Matematik notesnota, bab 2
Asas Nombor
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 32–53
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh mewakilkan dan menjelaskan nombor dalam pelbagai asas dari segi angka, nilai tempat, nilai digit dan nilai nombor berdasarkan proses pengumpulan (2.1.1)
- Saya boleh menukar nombor daripada satu asas kepada asas yang lain menggunakan pelbagai kaedah: pembahagian dengan nilai tempat atau asas, asas sepuluh sebagai perantara, serta asas dua dan asas lapan secara terus (2.1.2)
- Saya boleh membuat pengiraan tambah dan tolak bagi nombor dalam pelbagai asas dengan bentuk lazim dan dengan penukaran asas kepada asas sepuluh (2.1.3)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan asas nombor (2.1.4)
2.1Asas nombor
Asas nombor ialah sistem nombor yang merangkumi digit 0 hingga 9. Asas sepuluh ialah asas yang digunakan secara meluas dalam kehidupan seharian. Dalam sains komputer, asas 2, asas 8, asas 10 dan asas 16 antara asas yang digunakan.
Nombor, digit dan nilai tempat (2.1.1)
Digit ialah simbol yang digunakan untuk membentuk nombor. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 ialah sepuluh digit dalam sistem nombor. Contohnya 2145 mempunyai 4 digit. Setiap asas mempunyai digit 0 hingga digit yang kurang daripada asasnya.
| Asas nombor | Digit |
|---|---|
| Asas 2 | 0, 1 |
| Asas 3 | 0, 1, 2 |
| Asas 4 | 0, 1, 2, 3 |
| Asas 5 | 0, 1, 2, 3, 4 |
| Asas 6 | 0, 1, 2, 3, 4, 5 |
| Asas 7 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| Asas 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
| Asas 9 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 |
| Asas 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
Jadual daripada buku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), m.s. 34.
Asas ditulis sebagai nombor kecil di kanan bawah. 325 dibaca "tiga dua asas lima". Penulisan tanda asas bagi nombor asas 10 adalah pilihan: boleh ditulis dan sebaliknya.
Digit dalam suatu nombor mesti kurang daripada asasnya. 3415 ialah nombor asas lima, tetapi 2915 bukan kerana digit 9 tidak ada dalam asas lima. Dalam asas dua hanya ada digit 0 dan 1.
Setiap asas mempunyai nilai tempat mengikut asasnya. Jika asasnya a, nilai tempat bermula dari kanan ialah a0, a1, a2, a3, ... an. Setiap tempat bernilai a kali tempat di sebelah kanannya.
| Asas nombor | a5 | a4 | a3 | a2 | a1 | a0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Asas 2 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Asas 3 | 243 | 81 | 27 | 9 | 3 | 1 |
| Asas 5 | 3 125 | 625 | 125 | 25 | 5 | 1 |
| Asas 8 | 32 768 | 4 096 | 512 | 64 | 8 | 1 |
| Asas 10 | 100 000 | 10 000 | 1 000 | 100 | 10 | 1 |
Contoh 2 (m.s. 36): nilai tempat bagi setiap digit
(a) 62318: nilai tempat ialah 83, 82, 81, 80.(b) 1111012: nilai tempat ialah 25, 24, 23, 22, 21, 20.
Nilai digit dan nilai nombor
Nilai digit ialah hasil darab digit dengan nilai tempat yang mewakili digit itu. Nilai nombor ialah hasil tambah nilai digit semua digit dalam nombor itu (nombor dalam asas sepuluh).
Contoh 3 (m.s. 37): nilai digit yang bergaris
(a) 50379: digit 5 berada di tempat 93, jadi nilai digit = 5 × 93 = 5 × 729 = 3 645.(b) 35016: digit 5 berada di tempat 62, jadi nilai digit = 5 × 62 = 5 × 36 = 180.
Contoh lain (m.s. 36): dalam 44325, nilai digit 4 yang pertama = 4 × 53 = 500.
Contoh 4 (m.s. 39): nilai nombor dalam asas sepuluh
(a) 3405 = (3 × 52) + (4 × 51) + (0 × 50) = 75 + 20 + 0 = 9510(b) 3417 = (3 × 72) + (4 × 71) + (1 × 70) = 147 + 28 + 1 = 17610
(c) 15068 = (1 × 83) + (5 × 82) + (0 × 81) + (6 × 80) = 512 + 320 + 0 + 6 = 83810
Semak jawapan dengan kalkulator saintifik (m.s. 39): tekan MODE dua kali sehingga paparan SD REG BASE, tekan 3 untuk memilih BASE, tekan OCT, taip 1506 dan tekan =, kemudian tekan DEC. Jawapan 838 dipaparkan.
Nombor yang digitnya sama tetapi asasnya berlainan mempunyai nilai yang berbeza. 2438 = (2 × 64) + (4 × 8) + 3 = 163, tetapi 2435 = (2 × 25) + (4 × 5) + 3 = 73.
Tentukan nilai nombor bagi 11012 dalam asas sepuluh, dan nilai digit 2 dalam 20123.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (1 × 20) = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310.
Digit 2 pertama berada di tempat 33: 2 × 27 = 54 (m.s. 36).
Digit 2 pertama berada di tempat 33: 2 × 27 = 54 (m.s. 36).
Menukar nombor daripada satu asas kepada asas lain (2.1.2)
Nombor boleh ditukar kepada asas lain dengan pelbagai kaedah: pembahagian dengan nilai tempat, pembahagian dengan asas, penukaran melalui asas sepuluh, serta asas dua terus kepada asas lapan dan sebaliknya.
Asas sepuluh kepada asas lain
Contoh 5 (m.s. 41–42): tukar 56310 kepada (a) asas lima (b) asas lapan
(a) Kaedah nilai tempat. Nilai tempat asas lima: 625, 125, 25, 5, 1. Nilai 625 lebih besar daripada 563, jadi digitnya 0.
563 ÷ 125 = 4 baki 63; 63 ÷ 25 = 2 baki 13; 13 ÷ 5 = 2 baki 3; 3 ÷ 1 = 3. Jadi 56310 = 42235.Kaedah alternatif (bahagi dengan asas):
| Pembahagian | Hasil bahagi | Baki |
|---|---|---|
| 563 ÷ 5 | 112 | 3 |
| 112 ÷ 5 | 22 | 2 |
| 22 ÷ 5 | 4 | 2 |
| 4 ÷ 5 | 0 | 4 |
(b) Asas lapan: 563 ÷ 512 = 1 baki 51; 51 ÷ 64 tidak boleh (digit 0); 51 ÷ 8 = 6 baki 3; 3 ÷ 1 = 3. Digitnya 1, 0, 6, 3, maka 56310 = 10638.
Membaca baki dari atas ke bawah. Baki yang pertama ialah digit terakhir nombor baharu. Teruskan pembahagian sehingga hasil bahagi 0.
Asas p kepada asas q
Tukar kepada asas sepuluh dahulu, kemudian kepada asas yang dikehendaki: asas p → asas 10 → asas q.
Contoh 6 dan 7 (m.s. 42–43)
Tukar 2536 kepada asas sembilan.Langkah 1: (2 × 62) + (5 × 61) + (3 × 60) = 72 + 30 + 3 = 10510
Langkah 2: 105 ÷ 9 = 11 baki 6; 11 ÷ 9 = 1 baki 2; 1 ÷ 9 = 0 baki 1. Jadi 2536 = 10510 = 1269.
Tukar 3345 kepada asas dua.
Langkah 1: (3 × 25) + (3 × 5) + (4 × 1) = 9410. Langkah 2: 94 ÷ 2 secara berulang memberi baki 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1 dan dibaca dari bawah ke atas. Jadi 3345 = 10111102.
Asas dua dan asas lapan secara terus
Satu digit dalam asas lapan setara dengan tiga digit dalam asas dua (kerana 23 = 8).
| Asas 2 | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Asas 8 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Jadual berdasarkan Zon Maklumat, buku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), m.s. 43.
- Asas dua kepada asas lapan: (1) asingkan setiap tiga digit dari kanan ke kiri; (2) tentukan hasil tambah nilai digit bagi setiap kumpulan (nilai tempat 4, 2, 1); (3) gabungkan.
- Asas lapan kepada asas dua: (1) asingkan setiap digit; (2) tukarkan setiap digit kepada tiga digit asas dua; (3) gabungkan.
Contoh 8 (m.s. 43–44): asas dua kepada asas lapan
(a) 110 | 111: (4 + 2 + 0) = 6 dan (4 + 2 + 1) = 7, jadi 1101112 = 678.(b) 11011012: dari kanan, 1 | 101 | 101. Kumpulan kiri 001 = 1; 101 = 4 + 0 + 1 = 5. Jadi 11011012 = 1558.
Contoh 9 (m.s. 44): asas lapan kepada asas dua
(a) 5178: 5 = 101, 1 = 001, 7 = 111, maka 1010011112.(b) 7258: 7 = 111, 2 = 010, 5 = 101, maka 1110101012.
Mengasingkan digit asas dua dari kiri. Mulakan dari kanan. Jika kumpulan terakhir kurang tiga digit, tambah sifar di kiri.
Tukar 10110102 kepada asas lapan dan 648 kepada asas dua.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
1 | 011 | 010 memberi 1, 3, 2, jadi 1328.
6 = 110 dan 4 = 100, jadi 648 = 1101002.
6 = 110 dan 4 = 100, jadi 648 = 1101002.
Operasi tambah dan tolak dalam pelbagai asas (2.1.3)
Dua kaedah (m.s. 45): (a) bentuk lazim, iaitu menulis nombor secara menegak; (b) penukaran asas, iaitu tukar nombor kepada asas sepuluh, lakukan operasi, kemudian tukar jawapan kepada asas yang dikehendaki.
Tambah dalam bentuk lazim: tambah digit dari kanan ke kiri. Hasil tambah dalam asas sepuluh ditukar kepada asas yang diberi: tulis digit di ruang jawapan dan bawa digit selebihnya ke nilai tempat seterusnya. Tolak: digit hasil tolak sentiasa tidak melebihi asas yang diberi dan nilainya bersamaan asas sepuluh. Apabila meminjam, 1 di tempat sebelah kiri bernilai asas itu, bukan 10.
Contoh 10 (m.s. 46): operasi tambah
(a) 1102 + 1112: 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2 = 102, tulis 0 bawa 1; 1 + 1 + 1 = 3 = 112. Jawapan 11012. Semak: 6 + 7 = 13 = 11012.(b) 6738 + 1758: 3 + 5 = 8 = 108, tulis 0 bawa 1; 1 + 7 + 7 = 15 = 178, tulis 7 bawa 1; 1 + 6 + 1 = 8 = 108. Jawapan 10708. Semak: 443 + 125 = 568 = 10708.
(c) 18379 + 7659 = 27139 (semak: 1 411 + 626 = 2 037 = 27139).
Contoh 11 (m.s. 47–48): operasi tolak
(a) 40056 − 3256 = 32406. Semak: 869 − 125 = 744 = 32406.(b) 62417 − 6137 = 53257. Semak: 2 185 − 304 = 1 881 = 53257.
(c) 3728 − 778: 8 + 2 − 7 = 3; 8 + 6 − 7 = 7; 3 − 1 = 2. Jawapan 2738. Semak: 250 − 63 = 187 = 2738.
(d) 18279 − 659 = 17529. Semak: 1 402 − 59 = 1 343 = 17529.
Meminjam 10 dan bukan asas. Dalam asas lapan, tambah 8 kepada digit, bukan 10.
Hitung 43267 + 16547.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
6 + 4 = 10 = 137, tulis 3 bawa 1. 1 + 2 + 5 = 8 = 117, tulis 1 bawa 1. 1 + 3 + 6 = 10 = 137, tulis 3 bawa 1. 1 + 4 + 1 = 6.
Jawapan 63137. Semak dalam asas sepuluh: 1 539 + 676 = 2 215 = 63137.
Jawapan 63137. Semak dalam asas sepuluh: 1 539 + 676 = 2 215 = 63137.
Menyelesaikan masalah yang melibatkan asas nombor (2.1.4)
Ikut empat langkah buku teks: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan. Kira peratus dan wang dalam asas sepuluh, kemudian tukar jawapan akhir kepada asas yang diminta.
Contoh 12 (m.s. 49): cara ke sekolah, 200 orang murid
Peratus: bas 25%, kereta 40%, jalan kaki 17%, basikal 10%, motosikal 8%.(a) Bas: 25/100 × 200 = 50 = 3024. Kereta: 40/100 × 200 = 80 = 11004.
(b) 11004 + 3024 = 20024. Semak: 80 + 50 = 130 = 20024.
(c) Jalan kaki 17/100 × 200 = 34, motosikal 8/100 × 200 = 16. Beza = 34 − 16 = 18 = 247.
Untuk membandingkan nombor dalam asas berlainan, tukar semuanya kepada asas sepuluh dahulu. Contohnya 1234 = 27 dan 238 = 19, jadi 1234 > 238. Untuk menyusun, bandingkan nilai asas sepuluhnya.
Diberi 11223 + y7 = 1189. Cari y.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
11223 = 27 + 9 + 6 + 2 = 44. 1189 = 81 + 9 + 8 = 98. y7 = 98 − 44 = 54 = 1057, jadi y = 105 (jawapan buku teks, Praktis Komprehensif no. 9).
Ringkasan
| Tugasan | Kaedah |
|---|---|
| Nilai digit | digit × nilai tempat |
| Nilai nombor (asas a kepada asas 10) | tambah semua nilai digit |
| Asas 10 kepada asas lain | bahagi dengan asas berulang kali, baki dibaca dari bawah ke atas |
| Asas p kepada asas q | asas p → asas 10 → asas q |
| Asas 2 kepada asas 8 | asingkan tiga digit dari kanan |
| Asas 8 kepada asas 2 | setiap digit menjadi tiga digit |
| Tambah dan tolak | bentuk lazim (bawa atau pinjam asas), atau tukar ke asas 10 |
Kandungan dan contoh mengikut buku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), Bab 2 Asas Nombor, m.s. 32–53.