Matematik Tambahan notesnota, bab 10

Nombor Indeks

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 270–287

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mentakrif nombor indeks dan menghitung nombor indeks I = Q1/Q0 × 100 serta mentafsir nilainya (10.1.1)
Saya boleh menentukan nombor indeks, nilai pada masa asas atau nilai pada masa tertentu, dan menghubungkan nombor indeks yang berasaskan tahun yang berbeza (10.1.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan nombor indeks (10.1.3)
Saya boleh menentukan dan mentafsir indeks gubahan dengan menggunakan pemberat (10.2.1)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan nombor indeks dan indeks gubahan (10.2.2)

10.1Nombor indeks

Nombor indeks ialah satu sukatan statistik yang digunakan untuk mengukur perubahan suatu pemboleh ubah pada suatu tahun tertentu berbanding dengan tahun yang lain sebagai tahun asas. Asas ini biasanya mengambil nilai 100, dan nombor indeks ialah 100 kali nisbah kepada nilai asas ini. Pemboleh ubah itu boleh terdiri daripada nilai mata wang, harga, produk, penghasilan, kuantiti, pekerjaan dan sebagainya.

I = Q₁Q₀ × 100, dengan Q₀ = harga atau kuantiti pada masa asas dan Q₁ = harga atau kuantiti pada masa tertentu.

Indeks harga atau kuantiti ialah suatu nisbah dalam peratusan, tetapi tanda peratusan tidak ditulis (Poket Matematik, m.s. 274). Terdapat pelbagai jenis nombor indeks, misalnya indeks harga pengguna (IHP), indeks kualiti udara, indeks kematian akibat kemalangan jalan raya dan indeks jisim badan (m.s. 272).

Nilai I	Maksudnya (Tip Pintar, m.s. 274)
Lebih daripada 100	Peningkatan berbanding tahun asas (I = 125 bermaksud naik 25%)
Tepat 100	Tiada perubahan (tahun asas itu sendiri)
Kurang daripada 100	Pengurangan atau penurunan berbanding tahun asas (I = 80 bermaksud turun 20%)

Contoh 1 (m.s. 274): mencari nombor indeks

Harga seutas jam tangan berjenama X ialah RM500 pada tahun 2017 dan RM550 pada tahun 2018. Hitung nombor indeks bagi harga jam itu pada tahun 2018 berasaskan tahun 2017 dan tafsirkan.
Q₀ = 500, Q₁ = 550. I = 550500 × 100 = 110. Terdapat peningkatan harga sebanyak 10% dari tahun 2017 ke tahun 2018.

Contoh 2 (m.s. 274): mencari nilai pada masa asas

Pendaftaran badan sukan pada tahun 2017 ialah 893. Nombor indeks pendaftaran pada tahun 2017 berasaskan tahun 2010 ialah 156.39. Hitung bilangan pendaftaran pada tahun 2010.
156.39 = 893Q₀ × 100, maka Q₀ = 893 × 100 ÷ 156.39 = 571.

Inkuiri 1 (m.s. 273): pekerja asing mengikut sektor

Bilangan pekerja asing di Malaysia (dalam ribu): 2013 sebagai tahun asas, 2016 sebagai tahun tertentu.

Sektor	2013	2016	I = 2016 berasaskan 2013
Pembinaan	434	388	388 ÷ 434 × 100 = 89.4
Pembuatan	752	253	33.64
Pertanian	174	194	111.49
Perladangan	432	268	62.04
Perkhidmatan	269	649	241.26

Hanya sektor pertanian dan perkhidmatan mempunyai I lebih daripada 100, iaitu bilangan pekerja asing meningkat. Bagi sektor pembinaan, I = 89.4 bermaksud penurunan 10.6%.

Tahun manakah tahun asas? “Indeks tahun 2018 berasaskan tahun 2017” meletakkan harga tahun 2017 di penyebut (Q₀). Jika tahun ditukar ganti, jawapan salah (misalnya 500 ÷ 550 × 100 = 90.9, bukan 110).

Harga seliter minyak masak ialah RM4.00 pada tahun 2018 dan RM5.20 pada tahun 2022. Cari nombor indeks bagi harga pada tahun 2022 berasaskan tahun 2018 dan tafsirkan. Kemudian, jika indeks bilangan pembeli pada tahun 2022 berasaskan tahun 2018 ialah 135 dan bilangan pembeli pada tahun 2022 ialah 2 700, cari bilangan pembeli pada tahun 2018.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

I = 5.20 ÷ 4.00 × 100 = 130, iaitu harga naik 30%. Bilangan pembeli: 135 = 2 700 ÷ Q₀ × 100, maka Q₀ = 2 700 × 100 ÷ 135 = 2 000.

Menukar tahun asas

Apabila dua nombor indeks mempunyai tahun semasa yang sama, bahagikan kedua-duanya untuk mendapat indeks antara dua tahun asas. Apabila indeks itu berantai (tahun 0, tahun 1, tahun 2), darabkan dan bahagi dengan 100.

I_2/0 = I_2/1 × I_1/0 ÷ 100, dengan I_a/b ialah indeks tahun a berasaskan tahun b.

Contoh 3 (m.s. 275): dua tahun asas yang berbeza

Nombor indeks harga sebuah basikal pada tahun 2018 berasaskan tahun 2010 dan tahun 2015 masing-masing ialah 176 dan 110. Cari indeks harga pada tahun 2015 berasaskan tahun 2010.
Q₂₀₁₈Q₂₀₁₀ × 100 = 176 dan Q₂₀₁₈Q₂₀₁₅ × 100 = 110. Bahagikan: Q₂₀₁₅Q₂₀₁₀ = 176110, maka I = 176110 × 100 = 160.
Kaedah alternatif: I_2018/2015 = I_2018/2010I_2015/2010 × 100, iaitu 110 = 176I_2015/2010 × 100, maka I_2015/2010 = 160.

Tatatanda “tahun 2013 (2011 = 100)” bermaksud indeks harga pada tahun 2013 berasaskan tahun 2011 (Tip Pintar, m.s. 275).

Contoh tambahan (Latihan Pengukuhan no. 11, m.s. 287): indeks berantai

Indeks harga topi keledar pada tahun 2014 berasaskan 2010 ialah 80 dan pada tahun 2018 berasaskan 2014 ialah 110. Harga pada tahun 2018 ialah RM166.
I_2018/2010 = 80 × 110 ÷ 100 = 88. Harga 2014 = 166 ÷ 110 × 100 = RM150.91. Harga 2010 = 166 ÷ 88 × 100 = RM188.64. Harga pada tahun 2018 berbanding tahun 2010 telah menurun 12%.

Diberi	Cari	Penyelesaian
I_2016/2015 = 130, I_2015/2012 = 120	I_2016/2012	130 × 120 ÷ 100 = 156
I_2019/2011 = 225, I_2013/2011 = 150	I_2019/2013	225 ÷ 150 × 100 = 150

Jangan menambah peratus perubahan. Dua kenaikan 10% berturut-turut memberi indeks 110 × 110 ÷ 100 = 121 (naik 21%), bukan 120.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan nombor indeks

Buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat refleksi (menyemak jawapan dengan mengira indeksnya semula).

Contoh 4 (m.s. 276): kenaikan pada kadar yang sama

Jumlah pelawat ke Taman Negara Pahang, Sungai Relau pada tahun 2016 ialah 17 721 orang. Jika pertambahan 10% dijangka menjelang tahun 2018 dan kadar pertambahan dari 2018 ke 2020 sama dengan dari 2016 ke 2018, hitung jangkaan bilangan pelawat pada tahun 2020.
Tahun 2018: 110 = Q₂₀₁₈17 721 × 100, maka Q₂₀₁₈ = 19 493.
Tahun 2020: 110 = Q₂₀₂₀19 493 × 100, maka Q₂₀₂₀ = 21 442 orang.
Refleksi: 21 442 ÷ 19 493 × 100 ≈ 110 dan 19 493 ÷ 17 721 × 100 ≈ 110.

Indeks harga sebuah buku pada tahun 2019 berasaskan 2016 ialah 115 dan indeks pada tahun 2016 berasaskan 2012 ialah 120. Cari indeks harga pada tahun 2019 berasaskan 2012. Jika harga pada tahun 2019 ialah RM41.40, cari harga pada tahun 2012.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

I_2019/2012 = 115 × 120 ÷ 100 = 138. Harga 2012 = 41.40 ÷ 138 × 100 = RM30.

10.2Indeks gubahan

Indeks gubahan (I) ialah gabungan beberapa indeks sebagai ukuran statistik untuk melihat prestasi pasaran atau sektor dari semasa ke semasa yang melibatkan kepentingan setiap item. Kepentingan itu dikenali sebagai pemberat (w). Pemberat boleh diwakili oleh bilangan, nisbah, peratusan, bacaan pada carta palang atau carta pai.

I = I₁w₁ + I₂w₂ + … + I_nw_nw₁ + w₂ + … + w_n = ∑I_iw_i∑w_i, dengan I_i = nombor indeks dan w_i = pemberat.

Indeks gubahan tanpa pemberat dikira dengan menganggap nilai pemberat adalah sama (iaitu 1) untuk setiap nombor indeks (Poket Matematik, m.s. 280).

Inkuiri 3 (m.s. 279): bahan membuat biskut semperit

Indeks harga dan peratus bahan pada tahun 2019 berasaskan 2018: mentega 120 (30%), gula 127 (15%), tepung gandum 108 (50%), telur 107 (5%).
I = (120×30 + 127×15 + 108×50 + 107×5) ÷ 100 = 11 440 ÷ 100 = 114.4. Harga bahan mentah secara purata naik 14.4%. Tepung gandum (pemberat paling besar) menarik jawapan ke arah 108.

Contoh 5 (m.s. 280): tanpa pemberat

Indeks harga tiga jenis buah-buahan pada tahun 2018 berasaskan 2010 ialah 175, 120 dan 160.
I = (175(1) + 120(1) + 160(1)) ÷ 3 = 455 ÷ 3 = 151.67.

Contoh 6 (m.s. 280): pemberat daripada carta pai

Indeks perbelanjaan utiliti pada tahun 2017 berasaskan 2011: air 135, elektrik 140, bahan api 125. Carta pai menunjukkan peratus penggunaan: elektrik 58%, air 17%, bahan api 25%.

Carta pai: elektrik 58 peratus, air 17 peratus, bahan api 25 peratus — Peratus penggunaan utiliti sebulan ialah pemberat (data Contoh 6, m.s. 280).

I = (135(17) + 140(58) + 125(25)) ÷ (17 + 58 + 25) = 13 540 ÷ 100 = 135.4.

Apabila pemberat diberi, jangan purata biasa indeks. Item yang mempunyai pemberat terbesar menarik jawapan paling banyak.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan indeks gubahan

Contoh 7 (m.s. 281 hingga 282): kos keluli tahan karat

Harga per tan metrik (RM) pada tahun 2010 dan 2018 serta peratus: besi 2 025 dan 3 424 (72%), kromium 8 431 dan 9 512 (18%), nikel 62 235 dan 50 916 (10%).

Bahan	I_i (2018 berasaskan 2010)	w_i	I_iw_i
Besi	3 424 ÷ 2 025 × 100 = 169.09	72	12 174.48
Kromium	9 512 ÷ 8 431 × 100 = 112.82	18	2 030.76
Nikel	50 916 ÷ 62 235 × 100 = 81.81	10	818.10
Jumlah		∑w_i = 100	∑I_iw_i = 15 023.34

I = 15 023.34 ÷ 100 = 150.23, iaitu kos pembuatan naik 50.23% pada tahun 2018 berbanding 2010. Jika kos tahun 2010 ialah RM65 juta: 150.23 = Q₂₀₁₈65 × 100, maka Q₂₀₁₈ = RM97.65 juta.

Menyelesaikan nilai yang tidak diketahui (misalnya indeks m atau pemberat x): letakkan simbol dalam rumus, darabkan kedua-dua belah dengan ∑w_i, kemudian selesaikan persamaan (Latih Diri 10.3 no. 2; Latihan Pengukuhan no. 6).

Contoh tambahan (Latihan Pengukuhan no. 6(a), m.s. 286): mencari pemberat

Indeks harga P, Q, R, S pada tahun 2020 berasaskan 2019 ialah 107, 118, 94, 105 dengan pemberat 2, x, 1, 2x. Indeks gubahan ialah 108. Cari x.
(214 + 118x + 94 + 210x) ÷ (3 + 3x) = 108, maka 308 + 328x = 324 + 324x, 4x = 16 dan x = 4.

Apabila harga bahan berubah dalam peratus (“menyusut 10%”, “meningkat 20%”), indeks baharu = indeks lama × 0.9 atau × 1.2. Kemudian kira semula indeks gubahan dengan pemberat yang sama. Contoh: kos bahan 2019 = RM100 dan indeks gubahan 2021 = 125 memberi kos 2021 = 100 × 125 ÷ 100 = RM125.

Indeks harga tiga bahan pada tahun 2021 berasaskan 2019 ialah 100, 120 dan 150 dengan pemberat 2, 3 dan 5. Cari indeks gubahan. Jika kos pada tahun 2019 ialah RM300, cari kos pada tahun 2021.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

I = (100×2 + 120×3 + 150×5) ÷ 10 = 1 310 ÷ 10 = 131. Kos 2021 = 300 × 131 ÷ 100 = RM393.

Rumusan Bab 10

Konsep	Rumus atau peraturan
Nombor indeks	I = Q₁/Q₀ × 100 (tahun asas = 100)
Menukar tahun asas	I_2/0 = I_2/1 × I_1/0 ÷ 100
Indeks gubahan dengan pemberat	∑I_iw_i ÷ ∑w_i
Indeks gubahan tanpa pemberat	pemberat sama (1) untuk semua item

Tulis Jurnal Anda (m.s. 284): terangkan dengan ayat anda sendiri bagaimana memilih tahun asas yang sesuai, bagaimana pemberat ditentukan dan apakah faktor yang mempengaruhi kepentingan relatif sesuatu item. Penerokaan Matematik (m.s. 287): sediakan perbelanjaan bulanan keluarga bagi enam kategori selama tiga bulan, tentukan pemberat daripada wang relatif, kemudian cari indeks gubahan bulan kedua dan ketiga berasaskan bulan pertama.