Matematik Tambahan notesnota, bab 5
Janjang
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 126–151
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh mengenal pasti janjang aritmetik, menyatakan beza sepunya dan memberi justifikasi (5.1.1)
- Saya boleh menerbitkan dan menggunakan rumus sebutan ke-n, Tn = a + (n − 1)d, bagi janjang aritmetik (5.1.2)
- Saya boleh menerbitkan dan menggunakan rumus hasil tambah n sebutan pertama, Sn = n/2 [2a + (n − 1)d], dan Tn = Sn − Sn−1 (5.1.3)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan janjang aritmetik (5.1.4)
- Saya boleh mengenal pasti janjang geometri, menyatakan nisbah sepunya dan memberi justifikasi (5.2.1)
- Saya boleh menerbitkan dan menggunakan rumus sebutan ke-n, Tn = ar^(n−1), bagi janjang geometri (5.2.2)
- Saya boleh menerbitkan dan menggunakan rumus hasil tambah n sebutan pertama janjang geometri (5.2.3)
- Saya boleh menentukan hasil tambah ketakterhinggaan, S∞ = a / (1 − r) dengan |r| < 1, dan mengungkapkan perpuluhan berulang sebagai pecahan (5.2.4)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan janjang geometri (5.2.5)
5.1Janjang aritmetik
Mengenal pasti janjang aritmetik (5.1.1)
Jujukan ialah senarai nombor yang mengikut corak tertentu. Setiap nombor ialah satu sebutan: T1 sebutan pertama, T2 sebutan kedua dan Tn sebutan ke-n. Janjang aritmetik ialah jujukan nombor dengan setiap sebutan diperoleh dengan menambahkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar itu ialah beza sepunya, d.
d = T2 − T1 = T3 − T2 = … = Tn − Tn−1
Contoh 1 (m.s. 129): janjang aritmetik atau bukan?
(a) 358, 350, 342, … : d1 = 350 − 358 = −8 dan d2 = 342 − 350 = −8. Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = −8.(b) 23, 2, 103, 5, … : d1 = 2 − 23 = 43, d2 = 103 − 2 = 43, tetapi d3 = 5 − 103 = 53. Bukan janjang aritmetik kerana d1 = d2 ≠ d3.
Semak semua beza yang boleh dihitung. Tolak dalam arah yang sama: sebutan kemudian tolak sebutan sebelumnya. Janjang aritmetik yang menurun mempunyai d negatif.
Dua beza yang sama daripada jujukan yang lebih panjang tidak membuktikan janjang aritmetik. Dalam Contoh 1(b), dua beza yang pertama sama, tetapi beza ketiga berbeza.
Adakah 0.1, 0.01, 0.001, … janjang aritmetik? Beri justifikasi.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
Bukan. d1 = 0.01 − 0.1 = −0.09 tetapi d2 = 0.001 − 0.01 = −0.009. Beza sepunya tidak sama.
Sebutan ke-n janjang aritmetik (5.1.2)
Katakan sebutan pertama ialah a dan beza sepunya d. Maka T1 = a, T2 = a + d, T3 = a + 2d. Bilangan d ialah satu kurang daripada nombor kedudukan sebutan itu.
Tn = a + (n − 1)d, dengan a = sebutan pertama, d = beza sepunya dan n = bilangan sebutan.
Contoh 3 dan 4 (m.s. 131)
(a) Sebutan ke-15 bagi −4, 2, 8, … : a = −4, d = 2 − (−4) = 6. T15 = −4 + (15 − 1)(6) = 80.(b) a = −6, d = 11 dan Tn = 126: 126 = −6 + (n − 1)(11) = 11n − 17, maka n = 13.
Contoh 5 (m.s. 131-132): susunan buku
Buku disusun menegak. Buku pertama di bahagian paling bawah setebal 2 cm dan setiap buku seterusnya setebal 1.5 cm. Jumlah ketebalan: 2, 3.5, 5, 6.5, … dengan a = 2, d = 1.5.(a) 16 buku: T16 = 2 + 15(1.5) = 24.5 cm.
(b) Tinggi 30.5 cm: 30.5 = 2 + (n − 1)(1.5), maka n − 1 = 19 dan n = 20 buku.
Diberi dua sebutan? Tulis dua persamaan dalam a dan d, kemudian tolak. Bagi Tm dan Tk, bezanya ialah (m − k)d. Contohnya T2 = 3 dan T17 = 54 memberi 15d = 51, d = 3.4 dan a = −0.4.
Gunakan n − 1, bukan n, dalam kurungan. Semak bahawa n ialah nombor bulat positif.
Cari sebutan ke-20 bagi 5, 8, 11, … dan nyatakan sebutan yang bernilai 80.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
a = 5, d = 3. T20 = 5 + 19(3) = 62. Bagi 80: 5 + (n − 1)(3) = 80, maka n − 1 = 25 dan n = 26.
Hasil tambah n sebutan pertama, Sn (5.1.3)
Buku teks menerbitkan rumus ini dengan petak segi empat tepat (Inkuiri 3): dua salinan sebutan-sebutan yang disusun songsang membentuk segi empat tepat dengan tinggi a + Tn dan lebar n. Sn ialah separuh daripada luas itu.
Sn = n2[2a + (n − 1)d] atau Sn = n2[a + Tn] = n2[a + l], dengan l = sebutan terakhir.
| Diberi | Guna |
|---|---|
| a, d dan n | Sn = n2[2a + (n − 1)d] |
| a, sebutan terakhir l dan n | Sn = n2(a + l) |
| Sn sebagai rumus dalam n, dan sebutan ke-n dikehendaki | Tn = Sn − Sn−1 |
Contoh 6 (m.s. 134): 4, 7, 10, …
a = 4, d = 3.(a) S35 = 352[2(4) + 34(3)] = 352(110) = 1 925.
(b) Sn = n2[2(4) + (n − 1)(3)] = n2(5 + 3n).
Contoh 7 (m.s. 134-135): dua hasil tambah diberi
Hasil tambah 10 sebutan pertama ialah 230 dan hasil tambah 10 sebutan yang berikutnya ialah 630. Maka S10 = 230 dan S20 = 230 + 630 = 860.5(2a + 9d) = 230 memberi 2a + 9d = 46 … ①. 10(2a + 19d) = 860 memberi 2a + 19d = 86 … ②. ② − ① : 10d = 40, d = 4. Ganti dalam ①: 2a = 46 − 36 = 10, a = 5.
Jangan anggap S20 = 630. Nombor 630 ialah hasil tambah sebutan ke-11 hingga ke-20, maka S20 = S10 + 630 = 860.
Contoh 8 (m.s. 135): sarang lebah
2, 5, 8, … lubang heksagon: a = 2, d = 3.(a) Hari ke-12: S12 = 122[2(2) + 11(3)] = 6 × 37 = 222 lubang.
(b) Sn > 1 000: n2[4 + 3(n − 1)] > 1 000, maka 3n2 + n − 2 000 > 0. Punca persamaan ialah n = 25.65 atau n = −25.99 (diabaikan). Maka n > 25.65 dan bilangan hari minimum ialah 26.
Ketaksamaan seperti Sn > 1 000 menjadi kuadratik dalam n. Selesaikan, abaikan punca negatif, kemudian ambil nombor bulat seterusnya yang lebih besar daripada punca.
Cari S12 bagi janjang aritmetik 2, 5, 8, …
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
a = 2, d = 3. S12 = 122[4 + 11(3)] = 6 × 37 = 222.
Menyelesaikan masalah janjang aritmetik (5.1.4)
Buku teks menggunakan empat langkah (m.s. 137): memahami masalah, merancang strategi (tentukan sama ada perlu Tn atau Sn), melaksanakan strategi dan membuat refleksi (semak jawapan dan tulis kesimpulan dalam ayat).
Contoh 9 (m.s. 137): ayam
1 500 ekor ayam, 200 ekor dijual setiap hari: 1 500, 1 300, 1 100, …, 300. a = 1 500, d = −200. 300 = 1 500 + (n − 1)(−200) memberi n = 7. Kos makanan seekor ayam ialah RM0.50 sehari, maka jumlah kos = S7 × RM0.50 = 72[2(1 500) + 6(−200)] × 0.50 = 6 300 × 0.50 = RM3 150.Perkataan “sebutan ke-” dan “berapakah” pada satu kedudukan meminta Tn; “jumlah”, “keseluruhan” dan “hasil tambah” meminta Sn.
Latih Diri 5.4 No. 2 (m.s. 138): dawai
Dawai 240 cm dipotong kepada 15 bahagian yang panjangnya membentuk janjang aritmetik. Bahagian terpanjang 30 cm. S15 = 152(a + 30) = 240, maka a + 30 = 32 dan bahagian terpendek ialah 2 cm. Beza sepunya: 30 = 2 + 14d, d = 2 cm.5.2Janjang geometri
Mengenal pasti janjang geometri (5.2.1)
Janjang geometri ialah jujukan nombor dengan setiap sebutan diperoleh dengan mendarabkan satu pemalar dengan sebutan sebelumnya. Pemalar itu ialah nisbah sepunya, r = T2T1 = T3T2 = … = TnTn−1.
Contoh 10 (m.s. 140)
(a) 5, 15, 45, 135, … : r = 155 = 4515 = 13545 = 3. Janjang geometri kerana r sama.(b) 0.1, 0.2, 0.3, … : 0.20.1 = 2 tetapi 0.30.2 = 32. Bukan janjang geometri kerana r tidak sama (ia ialah janjang aritmetik dengan d = 0.1).
Jika x, y, z tiga sebutan berturutan janjang geometri, maka yx = zy dan y2 = xz. Bagi janjang aritmetik pula, 2y = x + z. Contohnya x − 2, x + 1, 4x + 4 memberi (x + 1)2 = (x − 2)(4x + 4), iaitu x2 − 2x − 3 = 0, maka x = 3 atau x = −1. Bagi x = −1 sebutannya −3, 0, 0 (bukan janjang geometri), maka x = 3: sebutan 1, 4, 16 dan r = 4.
r boleh negatif (tanda sebutan berselang-seli) atau pecahan (sebutan mengecil). Jika r = 1 jujukan itu malar; r tidak boleh 0.
Adakah 12, 4, 43, … janjang geometri? Apakah r?
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
Ya. 4 ÷ 12 = 13 dan 43 ÷ 4 = 13. r = 13.
Sebutan ke-n janjang geometri (5.2.2)
Tn = arn−1, dengan a = sebutan pertama, r = nisbah sepunya dan n = bilangan sebutan.
Contoh 11 dan 12 (m.s. 142)
(a) 4, −20, 100, −500, … : r = −20 ÷ 4 = −5. T5 = 4(−5)4 = 2 500.(b) 2, 23, 29, 227, … : r = 13. T7 = 2(13)6 = 2729.
(c) Bilangan sebutan bagi −253, 53, −13, …, 19 375: r = −15. 19 375 = −253(−15)n−1, maka (−15)n−1 = −178 125 = (−15)7. n − 1 = 7, n = 8.
Contoh 13 (m.s. 142-143): kerusi di stadium
20 kerusi pada baris pertama dan setiap baris seterusnya satu setengah kali baris sebelumnya: a = 20, r = 1.5.(a) T10 = 20(1.5)9 = 768.9, maka maksimum 768 kerusi.
(b) 20(1.5)n−1 ≥ 505, (1.5)n−1 ≥ 25.25. Ambil logaritma: (n − 1) log 1.5 ≥ log 25.25, n − 1 ≥ 7.96, n ≥ 8.96. Baris ke-9 mempunyai sekurang-kurangnya 505 kerusi.
Apabila n berada pada kuasa, ambil logaritma kedua-dua belah (Bab 4). Oleh sebab n mesti nombor bulat, bundarkan ke atas bagi “sekurang-kurangnya” dan semak dengan penggantian.
Apabila membahagi dengan nombor negatif atau dengan log nombor antara 0 dengan 1 (seperti log 0.95 atau log 0.6), tanda ketaksamaan berbalik.
Cari T6 bagi janjang geometri 2, 6, 18, …
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
r = 3. T6 = 2 × 35 = 486.
Hasil tambah n sebutan pertama janjang geometri (5.2.3)
Tulis Sn = a + ar + ar2 + … + arn−1 ①. Darabkan dengan r: rSn = ar + ar2 + … + arn ②. Tolak: hampir semua sebutan di tengah-tengah dihapuskan dan Sn − rSn = a − arn.
Sn = a(rn − 1)r − 1 (biasanya apabila |r| > 1) atau Sn = a(1 − rn)1 − r (biasanya apabila |r| < 1), dengan r ≠ 1. Juga Tn = Sn − Sn−1.
Contoh 14 dan 15 (m.s. 144-145)
Siri 1 + 5 + 25 + 125 + 625 + … : a = 1, r = 5.(a) S10 = 1(510 − 1)5 − 1 = 2 441 406.
(b) Sn = 3 906: 5n − 14 = 3 906, 5n = 15 625, n log 5 = log 15 625, n = 6.
Strategi pemasaran: setiap ahli mendapatkan 2 orang ahli di bawahnya. Bilangan ahli bagi setiap tahap ialah 1, 2, 4, 8, … (r = 2), iaitu janjang geometri. Bagi 9 tahap, S9 = 1(29 − 1)2 − 1 = 511 orang.
Pilih bentuk dengan penyebut positif: r > 1 guna rn − 1r − 1; r < 1 guna 1 − rn1 − r. Jawapannya sama tetapi kesilapan tanda lebih sedikit.
Cari S5 bagi 3, 6, 12, …
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
a = 3, r = 2. S5 = 3(25 − 1)2 − 1 = 3 × 31 = 93.
Hasil tambah ketakterhinggaan janjang geometri (5.2.4)
Dalam Inkuiri 6, bagi janjang geometri 64, 32, 16, … nilai rn semakin kecil apabila n bertambah dan Sn menghampiri satu nilai tetap.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| rn | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 | 0.03125 | 0.000977 | 0.00000095 |
| Sn | 64 | 96 | 112 | 120 | 124 | 127.875 | 127.9999 |
Apabila n → ∞, rn → 0 dan Sn → a1 − r.
S∞ = a1 − r, dengan |r| < 1 (iaitu −1 < r < 1).
Contoh 16 dan 17 (m.s. 146-147)
45, 9, 1.8, … : r = 945 = 15. S∞ = 451 − 15 = 5614.S∞ = 3112 = 632 dan hasil tambah dua sebutan pertama ialah 28. Maka a = 632(1 − r) ① dan a(1 + r) = 28 ②. ② ÷ ①: (1 + r)(1 − r) = 89, maka 1 − r2 = 89, r2 = 19 dan r = 13 atau r = −13.
Contoh 18 (m.s. 147): perpuluhan berulang
0.56363… = 0.5 + (0.063 + 0.00063 + 0.0000063 + …). Kurungan ialah janjang geometri dengan a = 0.063 dan r = 0.01, maka hasil tambahnya ialah 0.0631 − 0.01 = 7110. Jumlah = 12 + 7110 = 3155.Semak |r| < 1 sebelum menggunakan S∞. Bagi 2, 6, 18, … sebutannya terus membesar, maka tiada hasil tambah ketakterhinggaan.
Perpuluhan berulang: asingkan bahagian yang tidak berulang, kemudian anggap digit berulang sebagai janjang geometri dengan r = 0.1 (satu digit berulang), 0.01 (dua digit) dan seterusnya. Contohnya 4.818181… = 4 + 0.81 + 0.0081 + … = 4 + 0.810.99 = 4 + 911 = 5311.
Ungkapkan 0.7777… sebagai pecahan menggunakan S∞.
Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan
0.7 + 0.07 + 0.007 + …: a = 0.7, r = 0.1. S∞ = 0.70.9 = 79.
Menyelesaikan masalah janjang geometri (5.2.5)
Contoh 19 (m.s. 148): jualan telefon pintar
Pada 2015 syarikat menjual 0.5 juta telefon dan jualan meningkat 4% setiap tahun: a = 0.5, r = 1.04.(a) Tahun 2015 hingga 2020 (6 tahun): S6 = 0.5(1.046 − 1)0.04 = 3.316 juta.
(b) Tahun 2017 hingga 2020: S6 − S2 = 3.316 − 1.02 = 2.296 juta. Bersaiz 5 inci (33%): 0.758 juta. Bersaiz 6 inci (14%): 0.321 juta. Jumlah = 1.079 juta.
Latih Diri 5.6 No. 2 (m.s. 143): bola melantun
Lantunan terbesar 3 m dan setiap lantunan 95% daripada lantunan sebelumnya: a = 3, r = 0.95. 3(0.95)n−1 < 1 memberi (0.95)n−1 < 13, (n − 1) log 0.95 < log 13. Oleh sebab log 0.95 negatif, n − 1 > 21.42 (tanda berbalik), maka n = 23: lantunan ke-23.“Meningkat 4%” bermaksud r = 1.04. “Menurun 5%” bermaksud r = 0.95. Perubahan peratusan setiap tempoh ialah janjang geometri; jumlah tetap setiap tempoh ialah janjang aritmetik.
Penerokaan Matematik (m.s. 151): dua tabung
Tabung pertama: 50 sen, RM1, RM1.50, … (janjang aritmetik, a = 50, d = 50). Tabung kedua: 10 sen, 20 sen, 40 sen, … (janjang geometri, a = 10, r = 2). Selepas 10 hari: tabung pertama S10 = 102[100 + 9(50)] = 2 750 sen = RM27.50; tabung kedua S10 = 10(210 − 1)1 = 10 230 sen = RM102.30. Janjang geometri bermula rendah tetapi akhirnya jauh mengatasi janjang aritmetik.
![Peta konsep Rumusan Bab 5: Janjang aritmetik dengan Tn = a + (n − 1)d dan Sn = n/2 [2a + (n − 1)d]; janjang geometri dengan Tn = ar^(n−1), hasil tambah n sebutan pertama dan hasil tambah ketakterhinggaan S∞ = a/(1 − r), |r| < 1; kedua-duanya digunakan untuk penyelesaian masalah](img/tb-rumusan.webp)
Rajah daripada buku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), m.s. 150.
| Janjang aritmetik | Janjang geometri | |
|---|---|---|
| Setiap sebutan | ditambah dengan d | didarab dengan r |
| Sebutan ke-n | a + (n − 1)d | arn−1 |
| Hasil tambah n sebutan | n2[2a + (n − 1)d] | a(rn − 1)r − 1 atau a(1 − rn)1 − r |
| Hasil tambah ketakterhinggaan | tiada | a1 − r apabila |r| < 1 |