myUASARevision for UASAUlang kaji UASA
QuestionsSoalan
MoreLagi
My progressKemajuan saya
Matematik Tambahan notesnota, bab 9

Penyelesaian Segi Tiga

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 240–269

What this chapter coversMatlamat bab ini

  • Saya boleh membuat dan mengesahkan hubungan antara sisi-sisi suatu segi tiga dengan sinus sudut-sudut yang bertentangan (9.1.1)
  • Saya boleh menyelesaikan segi tiga menggunakan petua sinus (9.1.2)
  • Saya boleh menentukan kewujudan kes berambiguiti bagi suatu segi tiga (9.1.3)
  • Saya boleh menyelesaikan masalah kes berambiguiti suatu segi tiga (9.1.4)
  • Saya boleh menyelesaikan masalah berkaitan segi tiga menggunakan petua sinus (9.1.5)
  • Saya boleh mentahkikkan petua kosinus (9.2.1)
  • Saya boleh menyelesaikan segi tiga menggunakan petua kosinus (9.2.2)
  • Saya boleh menyelesaikan masalah menggunakan petua kosinus (9.2.3)
  • Saya boleh menerbitkan rumus dan menentukan luas segi tiga (9.3.1)
  • Saya boleh menentukan luas segi tiga menggunakan rumus Heron (9.3.2)
  • Saya boleh menyelesaikan masalah berkaitan luas segi tiga (9.3.3)
  • Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan petua sinus, petua kosinus dan luas segi tiga (9.4.1)

9.1Petua sinus

Dalam segi tiga ABC, sisi di hadapan sudut A ialah a, di hadapan B ialah b dan di hadapan C ialah c. Petua sinus menghubungkan setiap sisi dengan sinus sudut yang bertentangan dengannya. Petua ini benar untuk segi tiga bersudut tirus dan bersudut cakah; teorem Pythagoras hanya sesuai untuk segi tiga bersudut tegak.
Petua sinus
asin A = bsin B = csin C   atau   sin Aa = sin Bb = sin Cc

Mengesahkan petua sinus (9.1.1)

Dalam Inkuiri 1, nisbah a ÷ sin A, b ÷ sin B dan c ÷ sin C memberi nilai yang sama bagi segi tiga bersudut tirus dan bersudut cakah. Pembuktiannya menggunakan tinggi CD = h yang berserenjang dengan AB.

Dua segi tiga ABC dengan tinggi CD = h: satu bersudut tirus dan satu bersudut cakah
Tinggi CD = h berserenjang dengan AB dalam kedua-dua segi tiga.

Rajah dilukis semula daripada buku teks m.s. 243.

  • Dalam segi tiga BCD: h ÷ a = sin B, maka h = a sin B.
  • Dalam segi tiga ACD: h ÷ b = sin A, maka h = b sin A.
  • Samakan kedua-duanya: a sin B = b sin A, iaitu asin A = bsin B. Dengan cara yang sama, bsin B = csin C.
Contoh 1: menulis petua sinus
Bagi segi tiga DEF dengan sisi d, e dan f di hadapan D, E dan F: dsin D = esin E = fsin F.

Menyelesaikan segi tiga dengan petua sinus (9.1.2)

Menyelesaikan segi tiga bermaksud mencari ukuran seperti panjang sisi, saiz sudut, perimeter atau luas. Syarat untuk menggunakan petua sinus ialah maklumat yang diberi mengandungi:

Maklumat diberiPetua yang sesuai
Dua sudut dan satu panjang sisiPetua sinus. Cari sudut ketiga dahulu dengan 180° tolak dua sudut itu.
Dua panjang sisi dan satu sudut bukan kandungPetua sinus, dan semak kes berambiguiti.
Dua panjang sisi dan sudut kandung, atau tiga panjang sisiPetua kosinus (bahagian 9.2).
Letakkan nilai yang dicari di atas pecahan. Untuk mencari sisi, guna asin A = bsin B; untuk mencari sudut, terbalikkan: sin Aa = sin Bb. Tetapkan kalkulator dalam mod darjah.
Contoh 2(a): ∠P = 48°, ∠Q = 80° dan RP = 14.3 cm. Cari RQ = x.
RP bertentangan dengan ∠Q dan RQ bertentangan dengan ∠P. Maka xsin 48° = 14.3sin 80°, iaitu x = 14.3sin 80° × sin 48° = 10.791 cm.
Contoh 3: rumah Qistina, rumah Ron dan pejabat pos (bearing)
Rumah Qistina (Q) dan rumah Ron (R) terletak 12 km (Q ke R) pada garis mengufuk. Sudut di pejabat pos P ialah 98° dan PR = 9.4 km.
(a) sin Q9.4 = sin 98°12, maka sin Q = 0.7757 dan ∠Q = 50.87°. Bearing P dari Q = 90° − 50.87° = 039.13°.
(b) ∠R = 180° − 98° − 50.87° = 31.13°. Bearing P dari R = 270° + 31.13° = 301.13°.
(c) Jarak QP = r: rsin 31.13° = 12sin 98°, maka r = 6.265 km.
Bearing ialah arah dari suatu titik rujukan yang diukur dari utara ikut arah jam. Contohnya, bearing A dari O ialah 030° atau U30°T.
Dalam segi tiga ABC, ∠B = 77°, ∠C = 39° dan AC = 40.5 cm. Cari ∠A, a (BC) dan c (AB).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
∠A = 180° − 77° − 39° = 64°. AC = b bertentangan dengan ∠B. a = 40.5 sin 64° ÷ sin 77° = 37.359 cm; c = 40.5 sin 39° ÷ sin 77° = 26.158 cm.

Kes berambiguiti (9.1.3 dan 9.1.4)

Apabila diberi dua panjang sisi dan satu sudut bukan kandung, kadangkala dua segi tiga yang berbeza boleh dilukis daripada maklumat yang sama. Keadaan ini dipanggil kes berambiguiti (ambiguiti bermaksud keadaan yang boleh ditafsirkan dengan dua cara).

Biar ∠A yang tirus ialah sudut bukan kandung, a sisi di hadapannya, c sisi yang satu lagi bersebelahan dengan ∠A, dan h = c sin A ialah tinggi segi tiga.

Jadual tiga syarat kewujudan segi tiga: tiada (a kurang daripada h), satu (a sama dengan h atau a lebih besar atau sama dengan c) dan dua (h kurang daripada a kurang daripada c)
Syarat kewujudan segi tiga apabila ∠A tirus.

Rajah daripada buku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), m.s. 247.

SyaratBilangan segi tiga
a < hTiada segi tiga wujud (sisi terlalu pendek untuk mencapai garis dasar).
a = hSatu segi tiga (bersudut tegak).
a ≥ cSatu segi tiga.
h < a < cDua segi tiga: kes berambiguiti.

Kes berambiguiti wujud jika (a) diberi panjang dua sisi, a dan c, serta satu sudut bukan kandung ∠A yang tirus; dan (b) sisi yang bertentangan dengan sudut bukan kandung, a, lebih pendek daripada sisi yang satu lagi, c, tetapi lebih panjang daripada tinggi segi tiga, h. Jika dua sudut telah diberi, kes berambiguiti tidak wujud.

Contoh 4: adakah kes berambiguiti wujud?
(a) PQR dengan ∠QPR = 30°, PR = 7 cm dan RQ = 4 cm: ya. Sudut bukan kandung ∠QPR tirus, RQ lebih pendek daripada PR tetapi lebih panjang daripada tinggi (7 sin 30° = 3.5 cm).
(b) ∠P = 40°, ∠Q = 80°, PQ = 17 cm dan PR = 21 cm: tidak, kerana dua sudut telah diberi.
Sudut A 40 darjah, AB 20 cm; lengkok berjejari 14 cm dari B menyentuh garis dasar di C dan C1
∠A = 40°, AB = 20 cm, BC = 14 cm. Tinggi h = 20 sin 40° = 12.856 cm dan 12.856 < 14 < 20, maka ada dua segi tiga: ABC dan ABC1.
Contoh 5: ∠BAC = 40°, AB = 20 cm dan BC = 14 cm. Cari ∠C dan ∠B.
Tinggi h = 20 sin 40° = 12.856 cm. Oleh sebab h < BC < AB, wujud kes berambiguiti.
Bagi segi tiga ABC: sin ∠C20 = sin 40°14, maka sin ∠C = 20 sin 40°14 = 0.9183, ∠C = 66.68° dan ∠B = 180° − 40° − 66.68° = 73.32°.
Bagi segi tiga ABC1: ∠C1 = 180° − 66.68° = 113.32° dan ∠B1 = 180° − 40° − 113.32° = 26.68°.
Kalkulator hanya memberi nilai tirus bagi sin−1. Dalam kes berambiguiti, sudut kedua ialah 180° tolak sudut itu. Simpan kedua-duanya hanya jika jumlah tiga sudut masih 180°.

Masalah harian dengan petua sinus (9.1.5)

Contoh 6: Azyan, Badrul dan Christine di tiang bendera
Sudut dongak puncak bendera dari Azyan 36° dan dari Christine 50°. Badrul berdiri di antara mereka dan sudut dongaknya sama dengan Christine (50°). Jarak Azyan ke Christine 35 m. Dengan A, B, C dan D mewakili Azyan, Badrul, Christine dan puncak bendera: ∠ADC = 180° − 50° − 36° = 94°, DC = 35sin 94° × sin 36° = 20.6227 m; ∠BDC = 180° − 50° − 50° = 80°, BC = 20.6227sin 50° × sin 80° = 26.5120 m. Maka AB = 35 − 26.5120 = 8.488 m.
Dalam segi tiga PQR, ∠P = 35°, PQ = 15.5 cm dan QR = 10.5 cm. Apakah dua nilai ∠QRP yang mungkin?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Tinggi h = 15.5 sin 35° = 8.89 cm dan 8.89 < 10.5 < 15.5, maka dua segi tiga wujud. sin ∠QRP = 15.5 sin 35° ÷ 10.5 = 0.8467, maka ∠QRP = 57.86° atau 180° − 57.86° = 122.14°.

9.2Petua kosinus

Apabila diberi panjang dua sisi dan sudut kandung atau panjang ketiga-tiga sisi, segi tiga tidak boleh diselesaikan dengan petua sinus. Gunakan petua kosinus.
Petua kosinus
a2 = b2 + c2 − 2bc kos A
b2 = a2 + c2 − 2ac kos B
c2 = a2 + b2 − 2ab kos C

Mentahkikkan petua kosinus (9.2.1)

Segi tiga ABC dengan tinggi AD = h, BD = x dan DC = a tolak x
Tinggi AD = h, BD = x dan DC = a − x.

Rajah dilukis semula daripada buku teks m.s. 252.

  • Segi tiga ACD (Pythagoras): b2 = h2 + (a − x)2 = h2 + a2 − 2ax + x2  ①
  • Segi tiga ABD (Pythagoras): c2 = h2 + x2, maka h2 = c2 − x2  ②
  • Gantikan ② ke dalam ①: b2 = c2 + a2 − 2ax  ③
  • Dalam segi tiga ABD, kos B = xc, maka x = c kos B. Gantikan ke dalam ③: b2 = a2 + c2 − 2ac kos B.

Menyelesaikan segi tiga dengan petua kosinus (9.2.2)

CariBentuk petua
Panjang sisia2 = b2 + c2 − 2bc kos A (dan bentuk b2, c2)
Sudutkos A = b2 + c2 − a22bc,   kos B = a2 + c2 − b22ac,   kos C = a2 + b2 − c22ab
Contoh 7: AC = 21 cm, BC = 15 cm dan ∠C = 35°. Cari AB.
AB2 = 152 + 212 − 2(15)(21) kos 35° = 225 + 441 − 630 kos 35° = 149.9342, maka AB = 12.245 cm.
Contoh 8: JK = 30 cm, KL = 25 cm dan JL = 35 cm. Cari ∠KJL.
KL ialah sisi di hadapan ∠KJL: 252 = 302 + 352 − 2(30)(35) kos ∠KJL, maka kos ∠KJL = 302 + 352 − 2522(30)(35) = 0.7143 dan ∠KJL = 44.41°.
Contoh 9: dua kali petua kosinus
Dalam rajah, QST dan PSR ialah garis lurus; PT = 9 cm, PS = ST = 6 cm, SQ = 4 cm dan SR = 10 cm. Dalam segi tiga PST: 92 = 62 + 62 − 2(6)(6) kos ∠PST, maka kos ∠PST = 62 + 62 − 922(6)(6) = −0.1250 dan ∠PST = 97.18°. ∠QSR = ∠PST (sudut bertentang bucu). Dalam segi tiga QSR: QR2 = 42 + 102 − 2(4)(10) kos 97.18° = 125.999 dan QR = 11.225 cm.
Kosinus yang negatif bermaksud sudut cakah (contohnya 97.18° di atas). Itu betul dan tidak memerlukan langkah kedua, tidak seperti petua sinus yang boleh menyembunyikan sudut cakah.
Dalam 2bc kos A, darab dahulu, kemudian tolak daripada b2 + c2. Jangan tulis (b2 + c2 − 2bc) kos A.

Masalah dengan petua kosinus (9.2.3)

Contoh 10: tanah Encik Sivaraja berbentuk trapezium PQRS
PQ = 105 m, QR = 75 m, RS = 65 m, SP = 85 m, ∠R dan ∠Q ialah sudut tegak. Sebatang pokok berada di T pada PQ dengan QT = 50 m. Panjang pagar tambahan ST ditentukan seperti berikut. SQ = √(652 + 752) = 99.2472 m. Dalam segi tiga SPQ: kos ∠SPQ = 852 + 1052 − 99.247222(85)(105), ∠SPQ = 61.93°. Dalam segi tiga SPT (PT = 55 m): ST2 = 552 + 852 − 2(55)(85) kos 61.93° = 5850.3581, maka ST = 76.488 m.
Kapal Bunga Raya belayar 28 km ke timur dan kapal Bunga Orkid belayar 49 km dari pelabuhan yang sama. Jarak akhir antara kedua-dua kapal ialah 36 km. Cari sudut antara laluan kedua-dua kapal.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
362 = 282 + 492 − 2(28)(49) kos θ, maka kos θ = 282 + 492 − 3622(28)(49) = 0.6891 dan θ = 46.50°.

9.3Luas segi tiga

Luas = 12 × tapak × tinggi. Apabila diberi dua sisi dan sudut kandung, luas = 12 ab sin C. Apabila diberi tiga sisi, gunakan rumus Heron: luas = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) dengan semiperimeter s = a + b + c2.

Menerbitkan rumus luas (9.3.1)

Dengan tinggi h = a sin B (atau h = b sin A) ke tapak c, luas = 12 × c × h. Ini memberi tiga bentuk yang setara:

Luas segi tiga
Luas = 12 ab sin C = 12 ac sin B = 12 bc sin A
Sudut dalam 12 ab sin C mestilah sudut kandung, iaitu sudut di antara dua sisi yang digunakan.
Contoh 11: JK = 6 cm, KL = 4.4 cm dan ∠K = 69°
Sudut kandung = 69°. Luas = 12(6)(4.4) sin 69° = 12.323 cm2.
Contoh 12: luas segi tiga DEF ialah 50 cm2, DE = 8.6 cm dan DF = 14.2 cm. Cari ∠EDF = θ.
12(8.6)(14.2) sin θ = 50, maka sin θ = 5061.06 dan θ = 54.97°.

Rumus Heron (9.3.2)

LangkahKerja
Langkah 1Hitung semiperimeter s = a + b + c2.
Langkah 2Gantikan ke dalam luas = √(s(s − a)(s − b)(s − c)).
Contoh 13: sisi 5.5 cm, 9.6 cm dan 12.3 cm
s = 5.5 + 9.6 + 12.32 = 13.7. Luas = √(13.7(13.7 − 5.5)(13.7 − 9.6)(13.7 − 12.3)) = 25.39 cm2.
Contoh 14: tali 22 m membentuk segi tiga sama kaki, sisi sama 8 m
Sisi ketiga = 22 − 8 − 8 = 6 m dan s = 11. Luas = √(11(11 − 8)(11 − 8)(11 − 6)) = 22.249 m2. Kaedah alternatif: 62 = 82 + 82 − 2(8)(8) kos ∠ACB memberi ∠ACB = 44.05°, dan luas = 12(8)(8) sin 44.05° = 22.249 m2.
Rumus Heron memerlukan s, bukan perimeter. Kesilapan paling lazim ialah terlupa membahagi perimeter dengan 2.

Masalah luas segi tiga (9.3.3)

Contoh 15: tanah Encik Munzir
Segi tiga ABC: AB = 80 m, AC = 130 m dan BC = 140 m. Bahagian APQ (AP = 50 m, AQ = 60 m) ditanam dengan cili dan selebihnya dengan kubis. Rumus Heron: s = 175 dan L1 = √(175 × 95 × 45 × 35) = 5117.0670 m2. Daripada 12(80)(130) sin ∠BAC = 5117.0670, ∠BAC = 79.75°. Maka L2 = 12(60)(50) sin 79.75° = 1476.0610 m2 dan luas kubis = L1 − L2 = 3641.006 m2.
Untuk bentuk yang tidak sekata, bahagikan kepada segi tiga dengan pepenjuru. Cari pepenjuru dahulu dengan petua kosinus, kemudian tambahkan luas segi tiga.
Cari luas segi tiga yang bersisi 5.4 cm, 6.1 cm dan 7.3 cm.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
s = (5.4 + 6.1 + 7.3) ÷ 2 = 9.4. Luas = √(9.4 × 4 × 3.3 × 2.1) = √260.568 = 16.14 cm2.

9.4Aplikasi petua sinus, petua kosinus dan luas segi tiga

Masalah sebenar (bumbung, tanah, kapal, bangunan) diselesaikan dengan memilih alat yang betul bagi setiap segi tiga. Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat refleksi (semak jawapan dengan kaedah lain).

DiberiCariAlat
Dua sudut dan satu sisiSisi lainPetua sinus
Dua sisi dan sudut bukan kandungSudutPetua sinus (semak kes berambiguiti)
Dua sisi dan sudut kandungSisi ketigaPetua kosinus
Tiga sisiSudutPetua kosinus
Dua sisi dan sudut kandungLuas12 ab sin C
Tiga sisiLuasRumus Heron
Contoh 16: bumbung garaj Encik Tan
Pandangan hadapan ialah segi tiga ABC dengan ∠C = 30°, ∠B = 50° dan AB = 5.2 m. (a) Panjang bumbung yang lebih panjang: AC = y, ysin 50° = 5.2sin 30°, y = 7.967 m. ∠BAC = 180° − 30° − 50° = 100°, dan dengan petua kosinus BC2 = 5.22 + 7.9672 − 2(5.2)(7.967) kos 100°, BC = 10.24 m. (b) Luas = 12(5.2)(10.24) sin 50° = 20.40 m2. Refleksi: rumus Heron dengan s = 11.7035 m memberi luas ≈ 20.40 m2 juga.
Contoh 17: prisma kaca segi tiga sama sisi (tiga matra)
Keratan rentas ialah segi tiga sama sisi bersisi 6 cm, dan tinggi prisma 8 cm. (a) CD = √(62 + 82) = 10 cm = BD. Dalam segi tiga BCD: 62 = 102 + 102 − 2(10)(10) kos ∠BDC, ∠BDC = 34.92°. (b) Luas segi tiga BCD = 12(10)(10) sin 34.92° = 28.622 cm2. (c) Sudut antara satah BCD dengan satah tegak BCEF ialah ∠DGH, dengan DH = √(62 − 32) = 5.1962 dan tan ∠DGH = 5.19628, maka ∠DGH = 33°.
Pelabuhan Astaka ke Bentara: 20 km pada bearing 120°. Dari Bentara ke Cindai: 30 km pada bearing 225°. Apakah jarak Cindai dari Astaka?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Bearing Astaka dari Bentara ialah 120° + 180° = 300°. Sudut di Bentara antara arah ke Astaka dan arah ke Cindai ialah 300° − 225° = 75°. Jarak2 = 202 + 302 − 2(20)(30) kos 75° = 989.42, maka jarak = 31.46 km.

Bagi pemilihan petua yang betul, lukis carta alir: mula dengan maklumat yang diberi, kemudian pilih petua sinus, petua kosinus, 12 ab sin C atau rumus Heron (Tulis Jurnal Anda, buku teks m.s. 267).