Matematik notesnota, bab 7

Pelan dan Dongakan

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), pageshalaman 168-197

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh melukis unjuran ortogon suatu objek pada satah mengufuk dan satah mencancang (7.1.1)
Saya boleh membandingkan dan membezakan antara objek dengan unjuran ortogon yang sepadan, dari segi panjang sisi dan saiz sudut (7.1.2)
Saya boleh melukis pelan dan dongakan suatu objek mengikut skala dengan garis padu, garis sempang dan garis binaan (7.2.1)
Saya boleh mensintesis pelan dan dongakan pada empat sukuan, kemudian melakar objek tiga dimensi (7.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan pelan, dongakan, isi padu dan nisbah (7.2.3)

Setiap bangunan di Putrajaya mempunyai keunikan tersendiri. Bangunan Berlian, Ibu Pejabat Suruhanjaya Tenaga di Putrajaya, kelihatan berbeza apabila dilihat dari pelbagai arah. Jurutera dan arkitek tidak melukis seluruh bangunan dalam satu gambar, tetapi melukis pelan (pandangan dari atas) dan dongakan (pandangan dari sisi). Dalam bab ini anda belajar melukis unjuran ortogon, melukis pelan dan dongakan mengikut skala, dan melakar semula objek tiga dimensi daripada lukisan itu.

Istilah	Maksud
unjuran ortogon	imej suatu objek pada satah, dengan garis unjuran berserenjang dengan satah
pelan	unjuran ortogon pada satah mengufuk, dilihat dari atas
dongakan	unjuran ortogon pada satah mencancang, dilihat dari depan atau sisi
normal kepada satah	garis lurus yang berserenjang dengan satah
garis padu, garis sempang	garis bagi sisi yang nampak, garis bagi sisi yang terlindung
sukuan	satu daripada empat bahagian kertas lukisan
skala penuh	ukuran sebenar

7.1Unjuran ortogon

Satah dan normal kepada satah

Satah ialah permukaan rata pada suatu objek. Terdapat tiga jenis satah: satah mengufuk (seperti lantai), satah mencancang (seperti dinding) dan satah condong (seperti bumbung yang senget).

Prisma berbentuk rumah dengan tapaknya ditanda satah mengufuk, dinding hujungnya satah mencancang dan bumbungnya satah condong — Sebuah prisma mempunyai ketiga-tiga jenis satah.

Normal kepada suatu satah ialah garis lurus yang berserenjang (bersudut tegak) dengan sebarang garis pada satah itu.

Contoh (seperti Contoh 2, m.s. 171): menamakan normal

Sebuah kuboid ABCDEFGH mempunyai tapak ABCD yang mengufuk dan E, F, G, H tepat di atas A, B, C, D. Normal kepada satah ABCD ialah EA, FB, GC dan HD (juga boleh ditulis AE, BF, CG dan DH). Normal kepada satah BCGF ialah AB, DC, EF dan HG.
Susunan huruf penting: huruf terakhir ialah titik normal itu bertemu satah. Contohnya, TS bermaksud garis TS berserenjang dengan satah pada titik S (m.s. 170).

Untuk mencari normal kepada suatu satah, cari sisi yang bertemu satah itu pada sudut tegak. Dalam kuboid, sisi yang tegak ialah normal kepada permukaan atas dan bawah.

Apakah unjuran ortogon?

Unjuran ortogon ialah imej yang terbentuk pada suatu satah apabila unjuran garis dari objek berserenjang dengan satah itu.

Garis PQ di atas satah mengufuk ABCD dengan normal PR dan QS bergaris sempang, dan RS ialah unjuran ortogon pada satah — PR dan QS ialah normal kepada satah ABCD. RS ialah unjuran ortogon bagi garis lurus PQ pada satah ABCD (Rajah 2, m.s. 171).

Bagi satu garis, lukis normal dari kedua-dua hujung ke satah, kemudian sambung dua titik kaki normal itu. Bagi pepejal, lakukan ini untuk setiap bucu dan sambung titik-titik itu mengikut susunan.

Segi empat tepat dengan dua garis sempang mengufuk berserenjang dengan satah mencancang — Garis unjuran ialah normal: unjuran ortogon.

Segi empat tepat dengan dua garis sempang condong ke satah mencancang — Garis unjuran condong: bukan unjuran ortogon.

Unjuran hanya ortogon jika garis unjuran ialah normal kepada satah. Garis condong masih membentuk bayang-bayang, tetapi bukan unjuran ortogon (Contoh 3, m.s. 172: jawapan (c) ialah bukan, kerana garis unjuran bukan normal).

Melukis unjuran ortogon

Kenal pasti jenis satah dan arah objek perlu diunjurkan.
Lukis garis normal dari semua bucu objek ke satah. Pastikan garis lurus dan tegak supaya panjang sisi unjuran sama seperti sisi objek.
Sambung titik-titik persilangan normal dengan satah untuk membentuk unjuran ortogon.
Lukis semula unjuran dengan ukuran sebenar dan labelkan bucu serta panjang sisi.

Susunan huruf mengikut arah pandangan. Jika titik D berada di bawah titik E apabila dipandang dari atas, label unjuran ditulis E/D (Contoh 4, m.s. 174).

Contoh (Contoh 5, m.s. 176): silinder

Silinder berdiameter 4 cm dan tinggi 6 cm terletak pada satah mengufuk. Lukis unjuran ortogonnya (a) pada satah mengufuk, dilihat dari arah Z (atas), (b) pada satah mencancang, dilihat dari arah Y (sisi).

Silinder tegak berdiameter 4 cm dan tinggi 6 cm

(a) Satu bulatan berdiameter 4 cm.
(b) Satu segi empat tepat selebar 4 cm dan setinggi 6 cm.

Sebuah kon berdiameter tapak 6 cm dan tinggi 4 cm terletak di atas tapaknya pada satah mengufuk. Apakah unjuran ortogonnya (a) pada satah mengufuk dilihat dari atas, (b) pada satah mencancang dilihat dari sisi?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) Satu bulatan berdiameter 6 cm dengan satu titik di tengah (puncak kon tepat di atas pusat tapak).
(b) Satu segi tiga sama kaki dengan tapak 6 cm dan tinggi 4 cm.

Membandingkan objek dengan unjuran ortogonnya

Panjang sisi dan saiz sudut pada unjuran ortogon suatu objek berbeza mengikut arah pandangan.

Sisi yang selari dengan satah unjuran mengekalkan panjang sebenar.
Sisi yang condong terhadap satah menjadi lebih pendek.
Sisi yang berserenjang dengan satah menjadi satu titik.
Sudut pada permukaan yang selari dengan satah kekal sama; sudut pada permukaan yang condong boleh berubah.

Kad sepanjang 5 cm dengan hujung atas 3 cm dari tanah dan unjurannya 4 cm — Kad 5 cm yang condong mempunyai unjuran hanya 4 cm (segi tiga 3, 4, 5).

Contoh (seperti Contoh 6, m.s. 181): prisma segi tiga

Sebuah prisma tegak mempunyai tapak segi empat tepat 6 cm kali 2 cm pada satah mengufuk, dan keratan rentas seragamnya ialah segi tiga bersudut tegak dengan sisi tegak 8 cm dan sisi mengufuk 6 cm.

Prisma tegak PQRSTU dengan tapak 6 cm kali 2 cm dan tinggi 8 cm

Pelan: segi empat tepat 6 cm kali 2 cm. Dongakan depan: segi tiga bersudut tegak 6 cm, 8 cm dan 10 cm. Dongakan sisi: segi empat tepat 2 cm kali 8 cm.

Dari arah Z, unjuran ialah segi empat tepat 6 cm kali 2 cm. Dari arah X, unjuran ialah segi tiga bersudut tegak dengan sisi 6 cm, 8 cm dan 10 cm (√(6² + 8²) = 10). Sisi condong sebenar 10 cm, tetapi pada pelan ia hanya 6 cm.

Jangan menganggap semua panjang dalam unjuran ialah panjang sebenar. Hanya sisi yang selari dengan satah dilukis dengan saiz sebenar.

Sebatang kayu 10 cm bersandar supaya hujung atasnya 8 cm dari tanah dan hujung bawahnya menyentuh tanah. Berapakah panjang unjuran ortogonnya pada tanah?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

√(10² − 8²) = √36 = 6 cm. Unjuran lebih pendek kerana kayu itu condong.

7.2Pelan dan dongakan

Unjuran ortogon pada satah mengufuk yang dilihat dari pandangan atas dikenali sebagai pelan. Unjuran ortogon pada satah mencancang yang dilihat dari pandangan sisi atau depan dikenali sebagai dongakan.

Lukisan unjuran ortogon yang memberi maklumat tepat berkaitan reka bentuk dan saiz suatu objek. Pelan dan dongakan dilukis mengikut skala; skala penuh bermaksud ukuran sebenar. Dalam buku teks, pelan dilihat dari arah Z (atas), dongakan depan dari arah X dan dongakan sisi dari arah Y.

Jenis garis

Tiga contoh garis: garis padu tebal bagi sisi yang nampak, garis sempang bagi sisi terlindung, garis padu halus bagi garis binaan

Garis padu tebal untuk sisi yang nampak. Garis sempang untuk sisi yang terlindung daripada pandangan mata. Garis padu halus untuk garis binaan.

Contoh bersama: prisma dengan satu sisi terlindung

Contoh (seperti Contoh 7, m.s. 183 dan 184)

Prisma tegak di bawah mempunyai tapak segi empat tepat ABCD pada satah mengufuk. ABHGF ialah keratan rentas seragam; AF dan BH tegak. Lukis dengan skala penuh (a) pelan, (b) dongakan dari arah X, (c) dongakan dari arah Y.

Prisma tegak ABHGF dengan AB 5 cm, BC 4 cm, AF 1.5 cm dan BH 5 cm

Pelan: segi empat tepat 5 cm kali 4 cm dengan satu garis padu pada 3 cm. Dongakan depan: pentagon dengan sisi kiri 1.5 cm dan sisi kanan 5 cm. Dongakan sisi: segi empat tepat 4 cm kali 5 cm dengan satu garis sempang pada 1.5 cm. — Pelan (bawah), dongakan depan (kanan atas) dan dongakan sisi (kiri atas), disusun pada empat sukuan.

Pelan dari Z: segi empat tepat 5 cm kali 4 cm. Garis di 3 cm ialah garis padu kerana sisi G ke J nampak dari atas.
Dongakan depan dari X: pentagon. Sisi kiri 1.5 cm, tapak 5 cm, sisi kanan 5 cm, bahagian atas mengufuk 3 cm, dan satu sisi condong.
Dongakan sisi dari Y: segi empat tepat 4 cm kali 5 cm. Garis pada 1.5 cm ialah garis sempang kerana ia terlindung di belakang dinding BH yang tinggi.

Terlupa sisi terlindung, atau melukisnya dengan garis padu. Sisi yang tidak nampak dari arah pandangan mesti ditunjukkan dengan garis sempang.

Susunan empat sukuan

Pelan, dongakan depan dan dongakan sisi boleh dilukis serentak pada sehelai kertas yang dibahagi kepada empat sukuan. Kedudukan dongakan depan sentiasa di bahagian atas pelan. Dongakan sisi dilukis di kiri atau kanan dongakan depan, mengikut arah pandangan.

Kaedah 1: pandangan sisi dari kanan. Lukis pelan di sukuan keempat. Unjurkan sisi pelan ke atas dengan garis halus untuk melukis dongakan depan di sukuan pertama (arah X).
Lukis garis 45° dari titik pusat ke sukuan ketiga. Unjurkan sisi pelan mengufuk ke garis 45°, kemudian ke atas. Unjurkan tinggi dongakan depan ke kiri dengan garis halus untuk melukis dongakan sisi di sukuan kedua (arah Y).
Kaedah 2: pandangan sisi dari kiri. Dongakan sisi dilukis di sukuan pertama (di kanan dongakan depan), pelan di sukuan ketiga, dan garis 45° di sukuan keempat.

Prisma yang sama dilukis dengan Kaedah 2: dongakan depan di kiri atas, dongakan sisi di kanan atas, pelan di kiri bawah dan garis 45 darjah di kanan bawah — Prisma Contoh 7 dilukis dengan Kaedah 2 (dongakan sisi dari kiri). Garis pada 1.5 cm kini garis padu kerana dinding kiri rendah dan sisi lain nampak di belakangnya.

Dalam Kaedah 1, dongakan sisi dari kanan terletak di kiri dongakan depan. Dalam Kaedah 2, dongakan sisi dari kiri terletak di kanan dongakan depan. Titik depan objek berada di kiri dalam dongakan dari kanan, dan di kanan dalam dongakan dari kiri.

Mensintesis pelan dan dongakan: melakar objek

Pelan dan dongakan yang dihubungkan antara satu dengan lain boleh digunakan untuk melakar bentuk tiga dimensi objek (Contoh 9 dan 10, m.s. 187 hingga 189).

Lakarkan ketiga-tiga unjuran ortogon pada satah yang berkaitan dengan ukuran sebenar.
Unjurkan permukaan supaya bertemu mengikut padanan huruf pada bucu.
Lakarkan objek dan labelkan bucu serta panjang sisi.

Contoh (kaedah seperti Contoh 9): blok bertangga

Pelan: segi empat tepat 6 cm kali 4 cm dengan dua garis tegak. Dongakan depan: tangga tiga langkah menurun ke kanan setinggi 3, 2 dan 1 cm. Dongakan sisi: segi empat tepat 4 cm kali 3 cm dengan garis pada 1 cm dan 2 cm.

Pelan menunjukkan tiga bahagian atas yang rata, setiap satu 2 cm lebar. Dongakan depan menunjukkan tinggi bahagian itu: 3 cm, 2 cm dan 1 cm. Dongakan sisi mempunyai garis pada 1 cm dan 2 cm, iaitu tinggi setiap anak tangga. Maka objek ialah blok tiga anak tangga, setiap satu lebar 2 cm dan dalam 4 cm.

Gunakan dongakan depan blok di atas untuk mengira isi padunya.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Luas dongakan depan = 2 × 3 + 2 × 2 + 2 × 1 = 12 cm². Isi padu = 12 × 4 = 48 cm³.

Menyelesaikan masalah

Gabungkan ukuran daripada pelan dan dongakan dengan rumus luas dan isi padu. Isi padu prisma = luas keratan rentas seragam × panjang. Isi padu silinder = πj²t, dan semi silinder separuh daripadanya.

Contoh (Contoh 11, m.s. 190)

Pelan, dongakan depan dan dongakan sisi suatu prisma tegak ditunjukkan di bawah.

Pelan: segi empat tepat 7 cm kali 5 cm dengan garis pada 2 cm dan 5 cm. Dongakan depan: segi empat tepat 7 cm lebar dengan takuk di atas. Dongakan sisi: segi empat tepat 5 cm kali 4 cm dengan garis sempang pada 2 cm.

Prisma tegak yang merupakan kuboid 7 cm kali 5 cm kali 4 cm dengan satu prisma trapezium dikeluarkan dari atas

Pada asalnya prisma itu kuboid 7 cm × 5 cm × 4 cm. Prisma tegak EFGHIJKL dengan keratan rentas trapezium (sisi selari 3 cm dan 5 cm, tinggi 2 cm, panjang 5 cm) telah dikeluarkan.
(a) Panjang sisi condong FG: √(2² + 2²) = √8 ≈ 2.8 cm.
(b) Isi padu yang dikeluarkan = ½ × 2 × (3 + 5) × 5 = 40 cm³.
(c) Isi padu prisma yang tinggal = 7 × 5 × 4 − 40 = 140 − 40 = 100 cm³.
(d) Nisbah isi padu dikeluarkan kepada prisma yang tinggal = 40 : 100 = 2 : 5.

Sisi condong dalam dongakan depan boleh dikira dengan teorem Pythagoras. Ia hanya mempunyai panjang sebenar dalam dongakan yang selari dengannya.

Pelan sebuah pepejal ialah segi empat tepat 9 cm kali 6 cm bercantum dengan bulatan berdiameter 7 cm. Kedua-duanya setinggi 5 cm. Hitung isi padu gabungan pepejal itu (guna π = 22/7).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Kuboid = 9 × 6 × 5 = 270 cm³. Silinder = 22/7 × 3.5² × 5 = 192.5 cm³. Jumlah = 270 + 192.5 = 462.5 cm³ (Mahir Diri 3, m.s. 193).