Matematik notesnota, bab 8

Lokus dalam Dua Dimensi

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), pageshalaman 198–223

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mengenal lokus dalam situasi kehidupan sebenar dan menerangkan maksud lokus (8.1.1)
Saya boleh memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu titik tetap (8.2.1)
Saya boleh memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua titik tetap (8.2.2)
Saya boleh memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu garis lurus (8.2.3)
Saya boleh memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang selari (8.2.4)
Saya boleh memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang bersilang (8.2.5)
Saya boleh menentukan lokus yang memenuhi dua atau lebih syarat (8.2.6)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan lokus (8.2.7)

Apabila pemain badminton melepaskan pukulan padu, bulu tangkis meninggalkan satu lintasan di udara. Tayar basikal yang berputar, roket yang dilancarkan dan bola yang ditendang juga meninggalkan lintasan. Lintasan itu dipanggil lokus. Pembina, jurutera dan juruterbang menggunakan lokus untuk meramal kedudukan sesuatu titik yang bergerak, atau untuk mencari tempat yang memenuhi syarat tertentu seperti “sama jauh dari dua buah rumah”. Dalam bab ini anda akan memerihal, melukis dan membina lokus, kemudian menggabungkan dua syarat untuk mencari titik yang memenuhi kedua-duanya.

Istilah	Maksud
lokus (lokus-lokus)	surihan atau lintasan satu set titik yang memenuhi syarat tertentu
berjarak sama	jaraknya sama dari dua perkara
bulatan, lengkok, lengkung	bentuk-bentuk lokus yang tidak lurus
pembahagi dua sama serenjang	garis yang membahagi dua sama sesuatu garis lurus pada sudut 90°
pembahagi dua sama sudut	garis yang membahagi dua sama besar sesuatu sudut
persilangan	titik tempat dua lokus bertemu

8.1Lokus

Lokus ialah satu surihan atau lintasan oleh satu set titik dalam satu satah atau ruang tiga dimensi yang memenuhi syarat-syarat tertentu.

Basikal dengan pelekat merah jambu pada tepi hadapan tayar belakang — Pelekat pada tayar basikal: apabila basikal dikayuh, pelekat itu menghasilkan satu bulatan.

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 200.

Dalam dua dimensi, bentuk lokus boleh dilihat dalam bentuk garis lurus, lengkok dan lengkung (Cetusan Minda 1, m.s. 201).

Titik yang bergerak	Bentuk lokus
Buah durian atau kelapa yang gugur dari pokok; roket yang dilancarkan ke atas	garis lurus
Titik pada sayap kipas yang berputar; pelekat pada tayar	bulatan
Hujung pengelap cermin kereta	lengkok (sebahagian daripada bulatan)
Bola yang ditendang oleh penjaga gol, bola yang dijaringkan	lengkung

Contoh 1 (m.s. 202): titik C pada sayap kipas

Titik C dilukis pada satu sayap kipas yang sedang berputar. C sentiasa sama jauh dari pusat kipas, jadi lokus C berbentuk bulatan.

Kipas siling dengan titik C pada hujung satu sayap — Titik C pada sayap kipas bergerak membentuk bulatan.

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 202.

Untuk menentukan lokus, tanya dua soalan: titik itu bergerak mengelilingi apa? (satu titik tetap, satu garis) dan apa yang tidak berubah? (jaraknya dari benda itu).

Nyatakan lokus bagi satu titik pada (a) sebiji bola yang berguling di sepanjang satah condong, (b) bandul yang berayun, (c) sebiji kelapa yang jatuh dari pokok. (Uji Minda 8.1a)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) Garis lurus yang selari dengan satah condong. (b) Lengkung (lengkok). (c) Garis lurus mencancang.

Lokus dalam tiga dimensi

Apabila satu bentuk dua dimensi yang bercantum pada sebatang tiang diputarkan 360° mengelilingi tiang itu, ia menghasilkan satu bentuk tiga dimensi. Tiang itu menjadi paksi bentuk tersebut.

Segi empat tepat menjadi silinder, segi tiga bersudut tegak menjadi kon, semi bulatan menjadi sfera apabila diputarkan 360 darjah mengelilingi tiang MN — Contoh 2 dan 3 (m.s. 203); kon ditambah. Sisi yang terletak pada tiang tidak bergerak.

Bentuk dua dimensi	Diputarkan 360° mengelilingi tiang
Segi empat tepat (satu sisi pada tiang)	Silinder tegak
Segi tiga bersudut tegak (satu sisi tegak pada tiang)	Kon
Semi bulatan (diameter pada tiang)	Sfera
Satu perempat bulatan (satu jejari pada tiang)	Hemisfera
Trapezium bersudut tegak (sisi tegak pada tiang)	Frustum

Bentuk dua dimensi mesti bersentuhan dengan tiang di sepanjang satu sisi. Semi bulatan yang diputarkan mengelilingi diameternya menghasilkan sfera penuh, bukan separuh sfera.

Bentuk tiga dimensi apakah yang terhasil apabila segi tiga bersudut tegak diputarkan 360° mengelilingi salah satu sisi yang membentuk sudut tegak? (Uji Minda 8.1b)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Kon. Sisi pada tiang menjadi tinggi kon dan sisi yang satu lagi menjadi jejari tapaknya.

8.2Lokus dalam dua dimensi

Terdapat lima lokus asas. Setiap satu mempunyai syarat, bentuk dan cara melukisnya.

1. Berjarak tetap dari satu titik tetap

Lokus bagi suatu titik yang berjarak tetap dari satu titik tetap ialah sebuah bulatan yang berpusat di titik tetap itu. Jarak tetap itu ialah jejarinya.

Bulatan berjejari 3 cm berpusat di O dengan lima titik pada bulatan dan garis putus-putus sama panjang ke O — Setiap titik pada bulatan berjarak 3 cm dari O.

Contoh 4 (m.s. 205): bina lokus bagi titik P yang sentiasa berjarak 3 cm dari titik tetap O

Tandakan titik O.
Ukur 3 cm untuk bukaan jangka lukis.
Bina bulatan berjejari 3 cm yang berpusat pada titik O. Bulatan itu ialah lokus P.

Jarak 3 cm ialah jejari bulatan, bukan diameternya.

2. Berjarak sama dari dua titik tetap

Lokus bagi suatu titik yang berjarak sama dari dua titik tetap ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang menyambungkan dua titik tetap itu.

Titik P dan Q dengan garis tegak melalui titik tengah PQ; tiga titik pada garis itu disambung ke P dan Q dengan garis putus-putus sama panjang — Setiap titik pada lokus sama jauh dari P dan dari Q.

Contoh 5 (m.s. 207): bina lokus bagi titik P yang berjarak sama dari M dan N

Tandakan dua lengkok kecil dengan bukaan jangka lukis lebih separuh daripada panjang MN dari titik M (satu di atas, satu di bawah).
Dengan bukaan yang sama, tandakan persilangan lengkok dari titik N.
Sambungkan dua titik persilangan dengan garis lurus. Garis itu ialah lokus.

Titik M dan N disambung garis putus-putus; garis lurus tegak melalui titik tengahnya dilabel Lokus dengan tanda sudut tegak — Lokus titik yang berjarak sama dari M dan N (Contoh 5).

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 207.

Jika bukaan jangka lukis separuh daripada MN atau kurang, lengkok dari M dan dari N tidak bersilang, jadi garis lokus tidak dapat ditentukan.

Contoh 6 (m.s. 207–208): segi tiga sama sisi PQR

Lokus titik X yang berjarak sama dari P dan R ialah pembahagi dua sama serenjang bagi PR. Dalam segi tiga sama sisi, garis ini melalui Q juga.

3. Berjarak tetap dari satu garis lurus

Lokus bagi suatu titik yang berjarak tetap dari satu garis lurus ialah sepasang garis lurus yang selari dengan garis lurus itu, satu di setiap sisi, pada jarak yang diberikan.

Garis AB pada grid dengan dua garis jingga yang selari dengan AB, tiga petak di atas dan tiga petak di bawah — Contoh 7 (m.s. 209): X sentiasa 3 unit dari AB, maka lokusnya ialah dua garis jingga.

Contoh dari Uji Minda 8.2a (m.s. 213): trek larian

Seorang olahragawan berlatih dengan berlari selang dua lorong dari lorong 4. Lorong 4 ialah satu garis; dua lorong di kedua-dua sisi dilangkau, jadi lokusnya ialah lorong 1 dan lorong 7: sepasang garis selari dengan lorong 4.

“Sepasang” bermaksud dua garis. Jangan lukis hanya satu garis di satu sisi.

4. Berjarak sama dari dua garis lurus yang selari

Lokus bagi suatu titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang selari ialah satu garis lurus yang selari dengan kedua-duanya dan melalui titik tengah pasangan garis selari itu.

Dua garis selari PQ dan MN dengan garis jingga di tengah-tengah; dua pasang jarak sama ditanda — Lokus berjarak sama dari PQ dan dari MN.

Contoh 8 (m.s. 210): segi empat tepat ABCD

Lokus X yang berjarak sama dari AB dan DC ialah garis yang selari dengan AB dan DC serta berjarak 3 unit dari kedua-duanya (jarak AB ke DC ialah 6 unit pada grid buku teks).

5. Berjarak sama dari dua garis lurus yang bersilang

Lokus bagi suatu titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang bersilang ialah pembahagi dua sama sudut bagi garis-garis tersebut.

Garis PQ dan PR bertemu di P dengan pembahagi sudut jingga; titik X pada pembahagi mempunyai jarak serenjang sama ke kedua-dua garis — Setiap setengah sudut sama besar, maka setiap titik pada pembahagi sama jauh dari PQ dan PR.

Cetusan Minda 8 (m.s. 210–211) menunjukkan hal ini pada satah Cartes. Pasangan koordinat bernilai sama seperti (0, 0), (−2, −2) dan (4, 4) terletak pada satu garis lurus. Garis itu membahagi dua sama sudut 90° antara paksi-x dengan paksi-y, jadi ∠a = ∠b = ∠c = ∠d = 45°.

Satah Cartes dengan garis yang menyambungkan titik-titik bernilai sama dan dua sudut 45 darjah di sebelah paksi — Garis yang menyambungkan pasangan koordinat bernilai sama membahagi dua sama sudut antara paksi.

Contoh 9 (m.s. 211): bina lokus bagi titik X yang berjarak sama dari PQ dan PN yang bersilang di P

Dengan jangka lukis berpusat di P, tandakan satu lengkok yang memotong PQ dan PN masing-masing di A₁ dan A₂.
Dari A₁ dan A₂, dengan bukaan yang sama, bina dua lengkok yang bersilang.
Lukis garis lurus yang menyambungkan titik persilangan itu dengan P. Garis itu ialah lokus X.

Garis PQ dan PN bertemu di P; lengkok memotong di A1 dan A2; garis dari P ke persilangan lengkok dilabel Lokus X — Pembinaan pembahagi dua sama sudut (Contoh 9).

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 211.

Semakan: jika ∠QPR = 70°, pembahagi sudut membuat sudut 35° dengan setiap garis. Dalam Contoh 10 (m.s. 212), lokus Y yang berjarak sama dari AB dan AD pada segi empat sama ABCD ialah pembahagi dua sama ∠BAD, iaitu pepenjuru AC.

Segi empat sama ABCD bersisi 8 unit, dengan E, G titik tengah AB, DC dan H, F titik tengah AD, BC. Dengan menggunakan huruf dalam rajah, nyatakan lokus bagi (a) R yang sentiasa 4 unit dari garis BC, (b) S yang sentiasa berjarak sama dari garis AB dan BC. (Uji Minda 8.2a)

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) EG, garis yang selari dengan BC dan berjarak 4 unit dari BC. (b) BD, iaitu pembahagi dua sama ∠ABC.

Memenuhi dua atau lebih syarat

Kadangkala satu titik mesti memenuhi dua syarat serentak. Lukis setiap lokus pada satu rajah yang sama. Titik tempat lokus-lokus itu bersilang memenuhi semua syarat. Tandakan setiap persilangan dengan simbol ⊗.

Simbol	Maksud bagi titik X dan titik tetap A
AX = 3 cm	X berada pada bulatan berjejari 3 cm
AX < 3 cm	X berada di dalam bulatan
AX > 3 cm	X berada di luar bulatan

Contoh 11 (m.s. 214): dua lokus dalam segi empat sama ABCD

ABCD ialah segi empat sama pada grid segi empat sama bersisi 1 unit. Titik X sentiasa 7 unit dari A dan titik Y sentiasa berjarak sama dari garis AB dan CD. Lokus X ialah satu lengkok berjejari 7 unit berpusat di A. Lokus Y ialah garis lurus yang selari dengan AB dan CD di tengah-tengahnya. Lengkok dan garis itu bersilang di titik yang ditandakan ⊗.
Semakan dengan pengiraan (sisi 8 unit): titik itu 4 unit dari AB dan 7 unit dari A, jadi jaraknya dari AD ialah √(7² − 4²) = √33 ≈ 5.7 unit.

Segi empat sama ABCD pada grid dengan lengkok lokus X, garis lurus lokus Y dan persilangan ditanda dengan simbol silang dalam bulatan

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 214.

Contoh 12 (m.s. 214–215): empat segi empat sama digabungkan

Empat segi empat sama bersisi 2 cm membentuk segi empat sama PRTV dengan M di tengah. Lokus X yang sentiasa 2 cm dari M ialah bulatan berjejari 2 cm berpusat di M. Lokus Y yang berjarak sama dari garis PR dan PV ialah pembahagi sudut RPV, iaitu pepenjuru PT. Bulatan dan pepenjuru bersilang pada dua titik.

Segi empat sama PRTV dengan bulatan berpusat di M dan pepenjuru PT; dua persilangan ditanda dengan simbol silang dalam bulatan

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 215.

Gunakan pensel dengan ringan untuk garis kerja. Lukis setiap lokus sepenuhnya dalam bentuk yang diberikan, kemudian tandakan hanya titik yang berada pada kedua-dua lokus.

Pada satah Cartes, titik F sentiasa berjarak 3 unit dari paksi-x dan titik G sentiasa berjarak 4 unit dari asalan O (Uji Minda 8.2b, no. 3). Terangkan lokus F dan G dan kirakan koordinat-x bagi persilangan di sebelah kanan paksi-y.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Lokus F ialah garis y = 3 (dan y = −3 jika paksi diteruskan); lokus G ialah bulatan (lengkok dalam grid) berjejari 4 unit berpusat di O. Pada y = 3, x = √(4² − 3²) = √7 ≈ 2.65.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan lokus

Gunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan.

Contoh 13 (m.s. 216–217): di manakah klinik hendak dibina?

Sebuah klinik akan dibina di sebuah kampung. Klinik itu mesti berjarak sama dari rumah P dan rumah Q, serta berjarak 600 meter dari jalan raya AB (skala 1 cm = 600 m).

Memahami masalah: sama jauh dari P dan Q bermakna pembahagi dua sama serenjang PQ. Jarak 600 m dari jalan raya bermakna 1 cm pada peta, jadi ada dua garis lurus yang selari dengan AB.
Merancang strategi: lukis dengan jangka lukis dan pembaris.
Melaksanakan strategi: lukis kedua-dua lokus pada peta. Pembahagi dua sama serenjang memotong dua garis selari di dua titik.
Membuat kesimpulan: dua kedudukan yang ditanda dengan ⊗ memenuhi syarat untuk membina klinik.

Peta dengan rumah P dan Q, jalan raya AB, pembahagi dua sama serenjang PQ dan dua garis 600 m dari jalan; dua persilangan ditanda sebagai kedudukan klinik — Dua titik persilangan ialah kedudukan klinik yang mungkin.

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), m.s. 217.

Jangan lupa bahawa sepasang garis selari bermaksud dua garis. Kira setiap persilangan yang berada dalam kawasan yang dibenarkan.

Skala peta ialah 1 cm kepada 200 m. Sebuah kedai mesti 400 m dari jalan lurus. Berapakah jarak kedai itu dari jalan pada peta?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

400 m ÷ 200 m setiap cm = 2 cm, di salah satu sisi jalan.

Cabaran Dinamis dan Masteri Kendiri

Soalan KBAT bab ini memerlukan anda menggabungkan beberapa lokus pada satu rajah, sering dalam bentuk seperti segi tiga sama sisi, pentagon sekata atau rombus, dan menyatakan kawasan berdasarkan ketaksamaan seperti XS < 4 cm dan XQ > 4 cm.

Dalam rajah Mahir Diri no. 1 (m.s. 219), X berjarak sama dari titik Q (tengah PR) dan titik C (tengah DT) pada segi empat sama pada grid, dan A, B, S terletak pada garis tengah. Nyatakan lokus X dengan huruf.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Lokus X ialah pembahagi dua sama serenjang bagi QC, iaitu garis ABS (jawapan buku, m.s. 260).

Dalam Masteri Kendiri no. 2 (m.s. 220), empat lengkok bulatan berjejari 4 cm berpusat di P, Q, R dan S membahagikan rajah kepada kawasan I hingga V. Kedudukan Z memenuhi ZP < 4 cm, ZQ < 4 cm, ZR < 4 cm dan ZS < 4 cm. Di kawasan manakah Z berada?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Kawasan III, iaitu bahagian tengah yang berada dalam keempat-empat bulatan (jawapan buku, m.s. 260).

Dalam Jelajah Matematik (m.s. 223), dua batang paku dipacak pada kertas dan tali diikat pada kedua-duanya. Apabila pensel menegangkan tali itu dan bergerak, ia melukis elips. Dua paku itu dipanggil fokus. Elips juga lokus: jumlah jarak titik pada elips dari dua fokus sentiasa sama kerana panjang tali tetap.

Peta konsep

Syarat bagi titik yang bergerak	Lokus	Cara melukis
Berjarak tetap dari satu titik tetap	Bulatan (pusat ialah titik tetap itu)	Jangka lukis dibuka sama dengan jarak itu
Berjarak sama dari dua titik tetap	Pembahagi dua sama serenjang bagi garis yang menyambungkannya	Lengkok sama dari kedua-dua hujung, bukaan lebih separuh
Berjarak tetap dari satu garis lurus	Sepasang garis lurus yang selari	Ukur jarak itu di kedua-dua sisi
Berjarak sama dari dua garis lurus yang selari	Satu garis lurus yang selari di tengah-tengah	Tandakan titik tengah dan lukis selari
Berjarak sama dari dua garis lurus yang bersilang	Pembahagi dua sama sudut	Lengkok dari bucu, kemudian lengkok sama dari dua titik pada garis
Dua atau lebih syarat	Titik persilangan lokus-lokus itu	Lukis semua lokus pada satu rajah, tanda ⊗

Standard pembelajaran

Kod	Anda boleh
8.1.1	mengenal lokus dalam situasi kehidupan sebenar dan menerangkan maksud lokus
8.2.1	memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu titik tetap
8.2.2	memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua titik tetap
8.2.3	memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak tetap dari satu garis lurus
8.2.4	memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang selari
8.2.5	memerihalkan lokus bagi titik yang berjarak sama dari dua garis lurus yang bersilang
8.2.6	menentukan lokus yang memenuhi dua atau lebih syarat
8.2.7	menyelesaikan masalah yang melibatkan lokus

Kandungan dan contoh mengikut buku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), Bab 8, m.s. 198–223.