Matematik Tambahan notesnota, bab 6
Hukum Linear
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 152–173
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh membezakan hubungan linear dan hubungan tak linear berdasarkan jadual data dan graf (6.1.1)
- Saya boleh melukis garis lurus penyuaian terbaik bagi graf hubungan linear dengan skala yang sesuai (6.1.2)
- Saya boleh membentuk persamaan garis lurus penyuaian terbaik, Y = mX + c, daripada dua titik pada garis itu (6.1.3)
- Saya boleh mentafsir maklumat berdasarkan garis lurus penyuaian terbaik, sama ada dengan membaca graf atau menggunakan persamaannya (6.1.4)
- Saya boleh menukarkan persamaan tak linear kepada bentuk linear Y = mX + c dan mengenal pasti Y, X, m dan c (6.2.1)
- Saya boleh mencari pemalar yang tidak diketahui bagi suatu hubungan tak linear daripada graf garis lurus, termasuk bentuk logaritma (6.2.1)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan hukum linear (6.3.1)
6.1Hubungan linear dan tak linear
Hubungan linear: graf yang diperoleh ialah satu garis lurus, dengan persamaan Y = mX + c. Hubungan tak linear: graf yang diperoleh bukan garis lurus, iaitu satu lengkung.
Dalam Y = mX + c, X ialah pemboleh ubah pada paksi mengufuk (paksi-X), Y ialah pemboleh ubah pada paksi mencancang (paksi-Y), m ialah kecerunan dan c ialah pintasan-Y. Kecerunan ialah kadar perubahan satu pemboleh ubah terhadap pemboleh ubah yang lain; pintasan-Y ialah koordinat-y bagi titik persilangan garis dengan paksi-Y.
Rajah dilukis semula daripada Inkuiri 1, buku teks m.s. 154.
Graf linear boleh diperoleh daripada graf tak linear apabila pemboleh ubah pada paksi-X atau paksi-Y atau kedua-duanya sekali ditukar. Contohnya, y = x² + 1 memberi lengkung bagi y melawan x, tetapi garis lurus bagi y melawan x² (kecerunan 1, pintasan-Y 1) (Latih Diri 6.1 no. 1, m.s. 155).
Contoh 1 (buku teks m.s. 154): linear atau tak linear?
Pasangan (X, Y) dalam jadual (b) ialah (−3, 9), (−2, 7), (−1, 5), (0, 3), (1, 1), (2, −1), (3, −3). Setiap kali X bertambah 1, Y berkurang 2, jadi titik-titik terletak pada garis lurus: hubungan linear, Y = 3 − 2X.Dalam jadual (a), Y ialah −17, 0, 5, 4, 3, 8, 25 bagi X yang sama. Perubahan Y tidak tetap dan graf yang dilukis ialah lengkung: hubungan tak linear.
Titik-titik (1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11) diplot. Adakah hubungan itu linear? Beri alasan anda.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Linear. Y bertambah 2 bagi setiap pertambahan 1 unit X, jadi titik-titik terletak pada satu garis lurus (Y = 2X + 3).
Melukis garis lurus penyuaian terbaik
Garis lurus penyuaian terbaik ialah garis lurus yang menyambungkan kebanyakan titik yang diplotkan pada graf. Titik-titik yang tidak terletak pada garis itu mesti bertaburan secara seimbang di kedua-dua belah garis lurus itu.
- Pilih skala yang sesuai supaya titik-titik memenuhi kebanyakan kertas graf, misalnya 1 cm kepada 1 unit atau 2 cm kepada 5 unit. Skala pada setiap paksi mestilah seragam, tetapi skala paksi-X dan paksi-Y boleh berbeza.
- Lukis dengan pembaris. Jangan sambungkan titik-titik satu demi satu.
- Titik yang jauh menyimpang daripada garis (contohnya data yang dicatat salah) ditandakan dengan ⊗ dan tidak diambil kira; nilai yang betul dibaca daripada garis (Latihan Intensif 6.3 no. 2, m.s. 168).
- Graf boleh juga dilukis dengan teknologi digital, misalnya perisian Desmos (Inkuiri 2, m.s. 156). Garis yang diperoleh adalah sama dengan garis yang dilukis dengan tangan.
Contoh 2 (buku teks m.s. 156): skala dan garis penyuaian
Data bagi x = 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 ialah y = 0.9, 1.1, 1.3, 1.8, 1.9, 2.1, 2.3. Pada paksi-x pilih 2 cm kepada 2 unit dan pada paksi-y 2 cm kepada 0.5 unit supaya semua titik muat. Titik-titik hampir terletak pada satu garis lurus yang menaik dengan pintasan-y kira-kira 0.5, dan titik yang tidak tepat pada garis berada di kedua-dua belahnya secara seimbang.Membentuk persamaan garis lurus penyuaian terbaik
Persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk Y = mX + c. Pilih dua titik yang terletak pada garis (bukan titik data yang berada di luar garis), kemudian hitung m = (Y₂ − Y₁) ÷ (X₂ − X₁). Cari c daripada pintasan-Y atau dengan menggantikan satu titik ke dalam Y = mX + c.
Contoh 3 (buku teks m.s. 157): graf 1/y melawan 1/x
Garis lurus melalui A(1, 7) dan B(19, 20) apabila 1/y diplot melawan 1/x.Kecerunan m = (20 − 7) ÷ (19 − 1) = 13/18.
Gantikan B: 20 = (13/18)(19) + c, maka c = 113/18.
Maka 1/y = (13/18)(1/x) + 113/18 = (13 + 113x)/(18x), iaitu y = 18x/(13 + 113x).
Semakan dengan A: 13/18 + 113/18 = 126/18 = 7.
Contoh 4 (buku teks m.s. 158): persamaan garis lurus penyuaian terbaik
Rajah dilukis semula daripada buku teks m.s. 158.
Daripada graf: pintasan-y, c = 2. Kecerunan m = (7.6 − 2) ÷ (4 − 0) = 1.4.Persamaan garis lurus penyuaian terbaik ialah y = 1.4x + 2.
Ambil kecerunan daripada dua titik pada garis yang berjauhan, bukan daripada titik data. Baca c di tempat garis memotong paksi-Y hanya jika paksi-X bermula pada 0; jika tidak, cari c dengan penggantian.
Mentafsir maklumat daripada garis lurus penyuaian terbaik
Daripada garis lurus penyuaian terbaik, kita boleh meramal nilai x atau y yang tidak terdapat dalam eksperimen tanpa mengulang eksperimen itu. Jika nilai berada di luar julat titik-titik, panjangkan garis lurus atau gunakan persamaannya. Persamaan lebih jitu daripada bacaan graf.
Contoh 5 (buku teks m.s. 159 hingga 160): graf log₁₀ y melawan x
Rajah dilukis semula daripada buku teks m.s. 160.
Kecerunan m = (1.60 − 0.80) ÷ (0.7 − 0.3) = 2; pintasan-Y = 0.2. Maka log₁₀ y = 2x + 0.2.Apabila x = 0: log₁₀ y = 0.2, maka y = 100.2 = 1.585.
Apabila log₁₀ y = 2: 2x + 0.2 = 2, maka x = 0.9.
Apabila y = 20: log₁₀ 20 = 1.3, maka 2x + 0.2 = 1.3 dan x = 0.55 (buku teks membaca 0.56 daripada graf).
Garis lurus penyuaian terbaik mempunyai persamaan y = 1.4x + 2. Cari y apabila x = 5 dan x apabila y = 12.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
x = 5: y = 1.4(5) + 2 = 9.
y = 12: 1.4x = 10, maka x = 7.14.
y = 12: 1.4x = 10, maka x = 7.14.
6.2Hukum linear dan hubungan tak linear
Hukum linear: persamaan tak linear boleh ditukarkan kepada bentuk linear Y = mX + c supaya satu graf garis lurus dapat dilukis. Daripada graf garis lurus itu, maklumat dapat diperoleh dengan lebih mudah berbanding graf lengkung dan pemalar yang tidak diketahui dapat dicari. Penukaran dengan membandingkan dengan Y = mX + c ialah kaedah pemerinyuan.
Tip pintar: pilih pemboleh ubah X dan Y yang sesuai. X dan Y mesti mengandungi pemboleh ubah sahaja, tidak boleh mengandungi pemalar yang belum diketahui. m dan c pula mesti mengandungi pemalar sahaja. Persamaan yang sama boleh ditukarkan dengan lebih daripada satu cara.
Menukarkan kepada bentuk linear
Persamaan y = ax + b/x (a dan b pemalar) boleh ditukar dengan dua kaedah (m.s. 162):
- Kaedah 1: darab dengan x, xy = ax² + b. Maka Y = xy, X = x², m = a, c = b.
- Kaedah 2: bahagi dengan x, y/x = b(1/x²) + a. Maka Y = y/x, X = 1/x², m = b, c = a.
| Persamaan tak linear | Langkah | Y | X | m | c |
|---|---|---|---|---|---|
| y = ax + b/x | darab x: xy = ax² + b | xy | x² | a | b |
| y = ax + b/x | bahagi x: y/x = b(1/x²) + a | y/x | 1/x² | b | a |
| y = px² + qx | bahagi x: y/x = px + q | y/x | x | p | q |
| y = pqx | ambil log₁₀: log₁₀ y = (log₁₀ q)x + log₁₀ p | log₁₀ y | x | log₁₀ q | log₁₀ p |
| y = axb | ambil log₁₀: log₁₀ y = b log₁₀ x + log₁₀ a | log₁₀ y | log₁₀ x | b | log₁₀ a |
| y = px/q | log₁₀ y = (log₁₀ p)x − log₁₀ q | log₁₀ y | x | log₁₀ p | −log₁₀ q |
Contoh 6 (buku teks m.s. 162): y = pqx
Ambil logaritma kedua-dua belah: log₁₀ y = log₁₀ p + x log₁₀ q = (log₁₀ q)x + log₁₀ p.Perbandingan dengan Y = mX + c: Y = log₁₀ y, X = x, m = log₁₀ q, c = log₁₀ p.
Contoh berangka: bagi y = 3 × 2x, log₁₀ y = 0.301x + 0.477. Daripada graf, q = 100.301 = 2 dan p = 100.477 = 3.
Selepas mengambil logaritma, p dan q dicari daripada log₁₀ p dan log₁₀ q dengan antilog: p = 10c, q = 10m. Jangan beri log₁₀ q sebagai nilai q.
Contoh 7 (buku teks m.s. 163): 3y − px² = qx
(a) Bahagi dengan 3x: y/x − px/3 = q/3, maka y/x = (p/3)x + q/3. Y = y/x, X = x, m = p/3, c = q/3.(b) Jadual y/x melawan x: x = 1, 2, 3, 5, 7, 9 memberi y/x = 20, 17, 16, 12, 9, 4.
Rajah dilukis semula daripada buku teks m.s. 163.
(c) Pintasan-Y = 22, maka q/3 = 22 dan q = 66. Kecerunan = (4 − 22) ÷ (9 − 0) = −2, maka p/3 = −2 dan p = −6.Contoh 8 (buku teks m.s. 164): y = px/q
log₁₀ y = x log₁₀ p − log₁₀ q = (log₁₀ p)x − log₁₀ q. Maka Y = log₁₀ y, X = x, m = log₁₀ p, c = −log₁₀ q.Daripada graf, pintasan-Y = −2.5, jadi −log₁₀ q = −2.5, log₁₀ q = 2.5 dan q = 316.228.
Kecerunan = (2.00 − 3.80) ÷ (5 − 7) = 0.9, jadi log₁₀ p = 0.9 dan p = 7.943.
Apabila x = 3: log₁₀ y = 0.9(3) − 2.5 = 0.2, maka y = 1.585.
Tukarkan y = 5x² + 3x kepada bentuk Y = mX + c dan kenal pasti Y, X, m dan c. Kemudian lakukan yang sama bagi y = hxk.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Pertama: bahagi dengan x, y/x = 5x + 3. Y = y/x, X = x, m = 5, c = 3.
Kedua: log₁₀ y = k log₁₀ x + log₁₀ h. Y = log₁₀ y, X = log₁₀ x, m = k, c = log₁₀ h.
Kedua: log₁₀ y = k log₁₀ x + log₁₀ h. Y = log₁₀ y, X = log₁₀ x, m = k, c = log₁₀ h.
6.3Aplikasi hukum linear
Buku teks menggunakan empat langkah menyelesaikan masalah: memahami masalah (kenal pasti pemboleh ubah bagi paksi-X dan paksi-Y), merancang strategi (tukarkan kepada Y = mX + c dan bina jadual baharu), melaksanakan strategi (plot graf, baca m dan c, cari pemalar) dan membuat refleksi (semak dengan penggantian semula).
Contoh 9 (buku teks m.s. 166 hingga 167): P = 180 + rK − sK²
Susun semula: P − 180 = rK − sK². Bahagi dengan K: (P − 180)/K = −sK + r.Maka Y = (P − 180)/K, X = K, m = −s dan c = r.
Jadual baharu: K = 1, 3, 4, 6, 8, 10 memberi (P − 180)/K = 1.00, −0.10, −0.50, −2.00, −2.88, −4.00.
Daripada graf: pintasan-Y = 1.6, maka r = 1.6; kecerunan −s = (−4 − 1.6) ÷ (10 − 0) = −0.56, maka s = 0.56.
Refleksi: apabila K = 3, P = 180 + 1.6(3) − 0.56(9) = 179.76 ≈ 179.7, sepadan dengan jadual.
Apabila rumus mempunyai beberapa sebutan dengan kuasa pemboleh ubah yang berbeza, pindahkan sebutan yang tidak mengandungi pemalar ke sebelah kiri, kemudian bahagi supaya tinggal satu sebutan pemalar. Sentiasa bina jadual baharu bagi nilai Y dan X sebelum memplot.
Contoh tambahan: xy − yb = a (Latih Diri 6.6 no. 2, m.s. 168)
xy − yb = a boleh ditulis sebagai y = (1/b)(xy) − a/b: plot y melawan xy, kecerunan 1/b dan pintasan-Y −a/b. Cara lain: plot 1/y melawan x, kerana 1/y = (1/a)(x) − b/a, dengan kecerunan 1/a dan pintasan-Y −b/a.Ketinggian h suatu objek dikaitkan dengan masa t oleh h = at − bt². Pemboleh ubah yang manakah diplot untuk mendapatkan garis lurus, dan apakah yang diberikan oleh kecerunan dan pintasan-Y?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Bahagi dengan t: h/t = −bt + a. Plot h/t melawan t. Kecerunan ialah −b dan pintasan-Y ialah a.
Sebelum peperiksaan, semak kerja anda: gantikan nilai pemalar yang diperoleh ke dalam persamaan asal dan bandingkan dengan satu atau dua baris dalam jadual.
Nota ini mengikut Matematik Tambahan Tingkatan 4 KSSM, Bab 6, m.s. 152 hingga 173; rajah dilukis semula daripada contoh buku teks.