Matematik Tambahan notesnota, bab 4

Indeks, Surd dan Logaritma

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 88–125

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan indeks dengan menggunakan hukum indeks (4.1.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan indeks, termasuk persamaan indeks (4.1.2)
Saya boleh membandingbezakan nombor nisbah dan nombor tak nisbah serta menghubungkaitkan surd dengan nombor tak nisbah (4.2.1)
Saya boleh membuat dan mengesahkan konjektur tentang √a × √b dan √a ÷ √b (4.2.2)
Saya boleh mempermudah ungkapan yang melibatkan surd, termasuk operasi tambah, tolak dan darab (4.2.3)
Saya boleh menisbahkan penyebut bagi ungkapan yang melibatkan surd dengan menggunakan surd konjugat (4.2.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan surd (4.2.5)
Saya boleh menghubungkaitkan persamaan dalam bentuk indeks dengan bentuk logaritma dan menentukan nilai logaritma suatu nombor (4.3.1)
Saya boleh membuktikan dan menggunakan hukum logaritma (hasil darab, hasil bahagi dan kuasa) (4.3.2)
Saya boleh mempermudah ungkapan algebra menggunakan hukum logaritma (4.3.3)
Saya boleh membuktikan log_a b = log_c b ÷ log_c a dan menentukan logaritma suatu nombor, termasuk logaritma jati (4.3.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan hukum logaritma dan persamaan eksponen (4.3.5)
Saya boleh menyelesaikan masalah pertumbuhan dan susutan yang melibatkan indeks, surd dan logaritma (4.4.1)

4.1Hukum indeks

Dalam aⁿ, a ialah asas dan n ialah indeks. Hukum indeks digunakan untuk memudahkan ungkapan algebra yang melibatkan indeks dan untuk menyelesaikan persamaan yang pemboleh ubahnya berada dalam indeks.

Hukum	Contoh
a^m × aⁿ = a^{m + n}	t² × t³ = t⁵
a^m ÷ aⁿ = a^{m − n}	x⁷ ÷ x⁴ = x³
(a^m)ⁿ = a^mn	(y³)² = y⁶
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	(2xy)³ = 8x³y³
a⁰ = 1 dan a⁻ⁿ = 1aⁿ	7⁰ = 1; 2⁻³ = 18
a¹ⁿ = ⁿ√a	8¹³ = ³√8 = 2
a^mn = (ⁿ√a)^m = ⁿ√a^m	27²³ = 3² = 9

Mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan indeks

Permudahkan setiap yang berikut.

(a) 5³ⁿ × 5ⁿ5²ⁿ = 5^{3n + n − 2n} = 5²ⁿ
(b) 2^m+3 − 2^m2^m = 2^m(2³ − 1)2^m = 7
(c) (3x⁻¹)² × 2xy³ ÷ (xy)⁻² = 9x⁻² × 2xy³ × x²y² = 18xy⁵
(d) 2a³b² × (2ab³)⁻³ = 2a³b² × 18a³b⁹ = 14b⁷

Permudahkan ungkapan dengan indeks pecahan.

(a) a¹² × 3a⁻¹³ = 3a^{12 − 13} = 3a¹⁶
(b) 6a⁻¹a²³ = 6a^{−1 − 23} = 6a⁻⁵³ = 6a⁵³
(c) ³√a⁴ × ⁶√a⁻⁵ = a⁴³ × a⁻⁵⁶ = a^{86 − 56} = a¹²
(d) a⁻¹²(a³² + 4a¹² − 5a⁻¹²) = a + 4 − 5a⁻¹ = a + 4 − 5a

Untuk indeks pecahan, ambil punca dahulu, kemudian kuasa: 27²³ = (³√27)² = 3² = 9. Nombor kekal kecil.

(a + b)ⁿ bukan aⁿ + bⁿ. Hukum a^m × aⁿ = a^m+n hanya boleh digunakan apabila asas sama: 2³ × 3³ tidak sama dengan 6⁶.

Tunjukkan bahawa 3^x+2 + 3^x+1 + 3^x boleh dibahagi tepat dengan 13 bagi semua integer positif x.

3^x+2 + 3^x+1 + 3^x = 3^x(3² + 3 + 1) = 13 × 3^x. Oleh sebab 13 × 3^x ialah gandaan bagi 13, ungkapan itu boleh dibahagi tepat dengan 13.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan indeks

Jika a^m = aⁿ, maka m = n. Jika a^m = b^m, maka a = b. Syarat: a > 0 dan a ≠ 1. Ungkapkan kedua-dua belah persamaan dalam asas yang sama, kemudian bandingkan indeks.

Selesaikan setiap persamaan.

(a) 8^x = 132^x−1: 2^3x = 2^−5(x−1), maka 3x = −5x + 5, 8x = 5 dan x = 58.
(b) a⁴ = 81 = 3⁴: bandingkan asas, a = 3.
(c) 27(9^x) = 1: 3³ × 3^2x = 3⁰, maka 3 + 2x = 0 dan x = −32.
(d) Apabila terdapat hasil tambah, faktorkan: 2^x+2 − 2^x = 24 memberi 2^x(4 − 1) = 24, 2^x = 8 dan x = 3.

Aplikasi: pelaburan

Jumlah pelaburan selepas n tahun ialah J = p(1 + k)ⁿ, dengan p pelaburan awal dan k kadar pulangan setahun. Untuk p = RM5 000, k = 4% dan n = 10:
J = 5 000(1 + 0.04)¹⁰ = 5 000(1.4802) = RM7 401.22.

(a) Permudahkan 16⁻³⁴. (b) Selesaikan 9^x = 27^x−1.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) 16^−3/4 = 1 ÷ (⁴√16)³ = 1 ÷ 2³ = 18
(b) 3^2x = 3^3x−3, maka 2x = 3x − 3 dan x = 3

4.2Hukum surd

Nombor nisbah ialah nombor yang boleh ditulis sebagai ab dengan a dan b integer, b ≠ 0 (perpuluhannya terhingga atau perpuluhan berulang). Nombor tak nisbah tidak boleh ditulis sebagai pecahan; perpuluhannya tidak terhingga dan tidak berulang. Surd ialah nombor dalam bentuk punca kuasa, ⁿ√a, yang nilainya ialah nombor tak nisbah, iaitu tidak dapat dipermudah menjadi integer atau perpuluhan berulang.

Nombor	Nilai	Surd atau bukan surd
√5	2.2360679...	Surd (tak berulang)
√916	34 = 0.75	Bukan surd
³√64	4	Bukan surd
⁴√7	1.6265765...	Surd

Tidak semua punca kuasa ialah surd. √4 = 2 ialah integer, maka √4 bukan surd. Semak sama ada nilainya integer atau perpuluhan berulang.

Menukar perpuluhan berulang kepada pecahan

Tukarkan (a) 0.343434... dan (b) 4.372372372... kepada pecahan.

(a) Katakan N = 0.3434... Maka 100N = 34.3434... Tolak: 99N = 34, N = 3499.
(b) Pisahkan 4 dan N = 0.372372... Maka 1 000N = 372.372372... Tolak: 999N = 372, N = 372999 = 124333. Maka 4.372372... = 4124333.
Darabkan dengan 10, 100 atau 1 000 mengikut panjang bahagian yang berulang supaya bahagian berulang dapat dihapuskan.

Hukum surd

Untuk a > 0 dan b > 0:
√a × √b = √ab (Hukum 1) dan √a ÷ √b = √ab (Hukum 2).
Juga √a × √a = (√a)² = a.

Tulis sebagai surd tunggal.

(a) √3 × √5 = √15
(b) √48√6 = √486 = √8
(c) √2a × √8a = √16a² = 4a
(d) √18a√2a = √9 = 3 (bukan surd lagi)

Mempermudah ungkapan yang melibatkan surd

Untuk memudahkan √b, cari nombor kuasa dua sempurna terbesar yang menjadi faktor b, lalu tulis dalam bentuk a√b dengan a nilai terbesar.

Tulis dalam bentuk a√b

(a) √72 = √36 × 2 = 6√2
(b) 5√48 = 5√16 × 3 = 5(4)√3 = 20√3
(c) √98 = √49 × 2 = 7√2

ⁿ√a tidak sama dengan n√a. Contohnya √4 = 2 tetapi 2√4 = 4. Surd tidak boleh ditambah dengan menambah nombor di bawah punca: √9 + √16 = 3 + 4 = 7, bukan √25.

Operasi tambah, tolak dan darab surd

Surd serupa mempunyai faktor nombor tak nisbah yang sama selepas dipermudah. Hanya surd serupa boleh ditambah atau ditolak.

Permudahkan.

(a) √2 × √3 + √6 = √6 + √6 = 2√6
(b) √5(3 − √5) = 3√5 − √5 × √5 = 3√5 − 5
(c) √50 − √18 = 5√2 − 3√2 = 2√2
(d) (4 + √3)(2 − 3√3) = 8 − 12√3 + 2√3 − 9 = −1 − 10√3
Set 2√12, √75, 3√27 menjadi 4√3, 5√3, 9√3: semuanya surd serupa. Set √8, √18, √5 menjadi 2√2, 3√2, √5: bukan semuanya surd serupa.

Menisbahkan penyebut

Penyebut surd dijadikan nombor nisbah dengan mendarabkan pengangka dan penyebut dengan surd konjugat.

Penyebut	Surd konjugat	Hasil darab
m√a	m√a	m²a
m√a + n√b	m√a − n√b	m²a − n²b
m√a − n√b	m√a + n√b	m²a − n²b

Nisbahkan penyebut dan permudahkan.

(a) 32√3 = 32√3 × √3√3 = 3√36 = √32
(b) 13√2 + √5 = 3√2 − √5(3√2)² − (√5)² = 3√2 − √518 − 5 = 3√2 − √513
(c) 2√7 − 2√2 = 2(√7 + 2√2)7 − 8 = −2√7 − 4√2
(d) 2 + √32 − √3 = (2 + √3)²4 − 3 = 7 + 4√3

Surd konjugat bagi 2√3 − 5√7 ialah 2√3 + 5√7. Hasil darabnya ialah (2√3)² − (5√7)² = 12 − 175 = −163, nombor nisbah.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan surd

Luas sebuah segi empat tepat ialah (11 + 6√3) cm² dan panjangnya (2 + √3) cm. Cari lebarnya dalam bentuk a + b√3.

Lebar = 11 + 6√32 + √3 × 2 − √32 − √3 = 22 − 11√3 + 12√3 − 184 − 3 = (4 + √3) cm.
Semak: (2 + √3)(4 + √3) = 8 + 2√3 + 4√3 + 3 = 11 + 6√3.

Selesaikan persamaan yang mengandungi √x: x − 5√x + 6 = 0

Faktorkan: (√x − 2)(√x − 3) = 0. Maka √x = 2 atau √x = 3, jadi x = 4 atau x = 9.
Semak: 4 − 5(2) + 6 = 0 dan 9 − 5(3) + 6 = 0. Apabila √ berada dalam persamaan, kuasa duakan kedua-dua belah dan semak jawapan.

Nisbahkan penyebut: 63 − √3.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

6(3 + √3)9 − 3 = 3 + √3

4.3Hukum logaritma

Persamaan indeks N = a^x (a > 0, a ≠ 1) boleh ditulis dalam bentuk logaritma: log_a N = x ⇔ N = a^x. Asas nombor kuasa menjadi asas logaritma dan indeksnya menjadi nilai logaritma. Contohnya 2⁵ = 32 ⇔ log₂ 32 = 5.

log_a 1 = 0 dan log_a a = 1, kerana a⁰ = 1 dan a¹ = a. Juga log_a a^x = x.
log_a N hanya tertakrif jika N > 0, a > 0 dan a ≠ 1. Maka log₇ 0, log₁₀ (−10), log₀ 2 dan log₁ 13 tidak tertakrif.
Logaritma biasa ialah logaritma dengan asas 10: log₁₀ a = lg a. Antilogaritma (antilog): jika log₁₀ N = x, maka antilog x = N. Contohnya antilog 3 = 1 000 dan antilog (−2) = 0.01.
Logaritma jati ialah logaritma dengan asas e (e = 2.7182...), ditulis ln: ln e = 1, ln e^x = x dan e^{ln x} = x.

Tukar bentuk, dan cari nilai

(a) 3⁴ = 81 ⇔ log₃ 81 = 4
(b) log₁₀ 0.01 = −2 ⇔ 10⁻² = 0.01
(c) log₅ 625 = x: 5^x = 625 = 5⁴, maka x = 4
(d) log₃ y = 4: y = 3⁴ = 81

Graf y = 2 kuasa x dan y = log asas 2 bagi x, imej biasan antara satu sama lain pada garis y = x; titik (0, 1) dan (1, 0), (1, 2) dan (2, 1) ditandakan — y = 2^x dan y = log₂ x ialah imej biasan antara satu sama lain pada garis y = x kerana log_a x ialah fungsi songsang bagi a^x. Graf log₂ x hanya wujud untuk x > 0.

Tiga hukum asas logaritma (a, x, y > 0 dan a ≠ 1)

Hukum	Rumus
Hasil darab	log_a xy = log_a x + log_a y
Hasil bahagi	log_a xy = log_a x − log_a y
Kuasa	log_a xⁿ = n log_a x

Bukti hasil darab: katakan x = a^p dan y = a^q, maka p = log_a x dan q = log_a y. Oleh sebab xy = a^p+q, log_a xy = p + q = log_a x + log_a y. Dua hukum lain dibuktikan dengan cara yang sama.

log(x + y) tidak sama dengan log x + log y, dan log xlog y tidak sama dengan log xy.

Diberi log₅ 2 = 0.4307 dan log₅ 3 = 0.6826, cari nilai

(a) log₅ 6 = log₅ 2 + log₅ 3 = 0.4307 + 0.6826 = 1.1133
(b) log₅ 1.5 = log₅ 3 − log₅ 2 = 0.6826 − 0.4307 = 0.2519
(c) log₅ 8 = log₅ 2³ = 3(0.4307) = 1.2921

Nilaikan tanpa kalkulator.

(a) log₂ 40 − log₂ 5 = log₂ 405 = log₂ 8 = log₂ 2³ = 3
(b) log₆ 4 + 2 log₆ 3 = log₆ (4 × 3²) = log₆ 36 = 2

Mempermudah ungkapan algebra

Ungkapkan sebagai satu logaritma tunggal, dan dalam sebutan p dan q

(a) 2 log_a x + log_a y = log_a x²y
(b) log₃ x − 2 log₃ y = log₃ xy²
(c) log₂ x + 3 − log₂ y = log₂ x + log₂ 8 − log₂ y = log₂ 8xy (kerana 3 = log₂ 8)
Jika p = log₃ 2 dan q = log₃ 5: log₃ 20 = log₃ (4 × 5) = 2p + q; log₃ 0.8 = log₃ 45 = 2p − q; log₃ √10 = 12(p + q).

Penukaran asas

log_a b = log_c blog_c a dengan a, b, c positif, a ≠ 1 dan c ≠ 1. Khususnya log_a b = 1log_b a. Bukti: katakan log_a b = x, maka a^x = b. Ambil log_c kedua-dua belah: x log_c a = log_c b.

Penukaran asas

(a) log₂ 7 = lg 7lg 2 = 0.84510.3010 = 2.807 (asas 10)
(b) log₂ 7 = ln 7ln 2 = 1.94590.6931 = 2.807 (asas e)
(c) log₉ 27 = log₃ 27log₃ 9 = 32
(d) Jika log₃ x = p, maka log₉ x = p2 dan log_x 9x² = log₃ 9x²log₃ x = 2 + 2pp.

Persamaan yang melibatkan indeks dan logaritma

Persamaan seperti 3^x+1 = 5^x tidak dapat diungkapkan dalam asas yang sama. Ambil logaritma kedua-dua belah, kemudian guna hukum kuasa.

Selesaikan.

(a) 3^x+1 = 5^x: (x + 1) lg 3 = x lg 5, x(lg 5 − lg 3) = lg 3, x = lg 3lg 5 − lg 3 = 0.47710.2219 = 2.151.
(b) ln (3x − 1) = 2: 3x − 1 = e² = 7.389, maka x = 2.796.
(c) 5e^2x = 40: e^2x = 8, 2x = ln 8, x = ln 82 = 1.040.

Cari nilai log₇ 20 jika log₇ 4 = 0.712 dan log₇ 5 = 0.827.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

log₇ 20 = log₇ (4 × 5) = 0.712 + 0.827 = 1.539

4.4Aplikasi indeks, surd dan logaritma

Pertumbuhan dan susutan sering dimodelkan dengan fungsi eksponen. Untuk mendapatkan nilai, gantikan nilai ke dalam rumus. Untuk mendapatkan masa (pemboleh ubah dalam indeks), ambil logaritma kedua-dua belah.

Memahami masalah: senaraikan nilai yang diberi dan yang dicari.
Merancang strategi: pilih rumus dan kaedah (hukum indeks atau logaritma).
Melaksanakan strategi: gantikan dan selesaikan.
Membuat refleksi: gantikan jawapan semula untuk menyemak.

Pelaburan RM2 000 dengan J = 2 000(1.05)ⁿ. Selepas berapa tahun jumlah melebihi RM3 000?

2 000(1.05)ⁿ = 3 000, maka (1.05)ⁿ = 1.5 dan n lg 1.05 = lg 1.5. Jadi n = 0.17610.0212 = 8.31.
Oleh sebab n mesti integer dan jumlah mesti melebihi RM3 000, n = 9 tahun. Semak: 2 000(1.05)⁸ = RM2 954.91 (kurang) dan 2 000(1.05)⁹ = RM3 102.66 (lebih).

Susutan: jisim bahan ialah W(t) = 64 × 2^−0.1t gram selepas t hari.

(a) Jisim asal: W(0) = 64 × 2⁰ = 64 g.
(b) Selepas 20 hari: W(20) = 64 × 2⁻² = 16 g.
(c) Masa untuk jisim menjadi 4 g: 4 = 64 × 2^−0.1t, 2^−0.1t = 116 = 2⁻⁴, maka −0.1t = −4 dan t = 40 hari.

Jika diberi bentuk e^kt, guna ln dan ingat ln e = 1. Jika kuantiti berkurang, semak jawapan masuk akal: masa tidak boleh negatif.

Jika T = 30(1.2)^x, cari masa x (3 t.p.) apabila T = 1 500.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(1.2)^x = 50, x = lg 50lg 1.2 = 1.69900.0792 = 21.457