Matematik notesnota, bab 5
Nisbah Trigonometri
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), pageshalaman 106-127
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh mengenal pasti sisi bertentangan, sisi bersebelahan dan hipotenus berdasarkan suatu sudut tirus dalam segi tiga bersudut tegak (5.1.1)
- Saya boleh membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut tirus dengan nisbah sisi segi tiga bersudut tegak, dan mentakrifkan sinus, kosinus dan tangen (5.1.2)
- Saya boleh menerangkan kesan perubahan saiz sudut tirus terhadap nilai sinus, kosinus dan tangen (5.1.3)
- Saya boleh menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen suatu sudut tirus daripada segi tiga bersudut tegak (5.1.4)
- Saya boleh menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan kalkulator (5.1.5)
- Saya boleh menukar antara darjah dan minit serta menggunakan kalkulator saintifik untuk mencari nilai nisbah trigonometri dan saiz sudut (5.1.6)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen, termasuk sudut dongak (5.1.7)
5.1Sinus, kosinus dan tangen bagi sudut tirus dalam segi tiga bersudut tegak
Trigonometri membolehkan kita mencari panjang, tinggi atau sudut yang sukar diukur terus, misalnya lebar sungai, tinggi bangunan atau tinggi sebatang tiang. Segala-galanya bermula daripada sebuah segi tiga bersudut tegak dan satu sudut tirus. Nama trigonometri datang daripada bahasa Yunani: trigonon = tiga sudut, metron = mengukur.
Standard Pembelajaran (rujuk Imbas Kendiri, m.s. 126):
5.1.1 Mengenal pasti sisi bertentangan dan sisi bersebelahan berdasarkan suatu sudut tirus dalam segi tiga bersudut tegak.
5.1.2 Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut tirus dengan nisbah sisi segi tiga bersudut tegak, dan seterusnya mentakrifkan sinus, kosinus dan tangen.
5.1.3 Membuat dan menentusahkan konjektur tentang kesan perubahan saiz sudut terhadap nilai sinus, kosinus dan tangen.
5.1.4 Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen suatu sudut tirus.
5.1.5 Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan kalkulator.
5.1.6 Melakukan pengiraan yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.
5.1.7 Menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.
5.1.1 Mengenal pasti sisi bertentangan dan sisi bersebelahan berdasarkan suatu sudut tirus dalam segi tiga bersudut tegak.
5.1.2 Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut tirus dengan nisbah sisi segi tiga bersudut tegak, dan seterusnya mentakrifkan sinus, kosinus dan tangen.
5.1.3 Membuat dan menentusahkan konjektur tentang kesan perubahan saiz sudut terhadap nilai sinus, kosinus dan tangen.
5.1.4 Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen suatu sudut tirus.
5.1.5 Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan kalkulator.
5.1.6 Melakukan pengiraan yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.
5.1.7 Menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.
Mengenal pasti hipotenus, sisi bertentangan dan sisi bersebelahan (5.1.1)
Hipotenus ialah sisi yang terpanjang dalam segi tiga bersudut tegak dan sentiasa bertentangan dengan sudut 90°. Sisi bertentangan ialah sisi yang menghadap sudut tirus yang dirujuk. Sisi bersebelahan ialah satu lagi sisi yang menyentuh sudut tirus itu (selain hipotenus).
Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 108.
Sudut tirus ialah sudut yang lebih besar daripada 0° tetapi kurang daripada 90°. Dalam segi tiga bersudut tegak, dua sudut tirusnya berjumlah 90° (x + y = 90°).
Contoh 1 (m.s. 109)
Segi tiga ABC mempunyai sudut tegak di B.Bagi ∠BAC: hipotenus AC, sisi bertentangan BC, sisi bersebelahan AB.
Bagi ∠BCA: hipotenus AC, sisi bertentangan AB, sisi bersebelahan BC.
Mengelirukan sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan. Kedua-duanya bergantung pada sudut yang dirujuk. Tandakan sudut itu dahulu, kemudian namakan sisi yang menghadapnya (bertentangan) dan sisi yang menyentuhnya (bersebelahan).
Uji Minda. Segi tiga KLM mempunyai sudut tegak di L. Bagi ∠KML, namakan hipotenus, sisi bertentangan dan sisi bersebelahan.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Hipotenus KM (bertentangan dengan sudut tegak di L).
Sisi bertentangan KL (menghadap M).
Sisi bersebelahan LM (menyentuh M).
Sisi bertentangan KL (menghadap M).
Sisi bersebelahan LM (menyentuh M).
Mentakrifkan sinus, kosinus dan tangen (5.1.2)
Dalam Cetusan Minda 1 (m.s. 110), lukis segi tiga bersudut tegak PQR dengan PQ = 16 unit dan QR = 12 unit, kemudian lukis beberapa garis selari dengan QR untuk mendapat segi tiga yang lebih kecil dengan sudut ∠QPR yang sama. Panjang sisi berubah, tetapi nisbah sisinya tidak berubah. Contohnya, dalam salah satu segi tiga yang lebih kecil, nisbah sisi bertentangan kepada hipotenus ialah 35, nisbah sisi bersebelahan kepada hipotenus ialah 45 dan nisbah sisi bertentangan kepada sisi bersebelahan ialah 34; nilai yang sama diperoleh bagi setiap segi tiga.
Bagi suatu sudut tirus yang ditetapkan dalam pelbagai saiz segi tiga bersudut tegak, tiga nisbah sisi ialah nilai pemalar. Nisbah-nisbah ini dikenali sebagai nisbah trigonometri:
sinus θ (sin θ) = panjang sisi bertentanganhipotenus
kosinus θ (kos θ) = panjang sisi bersebelahanhipotenus
tangen θ (tan θ) = panjang sisi bertentanganpanjang sisi bersebelahan
sinus θ (sin θ) = panjang sisi bertentanganhipotenus
kosinus θ (kos θ) = panjang sisi bersebelahanhipotenus
tangen θ (tan θ) = panjang sisi bertentanganpanjang sisi bersebelahan
Cara mengingat: sin = bertentangan ÷ hipotenus, kos = bersebelahan ÷ hipotenus, tan = bertentangan ÷ bersebelahan. Dalam buku teks, sin, kos dan tan ialah singkatan bagi sinus, kosinus dan tangen.
Contoh 2 (m.s. 111)
Segi tiga PQR mempunyai sudut tegak di Q. Sudut x di P dan sudut y di R.sin x = QRPR kos x = PQPR tan x = QRPQ
sin y = PQPR kos y = QRPR tan y = PQQR
Perhatikan bahawa sin x = kos y. Sisi yang bertentangan dengan satu sudut ialah sisi bersebelahan bagi sudut yang satu lagi.
Contoh 3 (m.s. 113): sudut sama, segi tiga berbeza saiz
Segi tiga kedua: sin y = 1.52.5 = 35, kos y = 22.5 = 45, tan y = 1.52 = 34.
Ketiga-tiga nisbah adalah sama kerana panjang setiap sisi bagi kedua-dua rajah adalah berkadaran. Maka sudut x dan sudut y mempunyai nisbah trigonometri yang sama.
Uji Minda. Sebuah segi tiga bersudut tegak mempunyai sisi 5 cm, 12 cm dan 13 cm. Tulis sin θ, kos θ dan tan θ bagi sudut θ yang bertentangan dengan sisi 5 cm.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Hipotenus = 13 cm, sisi bertentangan = 5 cm, sisi bersebelahan = 12 cm.
sin θ = 513, kos θ = 1213, tan θ = 512.
sin θ = 513, kos θ = 1213, tan θ = 512.
Kesan perubahan saiz sudut terhadap sin, kos dan tan (5.1.3)
Dalam Cetusan Minda 2 (m.s. 112), anda melukis segi tiga bersudut tegak dengan tapak 10 cm dan sudut 10° hingga 80°, lalu mengukur sisi. Nilai yang diukur hampir dengan nilai daripada kalkulator di bawah (empat tempat perpuluhan). Contohnya, buku teks memperoleh sin 10° ≈ 0.1765 melalui ukuran, manakala kalkulator memberi 0.1736.
| θ | 10° | 20° | 30° | 40° | 50° | 60° | 70° | 80° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0.1736 | 0.3420 | 0.5000 | 0.6428 | 0.7660 | 0.8660 | 0.9397 | 0.9848 |
| kos θ | 0.9848 | 0.9397 | 0.8660 | 0.7660 | 0.6428 | 0.5000 | 0.3420 | 0.1736 |
| tan θ | 0.1763 | 0.3640 | 0.5774 | 0.8391 | 1.1918 | 1.7321 | 2.7475 | 5.6713 |
Semakin besar saiz sudut tirus:
(a) semakin besar nilai sinus dan nilainya menghampiri 1;
(b) semakin kecil nilai kosinus dan nilainya menghampiri sifar;
(c) semakin besar nilai tangen.
Nilai had: sin 0° = 0, kos 0° = 1, tan 0° = 0; sin 90° = 1, kos 90° = 0 dan tan 90° = ∞ (tidak tertakrif; nilainya bertambah tanpa had).
(a) semakin besar nilai sinus dan nilainya menghampiri 1;
(b) semakin kecil nilai kosinus dan nilainya menghampiri sifar;
(c) semakin besar nilai tangen.
Nilai had: sin 0° = 0, kos 0° = 1, tan 0° = 0; sin 90° = 1, kos 90° = 0 dan tan 90° = ∞ (tidak tertakrif; nilainya bertambah tanpa had).
Menyangka nilai kos juga bertambah apabila sudut bertambah. Sebaliknya, kos 80° jauh lebih kecil daripada kos 10°. Ingat juga bahawa sin dan kos sudut tirus tidak pernah melebihi 1, tetapi tan boleh melebihi 1.
Uji Minda. Tanpa kalkulator, yang manakah lebih besar: sin 35° atau sin 65°? kos 35° atau kos 65°?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
sin 65° lebih besar (sinus bertambah apabila sudut bertambah).
kos 35° lebih besar (kosinus berkurang apabila sudut bertambah).
kos 35° lebih besar (kosinus berkurang apabila sudut bertambah).
Menentukan nilai sin, kos dan tan daripada segi tiga (5.1.4)
Gunakan teorem Pythagoras, c² = a² + b² (a² = c² − b²), untuk mencari sisi yang tidak diketahui dahulu. Nyatakan nilai nisbah dalam sebutan terendah.
Contoh 4 (m.s. 114)
(a) PR = √(15² + 8²) = √289 = 17 cm
(b) sin ∠PRQ = PQPR = 1517
(c) kos ∠PRQ = QRPR = 817
(d) tan ∠QPR = QRPQ = 815
Uji Minda. Dalam segi tiga PQR, sudut tegak di Q, PQ = 24 cm dan QR = 7 cm. Cari PR, sin ∠PRQ dan tan ∠QPR.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
PR = √(24² + 7²) = √625 = 25 cm
sin ∠PRQ = PQPR = 2425
tan ∠QPR = QRPQ = 724
sin ∠PRQ = PQPR = 2425
tan ∠QPR = QRPQ = 724
Contoh 5 (m.s. 114): dua segi tiga yang berkongsi satu sisi
P, Q dan R terletak pada garis lurus, PQ = 4 cm, SQ = 6 cm, RS = 10 cm, dan T ialah titik tengah SQ (SQ tegak lurus dengan PR). Hitung (a) QR, (b) PT, (c) sin ∠QRS, (d) kos ∠TPQ, (e) tan ∠PTQ, (f) tan ∠QSR.TQ = 6 ÷ 2 = 3 cm.
(a) QR = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm
(b) PT = √(4² + 3²) = √25 = 5 cm
(c) sin ∠QRS = SQRS = 610 = 35
(d) kos ∠TPQ = PQPT = 45
(e) tan ∠PTQ = PQTQ = 43
(f) tan ∠QSR = QRSQ = 86 = 43
Hubungan antara sin, kos dan tan (5.1.4)
Lukis segi tiga bersudut tegak dengan hipotenus 1 unit. Maka sisi bertentangan x = sin θ dan sisi bersebelahan y = kos θ. Oleh sebab tan θ = sisi bertentangansisi bersebelahan, diperoleh
tan θ = sin θkos θ
Contoh 6 (m.s. 115)
Jika sin θ = 0.6 dan kos θ = 0.8, maka tan θ = 0.60.8 = 34 = 0.75.Contoh 7 (m.s. 115): mencari kos θ
Diberi sin θ = 38 dan tan θ = 3√55.kos θ = sin θ ÷ tan θ = 38 ÷ 3√55 = 38 × √553 = √558.
Uji Minda. Jika sin θ = 0.8 dan kos θ = 0.6, hitung tan θ.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
tan θ = sin θkos θ = 0.80.6 = 43 (≈ 1.33).
Menggunakan nisbah yang diberi untuk mencari sisi
Contoh 8 (m.s. 116)
Dalam segi tiga bersudut tegak PQR (sudut tegak di Q), PR = 20 cm dan sin ∠QPR = 35. Hitung (a) panjang QR, (b) kos ∠QPR.(a) QRPR = 35, jadi QR = 3 × 205 = 12 cm.
(b) PQ = √(20² − 12²) = √256 = 16 cm, maka kos ∠QPR = PQPR = 1620 = 45.
Contoh 9 (m.s. 116): dua segi tiga bersambung
PQR dan STQ ialah garis lurus; T ialah titik tengah SQ. PQ = 12 cm, PT = 13 cm dan RS = 26 cm. Hitung kos x, dengan x = ∠SRQ.Tentukan nilai RQ terlebih dahulu. TQ = √(13² − 12²) = 5 cm, jadi SQ = 2 × 5 = 10 cm.
RQ = √(26² − 10²) = √576 = 24 cm.
kos x = RQSR = 2426 = 1213.
Membiarkan nisbah sebagai 2426. Buku teks meminta nilai nisbah dalam sebutan terendah: tulis 1213.
Uji Minda. Segi tiga ABC mempunyai sudut tegak di B, AC = 30 cm dan sin ∠BAC = 45. Hitung BC, AB dan kos ∠BAC.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
BC = 45 × 30 = 24 cm.
AB = √(30² − 24²) = √324 = 18 cm.
kos ∠BAC = ABAC = 1830 = 35.
AB = √(30² − 24²) = √324 = 18 cm.
kos ∠BAC = ABAC = 1830 = 35.
Sudut 30°, 45° dan 60° tanpa kalkulator (5.1.5)
Segi tiga sama sisi PRS bersisi 2 unit. Garis SQ membahagi dua segi tiga itu dan menghasilkan segi tiga bersudut tegak dengan sudut 30° dan 60° dan sisi 1, √3 dan 2 (Rajah 1(b)). Segi tiga bersudut tegak sama kaki KLM dengan dua sisi 1 unit mempunyai hipotenus √2 dan sudut 45° (Rajah 2).
Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 119.
| θ | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin θ | 12 | 1√2 | √32 |
| kos θ | √32 | 1√2 | 12 |
| tan θ | 1√3 | 1 | √3 |
Anda boleh membina semula jadual daripada dua segi tiga itu: sin 30° = kos 60° dan sin 60° = kos 30°. Surd ialah nombor tak nisbah dalam bentuk punca kuasa seperti √2 dan √3. Rasionalkan penyebut dengan mendarab atas dan bawah dengan surd itu: 1√2 = 1√2 × √2√2 = √22, dan √2 × √2 = √4 = 2.
Contoh 11 (m.s. 119)
(a) sin 45° + kos 45° = 1√2 + 1√2 = 2√2 = 2√22 = √2(b) 3 kos 30° − 2 sin 60° = 3(√32) − 2(√32) = 3√32 − 2√32 = √32
(c) 2 tan 45° − 2 kos 60° = 2(1) − 2(12) = 2 − 1 = 1
(d) (2 sin 60°)(4 kos 30°) − 4 tan 60° = 2(√32)(4)(√32) − 4√3 = (√3)(2)(√3) − 4√3 = 6 − 4√3
Uji Minda. Tanpa kalkulator, cari (a) 4 sin 30° + tan 60° × tan 30° (b) (2 kos 45°)(4 sin 45°).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 4(12) + (√3)(1√3) = 2 + 1 = 3
(b) 2(1√2) × 4(1√2) = 82 = 4
(b) 2(1√2) × 4(1√2) = 82 = 4
Darjah, minit dan saat (5.1.6)
Sudut diukur dalam unit darjah (°). Sudut juga boleh dinyatakan dalam darjah, minit (′) dan saat (″): 1° = 60′ dan 1′ = 60″. Untuk menukar bahagian perpuluhan darjah kepada minit, darabkan dengan 60.
Contoh 12 (m.s. 120)
(a) 30.2° = 30° + 0.2° = 30° + (0.2 × 60)′ = 30° 12′(b) 43° 30′ = 43° + (3060)° = 43° + 0.5° = 43.5°
Uji Minda. (a) Tukarkan 52.4° kepada darjah dan minit. (b) Tukarkan 36° 45′ kepada darjah.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 0.4 × 60 = 24, maka 52° 24′
(b) 45 ÷ 60 = 0.75, maka 36.75°
(b) 45 ÷ 60 = 0.75, maka 36.75°
Menggunakan kalkulator saintifik (5.1.6)
Pastikan kalkulator berada dalam mod darjah (paparan menunjukkan D atau DEG). Butang °′″ hanya perlu ditekan apabila soalan diberikan dalam unit darjah dan minit.
Contoh 13 (m.s. 121): sudut kepada nisbah (empat tempat perpuluhan)
(a) sin 45° 6′ = 0.7083(b) kos 20.7° = 0.9354
(c) tan 64° 12′ = 2.0686
Contoh 14 (m.s. 121–122): nisbah kepada sudut
(a) sin x = 0.8377, maka x = sin⁻¹ 0.8377 = 56.9° = 56° 54′(b) kos x = 0.7021, maka x = kos⁻¹ 0.7021 = 45.4° = 45° 24′
(c) tan x = 2.4876, maka x = tan⁻¹ 2.4876 = 68.1° = 68° 6′
Jika unit saat bernilai 30″ atau lebih, unit minit ditambah 1′. Dalam (a), kalkulator memaparkan 56° 53′ 52.93″ dan 52.93″ > 30″, maka jawapannya 56° 54′.
Menggunakan sin⁻¹ apabila soalan memberi nilai kos (atau sebaliknya). Padankan fungsi songsang dengan nisbah dalam soalan. Ingat juga bahawa sin⁻¹ 0.5 bukan 1sin 0.5; sin⁻¹ ialah fungsi songsang yang memberi sudut.
Uji Minda. Gunakan kalkulator. (a) tan 38.5° betul kepada empat tempat perpuluhan. (b) Cari x jika kos x = 0.8, dalam darjah dan minit.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) tan 38.5° = 0.7954
(b) x = kos⁻¹ 0.8 = 36.87…° = 36° 52′
(b) x = kos⁻¹ 0.8 = 36.87…° = 36° 52′
Menyelesaikan masalah (5.1.7)
Gunakan empat langkah: memahami masalah (lukis segi tiga bersudut tegak dan tandakan sudutnya), merancang strategi (nisbah yang manakah menggunakan sisi yang diketahui dan sisi yang dicari), melaksanakan strategi (mengira) dan membuat kesimpulan (jawapan dengan unit dan kejituan yang diminta).
Contoh 15 (m.s. 122): tangga
sin 50° = QRPR = 2.5PR
PR = 2.5sin 50° = 3.26 m (2 t.p.)
Sudut dongak diukur ke atas daripada garis mengufuk, manakala sudut tunduk diukur ke bawah daripada garis mengufuk. Dua sudut itu sama besar kerana sudut berselang-seli.
Contoh 16 (m.s. 122–123): sudut dalam kuboid
Dalam kuboid ABCDEFGH, BC = 8 cm, CH = 5 cm dan tinggi HE = 4 cm. Hitung ∠FCG.FG = EH = 4 cm. Dalam tapak, CG = √(8² + 5²) = √89 cm (segi tiga BCG bersudut tegak di B, BG = 5 cm).
tan ∠FCG = FGCG = 4√89
∠FCG = tan⁻¹ 4√89 = 22.98° = 22° 59′
Uji Minda. Sebuah tangga 6 m bersandar pada dinding dan membentuk sudut 65° dengan tanah. Berapakah tinggi tangga mencecah dinding? (2 tempat perpuluhan)
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Tinggi bertentangan dengan 65° dan tangga ialah hipotenus: sin 65° = tinggi6.
Tinggi = 6 × sin 65° = 5.44 m.
Tinggi = 6 × sin 65° = 5.44 m.
Contoh lain: Contoh 10, Jelajah Matematik dan soalan Cabaran Dinamis
Contoh 10 (m.s. 116–117): gabungan segi tiga
Dalam segi tiga bersudut tegak PRS, PQR ialah garis lurus, PQ = 10 cm, ∠QPS = 30° dan kos 60° = 0.5; QP = QS. Hitung PS betul kepada dua tempat perpuluhan.∠QSP = ∠QPS = 30°, maka ∠PQS = 180° − 30° − 30° = 120° dan ∠SQR = 180° − 120° = 60°.
kos 60° = QRQS = QR10 = 0.5, maka QR = 5 cm. SR = √(10² − 5²) = √75 cm.
PR = 10 + 5 = 15 cm. PS = √(15² + 75) = √300 = 17.32 cm (2 t.p.).
Jelajah Matematik (m.s. 127): mengukur tinggi tiang
Gunakan kadbod segi tiga ABC dengan sudut 45° (AB = AC = 30 cm) dan satu rod kayu. Jika x ialah tinggi aras mata daripada tanah, y tinggi tiang dan z jarak antara pemerhati dengan tiang, maka tan 45° = y − xz, jadi y = z tan 45° + x. Oleh sebab tan 45° = 1, y = z + x: tinggi tiang sama dengan jarak ke tiang ditambah tinggi aras mata. Contohnya, jika z = 12 m dan x = 1.5 m, tiang itu setinggi 13.5 m.Cabaran Dinamis: soalan KBAT (m.s. 124–125)
Soalan Uji Diri, Mahir Diri dan Masteri Kendiri menggabungkan beberapa konsep. Perhatikan cara berfikir dalam contoh berikut (jawapan akhir sepadan dengan bahagian Jawapan buku teks, m.s. 256).
Uji Diri 1: sin (90° − θ) = kos θ
Segi tiga KLM mempunyai sudut tegak di L, KL = 15 cm dan LM = 8 cm, dan θ = ∠LKM. Maka KM = √(15² + 8²) = 17 cm.(a) tan θ = 815, maka θ = 28° 4′.
(b) sudut 90° − θ ialah ∠KML. sin (90° − θ) = KLKM = 1517 = kos θ.
(c) kos (90° − θ) = LMKM = 817 = sin θ.
Kesimpulan: bagi sudut tirus, sin (90° − θ) = kos θ dan kos (90° − θ) = sin θ.
Uji Diri 2
Segi tiga ABC mempunyai sudut tegak di B, AB = 15 cm dan tan θ = 512, dengan θ di C.(a) tan θ = ABBC = 15BC = 512, maka BC = 36 cm dan AC = √(15² + 36²) = 39 cm.
(b) tan (90° − θ) = BCAB = 3615 = 125.
(c) θ = tan⁻¹ 512 = 22.6° (3 angka bererti).
Mahir Diri 2
PQR ialah garis lurus dan QR = RS = 18 cm. Dalam segi tiga bersudut tegak PRS (sudut tegak di R), tan θ = 35 dengan θ = ∠RPS.(a) tan θ = SRPR = 18PR = 35, maka PR = 30 cm dan PQ = 30 − 18 = 12 cm.
(b) PS = √(30² + 18²) = √1224 = 34.99, iaitu 35 cm (integer terdekat).
(c) tan y = QRSR = 1818 = 1, maka y = 45° (y ialah ∠QSR).
Mahir Diri 3: pintu gerbang
Tinggi tegak PQ = 5 m dan sudut ∠QPR = 60°. QR = x ialah sisi bertentangan dan PQ sisi bersebelahan: tan 60° = x5, maka x = 5 tan 60° = 5√3 = 8.66 m.Masteri Kendiri 3: segi empat tepat ABCD
AB = 8 cm, BC = 2AB = 16 cm, N ialah titik tengah BC, MD = 14AD.(a) AD = BC = 16 cm, maka MD = 4 cm dan AM = 12 cm. BN = 8 cm. Perbezaan tinggi antara M dan N = 12 − 8 = 4 cm dan jarak mengufuk = AB = 8 cm. MN = √(8² + 4²) = √80 = 4√5 cm.
(c) Trapezium CDMN: sisi selari DM = 4 cm dan CN = 8 cm, tinggi 8 cm, luas = 12(4 + 8)(8) = 48 cm². Trapezium ABNM: sisi selari AM = 12 cm dan BN = 8 cm, luas = 12(12 + 8)(8) = 80 cm². Nisbah luas = 48 : 80 = 3 : 5, bukan 1 : 2. Pernyataan Shahril tidak benar.
Peta Konsep
| Nisbah trigonometri | Takrif | Nilai khas |
|---|---|---|
| Sinus: sin θ | sisi bertentanganhipotenus | sin 30° = 12, sin 45° = 1√2, sin 60° = √32; sin 0° = 0, sin 90° = 1 |
| Kosinus: kos θ | sisi bersebelahanhipotenus | kos 30° = √32, kos 45° = 1√2, kos 60° = 12; kos 0° = 1, kos 90° = 0 |
| Tangen: tan θ | sisi bertentangansisi bersebelahan = sin θkos θ | tan 30° = 1√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3; tan 0° = 0, tan 90° = ∞ |
- Apabila saiz sudut tirus θ bertambah, nilai sin θ dan tan θ bertambah, manakala nilai kos θ berkurang.
- Untuk menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen: gunakan segi tiga bersudut tegak dan teorem Pythagoras, sudut khas 30°, 45°, 60°, atau kalkulator saintifik (mod darjah).
Kandungan dan contoh mengikut buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), Bab 5, m.s. 106–127.