Matematik Tambahan notesnota, bab 3
Sistem Persamaan
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 68–87
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh memerihalkan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah dan mengenal pasti sama ada suatu sistem ialah sistem sedemikian (3.1.1)
- Saya boleh menyelesaikan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah dengan kaedah penghapusan dan kaedah penggantian, serta menentukan sama ada terdapat satu penyelesaian, penyelesaian tak terhingga atau tiada penyelesaian (3.1.2)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah (3.1.3)
- Saya boleh menyelesaikan persamaan serentak yang melibatkan satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear dengan kaedah penggantian, penghapusan dan perwakilan graf (3.2.1)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan serentak, iaitu satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear (3.2.2)
3.1Sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah
Sistem persamaan linear: dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan set pemboleh ubah yang sama. Bentuk umum persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah ialah ax + by + cz = d, dengan a, b dan c bukan sifar. Setiap pemboleh ubah mempunyai kuasa 1.
Contoh daripada buku teks (m.s. 70): harga sekeping tiket (x), sebotol minuman (y) dan sebekas bertih jagung (z) membentuk sistem x + y + 2z = 13, 2x + 2y + z = 17 dan 3x + 3y + 2z = 27.
Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah (ax + by = c) membentuk garis lurus pada satah dua paksi (paksi-x dan paksi-y). Persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah (ax + by + cz = d) membentuk satah dalam ruang tiga dimensi, dengan paksi-x, paksi-y dan paksi-z (Rajah 1(b), m.s. 71). Sistem tiga persamaan membentuk tiga satah.
Contoh 1 (m.s. 71): sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah atau bukan?
(a) 2x + 4y − z = 10, x + y = 10z², 5y − z − 2x = 3(b) p + 8q − 4r = 2, 2(p + 6r) + 7q = 0, 10r + p = 5q
(a) Bukan, kerana terdapat persamaan yang mempunyai kuasa pemboleh ubah bernilai 2.
(b) Ya, kerana ketiga-tiga persamaan mempunyai tiga pemboleh ubah, p, q dan r, dengan kuasa pemboleh ubah bernilai 1 (selepas pendaraban kurungan).
Pemboleh ubah yang berkuasa 2 atau lebih, atau dua pemboleh ubah yang didarab (seperti xy), menjadikan persamaan itu tak linear. Sistem linear hanya mempunyai kuasa 1.
Adakah 3x + y − 2z = 7, x − 4y = z, 2x + y + z² = 5 sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Bukan. Persamaan ketiga mengandungi z², maka kuasa pemboleh ubah bukan 1.
Berapakah penyelesaian yang mungkin?
Penyelesaian ialah nilai x, y dan z yang memuaskan ketiga-tiga persamaan, iaitu tempat ketiga-tiga satah bersilang (Inkuiri 3, 4 dan 5, m.s. 72 hingga 73).
| Satah-satah | Penyelesaian | Hasil apabila pemboleh ubah dihapuskan |
|---|---|---|
| Bersilang hanya pada satu titik | Satu penyelesaian | Nilai x, y dan z |
| Bersilang pada satu garis lurus | Penyelesaian tak terhingga | 0 = 0 |
| Tidak bersilang pada mana-mana titik | Tiada penyelesaian | 0 = nombor bukan sifar, contoh 0 = 12 |
Kaedah penghapusan
- Pilih dua persamaan dan hapuskan satu pemboleh ubah (darabkan dahulu supaya pekali sama), supaya mendapat satu persamaan dalam dua pemboleh ubah.
- Pilih dua persamaan lain dan hapuskan pemboleh ubah yang sama.
- Selesaikan dua persamaan dalam dua pemboleh ubah itu.
- Gantikan untuk mencari pemboleh ubah ketiga, kemudian semak dalam ketiga-tiga persamaan.
Contoh 2 (m.s. 74): kaedah penghapusan
Selesaikan 4x − 3y + z = −10 … ①, 2x + y + 3z = 0 … ②, −x + 2y − 5z = 17 … ③.② × 2: 4x + 2y + 6z = 0 … ④. ④ − ①: 5y + 5z = 10 … ⑤
③ × 2: −2x + 4y − 10z = 34 … ⑥. ② + ⑥: 5y − 7z = 34 … ⑦
⑤ − ⑦: 12z = −24, maka z = −2.
Daripada ⑤: 5y − 10 = 10, maka y = 4. Daripada ①: 4x − 12 − 2 = −10, maka x = 1.
x = 1, y = 4 dan z = −2.
Kaedah penggantian
Jadikan satu pemboleh ubah sebagai perkara rumus dalam satu persamaan, kemudian gantikan ke dalam dua persamaan yang lain.
Contoh 3 (m.s. 74 hingga 75): kaedah penggantian
Selesaikan 3x − y − z = −120 … ①, y − 2z = 30 … ②, x + y + z = 180 … ③.Daripada ①: z = 3x − y + 120 … ④.
Gantikan ④ ke dalam ②: y − 2(3x − y + 120) = 30, maka 3y − 6x = 270, iaitu y = 90 + 2x … ⑤.
Gantikan ④ dan ⑤ ke dalam ③: x + (90 + 2x) + [3x − (90 + 2x) + 120] = 180, maka 4x = 60 dan x = 15.
y = 90 + 2(15) = 120 dan z = 180 − 15 − 120 = 45.
x = 15, y = 120 dan z = 45.
Cabar Minda buku teks: Contoh 3 boleh juga diselesaikan dengan kaedah penghapusan dan jawapannya sama. Kalkulator saintifik (mod Simul Equation) boleh menyemak jawapan, tetapi kerja pengiraan tetap perlu ditunjukkan.
Selesaikan 7x + 5y − 3z = 16, 3x − 5y + 2z = −8, 5x + 3y − 7z = 0 (Latih Diri 3.2, m.s. 76).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Tambah persamaan pertama dan kedua: 10x − z = 8, maka z = 10x − 8. Darabkan kedua dengan 3 dan ketiga dengan 5, kemudian tambah untuk menghapuskan y: 34x − 29z = −24. Gantikan z: 34x − 290x + 232 = −24, maka x = 1 dan z = 2. Daripada persamaan pertama, 7 + 5y − 6 = 16, maka y = 3. Jawapan: x = 1, y = 3, z = 2.
Tiada penyelesaian dan penyelesaian tak terhingga
Contoh 4 (m.s. 75): tiada penyelesaian
x − y + 3z = 3 … ①, −2x + 2y − 6z = 6 … ②, y − 5z = −3 … ③Persamaan ③ tidak mempunyai x, maka x dihapuskan daripada ① dan ②.
① × 2: 2x − 2y + 6z = 6 … ④. ④ + ②: 0 = 12, yang tidak benar.
Sistem ini tiada penyelesaian kerana 0 ≠ 12.
Contoh 5 (m.s. 76): penyelesaian tak terhingga
3x + 5y − 2z = 13 … ①, −5x − 2y − 4z = 20 … ②, −14x − 17y + 2z = −19 … ③① × 2: 6x + 10y − 4z = 26 … ④. ④ − ②: 11x + 12y = 6 … ⑤
① + ③: −11x − 12y = −6 … ⑥. ⑤ + ⑥: 0 = 0.
Sistem ini mempunyai penyelesaian tak terhingga kerana 0 = 0.
Jangan menyimpulkan 0 = 0 bermaksud "jawapannya sifar". 0 = 0 sentiasa benar (penyelesaian tak terhingga), manakala 0 = 12 tidak pernah benar (tiada penyelesaian).
Menyelesaikan masalah (3.1.3)
Gunakan empat langkah buku teks: memahami masalah, merancang strategi (takrifkan pemboleh ubah dan bentuk tiga persamaan), melaksanakan strategi dan membuat refleksi (semak semula jawapan).
Contoh 6 (m.s. 76 hingga 77): sewa kondominium
Jumlah sewa ketiga-tiga unit A, B dan C ialah RM1 240 sehari. Simpanan: 10% daripada sewa A, 20% daripada sewa B dan 30% daripada sewa C berjumlah RM276. Sewa C ialah dua kali sewa A.Katakan sewa A = a, B = b dan C = c.
a + b + c = 1 240 … ①, 0.1a + 0.2b + 0.3c = 276 … ②, c = 2a … ③
② × 10: a + 2b + 3c = 2 760 … ④. ① × 2: 2a + 2b + 2c = 2 480 … ⑤. ④ − ⑤: −a + c = 280 … ⑥
Gantikan ③ ke dalam ⑥: a = 280, maka c = 560 dan b = 1 240 − 280 − 560 = 400.
Sewa sehari ialah RM280 (jenis A), RM400 (jenis B) dan RM560 (jenis C).
Refleksi: 280 + 400 + 560 = 1 240 dan 0.1(280) + 0.2(400) + 0.3(560) = 28 + 80 + 168 = 276.
Tulis maksud setiap huruf dahulu. Akhiri dengan jawapan dalam ayat lengkap beserta unit (RM, ekor, cm).
Patricia melabur RM24 500 dalam tiga akaun P, Q dan R. Faedah tahunan 4%, 5.5% dan 6% memberi RM1 300. Jumlah dalam P ialah empat kali jumlah dalam Q. Berapakah jumlah dalam setiap akaun (Latih Diri 3.3, m.s. 77)?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
P + Q + R = 24 500, 0.04P + 0.055Q + 0.06R = 1 300, P = 4Q. Maka R = 24 500 − 5Q dan 0.215Q + 0.06(24 500 − 5Q) = 1 300, iaitu −0.085Q = −170, Q = 2 000. P = RM8 000, Q = RM2 000, R = RM14 500.
3.2Persamaan serentak yang melibatkan satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear
Menyelesaikan persamaan serentak bermaksud mencari nilai-nilai pemboleh ubah yang memuaskan persamaan-persamaan itu. Penyelesaiannya ialah titik persilangan graf linear dan graf tak linear. Kaedah: penggantian, penghapusan atau perwakilan graf.
Contoh sistem: pagar 200 m dan luas 2 400 m² (Inkuiri 6, m.s. 79). Perimeter menghasilkan persamaan linear dan luas menghasilkan persamaan tak linear, kerana terdapat hasil darab dua pemboleh ubah. Persamaan linear mempunyai kuasa 1, persamaan tak linear tidak.
Kaedah penggantian
- Daripada persamaan linear, jadikan satu pemboleh ubah sebagai perkara rumus.
- Gantikan ke dalam persamaan tak linear untuk mendapat persamaan kuadratik.
- Selesaikan persamaan kuadratik (pemfaktoran, rumus atau penyempurnaan kuasa dua).
- Gantikan setiap nilai ke dalam persamaan linear untuk mencari pasangannya.
Cari pasangan nilai daripada persamaan linear. Jika menggunakan persamaan tak linear, anda boleh mendapat pasangan palsu yang bukan penyelesaian.
Contoh 7 (m.s. 80): kaedah penggantian
Selesaikan 2x + y = 4 … ①, y² + 5 = 4x … ②.Daripada ①: x = (4 − y) / 2 … ③
Gantikan ③ ke dalam ②: y² + 5 = 4 × (4 − y)/2 = 8 − 2y, maka y² + 2y − 3 = 0 dan (y + 3)(y − 1) = 0, iaitu y = −3 atau y = 1.
y = −3: x = (4 + 3)/2 = 7/2. y = 1: x = (4 − 1)/2 = 3/2.
x = 7/2, y = −3 dan x = 3/2, y = 1.
Contoh 8 (m.s. 81): kaedah penghapusan
Selesaikan 2x + y = 4 … ①, x² − 2xy = 3 … ②.① × 2x: 4x² + 2xy = 8x … ③. ② + ③: 5x² = 3 + 8x, maka 5x² − 8x − 3 = 0.
Dengan rumus kuadratik: x = (8 ± √124) / 10, iaitu x = 1.9136 atau x = −0.3136.
Daripada ①: y = 4 − 2x, maka y = 0.1728 atau y = 4.6272.
x = 1.9136, y = 0.1728 dan x = −0.3136, y = 4.6272.
Selesaikan x − 3y + 4 = 0 dan x² + xy − 40 = 0 (Latihan Intensif 3.2, m.s. 84).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
x = 3y − 4. (3y − 4)² + (3y − 4)y − 40 = 0 memberi 12y² − 28y − 24 = 0, iaitu 3y² − 7y − 6 = 0, (3y + 2)(y − 3) = 0. y = 3, x = 5 atau y = −2/3, x = −6.
Perwakilan graf
Bina jadual nilai, lukis kedua-dua graf pada paksi yang sama, dan baca koordinat titik persilangan. Ketepatan jawapan bergantung pada lukisan graf.
Contoh 9 (m.s. 81 hingga 82): perwakilan graf
Selesaikan 2x + y = 4 dan y² − 4x = 0.Jadual: bagi x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 nilai y garis lurus ialah 4, 2, 0, −2, −4, −6. Nilai y lengkung ialah 0, ±2, ±2.8, ±3.5, ±4, ±4.5.
Penyelesaian ialah (1, 2) dan (4, −4).
Semak dengan penggantian: pada (4, −4), 2(4) + (−4) = 4 dan (−4)² = 16 = 4(4).
Selesaikan 2x + y = 4 dan y² − 4x = 0 dengan penggantian sebagai semakan graf.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
y = 4 − 2x. (4 − 2x)² = 4x memberi 4x² − 20x + 16 = 0, x² − 5x + 4 = 0, x = 1 atau 4. Maka y = 2 atau −4.
Menyelesaikan masalah (3.2.2)
Masalah perimeter dan luas, atau panjang sisi segi tiga bersudut tegak (teorem Pythagoras), menghasilkan satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear.
Latih Diri 3.5 (m.s. 84): papan segi empat tepat
Luas 72 cm² dan perimeter 34 cm. Katakan sisi ialah l dan w.l + w = 17 dan lw = 72. Maka w = 17 − l, l(17 − l) = 72, l² − 17l + 72 = 0, (l − 8)(l − 9) = 0.
Panjang dan lebar ialah 9 cm dan 8 cm.
Contoh 10 (m.s. 83): bekas dodol berbentuk prisma
Jumlah panjang sisi bekas ialah 133 cm dan ED = BC = 25 cm. Katakan panjang sisi tapak bekas ialah x dan tinggi bekas ialah y.Persamaan tak linear: x² + y² = 25². Persamaan linear: 5x + 2y + 50 = 133, iaitu 5x + 2y = 83, maka y = (83 − 5x)/2.
Gantikan: 29x² − 830x + 4 389 = 0, iaitu (29x − 627)(x − 7) = 0, x = 627/29 atau x = 7.
Bagi x = 627/29, y = −364/29 (abaikan kerana panjang tidak boleh negatif). Bagi x = 7, y = 24.
Isi padu bekas = ½ × 7 × 24 × 7 = 588 cm³, kurang daripada 600 cm³.
Dodol berisi padu 600 cm³ tidak dapat dibungkus dalam bekas itu.
Selepas menyelesaikan persamaan kuadratik, tolak nilai yang tidak munasabah (panjang negatif) dan tafsirkan jawapan mengikut soalan.
RumusanRumusan Bab 3
| Topik | Kaedah dan hasil |
|---|---|
| Sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah | Kaedah penghapusan atau penggantian. Satu penyelesaian (satah bersilang pada satu titik), penyelesaian tak terhingga (0 = 0, bersilang pada satu garis lurus) atau tiada penyelesaian (0 = nombor bukan sifar). |
| Persamaan serentak (satu linear, satu tak linear) | Penggantian, penghapusan atau perwakilan graf. Biasanya dua penyelesaian. |
| Aplikasi | Menyelesaikan masalah kehidupan seharian: bentuk persamaan, selesaikan, semak dan tulis kesimpulan. |
Kata kunci: sistem persamaan (system of equations), pemboleh ubah (variable), persamaan linear (linear equation), persamaan tak linear (non-linear equation), kaedah penghapusan (elimination method), kaedah penggantian (substitution method), perwakilan graf (graphical method).
Penerokaan Matematik (m.s. 87): campuran larutan asid
Encik Awang mahu 1 000 liter campuran 45% asid daripada larutan 10%, 40% dan 60%. Bekalan larutan 40% ialah dua kali bekalan larutan 10% (satu tafsiran: isi padu larutan 40% = 2 × isi padu larutan 10%).Katakan isi padu larutan 10% = x, 40% = y dan 60% = z.
x + y + z = 1 000, 0.10x + 0.40y + 0.60z = 450, y = 2x.
Maka 3x + z = 1 000 dan 0.9x + 0.6z = 450. Gantikan z = 1 000 − 3x: −0.9x + 600 = 450, x = 166.67.
x ≈ 166.67 liter, y ≈ 333.33 liter, z = 500 liter. Semak: 0.1(166.67) + 0.4(333.33) + 0.6(500) = 450.
Buku teks tidak mencetak jawapan bagi penerokaan ini; ia bergantung pada tafsiran "dua kali ganda".
Tulis Jurnal Anda (m.s. 85): pilih satu masalah sekeliling anda, bentuk sistem persamaan linear atau tak linear, nyatakan maksud setiap pemboleh ubah, selesaikan, dan bentangkan laporan.