 2 = 2 cm.
Lukis P'Q' = 3 cm, bina ∠30° di P' dengan protraktor, ukur P'R' = 2 cm, kemudian sambung R' ke Q'.

Sudut objek mesti dibina dengan tepat kerana saiz sudut tidak berubah; hanya panjang sisi diubah mengikut skala.

Contoh 12 dan 13 (m.s. 96–97): melukis objek daripada lukisan berskala

Lukisan P'Q'R'S'T' dilukis pada grid segi empat sama dengan skala 1 : 2, iaitu lukisan dua kali lebih kecil daripada objek. Maka setiap sisi objek ialah dua kali panjang sisi lukisan: gandakan bilangan petak bagi setiap sisi.

Jika objek perlu dilukis pada grid berlainan saiz (Contoh 13), bilangan unit bagi sisi objek sama dengan bilangan unit sisi lukisan; hanya saiz petak yang berbeza.

Untuk menyalin gambar (Jelajah Matematik, m.s. 105): lukis grid di atas gambar, kemudian salin bahagian gambar dalam setiap petak ke petak yang sepadan pada grid berlainan saiz.

Sebuah segi empat tepat 4 cm × 3 cm dilukis dengan skala 1 : 12 dan 1 : 3. Berapakah ukuran setiap lukisan?

Lihat jawapanSembunyi jawapan

Skala 1 : 12: 4 × 2 = 8 cm dan 3 × 2 = 6 cm, jadi 8 cm × 6 cm.
Skala 1 : 3: 4 ÷ 3 = 43 cm dan 3 ÷ 3 = 1 cm, jadi 43 cm × 1 cm (kira-kira 1.33 cm × 1 cm).

Panjang dan luas (4.1.5)

Skala mengubah panjang dengan faktor yang sama. Jika panjang diubah dengan faktor k, maka luas berubah dengan faktor k².

Segi empat sama bersisi 1 cm, 2 cm dan 3 cm dengan luas 1, 4 dan 9 sentimeter persegi — Sisi dalam nisbah 1 : 2 : 3, luas dalam nisbah 1 : 4 : 9

Luas lukisan berskala (Uji Minda 4.1d, no. 1)

Segi tiga bersudut tegak bersisi 24 cm dan 18 cm. Lukisan berskala dengan skala 1 : 13. Sisi lukisan = 24 × 3 = 72 cm dan 18 × 3 = 54 cm. Luas = 12 × 72 × 54 = 1 944 cm². (Semakan: luas objek ialah 12 × 24 × 18 = 216 cm², dan 216 × 3² = 1 944.)

Jangan darab luas dengan n sahaja. Untuk skala 1 : 3, panjang dibahagi 3 tetapi luas dibahagi 9.

Menyelesaikan masalah (4.1.5)

Ikut empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan.

Contoh 14 (m.s. 99): Bintulu ke Miri

Jarak Bintulu–Miri pada peta ialah 4 cm.

Skala 1 cm : 50 km: jarak sebenar = 4 × 50 = 200 km.
Peta baru berskala 1 : 2 000 000: 200 km = 20 000 000 cm; 20 000 000 ÷ 2 000 000 = 10 cm.
Laju 80 km j⁻¹: masa = jarak ÷ laju = 200 ÷ 80 = 2.5 j = 2 jam 30 minit.

Jika skala dan jawapan menggunakan unit yang sama (contohnya 1 cm : 50 km dan jawapan dalam km), anda tidak perlu menukar unit kepada cm. Jika tidak, tukar semua kepada cm dahulu.

Masteri Kendiri no. 1 (m.s. 103): rumah kedai

Lukisan berskala 1 : 400 menunjukkan rumah kedai 4 cm × 6 cm dengan bilik stor 1.5 cm × 2 cm.

Stor sebenar: 1.5 × 400 = 600 cm = 6 m dan 2 × 400 = 800 cm = 8 m; luas = 6 × 8 = 48 m².
Rumah kedai: 4 × 400 = 16 m dan 6 × 400 = 24 m; luas = 384 m². Nisbah 384 : 48 = 8 : 1.
Isi padu = 384 × 3.75 = 1 440 m³.

Uji Diri no. 3 (m.s. 101): bulatan dan segi tiga

Lukisan berskala 1 : 3 menunjukkan bulatan berdiameter 6 cm dan ΔPQR bersudut tegak di P dengan QR sebagai diameter dan PQ = 2 cm.

Pada lukisan: PR = √(6² − 2²) = √32 = 5.657 cm. Panjang sebenar = 5.657 × 3 = 16.97 ≈ 17.0 cm.
Jejari sebenar = 9 cm, PQ sebenar = 6 cm. Luas bulatan = π × 9² = 254.47 cm²; luas segi tiga = 12 × 6 × 17.0 = 51.0 cm². Kawasan berlorek = 254.47 − 51.0 = 203.5 cm².

Lantai bilik dilukis sebagai segi empat tepat 12 cm × 10 cm dengan skala 1 : 50. a) Cari ukuran sebenar bilik dalam meter. b) Cari luas sebenar dalam m². c) Jika lantai itu dipasang jubin 50 cm × 50 cm, berapakah bilangan jubin?

Lihat jawapanSembunyi jawapan

a) 12 × 50 = 600 cm = 6 m; 10 × 50 = 500 cm = 5 m.
b) 6 × 5 = 30 m².
c) Luas satu jubin = 0.5 × 0.5 = 0.25 m²; 30 ÷ 0.25 = 120 jubin.

Ringkasan (Peta Konsep)

Idea	Fakta penting
Lukisan berskala	Semua panjang berkadaran, sudut tidak berubah
Skala	Ukuran lukisan berskala : ukuran objek = 1 : n
n < 1, n = 1, n > 1	Lukisan lebih besar, sama saiz, lebih kecil
Grid berlainan saiz	Skala = saiz grid lukisan : saiz grid objek (bilangan petak sama)
Ukuran sebenar	Ukuran pada lukisan × n (samakan unit dahulu)
Luas	Darab dengan faktor panjang dikuasaduakan (skala 1 : 3 menjadikan luas 19 kali)
Laju	Laju = jarak ÷ masa