Matematik Tambahan notesnota, bab 8

Vektor

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 210–239

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh membezakan kuantiti vektor dengan kuantiti skalar, seperti jarak dengan sesaran, laju dengan halaju dan jisim dengan berat (8.1.1)
Saya boleh mewakilkan vektor dengan tembereng garis berarah dan tatatanda vektor, serta menentukan magnitud dan arahnya (8.1.2)
Saya boleh membuat dan mengesahkan konjektur tentang pendaraban vektor dengan skalar, dan menentukan hasil darabnya (8.1.3)
Saya boleh membuat dan mengesahkan konjektur tentang vektor selari, dan menyelesaikan masalah vektor selari dan titik segaris (8.1.4)
Saya boleh menjana penambahan dan penolakan vektor selari dan tidak selari dengan hukum segi tiga, hukum segi empat selari dan hukum poligon untuk menghasilkan vektor paduan (8.2.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan penambahan dan penolakan vektor, termasuk halaju paduan dan titik segaris (8.2.2)
Saya boleh mewakilkan vektor dalam satah Cartes sebagai xi + yj atau vektor lajur, dan menentukan magnitudnya (8.3.1)
Saya boleh menentukan vektor unit dalam arah suatu vektor (8.3.2)
Saya boleh melaksanakan penambahan, penolakan dan pendaraban dengan skalar ke atas vektor dalam satah Cartes (8.3.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah gerakan yang melibatkan vektor kedudukan dan vektor halaju dalam satah Cartes (8.3.4)

8.1Vektor

Kuantiti vektor mempunyai magnitud (saiz) dan arah. Kuantiti skalar mempunyai magnitud sahaja, tanpa arah.

Kuantiti skalar	Kuantiti vektor
Jarak: jumlah panjang lintasan yang dilalui oleh objek	Sesaran: panjang tembereng garis lurus paling pendek antara titik awal dengan titik terminal, dengan arah daripada satu titik rujukan
Laju: kadar perubahan jarak terhadap masa	Halaju: kadar perubahan sesaran terhadap masa; bernilai negatif jika objek bergerak dalam arah bertentangan
Jisim: kuantiti jirim yang terkandung dalam objek, tidak berubah mengikut lokasi	Berat: daya tarikan graviti ke atas objek, berubah mengikut daya tarikan graviti suatu lokasi

Kereta bergerak 40 km ke utara kemudian 30 km ke timur; jarak 70 km, sesaran 50 km dari titik mula ke titik akhir — Jarak ialah 40 + 30 = 70 km, tetapi sesaran ialah garis lurus dari Mula ke Akhir, iaitu 50 km.

Contoh dalam buku teks: suhu cecair (−12°C), tinggi 1.48 m dan luas 120 cm² ialah kuantiti skalar. Daya 50 N dan halaju 90 km j⁻¹ ke arah timur ialah kuantiti vektor. Tekanan, ketegangan dan kekonduksian logam tidak melibatkan vektor dan skalar.

Contoh 1 (m.s. 214): vektor atau skalar?

(a) Mikail berjalan kaki dari rumah ke kedai runcit sejauh 1 km: skalar, kerana hanya ada magnitud.
(b) Kereta dipandu dengan kelajuan 90 km j⁻¹ ke arah selatan: vektor, kerana ada magnitud dan arah.
(c) Suhu badan Alicia mencecah 38°C: skalar, kerana hanya ada magnitud.

Semakan pantas. Adakah isi padu bagi sebotol air mineral, 1.5 l, kuantiti vektor atau skalar? Berikan justifikasi.

Tunjuk jawapan

Skalar, kerana kuantiti itu mempunyai magnitud sahaja.

Mewakilkan vektor dan tatatanda

Vektor diwakili oleh tembereng garis berarah. Anak panah menunjukkan arah dan panjang garis menunjukkan magnitud. Titik A ialah titik awal dan titik B ialah titik terminal.
Tatatanda: →AB atau AB atau a (ditulis sebagai a dengan garis bergelombang di bawahnya). Magnitud ditulis |→AB| atau |AB| atau |a|.

Jenis vektor	Maksud	Contoh dalam buku teks
Vektor sifar, 0	Magnitud sifar dan arah tidak dapat ditentukan	Kereta lumba mengelilingi litar bulatan: titik awal sama dengan titik terminal, maka sesarannya vektor sifar
Vektor sama	Magnitud dan arah sama	Rakesh dan Fauzi mengayuh basikal dengan laju dan arah yang sama, maka v_Rakesh = v_Fauzi
Vektor negatif	Magnitud sama, arah bertentangan	Dua kereta api berselisih pada landasan selari dengan laju sama: halaju satu positif, halaju satu lagi negatif

Vektor negatif bagi →AB ialah →BA, ditulis →BA = −→AB.

Contoh 2 (m.s. 215): melukis vektor dengan skala

Lukis dan labelkan p yang mewakili daya 7 N ke selatan, dengan skala 1 cm mewakili 3.5 N.
Panjang garis = 7 ÷ 3.5 = 2 cm dengan anak panah ke bawah (selatan).

Contoh 3 (m.s. 216): magnitud dan arah

Pada grid 1 cm, vektor →AB bergerak 5 petak ke kanan dan 5 petak ke atas.
|→AB| = √(5² + 5²) = √50 = 5√2 cm. Arahnya ke timur laut.

Latih Diri 8.2, soalan 3 (m.s. 216): dua kereta dari bandar O

Kereta A ke utara dan kereta B ke timur, jadi sudut di O ialah 90°. |→OA| = 90 km dan |→OB| = 75 km.
Jarak antara kedua-dua kereta = √(90² + 75²) = √13 725 = 117.15 km.

Pendaraban vektor dengan skalar

Pendaraban skalar k dengan vektor a menghasilkan vektor ka, dengan keadaan: (a) |ka| = |k| × |a|; (b) arah ka sama dengan arah a jika k > 0; (c) arah ka bertentangan dengan arah a jika k < 0.

Contoh 5 (m.s. 218): sebut dalam c

Dalam rajah buku teks, →RS = 2c, →PQ = 3c dan →LM = −2c. (Tanda negatif bermaksud arah bertentangan dengan c.)

Semakan pantas. Diberi |a| = 5 unit, →AB = 2a dan →CD = 3a. Cari |→AB| dan |→CD|.

Tunjuk jawapan

|→AB| = 2 × 5 = 10 unit; |→CD| = 3 × 5 = 15 unit (kes 1 buku teks, m.s. 217).

Vektor selari dan titik segaris

a dan b ialah selari jika dan hanya jika a = kb, dengan k ialah pemalar.

Jika a dan b ialah vektor bukan sifar dan tidak selari, dan ha = kb, maka h = k = 0. Inilah cara membandingkan pekali.
Titik A, B dan C adalah segaris jika (a) →AB = k→BC, (b) →AB selari dengan →BC dan (c) B ialah titik sepunya.

Contoh 6 (m.s. 219): pasangan yang selari

Diberi →PQ = a, →QR = b, →RS = −2a dan →ST = 4b.
→RS = −2→PQ, maka →PQ selari dengan →RS. →ST = 4→QR, maka →QR selari dengan →ST.

Contoh 7 (m.s. 219): tunjukkan P, Q dan R segaris

→PQ = u dan →QR = 5u, maka →QR = 5→PQ. Jadi →PQ selari dengan →QR. Oleh sebab Q ialah titik sepunya, P, Q dan R adalah segaris.

Contoh 8 (m.s. 219): cari h dan k

(h − 1)a = (k + 5)b dengan a, b tidak selari dan bukan sifar.
h − 1 = 0 dan k + 5 = 0, maka h = 1 dan k = −5.

Dua vektor selari belum tentu bermaksud tiga titik segaris. Titik segaris memerlukan satu titik sepunya, seperti B dalam →AB dan →BC. Jangan bandingkan pekali jika a dan b mungkin selari.

Semakan pantas. Diberi →LM = 6x dan →MN = 18x. Tunjukkan L, M dan N segaris.

Tunjuk jawapan

→MN = 3→LM, maka →LM selari dengan →MN. M ialah titik sepunya, jadi L, M dan N segaris.

Semakan pantas. Diberi (h + 2)a = (k − 6)b dengan a, b tidak selari. Cari h dan k.

Tunjuk jawapan

h + 2 = 0 dan k − 6 = 0, maka h = −2 dan k = 6.

8.2Penambahan dan penolakan vektor

Vektor paduan ialah vektor tunggal yang terhasil daripada penambahan beberapa vektor. Penolakan ialah penambahan vektor negatif: a − b = a + (−b).

Vektor selari

4a + 5a = 9a dan |9a| = |4a| + |5a|.
7b − 4b = 7b + (−4b) = 3b dan |3b| = |7b| − |4b|.

Vektor tidak selari

Kiri: segi tiga dengan sisi a dari A ke B dan b dari B ke C, vektor paduan a + b dari A ke C. Kanan: segi empat selari dengan a dan b dari A, vektor paduan a + b ialah pepenjuru — Hukum segi tiga: →AB + →BC = →AC. Hukum segi empat selari: vektor a dan b yang bermula dari satu titik diwakili oleh dua sisi bersebelahan, dan paduannya ialah pepenjuru dari titik itu.

Hukum	Digunakan apabila	Rumus
Hukum segi tiga	vektor bersambung kepala dengan ekor	→AB + →BC = →AC
Hukum segi empat selari	vektor bermula dari titik yang sama	→AB + →AD = →AC, dengan ABCD segi empat selari
Hukum poligon	rantai beberapa vektor	→AB + →BC + →CD + →DE = →AE

Untuk mencari vektor antara dua titik, lalui laluan yang vektornya diketahui. Contohnya →AB = →AO + →OB = −→OA + →OB. Dalam segi empat selari, sisi yang bertentangan ialah vektor yang sama.

Contoh 9 (m.s. 223): segi empat selari PQRS

Diberi →PQ = 2a + b dan →PS = 2b − a. Hukum segi empat selari memberikan
→PR = →PS + →PQ = (2b − a) + (2a + b) = a + 3b.
Bahagian (a) dalam buku teks: →PQ = →PS + →SQ (hukum segi tiga); →PR = →PS + →PQ (hukum segi empat selari); →QR = →PR − →PQ.

Contoh 10 (m.s. 223): pentagon ABCDE

Diberi →BC = 13→AE, →ED = 12→AB, →AB = a dan →AE = b.
→CD = →CB + →BA + →AE + →ED = −13b − a + b + 12a = 23b − 12a.

Masalah halaju paduan

Halaju sebenar ialah vektor paduan bagi halaju objek dan halaju arus (atau angin). Apabila kedua-duanya bersudut tegak, guna teorem Pythagoras untuk magnitud dan tan untuk sudut.

Contoh 11 (m.s. 223–224): perahu dan arus sungai

Perahu 5 km j⁻¹ ke utara, arus 10 km j⁻¹ ke timur. Halaju sebenar = v + a.
|v + a| = √(5² + 10²) = √125 = 11.18 km j⁻¹.
tan θ = 10 ÷ 5 = 2, maka θ = 63.43° dari arah utara: bearing 063.43°.

Titik segaris dengan pemalar tidak diketahui

Tulis dua vektor yang berkongsi satu titik, seperti →AB dan →AC.
Tulis →AC = k→AB.
Bandingkan pekali a dan pekali b untuk mendapat h dan k.

Contoh 12 (m.s. 224–225): tiga kereta mainan

→OA = a + b, →OB = 3a − 2b, →OC = ha + 7b. A, B, C segaris.
→AB = −→OA + →OB = 2a − 3b; →AC = −→OA + →OC = (h − 1)a + 6b.
→AC = k→AB: pekali b: 6 = −3k, maka k = −2. Pekali a: h − 1 = 2k = −4, maka h = −3.

Semakan pantas. Perahu menuju ke utara dengan laju 3 m s⁻¹ dan arus mengalir ke timur dengan laju 4 m s⁻¹. Apakah laju sebenar perahu?

Tunjuk jawapan

√(3² + 4²) = 5 m s⁻¹.

Semakan pantas. PQRS ialah segi empat selari dengan →PQ = a dan →PS = b. Ungkapkan →SQ.

Tunjuk jawapan

→SQ = →SP + →PQ = −b + a = a − b.

Kesilapan biasa: menulis →QS sebagai a − b. Arah menentukan tanda: →SQ = a − b tetapi →QS = b − a.

8.3Vektor dalam satah Cartes

Vektor unit yang selari dengan paksi-x ialah i = 10, |i| = 1. Vektor unit yang selari dengan paksi-y ialah j = 01, |j| = 1.

Satah Cartes dengan vektor OB dari asalan ke B(4, 3) dan satu vektor unit yang lebih pendek dalam arah yang sama — →OB = 4i + 3j mempunyai magnitud 5 dan vektor unit 0.8i + 0.6j.

Titik B ialah B(x, y). Vektor kedudukan bagi B relatif kepada asalan O ialah →OB = xi + yj = xy.
Magnitud: |→OB| = √(x² + y²).

Contoh 13 (m.s. 228): vektor kedudukan

A(1, 2), B(−4, 5), C(8, −3), D(−7, −4).
→OA = 12 = i + 2j; →OB = −45 = −4i + 5j; →OC = 8−3 = 8i − 3j; →OD = −7−4 = −7i − 4j.

Contoh 14 (m.s. 228–229): magnitud

a = 3i + 2j: |a| = √(3² + 2²) = √13 = 3.606 unit.
b = 4i − 2j: |b| = √(16 + 4) = 4.472 unit.
e = −4i + 3j: |e| = √(16 + 9) = 5 unit.
b dan e tidak selari kerana b ≠ ke, atau kecerunan b ≠ kecerunan e.

Vektor unit dalam arah suatu vektor

Vektor unit ialah vektor dalam arah vektor tertentu yang mempunyai magnitud 1 unit. Jika r = xi + yj, vektor unit dalam arah r ialah r̂ = r ÷ |r| = (xi + yj) ÷ √(x² + y²).

Contoh 15 (m.s. 230): vektor unit dalam arah OA

A(4, 3): →OA = 4i + 3j, |→OA| = √(4² + 3²) = 5 unit.
Vektor unit = 15(4i + 3j) = 45i + 35j, atau dalam bentuk vektor lajur 4535 = 0.80.6.

Contoh 16 (m.s. 231): nilai k

−13i + kj ialah vektor unit, maka magnitudnya ialah 1.
√(19 + k²) = 1, maka 19 + k² = 1, k² = 89 dan k = ±0.9428.

Vektor unit bermagnitud 1 unit; komponennya tidak semestinya 1. Bahagikan kedua-dua komponen dengan magnitud. Apabila mencari k daripada k² = nilai, ingat k boleh positif atau negatif.

Operasi aritmetik ke atas vektor

Operasi	Peraturan	Contoh
Penambahan	tambah komponen i dengan i, j dengan j	(3i + 2j) + (4i − 5j) = 7i − 3j
Penolakan	tolak komponen yang sepadan	7−1 − 41 = 3−2
Pendaraban dengan skalar	darab kedua-dua komponen	−3−42 = 12−6
Gabungan operasi	darab skalar dahulu, kemudian tambah atau tolak	36−3 + −45 − 278 = 18−9 + −45 − 1416 = 0−20

Contoh 17, 18 (m.s. 232)

a + b + c = 41 + 0−3 + −16 = 34.
(2i − j) − (3i + 5j) = (2 − 3)i + (−1 − 5)j = −i − 6j.

Pantas kira: untuk magnitud 4i + 3j pada kalkulator saintifik, guna fungsi Pol( 4 , 3 ); skrin memaparkan r = 5.

Masalah gerakan dengan vektor kedudukan

Contoh 21 (m.s. 234): zarah dari A(5, 10)

Halaju v = (3i − j) m s⁻¹. Selepas t saat, →OS = →OA + tv = 5 + 3t10 − t.
Laju = |v| = √(3² + (−1)²) = √10 m s⁻¹.
Selepas 4 saat: 510 + 43−1 = 176, iaitu di titik (17, 6).
Zarah di sebelah kanan O pada paksi-x apabila y = 0: 10 − t = 0, maka t = 10 saat.

Dua objek bertemu apabila vektor kedudukan sama pada masa t yang sama. Samakan komponen i dan komponen j, kemudian semak sama ada kedua-duanya memberikan nilai t yang sama. Contoh Latih Diri 8.10 soalan 2: bot A di t3015 dan bot B di 505 + t1010. Komponen x: 30t = 50 + 10t memberikan t = 2.5; komponen y: 15t = 5 + 10t memberikan t = 1. Nilai t berbeza, maka kedua-dua bot tidak bertemu.

Semakan pantas. Cari vektor unit dalam arah r = 3i − 4j.

Tunjuk jawapan

|r| = √(9 + 16) = 5, maka vektor unit = 15(3i − 4j) = 0.6i − 0.8j.

Semakan pantas. Diberi p = 25 dan q = 4−1. Cari 2p − q.

Tunjuk jawapan

4 − 410 + 1 = 011.

Semakan pantas. Zarah bergerak dari A(2, −1) dengan halaju (3i + 4j) m s⁻¹. Selepas berapa saat zarah itu berada pada paksi-x?

Tunjuk jawapan

Kedudukan = 2 + 3t−1 + 4t. Pada paksi-x, −1 + 4t = 0, maka t = 0.25 saat.

Rumusan Bab 8

Vektor diwakili oleh →AB = a; vektor negatif bagi →AB ialah −→AB atau →BA; vektor sifar ialah 0.
ka selari dengan a dan bermagnitud |k| × |a|. Penambahan: 2→AB + 3→AB = 5→AB. Penolakan: 4a − a = 3a.
Dalam satah Cartes: xi + yj = xy, |r| = √(x² + y²), vektor unit r̂ = (xi + yj) ÷ √(x² + y²).

Tulis Jurnal Anda (m.s. 236): bersama rakan, bandingkan kuantiti skalar dengan kuantiti vektor, termasuk kaedah operasi aritmetiknya, kemudian cari maklumat tentang penggunaan vektor dalam kehidupan seharian.