Matematik Tambahan notesnota, bab 7

Geometri Koordinat

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 174–209

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh membuat perkaitan antara kedudukan titik yang membahagikan suatu tembereng garis dengan nisbah m : n (7.1.1)
Saya boleh menerbitkan dan menggunakan rumus pembahagi tembereng garis pada satah Cartes untuk mencari koordinat titik atau nisbah (7.1.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan pembahagi tembereng garis (7.1.3)
Saya boleh membuat dan mengesahkan konjektur bahawa garis lurus selari mempunyai kecerunan yang sama (m1 = m2) dan garis lurus serenjang mempunyai m1m2 = −1 (7.2.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan garis lurus selari dan garis lurus serenjang (7.2.2)
Saya boleh menerbitkan rumus luas segi tiga dan menggunakan kaedah shoelace untuk mencari luas segi tiga serta menunjukkan tiga titik adalah segaris (7.3.1, 7.3.2)
Saya boleh mencari luas sisi empat dan luas poligon n-sisi daripada koordinat bucunya (7.3.3, 7.3.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan luas poligon (7.3.5)
Saya boleh menentukan persamaan lokus bagi titik yang bergerak pada jarak malar dari titik tetap, pada nisbah jarak malar dari dua titik tetap, atau sentiasa sama jarak dari dua titik tetap (7.4.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan lokus (7.4.2)

7.1Pembahagi tembereng garis

Tembereng garis ialah sebahagian daripada garis lurus yang mempunyai dua titik hujung. Titik P pada tembereng garis AB membahagikan AB dengan nisbah m : n, ditulis AP : PB = m : n. AB dibahagikan kepada (m + n) bahagian yang sama: m bahagian dari A ke P dan n bahagian dari P ke B. Jika m = n, P ialah titik tengah AB.

Kedudukan P menentukan nisbah, dan nisbah menentukan kedudukan P. Baca nisbah mengikut susunan huruf: AP : PB.

Jika R berada 7/9 daripada jarak PQ dari P (Contoh 1, m.s. 177), maka PR : PQ = 7 : 9, RQ : PR = 2 : 7 dan PR : RQ = 7 : 2. R lebih hampir dengan Q kerana R sudah melepasi separuh jarak dari P.

Rumus pembahagi tembereng garis (m.s. 178)

Jika A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) dan P(x, y) membahagikan AB dengan nisbah m : n, garis menegak dari A, P dan B ke paksi-x membentuk garis selari, jadi (x − x₁)/(x₂ − x) = m/n. Selesaikan untuk x (dan cara yang sama untuk y):

P(x, y) = ( (nx₁ + mx₂) / (m + n) , (ny₁ + my₂) / (m + n) )
Titik tengah (m = n): M = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 )

Nombor m berpasangan dengan titik hujung B (yang jauh dari A) dan n berpasangan dengan A. Jika m dan n bertukar, anda mendapat titik di sebelah yang salah bagi titik tengah.

Satah Cartes dengan tembereng garis AB, A(2, −4) dan B(12, 6); titik P(6, 0) membahagikan AB dengan nisbah 2 : 3 — Rajah 1: P membahagikan AB dengan nisbah AP : PB = 2 : 3. Dua bahagian dari A, tiga bahagian ke B.

Contoh 2(a), m.s. 179: mencari koordinat titik

A(−5, −2) dan B(5, 8). P membahagikan AB dengan nisbah 3 : 2, jadi m = 3, n = 2.
x = (2(−5) + 3(5)) / 5 = 5/5 = 1
y = (2(−2) + 3(8)) / 5 = 20/5 = 4
P = (1, 4)

Contoh 3, m.s. 180: mencari nisbah

P(−1, 2) membahagikan tembereng garis AB dengan A(−2, 1) dan B(2, 5). Katakan AP : PB = m : n. Daripada koordinat-x:
(n(−2) + m(2)) / (m + n) = −1, maka 2m − 2n = −m − n, maka 3m = n, maka m : n = 1 : 3.
Semak dengan koordinat-y: (n(1) + m(5))/(m + n) = (3 + 5)/4 = 2.

A(−2, 3) dan B(8, −2). Cari titik P yang membahagikan AB dengan nisbah 3 : 2.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

x = (2(−2) + 3(8))/5 = 20/5 = 4 dan y = (2(3) + 3(−2))/5 = 0/5 = 0. Maka P = (4, 0).

Masalah pembahagi tembereng garis (m.s. 180 hingga 182)

Jika benda bergerak dengan laju seragam di sepanjang garis lurus, nisbah jarak sama dengan nisbah masa. Dalam Contoh 4, labah-labah bergerak dari E(−7, −5) ke G(13, 5) dalam 60 saat. Selepas 18 saat, EP : EG = 18 : 60 = 3 : 10, jadi EP : PG = 3 : 7, dan P = (7(−7) + 3(13))/10, (7(−5) + 3(5))/10) = (−1, −2).

Strategi masalah dalam buku teks: (1) fahami masalah, (2) rancang strategi, (3) laksanakan strategi, (4) buat refleksi. Untuk refleksi, semak nisbah dengan rumus jarak: EP = 3√5 dan PG = 7√5, maka EP : PG = 3 : 7.

Jika dua benda bergerak dan bertemu, gunakan nisbah laju sebagai nisbah jarak yang dilalui. Dalam Latih Diri 7.3 no. 3, anak itik H dua kali ganda laju K, maka HL : LK = 2 : 1.

7.2Garis lurus selari dan garis lurus serenjang

Kecerunan, m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan θ, dengan θ ialah sudut garis lurus dengan arah positif paksi-x dan 0° ≤ θ < 180° (m.s. 185). Jika θ = 90°, kecerunan tidak tertakrif.

Garis lurus	Syarat	Sebab
Selari	m₁ = m₂	Sudut sepadan sama, θ₁ = θ₂, maka tan θ₁ = tan θ₂
Serenjang	m₁m₂ = −1	θ₂ = 90° + θ₁ (sudut peluaran), maka tan θ₂ = −1/tan θ₁

Tiga garis lurus: dua selari dengan kecerunan 1/2 dan satu serenjang dengan kecerunan −2 — Rajah 2: L₁ dan L₂ selari (kecerunan sama). L₃ serenjang dengan kedua-duanya kerana ½ × (−2) = −1.

Poket Matematik: tulis persamaan dalam bentuk kecerunan y = mx + c dahulu. Bagi ax + by = c, kecerunan = −a/b. Bagi bentuk pintasan x/a + y/b = 1, kecerunan = −b/a.

Serenjang tidak bermakna kecerunan satu sama lain ialah negatif. Jika m = 3, kecerunan garis serenjang ialah −1/3, bukan −3.

Contoh 5 dan 6, m.s. 186 hingga 187: selari atau serenjang?

(a) 6x + 9y = 7 dan x/3 + y/2 = 1: m₁ = −6/9 = −2/3 dan m₂ = −b/a = −2/3. Kecerunan sama, maka kedua-duanya selari.
(b) y − 3x = 5 dan 3y + x − 12 = 0: m₁ = 3 dan m₂ = −1/3. m₁m₂ = −1, maka kedua-duanya serenjang.

Contoh 6(b), m.s. 187: mencari nilai yang tidak diketahui

A(0, −5), B(2, 1), C(−7, k) dengan ∠ABC = 90°. Kecerunan AB = (1 − (−5))/(2 − 0) = 3, maka kecerunan BC = −1/3.
(k − 1)/(−7 − 2) = −1/3, maka k − 1 = 3, maka k = 4.

Garis lurus 2y = 6 − kx serenjang dengan y = 2x + 1. Cari k.

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

2y = 6 − kx memberi y = 3 − (k/2)x, maka m = −k/2. m × 2 = −1 memberi −k = −1, maka k = 1.

Persamaan garis lurus selari dan serenjang (m.s. 188 hingga 189)

Persamaan garis lurus dengan kecerunan m dan melalui titik (x₁, y₁) ialah y − y₁ = m(x − x₁) (Imbas Kembali). Untuk pembahagi dua sama serenjang AB, gunakan titik tengah AB dan kecerunan −1/m_AB. Untuk mencari persilangan dua garis, selesaikan dua persamaan secara serentak.

Contoh 7, m.s. 188 hingga 189: jalan raya

Jalan raya BC: 5y + 4x = 70, maka y = −(4/5)x + 14 dan m = −4/5. A(18, 16), F(20, −1). AD serenjang dengan BC, EF selari dengan BC.
(a) EF: y − (−1) = −(4/5)(x − 20), maka 5y + 4x = 75.
(b) m_AD = 5/4. AD: y − 16 = (5/4)(x − 18), maka 4y − 5x = −26.
(c) Lampu isyarat di persilangan AD dan BC: 5 × (5y + 4x = 70) dan 4 × (4y − 5x = −26) ditambah memberi 41y = 246, maka y = 6, x = 10. Lampu isyarat di (10, 6).
Refleksi: gantikan A dan F ke dalam persamaan masing-masing untuk menyemak.

7.3Luas poligon

Rumus shoelace: bagi poligon dengan bucu (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n) yang disusun mengikut tertib,
Luas = ½ | (x₁y₂ + x₂y₃ + ... + x_ny₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + ... + x₁y_n) |

Rumus ini diterbitkan dengan luas ΔABC = luas ΔACD + luas trapezium BCDE − luas ΔABE (Rajah 7.2, m.s. 192).

Tulis koordinat bucu dalam dua baris dan ulang bucu pertama di hujung.
Darab menyerong ke bawah (arah anak panah ke kanan) dan tambahkan hasilnya.
Darab menyerong ke atas dan tambahkan hasilnya.
Tolak, ambil nilai mutlak, kemudian darab dengan ½.

Bucu mesti disusun mengikut tertib (ikut arah jam atau lawan arah jam). Jika tidak, jawapan salah. Luas ialah kuantiti skalar, jadi ambil nilai mutlak supaya luas positif. Lakar bucu dahulu.

Segi tiga dengan bucu A(−4, −6), B(5, 3) dan C(2, 8) — Rajah 3: ΔABC dalam Contoh 8, luas 36 unit².

Contoh 8, m.s. 193: luas segi tiga

A(−4, −6), B(5, 3), C(2, 8).
Hasil tambah pertama: (−4)(3) + 5(8) + 2(−6) = −12 + 40 − 12 = 16
Hasil tambah kedua: (−6)(5) + 3(2) + 8(−4) = −30 + 6 − 32 = −56
Luas = ½ |16 − (−56)| = ½ × 72 = 36 unit²
Kaedah kotak (m.s. 194): segi empat tepat 9 × 14 = 126. Tolak tiga segi tiga di sekelilingnya: 126 − 40½ − 7½ − 42 = 36.

Titik segaris mempunyai luas 0 (Sumbang Saran, m.s. 194). Untuk menunjukkan tiga titik segaris, tunjukkan luas segi tiga ialah 0. Jika luas diberi dan satu koordinat tidak diketahui, tertib bucu tidak diketahui, maka tulis ½(...) = ± luas. Contoh 9: A(8, 5), B(−2, −3), C(k, −1), luas 18 unit² memberi ½(8k − 4) = ±18, maka k = −4 atau k = 5.

Cari luas segi tiga dengan bucu (0, 0), (6, 0) dan (0, 4).

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

Hasil tambah pertama = 0 + 6(4) + 0 = 24. Hasil tambah kedua = 0. Luas = ½ × 24 = 12 unit². (Semak: ½ × 6 × 4 = 12.)

Sisi empat dan poligon n-sisi (m.s. 195 hingga 197)

Sisi empat ABCD dipecahkan kepada ΔABC dan ΔACD, dan jumlah luas menghasilkan rumus yang serupa dengan segi tiga: luas = ½ |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)|. Untuk poligon n-sisi, kaedah yang sama digunakan dan bucu pertama diulang di hujung.

Contoh 10 dan 11, m.s. 196 hingga 197

Sisi empat P(3, 5), Q(−1, 3), R(2, −3), S(4, 1): hasil tambah pertama = 9 + 3 + 2 + 20 = 34 dan hasil tambah kedua = −5 + 6 − 12 + 3 = −8. Luas = ½ |34 + 8| = 21 unit².
Pentagon (4, 4), (1, 3), (−1, 1), (1, −1), (5, −2): luas = 21½ unit² (bucu mesti disusun mengikut tertib, lakar dahulu).

Masalah luas poligon (m.s. 197 hingga 198)

Dalam Contoh 12, ΔABC dengan A(−4, −3), B(7, 2), C(−2, 3). M dan N ialah titik tengah AC dan BC, maka M(−3, 0) dan N(5/2, 5/2). Luas ΔCMN = 7 unit² dan luas sisi empat ABNM = 21 unit², maka nisbah luas ΔCMN : luas ABNM = 1 : 3. Gunakan rumus titik tengah dahulu, kemudian rumus shoelace.

Dalam segi empat selari, pepenjuru bersilang pada titik tengah yang sama. Gunakan rumus titik tengah untuk mencari bucu yang tidak diketahui.

7.4Persamaan lokus

Lokus bagi titik yang bergerak P(x, y) ialah lintasan yang dilalui oleh titik itu mengikut syarat yang ditetapkan. Gunakan rumus jarak d = √((x − x₁)² + (y − y₁)²), kemudian kuasa duakan kedua-dua belah untuk menghilangkan punca kuasa dua (m.s. 200).

Syarat bagi P	Bentuk lokus	Persamaan
Jarak r malar dari A(x₁, y₁)	Bulatan	(x − x₁)² + (y − y₁)² = r²
PA : PB = m : n	Bulatan	n²[(x − x₁)² + (y − y₁)²] = m²[(x − x₂)² + (y − y₂)²]
PA = PB (m = n)	Garis lurus (pembahagi dua sama serenjang AB)	(x − x₁)² + (y − y₁)² = (x − x₂)² + (y − y₂)²

Bulatan berpusat A(4, −3) dengan jejari 6 dan titik bergerak P(x, y) pada bulatan — Rajah 4: lokus P ialah bulatan berpusat A(4, −3) dengan jejari 6 (Contoh 13).

Contoh 13, m.s. 201: jarak malar dari titik tetap

P bergerak supaya jaraknya dari A(4, −3) ialah 6 unit.
√((x − 4)² + (y + 3)²) = 6, maka (x − 4)² + (y + 3)² = 36
x² − 8x + 16 + y² + 6y + 9 = 36
x² + y² − 8x + 6y − 11 = 0

Contoh 14 dan 15, m.s. 202: nisbah dan jarak sama

(a) PS : PT = 2 : 1 dengan S(1, 2), T(4, −1): (x − 1)² + (y − 2)² = 4[(x − 4)² + (y + 1)²]. Selepas dipermudah dan dibahagi dengan 3, lokus ialah x² + y² − 10x + 4y + 21 = 0.
(b) QA = QB dengan A(2, 3), B(6, 9): (x − 2)² + (y − 3)² = (x − 6)² + (y − 9)², maka 8x + 12y − 104 = 0, iaitu 2x + 3y − 26 = 0.

Kuasa duakan nisbah juga. PA : PB = 1 : 2 bermakna PA² : PB² = 1 : 4, maka 4PA² = PB². Jangan tulis 2PA² = PB².

Cari lokus P yang sentiasa sama jarak dari O(0, 0) dan A(6, 0).

Tunjukkan jawapanSembunyikan jawapan

x² + y² = (x − 6)² + y², maka 0 = −12x + 36 dan x = 3. Lokus ialah pembahagi dua sama serenjang OA.

Masalah lokus (m.s. 203 hingga 205)

Dalam Contoh 16, seekor kambing diikat dengan tali 4 m pada tiang A(2, 4). Lokus kambing ialah (x − 2)² + (y − 4)² = 16, iaitu x² + y² − 4x − 8y + 4 = 0. Semak: lokus menyentuh paksi-x di (2, 0) dan 4 + 0 − 8 − 0 + 4 = 0. Untuk soalan yang melibatkan sudut tegak ∠ASB = 90°, gunakan hasil darab kecerunan SA dan SB sama dengan −1 (Latihan Intensif 7.4 no. 2).

Rumusan Bab 7: P = ((nx₁ + mx₂)/(m + n), (ny₁ + my₂)/(m + n)); selari m₁ = m₂; serenjang m₁m₂ = −1; luas = ½ |(x₁y₂ + x₂y₃ + ...) − (x₂y₁ + x₃y₂ + ...)|; lokus guna rumus jarak dan kuasa dua kedua-dua belah.

Tulis Jurnal Anda (m.s. 206): bandingkan bentuk am, bentuk kecerunan dan bentuk pintasan bagi persamaan garis lurus. Pilih satu bentuk untuk masalah tertentu dan jelaskan sebabnya.