Matematik notesnota, bab 9
Garis Lurus
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 3 (KSSM), pageshalaman 224–251
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh membuat perkaitan antara persamaan y = mx + c dengan kecerunan dan pintasan-y, dan menerangkan garis lurus yang selari dengan paksi-x dan paksi-y (9.1.1)
- Saya boleh mentafsir persamaan garis lurus dalam bentuk ax + by = c dan x/a + y/b = 1, dan menukarkannya kepada bentuk y = mx + c dan sebaliknya (9.1.2)
- Saya boleh menentukan sama ada suatu titik terletak pada suatu garis lurus dengan menggantikan koordinatnya ke dalam persamaan garis lurus (9.1.3)
- Saya boleh menunjukkan bahawa garis lurus yang mempunyai kecerunan yang sama adalah selari, dan menggunakannya untuk mencari nilai yang tidak diketahui (9.1.4)
- Saya boleh menentukan persamaan suatu garis lurus daripada kecerunan dan satu titik, daripada dua titik, atau apabila garis itu selari dengan garis lurus yang diberi (9.1.5)
- Saya boleh menentukan titik persilangan bagi dua garis lurus dengan kaedah graf, kaedah penggantian dan kaedah penghapusan (9.1.6)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan garis lurus, termasuk segi empat selari dan trapezium pada satah Cartes (9.1.7)
Biasanya setiap bangunan dibina secara menegak, tetapi Menara Jam Condong Teluk Intan yang dibina pada tahun 1885 menjadi condong kerana struktur tanah di bawahnya. Tepi menara yang condong itu ialah gambaran yang baik bagi garis lurus yang mempunyai kecerunan. Konsep garis lurus digunakan dalam bidang kejuruteraan, seni bina, pembinaan, pemetaan, sains dan sukan. Dalam bab ini anda akan menerangkan suatu garis lurus dengan persamaan, dan menggunakan persamaan itu untuk mencari kecerunan, pintasan, titik pada garis, garis selari dan titik persilangan dua garis.
Rujukan: Matematik Tingkatan 3 (KSSM), Bab 9, m.s. 224–251. Contoh dan jawapan diikuti daripada buku teks dan bahagian Jawapan (m.s. 252–261).
| Bahasa Melayu | English |
|---|---|
| garis lurus, garis selari | straight line, parallel line |
| jarak mencancang, jarak mengufuk | vertical distance, horizontal distance |
| kecerunan | gradient |
| paksi, pintasan | axis, intercept |
| persamaan serentak | simultaneous equation |
| titik persilangan | intersection point |
Standard Pembelajaran (9.1). Murid boleh: membuat perkaitan antara persamaan y = mx + c dengan kecerunan dan pintasan-y (9.1.1); mentafsir persamaan garis lurus dalam bentuk ax + by = c dan xa + yb = 1 serta menukarkannya kepada y = mx + c dan sebaliknya (9.1.2); membuat inferens tentang hubungan antara titik pada garis lurus dengan persamaan garis itu (9.1.3); membuat inferens tentang kecerunan garis selari (9.1.4); menentukan persamaan suatu garis lurus (9.1.5); menentukan titik persilangan bagi dua garis lurus (9.1.6); menyelesaikan masalah yang melibatkan garis lurus (9.1.7).
9.1Garis Lurus
Persamaan garis lurus y = mx + c (9.1.1)
Di Tingkatan 2, anda melukis graf fungsi linear dan fungsi bukan linear dengan membina jadual nilai. Graf bagi fungsi linear ialah garis lurus; graf fungsi bukan linear (lengkung seperti parabola atau graf salingan) bukan garis lurus. Hasil Cetusan Minda 1 ialah rumusan berikut.
Bagi garis lurus dengan persamaan y = mx + c, m ialah kecerunan (pekali bagi x) dan c ialah pintasan-y (nilai y apabila garis itu memotong paksi-y, iaitu apabila x = 0).
| Nilai m | Bentuk garis lurus |
|---|---|
| m > 0 | condong ke atas dari kiri ke kanan |
| m < 0 | condong ke bawah dari kiri ke kanan |
| m = 0 | mengufuk, selari dengan paksi-x (y = k) |
Contoh 1 (m.s. 229): kecerunan dan pintasan-y
Tentukan kecerunan dan pintasan-y bagi (a) y = 2x + 9 (b) 3y = −2x + 12.Penyelesaian:
(a) Bandingkan y = 2x + 9 dengan y = mx + c: m = 2 dan c = 9. Maka, kecerunan = 2 dan pintasan-y = 9.
(b) Pekali y mesti +1, maka bahagikan setiap sebutan dengan 3: y = −23x + 4.
Maka, kecerunan = −23 dan pintasan-y = 4.
Jadikan pekali y sama dengan +1 sebelum membaca m dan c. Dalam 3y = −2x + 12, kecerunan bukan −2 dan pintasan-y bukan 12.
Garis lurus yang melalui asalan mempunyai pintasan-y = 0, maka persamaannya y = mx. Contohnya, y = x berkecerunan 1 dan y = −x berkecerunan −1.
Garis lurus yang selari dengan paksi-x dan paksi-y
Graf y = k ialah garis lurus yang selari dengan paksi-x dan sentiasa berjarak k unit daripada paksi-x. Graf x = h ialah garis lurus yang selari dengan paksi-y dan sentiasa berjarak h unit daripada paksi-y.
Contoh 2 (m.s. 229): nilai h
Garis mengufuk melalui (−2, 6), (0, 6) dan P(3, 6). Setiap titik mempunyai y = 6, maka garisnya y = h dengan h = 6 kerana garis itu sentiasa berjarak 6 unit daripada paksi-x.Garis mencancang melalui (4, 0), (4, 4) dan P(4, 8). Setiap titik mempunyai x = 4, maka garisnya x = h dengan h = 4 kerana garis itu sentiasa berjarak 4 unit daripada paksi-y.
Garis mengufuk berkecerunan 0. Garis mencancang mempunyai kecerunan tak tertakrif (jarak mengufuk ialah 0 dan kita tidak boleh membahagi dengan 0), maka ia tidak boleh ditulis sebagai y = mx + c.
Uji Minda 9.1a. (a) Nyatakan kecerunan dan pintasan-y bagi y = −x + 4, 2y = 8x + 6 dan 3y = −x + 18. (b) Tulis persamaan garis lurus yang selari dengan paksi-x dan melalui (5, −3), dan yang selari dengan paksi-y dan melalui (−2, 7).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) y = −x + 4: m = −1, c = 4. 2y = 8x + 6 memberi y = 4x + 3: m = 4, c = 3. 3y = −x + 18 memberi y = −13x + 6: m = −13, c = 6.
(b) y = −3 dan x = −2.
(b) y = −3 dan x = −2.
Bentuk lain persamaan garis lurus (9.1.2)
Garis lurus yang sama boleh ditulis dalam tiga bentuk (Cetusan Minda 3).
| Bentuk | Apa yang boleh dibaca |
|---|---|
| y = mx + c | kecerunan m, pintasan-y c |
| ax + by = c | cari pintasan dengan x = 0 atau y = 0 |
| xa + yb = 1 (a ≠ 0, b ≠ 0) | pintasan-x ialah a, pintasan-y ialah b |
Pintasan-x ialah nilai x apabila garis memotong paksi-x (gantikan y = 0). Pintasan-y ialah nilai y apabila garis memotong paksi-y (gantikan x = 0). Kecerunan, m = −pintasan-ypintasan-x.
Contoh 3 (m.s. 231–232): daripada ax + by = c
Tukarkan (a) 2x + 3y = 12 dan (b) 3x − 5y = 15 kepada bentuk xa + yb = 1 dan y = mx + c.Penyelesaian:
(a) Bentuk xa + yb = 1: bahagikan dengan 12 supaya sebelah kanan menjadi 1: 2x12 + 3y12 = 1, iaitu x6 + y4 = 1.
Bentuk y = mx + c: 3y = −2x + 12, bahagikan dengan 3: y = −23x + 4.
(b) Bahagikan dengan 15: 3x15 − 5y15 = 1, iaitu x5 − y3 = 1.
Bentuk y = mx + c: −5y = −3x + 15, bahagikan dengan (−5): y = 35x − 3.
Contoh 4 (m.s. 232): daripada xa + yb = 1
Tukarkan (a) x6 + y3 = 1 dan (b) −x2 + y4 = 1 kepada bentuk ax + by = c dan y = mx + c.Penyelesaian:
(a) Darabkan dengan 6 (sama penyebut): x + 2y = 6. Maka 2y = −x + 6 dan y = −12x + 3.
(b) Darabkan dengan 4: −2x + y = 4. Maka y = 2x + 4.
Contoh 5 (m.s. 232): daripada y = mx + c
Tukarkan (a) y = −2x + 8 dan (b) y = 3x + 6 kepada bentuk ax + by = c dan xa + yb = 1.Penyelesaian:
(a) 2x + y = 8. Bahagikan dengan 8: x4 + y8 = 1.
(b) −3x + y = 6. Bahagikan dengan 6: −x2 + y6 = 1.
Dalam −x2 + y6 = 1, pintasan-x ialah −2 (bukan 2) kerana tanda negatif ialah sebahagian daripada a. Pintasan-x garis y = 3x + 6 memang −2 (0 = 3x + 6).
Untuk melukis garis daripada ax + by = c, cari dua pintasan (x = 0, kemudian y = 0) dan sambungkannya. Titik ketiga membantu menyemak.
Uji Minda 9.1b. (a) Tulis 3x − 4y = 24 dalam bentuk xa + yb = 1 dan y = mx + c. (b) Tulis −x3 + y6 = 1 dalam bentuk ax + by = c dan y = mx + c.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) x8 − y6 = 1; y = 34x − 6.
(b) −2x + y = 6; y = 2x + 6.
(b) −2x + y = 6; y = 2x + 6.
Titik pada garis lurus (9.1.3)
Titik yang terletak pada suatu garis lurus memenuhi persamaan garis itu: apabila koordinat-x dan koordinat-y digantikan, sebelah kiri sama dengan sebelah kanan. Titik yang tidak terletak pada garis tidak memenuhi persamaannya.
Contoh 6 (m.s. 234): adakah titik P terletak pada garis?
(a) y = 3x + 2, P(2, 8): kiri = 8; kanan = 3(2) + 2 = 8. Sama, maka P terletak pada garis.(b) 3x − 2y = 12, P(−4, 2): kiri = 3(−4) − 2(2) = −16 ≠ 12. Tidak sama, maka P tidak terletak pada garis.
(c) x3 + y2 = 1, P(6, −2): kiri = 63 + −22 = 2 − 1 = 1. Sama, maka P terletak pada garis.
(d) 2y = −5x − 7, P(4, 3): kiri = 2(3) = 6; kanan = −5(4) − 7 = −27. Tidak sama, maka P tidak terletak pada garis.
Contoh 7 (m.s. 235): mencari nilai yang tidak diketahui
Garis lurus 3x + 5y = 15 melalui titik (h, 0), (0, k) dan P(2, q). Tentukan h, k, q dan kecerunan garis.Penyelesaian: h ialah pintasan-x, maka y = 0: 3h = 15, h = 5. k ialah pintasan-y, maka x = 0: 5k = 15, k = 3. Bagi P(2, q): 3(2) + 5q = 15, 5q = 9, q = 95. Kecerunan = −pintasan-ypintasan-x = −35.
Pada paksi-x, koordinat-y ialah sifar. Pada paksi-y, koordinat-x ialah sifar.
Uji Minda 9.1c. Adakah M(−4, 3), N(1, 18) dan P(−8, 0) terletak pada garis lurus y = 2x + 16?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
M: 2(−4) + 16 = 8 ≠ 3, tidak. N: 2(1) + 16 = 18, ya. P: 2(−8) + 16 = 0, ya.
Kecerunan garis selari (9.1.4)
Dalam Cetusan Minda 4, garis y = 2x + 4, y = 2x + 2, y = 2x, y = 2x − 2 dan y = 2x − 4 mempunyai kecerunan 2 yang sama. Sudut condongnya dengan paksi-x juga sama: tan θ = 21, maka θ = 63.43°. Sudut sepadan yang sama bermakna garis itu selari.
Garis lurus yang mempunyai kecerunan yang sama adalah selari. Dua garis selari tidak bersilang. Untuk membandingkan kecerunan, tukarkan kedua-dua persamaan kepada bentuk y = mx + c.
Contoh 8 dan 9 (m.s. 237–238): adakah dua garis selari?
(a) y = 3x + 5 dan 6x − 2y = 9. Kecerunan pertama = 3. Daripada 6x − 2y = 9: −2y = −6x + 9, y = 3x − 92, kecerunan = 3. Sama, maka garis itu selari.(b) y = 3x + 8 dan 6y = 3x − 9. Kecerunan pertama = 3. Kedua: y = 12x − 32, kecerunan = 12. Tidak sama, maka garis itu tidak selari.
Contoh 10 (m.s. 238): mencari nilai h
Garis lurus 4x + 3y = 18 selari dengan garis lurus 2x + hy = 20. Hitung h.Penyelesaian: 4x + 3y = 18 memberi y = −43x + 6, kecerunan −43. 2x + hy = 20 memberi y = −2hx + 20h, kecerunan −2h. Garis selari, maka −43 = −2h, 4h = 6, h = 32.
Jangan bandingkan pekali x terus. Dalam 6x − 2y = 9 pekali x ialah 6, tetapi kecerunan ialah 3.
Uji Minda 9.1d. (a) Adakah 3y = −6x + 3 dan y + 2x = 14 selari? (b) Garis y = −3x + 4 selari dengan y + kx = 14. Cari k.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 3y = −6x + 3 memberi y = −2x + 1, m = −2. y + 2x = 14 memberi y = −2x + 14, m = −2. Sama, maka selari.
(b) y = −kx + 14 dan kecerunan −k = −3, maka k = 3.
(b) y = −kx + 14 dan kecerunan −k = −3, maka k = 3.
Menentukan persamaan garis lurus (9.1.5)
Persamaan y = mx + c ditentukan dengan empat langkah: (1) tentukan kecerunan m; (2) tentukan satu titik pada garis; (3) gantikan m, koordinat-x dan koordinat-y titik itu ke dalam y = mx + c untuk mendapat c; (4) tulis semula y = mx + c dengan m dan c yang diperoleh.
Kecerunan dan satu titik diberi
Contoh 11 (m.s. 239)
Tentukan persamaan garis lurus berkecerunan 12 dan melalui P(6, 8).Penyelesaian: m = 12, x = 6, y = 8. Maka 8 = 12(6) + c, 8 = 3 + c, c = 5. Persamaan garis ialah y = 12x + 5.
Dua titik diberi
Kecerunan garis yang melalui (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) ialah m = y₂ − y₁x₂ − x₁. Kemudian gunakan salah satu titik untuk mencari c.
Contoh 12 (m.s. 240)
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui P(−1, 5) dan Q(2, −7).Penyelesaian: m = −7 − 52 − (−1) = −123 = −4. Bagi P(−1, 5): 5 = (−4)(−1) + c, 5 = 4 + c, c = 1. Persamaan garis ialah y = −4x + 1. (Semak dengan Q: −4(2) + 1 = −7.)
Contoh 13 (m.s. 240): garis yang selari dengan paksi
PQ melalui M(0, 4) dan A(2, 4): m = 4 − 42 − 0 = 0 dan pintasan-y = 4, maka PQ ialah y = 4.RS melalui A(2, 4) dan N(2, 0): m = 4 − 02 − 2 = 40, tak tertakrif. RS sentiasa berjarak 2 unit daripada paksi-y, maka RS ialah x = 2.
Satu titik diberi dan selari dengan garis lain
Jika dua garis selari, kecerunannya sama.
Contoh 14 dan 15 (m.s. 241)
(a) Tentukan persamaan garis yang selari dengan AB: y = −2x + 6 dan melalui P(5, 4). Kecerunan = −2. 4 = (−2)(5) + c, c = 14. Persamaan: y = −2x + 14.(b) Tentukan persamaan garis yang selari dengan 2x + 3y = 12 dan melalui G(6, 8). Daripada 3y = −2x + 12: y = −23x + 4, kecerunan −23. 8 = (−23)(6) + c, 8 = −4 + c, c = 12. Persamaan: y = −23x + 12.
Uji Minda 9.1e hingga 9.1g. (a) Kecerunan 2 dan melalui P(3, 7). (b) Melalui K(0, 2) dan L(6, 0). (c) Selari dengan y = 3x + 9 dan melalui P(2, 7). Tentukan persamaan garis lurus bagi setiap satu.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 7 = 2(3) + c, c = 1: y = 2x + 1.
(b) m = 0 − 26 − 0 = −13, c = 2: y = −13x + 2.
(c) m = 3, 7 = 3(2) + c, c = 1: y = 3x + 1.
(b) m = 0 − 26 − 0 = −13, c = 2: y = −13x + 2.
(c) m = 3, 7 = 3(2) + c, c = 1: y = 3x + 1.
Titik persilangan dua garis lurus (9.1.6)
Dua garis lurus yang tidak selari bersilang pada satu titik sahaja. Titik persilangan boleh ditentukan dengan: (1) melukis kedua-dua garis pada satah Cartes yang sama dan membaca koordinat persilangan; atau (2) menyelesaikan persamaan serentak dengan kaedah penggantian atau kaedah penghapusan.
Contoh 16 (m.s. 242–243): tiga kaedah
Tentukan titik persilangan garis lurus 2x + y = 5 dan x + 2y = 1.Kaedah graf. 2x + y = 5 memberi y = −2x + 5 dan x + 2y = 1 memberi y = −12x + 12. Lukis kedua-dua garis: titik persilangan ialah (3, −1).
Kaedah penggantian. Daripada ① , y = 5 − 2x ③. Gantikan ke dalam ②: x + 2(5 − 2x) = 1, x + 10 − 4x = 1, −3x = −9, x = 3. Daripada ③, y = 5 − 2(3) = −1.
Kaedah penghapusan. ① × 2: 4x + 2y = 10 ③. ③ − ②: 3x = 9, x = 3. Gantikan x = 3 dalam ①: 6 + y = 5, y = −1.
Maka, titik persilangan ialah (3, −1).
Kaedah penggantian sesuai apabila satu pemboleh ubah mudah dijadikan perkara (contohnya x = 3 atau y = 4). Kaedah penghapusan sesuai apabila pekali satu pemboleh ubah boleh disamakan dengan mendarab. Kalkulator hanya dibenarkan untuk menyemak jawapan.
Uji Minda 9.1h. Tentukan titik persilangan bagi (a) x = 3 dan 2x + y = 10 (penggantian); (b) x + y = 1 dan 2x + y = −1 (penghapusan).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 2(3) + y = 10, y = 4: (3, 4).
(b) (2x + y) − (x + y) = −1 − 1, x = −2. Maka −2 + y = 1, y = 3: (−2, 3).
(b) (2x + y) − (x + y) = −1 − 1, x = −2. Maka −2 + y = 1, y = 3: (−2, 3).
Menyelesaikan masalah yang melibatkan garis lurus (9.1.7)
Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan. Dalam segi empat selari, sisi yang bertentangan adalah selari dan kecerunannya sama. Sisi yang selari dengan paksi-y mempunyai persamaan x = h.
Contoh 17 (m.s. 245): segi empat selari PQRS
Rajah menunjukkan segi empat selari PQRS dengan P(−4, 6) dan Q(0, h). Kecerunan SR ialah 12 dan pintasan-y garis PS ialah −4. Tentukan (a) h, (b) persamaan PS, (c) pintasan-x PS.Memahami masalah: PQ selari dengan SR, maka kecerunan PQ = 12. PS memotong paksi-y di T(0, −4).
Melaksanakan strategi:
(a) h − 60 − (−4) = 12, h − 64 = 12, h − 6 = 2, h = 8.
(b) PS melalui P(−4, 6) dan T(0, −4): m = −4 − 60 − (−4) = −104 = −52. Pintasan-y = −4, maka PS ialah y = −52x − 4.
(c) y = 0: 0 = −52x − 4, 52x = −4, x = −85. Pintasan-x PS ialah −85.
Contoh 18 (m.s. 246): kaedah graf dengan pintasan
Garis y = −13x + 3 dan 2x − y = 4 bersilang di A. Tentukan koordinat A dengan kaedah graf.Bagi y = −13x + 3: x = 0 memberi y = 3 (pintasan-y 3); y = 0 memberi x = 9 (pintasan-x 9). Bagi 2x − y = 4: x = 0 memberi y = −4; y = 0 memberi x = 2. Lukis kedua-dua garis: A ialah (3, 2). Semakan: −13(3) + 3 = 2 dan 2(3) − 2 = 4.
Ringkasan (peta konsep)
Persamaan garis lurus
y = mx + c: m = kecerunan, c = pintasan-y
y = mx + c: m = kecerunan, c = pintasan-y
Bentuk lain
ax + by = c dan xa + yb = 1; tukar kepada y = mx + c dan sebaliknya
ax + by = c dan xa + yb = 1; tukar kepada y = mx + c dan sebaliknya
Selari dengan paksi
y = k selari dengan paksi-x; x = h selari dengan paksi-y
y = k selari dengan paksi-x; x = h selari dengan paksi-y
Garis selari
kecerunan garis-garis selari adalah sama
kecerunan garis-garis selari adalah sama
Titik persilangan
kaedah graf, penggantian atau penghapusan
kaedah graf, penggantian atau penghapusan
| Untuk mencari | Cara |
|---|---|
| Kecerunan dan pintasan-y | Tulis dalam bentuk y = mx + c (pekali y ialah +1) |
| Pintasan-x / pintasan-y | Gantikan y = 0 / x = 0 |
| Kecerunan daripada pintasan | m = −pintasan-ypintasan-x |
| Adakah titik pada garis? | Gantikan; kedua-dua belah mesti sama |
| Adakah dua garis selari? | Kecerunan sama |
| Persamaan daripada m dan satu titik | Gantikan ke dalam y = mx + c, cari c |
| Persamaan daripada dua titik | m = y₂ − y₁x₂ − x₁, kemudian cari c |
| Titik persilangan | Graf, penggantian atau penghapusan |
Uji diri dan cabaran dinamis
Soalan akhir bab ini (m.s. 247–249) menguji semua standard. Cuba dahulu, kemudian semak jawapan.
Uji Diri 1, 4, 5 dan 6. (1) 2x + 5y = 30: tentukan pintasan-x, pintasan-y dan kecerunan. (4) Tentukan persamaan garis lurus melalui P(−1, −2) dan Q(3, 14). (5) Tentukan persamaan garis lurus melalui M(−3, 5) yang selari dengan 6x + 2y = 18. (6) Tentukan titik persilangan y = −8 dan y = −4x + 12.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(1) y = 0: x = 15; x = 0: y = 6; m = −615 = −25.
(4) m = 14 − (−2)3 − (−1) = 4; −2 = 4(−1) + c, c = 2: y = 4x + 2.
(5) 2y = −6x + 18 memberi m = −3; 5 = (−3)(−3) + c, c = −4: y = −3x − 4.
(6) −8 = −4x + 12, x = 5: titik persilangan (5, −8).
(4) m = 14 − (−2)3 − (−1) = 4; −2 = 4(−1) + c, c = 2: y = 4x + 2.
(5) 2y = −6x + 18 memberi m = −3; 5 = (−3)(−3) + c, c = −4: y = −3x − 4.
(6) −8 = −4x + 12, x = 5: titik persilangan (5, −8).
Mahir Diri 1 dan 2. (1) Garis 2x − y = 5 dan x − 3y = −5 bersilang di P. Tentukan koordinat P. (2) GH ialah garis 2x + y = 6; G pada paksi-y dan H pada paksi-x. HK selari dengan paksi-y dan KL selari dengan GH. L(10, −4). (a) Tulis persamaan HK. (b) Tentukan persamaan KL dan pintasan-x KL.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(1) y = 2x − 5. Gantikan: x − 3(2x − 5) = −5, −5x = −20, x = 4 dan y = 3: P(4, 3).
(2) (a) H ialah pintasan-x GH: 2x = 6, x = 3. HK selari dengan paksi-y, maka x = 3.
(b) KL selari dengan GH, maka m = −2. −4 = −2(10) + c, c = 16: y = −2x + 16. Pintasan-x: 0 = −2x + 16, x = 8.
(2) (a) H ialah pintasan-x GH: 2x = 6, x = 3. HK selari dengan paksi-y, maka x = 3.
(b) KL selari dengan GH, maka m = −2. −4 = −2(10) + c, c = 16: y = −2x + 16. Pintasan-x: 0 = −2x + 16, x = 8.
Masteri Kendiri 1 (KBAT). Rumah Kamal (−1, 0), sekolah (5, 0) dan klinik (2, 4) ialah tiga bucu suatu segi empat selari pada satah Cartes; bucu keempat ialah restoran. Skala 1 unit = 1 km. (a) Hitung jarak rumah Kamal dengan sekolah. (b) Tentukan koordinat restoran. (c) Hitung jarak rumah Kamal dengan restoran. (d) Tentukan persamaan garis lurus yang menghubungkan sekolah dengan klinik.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 5 − (−1) = 6 unit = 6 km.
(b) Restoran selari mengufuk dengan rumah Kamal dan klinik: koordinat-y = 4. Restoran = (−1, 0) + (2, 4) − (5, 0) = (−4, 4).
(c) √[(−4 + 1)² + 4²] = √25 = 5 km.
(d) m = 4 − 02 − 5 = −43; 0 = −43(5) + c, c = 203. y = −43x + 203, iaitu 4x + 3y = 20.
(b) Restoran selari mengufuk dengan rumah Kamal dan klinik: koordinat-y = 4. Restoran = (−1, 0) + (2, 4) − (5, 0) = (−4, 4).
(c) √[(−4 + 1)² + 4²] = √25 = 5 km.
(d) m = 4 − 02 − 5 = −43; 0 = −43(5) + c, c = 203. y = −43x + 203, iaitu 4x + 3y = 20.
Masteri Kendiri 2 (KBAT). Pekan P(−9, 4), pekan Q(6, 7) dan pekan R(−3, −4) ditandakan pada satah Cartes. Skala 1 unit = 2 km. (a) Hitung jarak pekan R dengan asalan O. (b) Tentukan persamaan garis lurus yang menghubungkan P dengan Q. (c) Hitung jarak terdekat pekan P dengan pekan R. (d) Encik Mazlan memandu dari R ke Q melalui jarak terdekat dengan purata laju 50 km j−1. Hitung masa yang diambil, dalam minit.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) √(3² + 4²) = 5 unit = 10 km.
(b) m = 7 − 46 − (−9) = 15; 4 = 15(−9) + c, c = 295. y = 15x + 295.
(c) √[(−3 + 9)² + (−4 − 4)²] = √100 = 10 unit = 20 km.
(d) RQ = √[(6 + 3)² + (7 + 4)²] = √202 ≈ 14.21 unit ≈ 28.43 km. Masa = 28.43 ÷ 50 = 0.5685 jam ≈ 34.11 minit.
(b) m = 7 − 46 − (−9) = 15; 4 = 15(−9) + c, c = 295. y = 15x + 295.
(c) √[(−3 + 9)² + (−4 − 4)²] = √100 = 10 unit = 20 km.
(d) RQ = √[(6 + 3)² + (7 + 4)²] = √202 ≈ 14.21 unit ≈ 28.43 km. Masa = 28.43 ÷ 50 = 0.5685 jam ≈ 34.11 minit.
Masteri Kendiri 3 dan 4 (KBAT). (3) Tinggi pokok F ialah y cm selepas x hari, y = 316x + 9. Pokok G mempunyai kadar pertumbuhan yang sama dan mencapai 15 cm selepas 8 hari. Tentukan persamaan bagi pokok G dan tinggi asalnya. (4) Jalan lurus JK melalui titik tengah antara bandar E(−7, −1) dengan bandar F(3, 3) dan mempunyai persamaan y = −2x + k. (a) Cari k. (b) Jalan GH: y = 2x + 17. Cari koordinat lampu isyarat di persimpangan JK dan GH.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(3) Kadar sama, maka m = 316. 15 = 316(8) + c = 1.5 + c, c = 13.5. y = 316x + 272; tinggi asal = 13.5 cm.
(4) (a) Titik tengah = (−2, 1). 1 = −2(−2) + k, k = −3.
(b) −2x − 3 = 2x + 17, −4x = 20, x = −5; y = 2(−5) + 17 = 7. Lampu isyarat di (−5, 7).
(4) (a) Titik tengah = (−2, 1). 1 = −2(−2) + k, k = −3.
(b) −2x − 3 = 2x + 17, −4x = 20, x = −5; y = 2(−5) + 17 = 7. Lampu isyarat di (−5, 7).