Matematik Tambahan questionssoalan, bab 2

NameNamaClassKelasDateTarikh

Fungsi Kuadratik

43 marksmarkah. Gunakan mod Latihan untuk menyemak setiap jawapan semasa menjawab, atau mod Peperiksaan untuk menjawab semua dahulu. Tunjukkan langkah kerja bagi Bahagian B.

Bahagian A: soalan objektif

12 marksmarkah

Pilih jawapan yang betul. Setiap soalan 1 markah.

QuestionSoalan 1

Selesaikan x² + 6x − 2 = 0. Beri jawapan betul kepada 3 tempat perpuluhan.

x = −5.317 atau x = 1.317
x = −0.317 atau x = 6.317
x = −6.317 atau x = 0.317
x = −3.317 atau x = 3.317

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Penyempurnaan kuasa dua: x² + 6x + 9 = 2 + 9, (x + 3)² = 11, x = −3 ± √11, iaitu −6.317 dan 0.317. Pilihan A ialah jawapan Contoh 1(a); pilihan D terhasil jika −3 dilupakan.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.1.1

TextbookBuku teks p.ms. 37

QuestionSoalan 2

α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0. Hasil tambah dan hasil darab punca ialah

α + β = −ba dan αβ = ca
α + β = ba dan αβ = ca
α + β = −ba dan αβ = −ca
α + β = −ab dan αβ = ac

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Bandingkan x² + bax + ca = 0 dengan x² − (α + β)x + αβ = 0. Maka α + β = −ba dan αβ = ca (buku teks m.s. 39).

For the teacherUntuk guru: RememberingMengingat, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.1.2

TextbookBuku teks p.ms. 39

QuestionSoalan 3

Persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 2 dan −7 ialah

x² − 5x − 14 = 0
x² − 5x + 14 = 0
x² + 5x + 14 = 0
x² + 5x − 14 = 0

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Hasil tambah punca = 2 + (−7) = −5 dan hasil darab punca = 2 × (−7) = −14. Persamaan: x² − (−5)x + (−14) = 0, iaitu x² + 5x − 14 = 0.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.1.2

TextbookBuku teks p.ms. 39

QuestionSoalan 4

Cari julat nilai x bagi (x + 3)(x − 5) < 0.

x < −3 atau x > 5
−3 < x < 5
x < −5 atau x > 3
−5 < x < 3

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Punca-punca ialah −3 dan 5. Graf berbentuk ∪, maka nilainya negatif di antara punca-punca: −3 < x < 5.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.1.3

TextbookBuku teks p.ms. 42

QuestionSoalan 5

Seorang murid menyelesaikan (x − 2)(x + 4) > x + 4 dengan membahagi kedua-dua belah dengan (x + 4), lalu memperoleh x − 2 > 1, iaitu x > 3. Penilaian yang manakah betul?

Jawapan tidak lengkap. (x + 4) boleh menjadi negatif dan punca x = −4 hilang; penyelesaian sebenar ialah x < −4 atau x > 3.
Jawapan betul kerana membahagi kedua-dua belah dengan faktor yang sama sentiasa dibenarkan.
Jawapan salah. Penyelesaian sebenar ialah −4 < x < 3.
Jawapan salah. Penyelesaian sebenar ialah x < 3.

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Pindahkan semua sebutan ke satu belah: (x + 4)(x − 2) − (x + 4) > 0, maka (x + 4)(x − 3) > 0. Graf berbentuk ∪, maka x < −4 atau x > 3. Pembahagian dengan (x + 4) menghilangkan julat x < −4 (buku teks m.s. 43).

For the teacherUntuk guru: EvaluatingMenilai, hightinggi difficultyaras hightinggi, standard 2.1.3

TextbookBuku teks p.ms. 43

QuestionSoalan 6

Persamaan kuadratik x² = 8(x − 2) mempunyai

dua punca nyata dan berbeza, kerana b² − 4ac = 128
tiada punca nyata, kerana b² − 4ac = −128
dua punca nyata yang sama, kerana b² − 4ac = 0
dua punca nyata yang sama, kerana b² − 4ac = 64

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Bentuk am: x² − 8x + 16 = 0. D = (−8)² − 4(1)(16) = 64 − 64 = 0, maka dua punca nyata yang sama. Pilihan D lupa menolak 4ac.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.2.1

TextbookBuku teks p.ms. 46

QuestionSoalan 7

Persamaan x² + kx + 9 = 0 mempunyai dua punca nyata yang sama. Nilai k ialah

k = 6 sahaja
k = −6 sahaja
k = 3 atau k = −3
k = 6 atau k = −6

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

D = 0: k² − 4(1)(9) = 0, maka k² = 36 dan k = ±6. Kedua-dua nilai memenuhi syarat.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.2.2

TextbookBuku teks p.ms. 47

QuestionSoalan 8

Persamaan 2x² + 4x + k = 0 mempunyai punca nyata. Cari julat nilai k.

k < 2
k ≤ 2
k > 2
k ≥ 2

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Punca nyata bermaksud D ≥ 0 (dua punca berbeza atau sama): 16 − 8k ≥ 0, maka k ≤ 2. Pilihan A tidak termasuk kes dua punca yang sama (k = 2).

For the teacherUntuk guru: AnalysingMenganalisis, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.2.2

TextbookBuku teks p.ms. 47

QuestionSoalan 9

Dalam f(x) = ax² + bx + c, hanya nilai c bertambah. Apakah yang berlaku kepada graf?

Graf bergerak ke atas dan bentuknya tidak berubah.
Graf menjadi lebih sempit.
Verteks bergerak ke sebelah kiri paksi-y.
Graf berubah daripada bentuk ∪ kepada bentuk ∩.

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

c ialah pintasan-y. Apabila c bertambah, graf bergerak secara menegak ke atas dan bentuknya tidak berubah (buku teks m.s. 50).

For the teacherUntuk guru: UnderstandingMemahami, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.3.1

TextbookBuku teks p.ms. 50

QuestionSoalan 10

Graf bagi f(x) = −x² + 2x − 5

berbentuk ∪ dan menyentuh paksi-x
berbentuk ∪ dan menyilang paksi-x pada dua titik
berbentuk ∩ dan tidak menyilang paksi-x
berbentuk ∩ dan menyilang paksi-x pada dua titik

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

a = −1 < 0, maka graf berbentuk ∩. D = 2² − 4(−1)(−5) = 4 − 20 = −16 < 0, maka graf tidak bertemu paksi-x. Graf berada sepenuhnya di bawah paksi-x.

For the teacherUntuk guru: UnderstandingMemahami, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.3.2

TextbookBuku teks p.ms. 52

QuestionSoalan 11

Fungsi f(x) = −2(x + 3)² + 7 mempunyai

titik minimum (3, 7) dan paksi simetri x = 3
titik maksimum (3, 7) dan paksi simetri x = 3
titik minimum (−3, 7) dan paksi simetri x = −3
titik maksimum (−3, 7) dan paksi simetri x = −3

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Bandingkan dengan a(x − h)² + k: a = −2 < 0, h = −3 dan k = 7. Titik maksimum ialah (h, k) = (−3, 7) dan paksi simetri ialah x = −3.

For the teacherUntuk guru: RememberingMengingat, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.3.3

TextbookBuku teks p.ms. 54

QuestionSoalan 12

Fungsi kuadratik f(x) = x² + 6x + n mempunyai nilai minimum −5. Cari nilai n.

n = −4
n = 4
n = 9
n = 14

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

f(x) = (x + 3)² − 9 + n. Nilai minimum ialah n − 9 = −5, maka n = 4 (Latihan Intensif 2.3, m.s. 63).

For the teacherUntuk guru: AnalysingMenganalisis, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.3.3

TextbookBuku teks p.ms. 56

Bahagian B: soalan berstruktur

31 marksmarkah

Jawab semua soalan. Tunjukkan langkah kerja.

QuestionSoalan 13

Diberi persamaan kuadratik 3x(x − 5) = 2x − 1.

[1 markmarkah] (a)Ungkapkan persamaan itu dalam bentuk am, ax² + bx + c = 0.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

3x² − 17x + 1 = 0 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (b)Selesaikan persamaan itu dengan rumus. Beri jawapan betul kepada 3 tempat perpuluhan.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

x = −(−17) ± √((−17)² − 4(3)(1))2(3) = 17 ± √2776 [1]1
x = 0.059 atau x = 5.607 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.1.1

TextbookBuku teks p.ms. 38

QuestionSoalan 14

α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x² + 6x − 7 = 0.

[2 marksmarkah] (a)Nyatakan hasil tambah punca dan hasil darab punca, α + β dan αβ.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

α + β = −3 [1]1
αβ = −72 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[3 marksmarkah] (b)Bentukkan persamaan kuadratik dengan punca-punca α + 3β dan 3α + β.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Hasil tambah = 4(α + β) = −12 [1]1
Hasil darab = 3(α + β)² + 4αβ = 27 − 14 = 13 [1]1
x² + 12x + 13 = 0 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.1.2

TextbookBuku teks p.ms. 40

QuestionSoalan 15

Selesaikan ketaksamaan kuadratik (x − 3)² ≤ 5 − x.

[1 markmarkah] (a)Ungkapkan ketaksamaan itu dalam bentuk x² + bx + c ≤ 0.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

x² − 5x + 4 ≤ 0 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (b)Seterusnya, cari julat nilai x dengan kaedah lakaran graf, garis nombor atau jadual.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

(x − 1)(x − 4) ≤ 0, punca-punca 1 dan 4 [1]1
1 ≤ x ≤ 4 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.1.3

TextbookBuku teks p.ms. 44

QuestionSoalan 16

Diberi persamaan kuadratik x² + kx = k − 8, dengan k ialah pemalar.

[2 marksmarkah] (a)Cari nilai-nilai k jika persamaan itu mempunyai dua punca nyata yang sama.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

x² + kx + (8 − k) = 0; D = k² − 4(8 − k) = k² + 4k − 32 = 0, (k + 8)(k − 4) = 0 [1]1
k = −8 atau k = 4 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (b)Cari julat nilai k jika persamaan itu mempunyai dua punca nyata dan berbeza.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

D > 0: (k + 8)(k − 4) > 0 [1]1
k < −8 atau k > 4 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: AnalysingMenganalisis, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.2.2

TextbookBuku teks p.ms. 47

QuestionSoalan 17

Rajah 1 menunjukkan tiga graf P, Q dan R bagi f(x) = ax² + 1, dengan a ialah 2, 1 atau 12 (bukan mengikut tertib itu).

Tiga parabola P, Q dan R bagi f(x) = ax² + 1 yang memintas paksi-y pada 1; P paling sempit, Q di tengah dan R paling lebar — Rajah 1

[1 markmarkah] (a)Nyatakan pintasan-y yang sama bagi ketiga-tiga graf itu.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

1, iaitu (0, 1) [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[1 markmarkah] (b)Graf yang manakah mempunyai a = 2? Beri satu sebab.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

P, kerana graf P paling sempit dan semakin besar a, semakin sempit graf [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[1 markmarkah] (c)Nilai c bagi graf Q ditukar daripada 1 kepada 4. Nyatakan kesannya pada graf Q.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Graf bergerak 3 unit ke atas; bentuknya tidak berubah [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: UnderstandingMemahami, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.3.1

TextbookBuku teks p.ms. 50

QuestionSoalan 18

Persamaan kuadratik 3hx² − 7kx + 3h = 0, dengan h dan k ialah pemalar positif, mempunyai dua punca nyata yang sama.

[3 marksmarkah] (a)Cari nisbah h : k.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

D = 0: (−7k)² − 4(3h)(3h) = 0, maka 49k² − 36h² = 0 [1]1
(7k − 6h)(7k + 6h) = 0, maka 7k = 6h kerana h dan k positif [1]1
h : k = 7 : 6 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[1 markmarkah] (b)Seterusnya, selesaikan persamaan itu.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Gantikan h = 7, k = 6: 21x² − 42x + 21 = 0, x² − 2x + 1 = 0, x = 1 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: AnalysingMenganalisis, hightinggi difficultyaras hightinggi, standard 2.3.2

TextbookBuku teks p.ms. 53

QuestionSoalan 19

Rajah 2 menunjukkan graf bagi fungsi kuadratik f(x) = −x² + 4x + 5. Titik V ialah titik maksimum, A dan B ialah pintasan-x dan C ialah pintasan-y.

Graf f(x) = −x² + 4x + 5 dengan titik maksimum V, pintasan-x A dan B serta pintasan-y C — Rajah 2

[2 marksmarkah] (a)Ungkapkan f(x) dalam bentuk a(x − h)² + k.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

f(x) = −(x² − 4x) + 5 = −[(x − 2)² − 4] + 5 [1]1
f(x) = −(x − 2)² + 9 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[1 markmarkah] (b)Nyatakan koordinat V dan persamaan paksi simetri.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

V(2, 9) dan x = 2 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (c)Cari koordinat-x bagi titik A dan titik B.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

−x² + 4x + 5 = 0, (x + 1)(x − 5) = 0 [1]1
A(−1, 0) dan B(5, 0) [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.3.5

TextbookBuku teks p.ms. 60

QuestionSoalan 20

Rajah 3 menunjukkan lintasan sebiji bola besi yang dilontarkan oleh Krishna. Bola besi dilontarkan pada ketinggian 2 m dan lintasannya melalui titik maksimum (3, 2.5). Lintasan itu ialah parabola y = a(x − h)² + k, dengan x ialah jarak mengufuk dan y ialah ketinggian, dalam meter.

Lintasan parabola bola besi bermula pada ketinggian 2 m dan mencapai titik maksimum (3, 2.5) — Rajah 3

[2 marksmarkah] (a)Cari nilai a, h dan k.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

h = 3, k = 2.5; gantikan (0, 2): 2 = a(0 − 3)² + 2.5 [1]1
a = −118 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (b)Cari jarak mengufuk maksimum bagi lontaran itu, dalam meter, betul kepada 3 tempat perpuluhan.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

y = 0: −118(x − 3)² + 2.5 = 0, (x − 3)² = 45 [1]1
x = 3 + √45 = 9.708 m (tolak x negatif) [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: AnalysingMenganalisis, hightinggi difficultyaras hightinggi, standard 2.3.6

TextbookBuku teks p.ms. 67

Back to notesKembali ke nota Bab 3 questionssoalan Model papersKertas model