Matematik Tambahan notesnota, bab 2
Fungsi Kuadratik
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 34–67
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah penyempurnaan kuasa dua dan rumus (2.1.1)
- Saya boleh membentuk persamaan kuadratik daripada punca-punca yang diberi, menggunakan hasil tambah dan hasil darab punca, termasuk punca-punca yang berkaitan (2.1.2)
- Saya boleh menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dengan kaedah lakaran graf, garis nombor dan jadual (2.1.3)
- Saya boleh menggunakan pembezalayan b² − 4ac untuk menentukan jenis punca persamaan kuadratik (2.2.1)
- Saya boleh menyelesaikan masalah melibatkan jenis punca, termasuk mencari nilai atau julat nilai yang tidak diketahui (2.2.2)
- Saya boleh menganalisis kesan perubahan a, b dan c terhadap bentuk dan kedudukan graf f(x) = ax² + bx + c (2.3.1)
- Saya boleh menghubungkaitkan kedudukan graf fungsi kuadratik dengan jenis punca (2.3.2)
- Saya boleh membuat perkaitan antara bentuk verteks, bentuk am dan bentuk pintasan fungsi kuadratik (2.3.3)
- Saya boleh menganalisis kesan perubahan a, h dan k terhadap bentuk dan kedudukan graf f(x) = a(x − h)² + k (2.3.4)
- Saya boleh melakar graf fungsi kuadratik (2.3.5)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi kuadratik (2.3.6)
2.1Persamaan dan ketaksamaan kuadratik
Persamaan kuadratik dalam bentuk am ialah ax2 + bx + c = 0, dengan a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0. Penyelesaiannya dipanggil punca persamaan.
Punca-punca bagi ax2 + bx + c = 0 ialah koordinat-x titik persilangan graf y = ax2 + bx + c dengan paksi-x (2.1.1). Selain kaedah pemfaktoran, terdapat dua kaedah lain: penyempurnaan kuasa dua dan rumus.
Kaedah penyempurnaan kuasa dua
Langkah: (1) bahagikan dengan a supaya pekali x2 menjadi 1; (2) pindahkan sebutan pemalar ke sebelah kanan; (3) tambahkan pekali x22 pada kedua-dua belah persamaan; (4) tulis sebelah kiri sebagai (x + p)2; (5) punca kuasa dua kedua-dua belah dengan tanda ±.
Contoh 1(a) (buku teks m.s. 37): selesaikan x2 + 4x − 7 = 0
x2 + 4x = 7x2 + 4x + 22 = 7 + 22
(x + 2)2 = 11
x + 2 = ±√11, maka x = −5.317 atau x = 1.317
Selesaikan x2 − 6x + 2 = 0 dengan penyempurnaan kuasa dua. Beri jawapan betul kepada 3 tempat perpuluhan.
Tunjuk jawapanSorok jawapan
x2 − 6x = −2; x2 − 6x + 9 = −2 + 9; (x − 3)2 = 7; x = 3 ± √7.
x = 0.354 atau x = 5.646
x = 0.354 atau x = 5.646
Kaedah rumus
Bagi ax2 + bx + c = 0: x = −b ± √(b2 − 4ac)2a. Tulis nilai a, b dan c dahulu, bersama tandanya.
Contoh 2 (buku teks m.s. 38): selesaikan 2x2 − 2x − 3 = 0 dengan rumus
a = 2, b = −2, c = −3x = −(−2) ± √((−2)2 − 4(2)(−3))2(2) = 2 ± √284
x = −0.823 atau x = 1.823
Apabila b negatif, −b menjadi positif. Letakkan b yang negatif dalam kurungan, (−2)2, supaya tanda tidak hilang semasa menguasaduakan.
Membentuk persamaan kuadratik daripada punca-punca
Jika punca-punca ialah α dan β, maka hasil tambah punca α + β = −ba dan hasil darab punca αβ = ca. Persamaan kuadratik dengan punca α dan β ialah x2 − (hasil tambah punca)x + (hasil darab punca) = 0 (2.1.2).
Contoh 3 (buku teks m.s. 39): punca-punca 3 dan −5
α + β = 3 + (−5) = −2, αβ = 3 × (−5) = −15Persamaan: x2 − (−2)x + (−15) = 0, iaitu x2 + 2x − 15 = 0
Contoh 4(b) (buku teks m.s. 40): punca-punca 2α dan 2β, dengan α dan β ialah punca-punca 2x2 + x = 4
2x2 + x − 4 = 0, maka α + β = −12 dan αβ = −2.Hasil tambah baharu = 2(α + β) = −1. Hasil darab baharu = 4αβ = −8.
Persamaan: x2 + x − 8 = 0
Bagi punca baharu, bina hasil tambah dan hasil darab yang baharu daripada α + β dan αβ sahaja. Identiti berguna: α2 + β2 = (α + β)2 − 2αβ. Jika pekali x2 menjadi pecahan, darabkan kedua-dua belah persamaan supaya pekali menjadi integer.
α dan β ialah punca-punca bagi x2 − 5x + 3 = 0. Bentukkan persamaan dengan punca-punca α + 1 dan β + 1.
Tunjuk jawapanSorok jawapan
α + β = 5, αβ = 3. Hasil tambah baharu = 5 + 2 = 7. Hasil darab baharu = αβ + (α + β) + 1 = 3 + 5 + 1 = 9.
x2 − 7x + 9 = 0
x2 − 7x + 9 = 0
Ketaksamaan kuadratik
Ketaksamaan seperti (x + 1)(x − 3) > 0 ialah ketaksamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah (2.1.3). Tiga kaedah penyelesaian ialah lakaran graf, garis nombor dan jadual; ketiga-tiganya memberikan jawapan yang sama. Bagi (x − a)(x − b) dengan a < b:
| Ketaksamaan | Penyelesaian | Bentuk jawapan |
|---|---|---|
| (x − a)(x − b) > 0 | x < a atau x > b | Dua bahagian (di luar punca-punca) |
| (x − a)(x − b) < 0 | a < x < b | Satu selang (di antara punca-punca) |
| Julat nilai x | x < −4 | −4 < x < 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|
| (x + 4) | − | + | + |
| (x − 1) | − | − | + |
| (x + 4)(x − 1) | + | − | + |
Jadual di atas ialah kaedah jadual bagi (x + 4)(x − 1): hasil darab positif apabila x < −4 atau x > 1.
Contoh 5 (buku teks m.s. 43): (2x − 1)(x + 4) ≥ x + 4
2x2 + 7x − 4 ≥ x + 4, maka 2x2 + 6x − 8 ≥ 0, iaitu x2 + 3x − 4 ≥ 0.(x + 4)(x − 1) ≥ 0. Punca-punca: −4 dan 1. Graf berbentuk ∪, maka y ≥ 0 di luar punca-punca (titik ujian 0 memberi (4)(−1) < 0, iaitu negatif di tengah).
x ≤ −4 atau x ≥ 1
Jangan membatalkan (x + 4) daripada kedua-dua belah. Punca x = −4 akan hilang. Pindahkan semua sebutan ke satu belah, jadikan sifar di belah lain, kemudian faktorkan.
Selesaikan 2x2 > x + 6.
Tunjuk jawapanSorok jawapan
2x2 − x − 6 > 0, (2x + 3)(x − 2) > 0. Punca-punca −32 dan 2.
x < −32 atau x > 2
x < −32 atau x > 2
2.2Jenis-jenis punca persamaan kuadratik
Pembezalayan ialah D = b2 − 4ac, iaitu ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua dalam rumus. Nilainya menentukan jenis punca (2.2.1).
| Pembezalayan | Punca | Graf y = ax2 + bx + c |
|---|---|---|
| b2 − 4ac > 0 | Dua punca nyata dan berbeza | Menyilang paksi-x pada dua titik |
| b2 − 4ac = 0 | Dua punca nyata yang sama | Menyentuh paksi-x pada satu titik (paksi-x ialah tangen) |
| b2 − 4ac < 0 | Tiada punca nyata | Tidak bertemu paksi-x |
Punca nyata bermaksud D ≥ 0 (dua punca berbeza atau dua punca sama). Jika D < 0, punca ialah punca khayalan yang ditulis dengan nombor khayalan i = √−1; contohnya punca bagi 9x2 − 6x + 2 = 0 ialah x = 1 ± i3.
Contoh 6(c) (buku teks m.s. 46): 2x2 − 4x + 5 = 0
a = 2, b = −4, c = 5b2 − 4ac = (−4)2 − 4(2)(5) = 16 − 40 = −24 (< 0)
Persamaan ini tidak mempunyai punca nyata.
Menyelesaikan masalah melibatkan jenis punca
Susun semula persamaan dalam bentuk am, tulis a, b dan c (boleh mengandungi nilai yang tidak diketahui), kemudian gunakan D = 0, D > 0 atau D < 0 (2.2.2).
Contoh 7(a) (buku teks m.s. 47): x2 + k + 3 = kx mempunyai dua punca nyata yang sama
x2 − kx + (k + 3) = 0, maka a = 1, b = −k, c = k + 3.D = 0: k2 − 4(k + 3) = 0, k2 − 4k − 12 = 0, (k + 2)(k − 6) = 0.
k = −2 atau k = 6
Contoh 7(c) (buku teks m.s. 47): x2 + 4x + 13 = m(2 − x) tidak mempunyai punca nyata
x2 + (4 + m)x + 13 − 2m = 0. D < 0: (4 + m)2 − 4(13 − 2m) < 0, maka m2 + 16m − 36 < 0, (m + 18)(m − 2) < 0.−18 < m < 2
Contoh 8 (buku teks m.s. 47): x2 − 4ax + 5b = 0 mempunyai dua punca nyata yang sama; ungkapkan a dalam sebutan b
D = 0: (−4a)2 − 4(1)(5b) = 0, 16a2 = 20b, a2 = 54b.a = ±12√(5b)
Syarat bagi pemalar yang tidak diketahui boleh menjadi ketaksamaan kuadratik. Bagi D > 0 atau D < 0, selesaikannya dengan garis nombor atau lakaran graf seperti dalam 2.1. Jawapan seperti −18 < m < 2 ialah julat, bukan satu nilai.
x2 + 6x + k = 0 tidak mempunyai punca nyata. Cari julat nilai k.
Tunjuk jawapanSorok jawapan
D < 0: 36 − 4k < 0, maka 4k > 36. k > 9
2.3Fungsi kuadratik
Fungsi kuadratik ialah f(x) = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0. Grafnya ialah parabola yang simetri pada paksi simetri, dengan titik minimum (a > 0, bentuk ∪) atau titik maksimum (a < 0, bentuk ∩). Kuasa tertinggi pemboleh ubah ialah 2.
Kesan perubahan a, b dan c terhadap f(x) = ax2 + bx + c
| Nilai yang berubah | Kesan pada graf |
|---|---|
| Hanya a | Mengubah bentuk dan kelebaran graf; pintasan-y tetap sama. a > 0: bentuk ∪ (titik minimum); a < 0: bentuk ∩ (titik maksimum). Semakin besar |a| daripada 1, kelebaran graf semakin berkurang. |
| Hanya b | Mengubah kedudukan verteks terhadap paksi-y; bentuk dan pintasan-y tidak berubah. b = 0: verteks pada paksi-y. Bagi a > 0: b > 0 meletakkan verteks di sebelah kiri paksi-y dan b < 0 di sebelah kanan. |
| Hanya c | Menggerakkan graf secara menegak: ke atas apabila c bertambah, ke bawah apabila c berkurang. Bentuk tidak berubah. c ialah pintasan-y. |
Contoh 9 (buku teks m.s. 50 dan 51): f(x) = x2 + 1
(a) a berubah daripada 1 kepada 2: graf menjadi lebih sempit; pintasan-y tetap 1 dan verteks masih pada paksi-y. a berubah kepada 12: graf menjadi lebih lebar.(b) c berubah daripada 1 kepada 3: bentuk tidak berubah, graf bergerak 2 unit ke atas.
Kedudukan graf dan jenis punca
Jenis punca persamaan f(x) = 0 menentukan kedudukan graf terhadap paksi-x (2.3.2).
Jika D < 0 dan a > 0, maka f(x) > 0 bagi semua nilai x (sentiasa positif). Jika D < 0 dan a < 0, maka f(x) < 0 bagi semua nilai x (sentiasa negatif).
Contoh 11(b) (buku teks m.s. 53): f(x) = 2x2 + 5x + 3 − k tiada pintasan-x
Tiada pintasan-x bermaksud tiada punca nyata: D < 0.25 − 4(2)(3 − k) < 0, maka 1 + 8k < 0, maka 8k < −1.
k < −18
Contoh 11(a) (buku teks m.s. 53): paksi-x ialah tangen kepada f(x) = (m + 1)x2 + 4(m − 2)x + 2m
Tangen: dua punca nyata yang sama, D = 0.(4m − 8)2 − 4(m + 1)(2m) = 0, maka 8m2 − 72m + 64 = 0, m2 − 9m + 8 = 0, (m − 1)(m − 8) = 0.
m = 1 atau m = 8
Graf f(x) = x2 − 4x + m menyentuh paksi-x. Cari m.
Tunjuk jawapanSorok jawapan
Menyentuh pada satu titik: D = 0. 16 − 4m = 0, m = 4 (f(x) = (x − 2)2).
Bentuk verteks, bentuk am dan bentuk pintasan
| Bentuk | Ditulis sebagai | Maklumat yang boleh dibaca |
|---|---|---|
| Verteks | f(x) = a(x − h)2 + k | Verteks (h, k); paksi simetri x = h; k ialah nilai minimum (a > 0) atau nilai maksimum (a < 0) |
| Am | f(x) = ax2 + bx + c | Pintasan-y ialah c; paksi simetri x = −b2a |
| Pintasan | f(x) = a(x − p)(x − q) | Pintasan-x ialah p dan q; paksi simetri x = p + q2 |
Verteks ke bentuk am: kembangkan. Bentuk am ke bentuk verteks: penyempurnaan kuasa dua (faktorkan a daripada sebutan x dahulu). Bentuk am ke bentuk pintasan: pemfaktoran atau rumus. Bentuk pintasan ke bentuk am: kembangkan (2.3.3). Hanya graf yang menyilang atau menyentuh paksi-x mempunyai bentuk pintasan.
Contoh 12 (buku teks m.s. 56): ungkapkan f(x) = 2(x + 94)2 − 18 dalam bentuk a(x − p)(x − q)
Tukarkan kepada bentuk am dahulu: f(x) = 2x2 + 9x + 10 = (2x + 5)(x + 2) = 2(x + 52)(x + 2).a = 2, p = −52, q = −2
Contoh 13 (buku teks m.s. 56): ungkapkan f(x) = −3x2 + 2x + 1 dalam bentuk a(x − h)2 + k
f(x) = −3(x2 − 23x) + 1 = −3[(x − 13)2 − 19] + 1 = −3(x − 13)2 + 13 + 1f(x) = −3(x − 13)2 + 43, maka a = −3, h = 13, k = 43.
Apabila −3 difaktorkan daripada sebutan x, kuasa dua yang ditolak juga didarab dengan −3: −3 × (−19) = +13. Murid sering terlupa mendarab sebutan ini.
Kesan perubahan a, h dan k terhadap f(x) = a(x − h)2 + k
| Nilai yang berubah | Kesan |
|---|---|
| Hanya a | Mengubah bentuk dan kelebaran graf (semakin besar |a|, semakin sempit). Paksi simetri dan nilai minimum atau maksimum tidak berubah. |
| Hanya h | Graf bergerak secara mengufuk: h bertambah, graf bergerak ke kanan; h berkurang, graf bergerak ke kiri. Paksi simetri berubah, nilai minimum atau maksimum tidak berubah. |
| Hanya k | Graf bergerak secara menegak: k bertambah, graf bergerak ke atas; k berkurang, graf bergerak ke bawah. Nilai minimum atau maksimum berubah, paksi simetri tidak berubah. |
Dalam f(x) = 2(x + 2)2 + 3, nilai h ialah −2, bukan +2. Apabila h berubah kepada −6, iaitu 2(x + 6)2 + 3, graf bergerak 4 unit ke kiri (Contoh 14, m.s. 58).
Bandingkan graf f(x) = 3(x − 1)2 + 5 dengan graf f(x) = x2.
Tunjuk jawapanSorok jawapan
Lebih sempit (a = 3 > 1), bergerak 1 unit ke kanan (h = 1) dan 5 unit ke atas (k = 5). Verteks (1, 5), nilai minimum 5, paksi simetri x = 1.
Melakar graf fungsi kuadratik
- Gunakan a untuk menentukan bentuk graf (∪ atau ∩).
- Cari pembezalayan b2 − 4ac untuk menentukan kedudukan graf terhadap paksi-x.
- Tentukan verteks (penyempurnaan kuasa dua, atau x = −b2a).
- Selesaikan f(x) = 0 untuk mencari pintasan-x.
- Cari f(0) untuk pintasan-y.
- Plotkan titik-titik dan lukis parabola licin yang simetri pada paksi simetri.
Contoh 15 (buku teks m.s. 60): lakarkan f(x) = −x2 + 4x + 12
a < 0: titik maksimum. D = 16 + 48 = 64 > 0: dua pintasan-x.f(x) = −(x − 2)2 + 16: titik maksimum (2, 16), paksi simetri x = 2.
f(x) = 0: (6 − x)(x + 2) = 0, maka x = −2 atau x = 6. f(0) = 12.
Menyelesaikan masalah fungsi kuadratik
Ikut empat langkah: memahami masalah, merancang strategi (bentuk verteks bagi nilai maksimum atau minimum; selesaikan f = 0 bagi pintasan), melaksanakan strategi, dan membuat refleksi (semak jawapan dan tulis unit). Tolak jawapan yang tidak munasabah, seperti masa atau panjang yang negatif (2.3.6).
Contoh 16 (buku teks m.s. 61): tinggi lembing h(t) = −5t2 + 14t + 3, dalam meter, t saat selepas direjam
Maksimum: t = −142(−5) = 1.4 s, h(1.4) = −9.8 + 19.6 + 3 = 12.8 meter.Menyentuh tanah: −5t2 + 14t + 3 = 0, (5t + 1)(t − 3) = 0, t = −15 (diabaikan) atau t = 3 saat.
Ketinggian sebiji bola ialah h(t) = −5t2 + 10t + 1.25 meter selepas t saat. Cari ketinggian maksimum.
Tunjuk jawapanSorok jawapan
t = −102(−5) = 1 s. h(1) = −5 + 10 + 1.25 = 6.25 meter.
Penerokaan Matematik (buku teks m.s. 67): tiga pancutan air h = −3d2 + 4, h = −3.5d2 + 3 dan h = −0.5d2 + 1
Titik tertinggi (k): 4, 3 dan 1 meter, maka pancutan I paling tinggi. Lebar lintasan: pancutan II mempunyai |a| terbesar (3.5), maka lintasannya paling sempit. Jarak mengufuk apabila h = 0: d = √43 ≈ 1.155, d = √33.5 ≈ 0.926, d = √2 ≈ 1.414, maka pancutan III mempunyai jarak paling jauh.| Rumusan Bab 2 | Perkara penting |
|---|---|
| Penyelesaian persamaan | Penyempurnaan kuasa dua, rumus; hasil tambah punca −b/a, hasil darab punca c/a |
| Ketaksamaan | Lakaran graf, garis nombor atau jadual |
| Pembezalayan D = b2 − 4ac | D > 0 dua punca berbeza; D = 0 dua punca sama; D < 0 tiada punca nyata |
| Tiga bentuk fungsi | Am, verteks, pintasan; setiap satu menunjukkan ciri graf yang berlainan |
Kandungan dan contoh mengikut buku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 KSSM, Bab 2, m.s. 34 hingga 67. Rajah dilukis semula dengan label Bahasa Melayu.