Matematik notesnota, bab 6

Sudut dan Tangen bagi Bulatan

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), pageshalaman 128–167

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mengenal sudut pada lilitan dan sudut pusat yang dicangkum oleh suatu lengkok, serta menentusahkan bahawa sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah sama besar (6.1.1)
Saya boleh menggunakan hubungan antara sudut pada lilitan dengan panjang lengkok, sudut pusat yang dua kali sudut pada lilitan, dan sudut pada lilitan yang dicangkum oleh diameter ialah 90° (6.1.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut dalam bulatan (6.1.2)
Saya boleh mengenal dan memerihalkan sisi empat kitaran dan sudut bertentangannya (6.2.1)
Saya boleh menentusahkan bahawa jumlah sudut pedalaman bertentangan sisi empat kitaran ialah 180° dan sudut peluaran sama dengan sudut pedalaman bertentangan yang sepadan (6.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sisi empat kitaran (6.2.3)
Saya boleh mengenal dan memerihalkan tangen kepada bulatan dan titik ketangenan (6.3.1)
Saya boleh menentusahkan bahawa sudut di antara tangen dengan jejari pada titik ketangenan ialah 90° (6.3.2)
Saya boleh menentukan sifat dua tangen kepada suatu bulatan yang bertemu di satu titik (6.3.3)
Saya boleh menggunakan hubungan antara sudut di antara tangen dengan perentas dan sudut dalam tembereng selang-seli (6.3.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan tangen kepada bulatan, termasuk tangen sepunya (6.3.5)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sudut dan tangen bagi bulatan (6.4.1)

6.1Sudut pada lilitan dan sudut pusat yang dicangkum oleh suatu lengkok

Perentas: garis lurus yang menyambung dua titik pada lilitan. Lengkok: sebahagian daripada lilitan. Lengkok yang lebih pendek ialah lengkok minor dan yang lebih panjang ialah lengkok major. Suatu sudut dicangkum oleh lengkok apabila kedua-dua lengannya berakhir pada dua hujung lengkok itu.

Sudut	Bucu sudut	Contoh dalam bulatan berpusat O
Sudut pada lilitan	Pada lilitan bulatan	∠PRQ, dicangkum oleh lengkok PQ
Sudut pusat	Pada pusat bulatan O	∠POQ, dicangkum oleh lengkok PQ yang sama

Sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama

Bulatan dengan perentas PQ di bawah dan titik A, B dan C pada lengkok major; setiap sudut PAQ, PBQ dan PCQ ialah 35 darjah — Sudut-sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok PQ yang sama adalah sama besar. Di sini setiap sudut ialah 35°.

Ringkasan buku teks: sudut PRQ, PSQ dan PTQ pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok PQ adalah sama besar

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 132.

Empat peraturan untuk sudut dalam bulatan

Peraturan	Maksudnya
1. Lengkok yang sama	Sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama adalah sama besar.
2. Panjang lengkok	Sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama panjang adalah sama saiz. Saiz sudut berkadaran dengan panjang lengkok: lengkok dua kali ganda, sudut dua kali ganda.
3. Sudut pusat	Sudut pada pusat bulatan yang dicangkum oleh suatu lengkok ialah dua kali ganda sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama.
4. Diameter	Sudut pada lilitan yang dicangkum oleh diameter ialah 90° (sudut dalam semi bulatan).

Buku teks: sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok sama panjang adalah sama saiz, dan saiz sudut berkadaran dengan panjang lengkok

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 136.

Contoh 3 (m.s. 136): panjang lengkok dan sudut

Bulatan dengan lengkok PQ 2 cm yang mencangkum 25 darjah dan lengkok QR 6 cm yang mencangkum x, kedua-duanya di titik S pada lilitan

Saiz sudut berkadaran dengan panjang lengkok.
x ÷ 25° = 6 cm ÷ 2 cm
x = 3 × 25° = 75°

Contoh 4 (m.s. 137): dua kali panjang lengkok

Bulatan dengan titik T, P, Q, R dan S; TP sama dengan TS, sudut TSP ialah 48 darjah, lengkok minor PS dua kali lengkok QR dan sudut QTR ialah x

Diberi lengkok minor PS = 2 × lengkok QR. TP = TS, jadi segi tiga TPS sama kaki.
∠PTS = 180° − 2(48°) = 84° (jumlah sudut pedalaman segi tiga ialah 180°)
Lengkok QR = ½ × lengkok PS, maka x = ½ × 84° = 42°.

Peraturan 1 dan 2 juga benar untuk sudut pusat: lengkok yang sama panjang mencangkum sudut pusat yang sama, dan sudut pusat berkadaran dengan panjang lengkok. Sudut pusat satu putaran lengkap ialah 360°.

Buku teks: empat bulatan menunjukkan sudut pusat 2x dan sudut pada lilitan x yang dicangkum oleh lengkok yang sama

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 139.

Contoh 5 (m.s. 139): sudut pusat dan sudut pada lilitan

Tiga bulatan berpusat O: (a) sudut pusat 80 darjah, sudut x dan y pada lilitan; (b) sudut pada lilitan 35 darjah, sudut x pada lilitan dan sudut pusat y; (c) sudut pusat 140 darjah, sudut refleks x dan sudut y pada lengkok minor

(a) x = ½ × 80° = 40°, y = 40° (sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok yang sama).
(b) x = 35° (lengkok yang sama), y = 2 × 35° = 70°.
(c) x = 360° − 140° = 220° (sudut pusat refleks), y = ½ × 220° = 110°.

Sudut pada lilitan separuh sudut pusat hanya apabila kedua-duanya dicangkum oleh lengkok yang sama. Jika titik pada lilitan berada pada lengkok minor, ia mencangkum lengkok major, jadi gunakan sudut pusat refleks (360° − sudut pusat) seperti pada Contoh 5(c). Sudut pada lilitan itu lebih daripada 90°.

Jangan menyamakan sudut yang tidak dicangkum oleh lengkok yang sama. Dalam Contoh 1 (m.s. 133), ∠ABE = 40° kerana dicangkum oleh lengkok AE, tetapi ∠ADE tidak semestinya 40° kerana ia tidak dicangkum oleh lengkok AE.

Sudut dalam semi bulatan

Buku teks: PQR ialah semi bulatan dengan PR diameter, maka sudut PQR ialah 90 darjah

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 142.

Contoh 6 (m.s. 142): diameter

Bulatan berpusat O dengan PR dan QS diameter; PQRS ialah sisi empat; sudut x di Q ialah dua sudut sama dan sudut y di S

PR dan QS ialah diameter, maka PR = QS dan ∠PQR = 90°.
2x = 90°, maka x = 45°.
∠QRS = 90° (sudut dalam semi bulatan). Dalam segi tiga QRS: y + 45° + 90° = 180°, maka y = 45°.

Contoh 7 (m.s. 143): masalah gabungan

Bulatan berpusat O; SQ ialah diameter; lengkok PQ sama panjang dengan lengkok QR; sudut QOR ialah 50 darjah

Lengkok PQ = lengkok QR dan SQ melalui O. ∠QOR = 50°.
(a) ∠QSR = ½ × ∠QOR = ½ × 50° = 25°.
(b) ∠PSQ = ∠QSR = 25° (lengkok sama panjang). ∠SPQ = 90° (sudut dalam semi bulatan).
∠PQS = 180° − 90° − 25° = 65°.

(a) Lengkok AB mencangkum sudut 22° pada lilitan. Lengkok CD tiga kali panjang lengkok AB. Apakah sudut pada lilitan yang dicangkum oleh lengkok CD?
(b) Dalam bulatan berpusat O, ∠POQ = 130°. Hitung ∠PRQ apabila R pada lengkok major dan apabila R pada lengkok minor.
(c) AB ialah diameter dan C pada bulatan. ∠CAB = 40°. Hitung ∠ABC.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

(a) 3 × 22° = 66°
(b) Lengkok major: ½ × 130° = 65°. Lengkok minor: ½ × (360° − 130°) = 115°
(c) ∠ACB = 90°, maka ∠ABC = 180° − 90° − 40° = 50°

6.2Sisi empat kitaran

Sisi empat kitaran ialah sisi empat dalam bulatan dengan keadaan keempat-empat bucu sisi empat itu terletak pada lilitan bulatan. Jika satu bucu berada di dalam atau di luar bulatan, sisi empat itu bukan sisi empat kitaran. Dalam PQRS, ∠P dan ∠R serta ∠Q dan ∠S ialah sudut bertentangan.

Contoh 8 (m.s. 144): mengenal pasti sisi empat kitaran

Pada rajah buku teks, ABCD bukan sisi empat kitaran kerana bucu D tidak terletak pada lilitan; DEFG ialah sisi empat kitaran kerana keempat-empat bucu pada lilitan, dan sudut bertentangannya ialah ∠D dan ∠F serta ∠E dan ∠G. KLON dan OTUV bukan sisi empat kitaran kerana bucu O (pusat) tidak pada lilitan.

Buku teks: hasil tambah sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran ialah 180 darjah; x tambah y sama dengan 180 darjah dan p tambah q sama dengan 180 darjah

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 145.

Jumlah sudut pedalaman yang bertentangan dalam sisi empat kitaran ialah 180°.

Contoh 9 (m.s. 146): sudut bertentangan

Sisi empat kitaran KLMN dengan sudut K 104 darjah, sudut L 98 darjah, sudut M bernilai 8x dan sudut N bernilai 4y

(a) ∠LKN dan ∠LMN bertentangan: 104° + 8x = 180°, 8x = 76°, x = 9.5°.
(b) ∠KNM dan ∠KLM bertentangan: 4y + 98° = 180°, 4y = 82°, y = 20.5°.
Semakan: 104° + 76° + 82° + 98° = 360°.

Sudut peluaran sisi empat kitaran

Panjangkan satu sisi sisi empat kitaran. Sudut yang terbentuk di luar ialah sudut peluaran. Sudut peluaran sama dengan sudut pedalaman bertentangan yang sepadan, iaitu sudut pedalaman di bucu yang berhadapan dengannya.

Contoh: dalam PQRS dengan SP dipanjangkan ke T, sudut peluaran ∠TSR sepadan dengan ∠PQR (Contoh 10, m.s. 147). Sudut peluaran dan sudut pedalaman di bucu yang sama terletak pada garis lurus, jumlahnya 180°.

Contoh 12 dan 13 (m.s. 148): sudut peluaran

Dua sisi empat kitaran: PQRS dengan garis lurus RST, sudut PQR 4y dan sudut PSR 2y; dan KLMN dengan garis lurus MNP, sudut PNK 75 darjah dan sudut NML 66 darjah

Contoh 12: ∠PQR + ∠PSR = 180°, maka 4y + 2y = 180°, y = 30°.
∠PST ialah sudut peluaran, maka ∠PST = ∠PQR = 4(30°) = 120°.
Contoh 13: ∠PNK ialah sudut peluaran, maka x = 75° (sudut pedalaman bertentangan di L).
y + ∠NML = 180°, maka y = 180° − 66° = 114°.

Contoh 11 (m.s. 148): masalah sisi empat kitaran

Sisi empat kitaran ABCD dengan AB sama dengan BC, garis lurus CDE, sudut ACB 48 darjah; a ialah sudut ABC dan b ialah sudut ADE

AB = BC, maka ∠CAB = ∠ACB = 48°.
a = 180° − 48° − 48° = 84°.
b ialah sudut peluaran, maka b = a = 84°.

Menjumlahkan dua sudut bersebelahan untuk mendapat 180°. Hanya sudut bertentangan berjumlah 180°. Namakan sudut bertentangan dengan melintasi sisi empat: dalam PQRS, ∠P dengan ∠R dan ∠Q dengan ∠S.

(a) Dalam sisi empat kitaran PQRS, ∠PQR = 72°. Hitung ∠PSR.
(b) Satu sisi sisi empat kitaran dipanjangkan dan sudut peluaran ialah 64°. Apakah sudut pedalaman bertentangan yang sepadan?

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

(a) ∠PSR = 180° − 72° = 108°
(b) 64° (sudut peluaran = sudut pedalaman bertentangan yang sepadan)

6.3Tangen kepada bulatan

Tangen kepada bulatan ialah garis lurus yang menyentuh bulatan pada satu titik sahaja. Titik sentuhan itu ialah titik ketangenan. Garis yang memotong bulatan pada dua titik bukan tangen.

Contoh 14 (m.s. 150): tangen atau bukan?

Bulatan dengan garis PQ menyentuh di E, garis RS memotong di F dan G, garis TU menyentuh di U, dan garis MN bermula di M pada bulatan

PQ dan TU ialah tangen kerana menyentuh bulatan pada satu titik; E dan U ialah titik ketangenan.
RS bukan tangen kerana melalui dua titik, F dan G.
MN bukan tangen kerana jika dipanjangkan, ia akan memotong bulatan pada dua titik; M bukan titik ketangenan.

Tangen dan jejari

Buku teks: jejari bulatan yang bersilang dengan tangen pada titik ketangenan membentuk sudut 90 darjah

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 152.

Jejari yang dilukis ke titik ketangenan adalah serenjang dengan tangen: sudut antara keduanya ialah 90°.

Contoh 15 (m.s. 152): tangen dan jejari

Garis lurus ABC menyentuh bulatan berpusat O di B; AOD ialah garis lurus; sudut BOD ialah 138 darjah dan sudut OAB ialah x

OB ialah jejari ke titik ketangenan B, maka ∠OBA = 90°.
∠AOB + 138° = 180°, maka ∠AOB = 42°.
x + ∠AOB = 90°, maka x = 90° − 42° = 48°.

Dua tangen kepada bulatan yang bertemu di satu titik

Buku teks: dua tangen AB dan AC dengan titik ketangenan B dan C; BA sama dengan CA, sudut BOA sama dengan sudut COA dan sudut OAB sama dengan sudut OAC

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 154.

Jika dua tangen kepada bulatan berpusat O dengan titik ketangenan B dan C bertemu di A, maka:

BA = CA (dua tangen sama panjang)
∠BOA = ∠COA
∠OAB = ∠OAC (OA membahagi dua sama sudut BAC)

Contoh 16 (m.s. 154): dua tangen

Bulatan berpusat O; tangen PQ dan RQ bertemu di Q; sudut POQ ialah 66 darjah dan PQ ialah 14 cm

(a) ∠OPQ = 90° (jejari dan tangen). x + 66° = 90°, maka x = 24°.
(b) PQ = QR = y, maka y = 14 cm.
(c) tan 24° = OP ÷ 14, maka OP = 14 × tan 24° = 6.233 cm. Jejari bulatan ialah 6.233 cm.

Dalam segi tiga bersudut tegak OPQ, gunakan teorem Pythagoras atau nisbah trigonometri (Bab 5). Contohnya OP = 5 cm dan OQ = 13 cm memberi PQ = √(13² − 5²) = 12 cm.

Sudut dalam tembereng selang-seli

Buku teks: sudut x di antara tangen dengan perentas sama dengan sudut y dalam tembereng selang-seli, dan sudut teta sama dengan sudut beta

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 155.

Sudut di antara tangen dengan perentas sama dengan sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas itu, iaitu sudut pada lilitan di sebelah lain perentas.

Contoh 18 (m.s. 156): tembereng selang-seli

Segi tiga ABL dalam bulatan; KLM ialah tangen di L; sudut BAL 54 darjah, sudut KLA 60 darjah, sudut ABL ialah x dan sudut BLM ialah y

(a) x = 60° kerana x ialah sudut dalam tembereng selang-seli bagi ∠KLA yang dicangkum oleh perentas AL.
(b) y = 54° kerana ∠LAB ialah sudut dalam tembereng selang-seli bagi y yang dicangkum oleh perentas BL.
Semakan: ∠ALB = 180° − 54° − 60° = 66° dan 60° + 66° + 54° = 180° pada garis lurus KLM.

Memadankan sudut dengan sudut pada sebelah yang sama perentas. Sudut yang sepadan sentiasa merentasi perentas, dalam tembereng selang-seli. Setiap perentas mempunyai pasangannya sendiri: ∠KLA dengan sudut di B, ∠BLM dengan sudut di A.

Tangen sepunya

Tangen sepunya kepada dua bulatan ialah satu garis lurus yang menjadi tangen kepada kedua-dua bulatan.

Kedudukan dua bulatan	Bilangan tangen sepunya
Tidak bersentuhan	4
Bersentuhan di luar	3
Bersilang (bertindih di dua titik)	2
Bertindih di dalam (satu bulatan di dalam bulatan lain, bersentuhan pada satu titik)	1

Buku teks: pasangan bulatan yang tidak bersentuhan, bersentuhan di luar, bersilang dan bertindih di dalam, dengan tangen sepunya dilukis

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 157.

Contoh 19 (m.s. 158): tangen sepunya dan kosinus

Dua bulatan berpusat A dan B berjejari 4 cm dan 3 cm yang bersentuhan; PQRS ialah tangen sepunya; AB ialah 7 cm dan sudut x di A

Dua bulatan bersentuhan di luar, jadi AB = 4 + 3 = 7 cm. Lukis garis mengufuk dari B ke AQ: panjang pada AQ ialah 4 − 3 = 1 cm.
kos x = 1 ÷ 7, maka x = kos⁻¹(1/7) = 81.79°.
(Panjang tangen QR = √(7² − 1²) = √48 = 6.93 cm.)

Contoh 20 (m.s. 158): tayar dan kayu

Tayar berpusat O berjejari 0.25 m; VY ialah jalan sebagai tangen di V; kayu WY sepanjang 1.2 m menyentuh tayar di W

Diameter tayar 50 cm, jadi jejari OW = 0.25 m dan WY = 1.2 m. VY dan WY ialah tangen dari Y.
(a) VY = WY = 1.2 m (dua tangen dari satu titik sama panjang).
(b) OY = √(1.2² + 0.25²) = √1.5025 = 1.23 m (2 t.p.).

(a) PA dan PB ialah tangen kepada bulatan berpusat O. ∠APB = 50°. Hitung ∠AOB.
(b) Jejari bulatan ialah 7 cm dan titik P berada 25 cm dari pusat. Hitung panjang tangen dari P.
(c) Satu tangen dan satu perentas membentuk sudut 38° pada titik ketangenan. Apakah sudut dalam tembereng selang-seli?

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

(a) ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 50° = 130°
(b) √(25² − 7²) = √576 = 24 cm
(c) 38°

6.4Sudut dan tangen bagi bulatan

Banyak masalah memerlukan dua atau tiga peraturan sekali gus. Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan. Lukis rajah, tandakan maklumat yang diberi dan beri sebab bagi setiap langkah.

Apa yang anda lihat	Peraturan yang digunakan
Dua sudut pada lilitan dicangkum oleh lengkok yang sama	Sama besar
Sudut pusat dan sudut pada lilitan dicangkum oleh lengkok yang sama	Sudut pusat = 2 × sudut pada lilitan
Diameter	Sudut pada lilitan = 90°
Empat bucu pada bulatan	Sudut bertentangan berjumlah 180°; sudut peluaran = sudut pedalaman bertentangan
Tangen dan jejari	Sudut = 90°
Dua tangen dari satu titik	Sama panjang; OA membahagi dua sama sudut
Tangen dan perentas	Sudut = sudut dalam tembereng selang-seli
Jejari OA dan OB	Segi tiga OAB sama kaki: sudut tapak sama

Contoh 21 (m.s. 160): dua takal

Dua takal berpusat O dan A digantung dari siling rata BC; BC ialah tangen di C dan B; sudut AOC 108 darjah; tali ADO; sudut ABD ialah x

Memahami masalah: BC ialah tangen di C dan B, maka ∠OCB = ∠ABC = 90°. ∠AOC = 108°. Cari x = ∠ABD.
Merancang strategi: jumlah sudut pedalaman sisi empat OCBA ialah 360°. AB dan AD ialah jejari, maka ∠ABD = ∠ADB.
Melaksanakan strategi: ∠OAB + 90° + 90° + 108° = 360°, maka ∠OAB = 72°. x = (180° − 72°) ÷ 2 = 54°.
Kesimpulan: x = 54°.

Jika dua cara memberi jawapan yang sama, anda boleh yakin. Dalam Contoh 21, ∠OAB = 72° juga datang daripada garis selari OC dan AB: 180° − 108° = 72° (dua sudut di antara garis selari, di sebelah yang sama bagi garis melintang, berjumlah 180°).

PA ialah tangen di A kepada bulatan berpusat O. B pada bulatan dan ∠PAB = 64°. Hitung ∠AOB dan ∠OAB.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

Sudut dalam tembereng selang-seli = 64°, maka ∠AOB = 2 × 64° = 128°.
∠OAB = 90° − 64° = 26° (semak: (180° − 128°) ÷ 2 = 26°)

Peta konsep Bab 6: bulatan mempunyai ciri-ciri sudut dalam bulatan, sisi empat kitaran dan tangen kepada bulatan — Peta konsep Bab 6.

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 165.