Matematik notesnota, bab 3
Penaakulan Logik
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 54–93
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh menerangkan maksud pernyataan dan menentukan nilai kebenaran (benar atau palsu) bagi suatu pernyataan (3.1.1)
- Saya boleh menafikan suatu pernyataan dan membandingkan nilai kebenaran pernyataan dengan penafiannya (3.1.2)
- Saya boleh membentuk pernyataan majmuk dengan "dan" atau "atau" serta menentukan nilai kebenarannya (3.1.3)
- Saya boleh membina implikasi "jika p, maka q" dan "p jika dan hanya jika q" serta menentukan antejadian dan akibat (3.1.4)
- Saya boleh membina akas, songsangan dan kontrapositif bagi suatu implikasi dan membandingkan nilai kebenarannya (3.1.5)
- Saya boleh memberi contoh penyangkal untuk menafikan kebenaran suatu pernyataan (3.1.6)
- Saya boleh menerangkan maksud hujah dan membezakan hujah deduktif dengan hujah induktif (3.2.1)
- Saya boleh menentukan kesahan suatu hujah deduktif dan menentukan sama ada hujah yang sah itu munasabah (3.2.2)
- Saya boleh membentuk hujah deduktif yang sah bagi suatu situasi (3.2.3)
- Saya boleh menentukan kekuatan suatu hujah induktif dan menentukan sama ada hujah yang kuat itu meyakinkan (3.2.4)
- Saya boleh membentuk hujah induktif yang kuat bagi suatu situasi (3.2.5)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan penaakulan logik (3.2.6)
3.1Pernyataan
Pernyataan ialah suatu ayat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, iaitu sama ada benar atau palsu, tetapi bukan kedua-duanya. Ayat tanya, ayat seruan dan ayat perintah bukan pernyataan kerana kebenarannya tidak dapat ditentukan.
Contoh 1 (buku teks m.s. 56): pernyataan atau bukan?
(a) Tolong hantar buku kerja. Bukan pernyataan (ayat perintah).(b) Menara Kuala Lumpur ialah menara yang paling tinggi di Malaysia. Pernyataan (benar).
(c) Bagaimanakah anda datang ke sekolah? Bukan pernyataan (ayat tanya).
(d) x + 3 = 5. Bukan pernyataan: ayat itu benar bagi sesetengah nilai x sahaja, maka nilai kebenarannya tidak dapat ditentukan.
(e) −6 < −8. Pernyataan, kerana ayat itu palsu.
Pernyataan tidak semestinya benar. "Sebuah kuboid mempunyai 12 bucu" ialah pernyataan; nilai kebenarannya palsu (kuboid mempunyai 8 bucu).
Semua pernyataan matematik boleh ditentukan nilai kebenarannya, tetapi bukan semuanya benar. Ayat yang mempunyai pemboleh ubah dan benar bagi sesetengah nilai sahaja, seperti x + 3 = 5, bukan pernyataan.
Pengkuantiti "semua" dan "sebilangan"
| Pengkuantiti | Maksud | Untuk menunjukkan pernyataan palsu |
|---|---|---|
| Semua | Setiap kes, tanpa kecuali | Cari satu kes yang tidak memenuhinya |
| Sebilangan | Sekurang-kurangnya satu kes | Tunjukkan tiada satu pun kes yang memenuhinya |
Contoh 2 dan 3 (m.s. 57 dan 58)
(a) "(x + y)² = x² + 2xy − y²" palsu. Andaikan x = 2 dan y = 3: (2 + 3)² = 25 tetapi 2² + 2(2)(3) − 3² = 7.(b) "(x + 5)² < 0, x ∈ R" palsu: (2 + 5)² = 49 > 0.
(c) "Semua poligon mempunyai pepenjuru" palsu: segi tiga tidak mempunyai pepenjuru.
(d) "Sebilangan garis lurus memintas paksi-y" benar.
Tentukan nilai kebenaran: "Semua segi empat mempunyai sudut tepat."
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Palsu. Segi empat selari yang bukan segi empat tepat tidak mempunyai sudut tepat (buku teks m.s. 58, Praktis Kendiri 3.1a no. 3).
Penafian
Kita menggunakan perkataan "tidak" atau "bukan" untuk menafikan suatu pernyataan. Penafian pernyataan p ditulis sebagai ~p (disebut "tilda p"). Nilai kebenaran bertukar daripada benar kepada palsu atau sebaliknya melalui penafian.
Contoh 4 (m.s. 59)
p: 12 ialah gandaan 5 (palsu). ~p: 12 bukan gandaan 5 (benar).p: Semua gandaan 5 ialah gandaan 10 (palsu). ~p: Bukan semua gandaan 5 ialah gandaan 10 (benar).
p: 0.4 m bersamaan dengan 400 mm (benar). ~p: 0.4 m tidak bersamaan dengan 400 mm (palsu).
Penafian bagi "Semua gandaan 5 ialah gandaan 10" bukan "Semua gandaan 5 bukan gandaan 10". Satu kes yang gagal (15) sudah cukup, maka tulis "Bukan semua ...".
Tulis ~p dan nilai kebenarannya bagi p: "Kon mempunyai satu muka melengkung."
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
~p: Kon tidak mempunyai satu muka melengkung. p benar, maka ~p palsu (Praktis Kendiri 3.1b no. 3).
Pernyataan majmuk: "dan" dan "atau"
Pernyataan majmuk ialah gabungan dua atau lebih pernyataan dengan perkataan "dan" (membawa maksud kedua-duanya) atau "atau" (membawa maksud salah satu atau kedua-duanya).
| p | q | p dan q | p atau q |
|---|---|---|---|
| Benar | Benar | Benar | Benar |
| Benar | Palsu | Palsu | Benar |
| Palsu | Benar | Palsu | Benar |
| Palsu | Palsu | Palsu | Palsu |
"dan" benar hanya apabila kedua-dua pernyataan benar. "atau" palsu hanya apabila kedua-dua pernyataan palsu.
Contoh 7 (m.s. 62)
(a) "2 dan −5 lebih besar daripada 4": palsu dan palsu, maka palsu.(b) "81 ialah nombor kuasa dua sempurna dan 6 ialah faktor bagi 18": benar dan benar, maka benar.
(c) "5 × 5 × 5 = 5³ atau √125 = 5": benar atau palsu, maka benar.
(d) "Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga atau segi empat ialah 360°": palsu atau benar, maka benar.
p: 8 ialah nombor kuasa tiga sempurna. q: 8 ialah nombor kuasa dua sempurna. Nyatakan nilai kebenaran "p dan q" dan "p atau q".
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
p benar (2³ = 8), q palsu. "p dan q" palsu; "p atau q" benar.
Implikasi
Dalam "jika p, maka q", p dikenali sebagai antejadian dan q sebagai akibat.
"p jika dan hanya jika q" terdiri daripada dua implikasi: jika p, maka q dan jika q, maka p.
"p jika dan hanya jika q" terdiri daripada dua implikasi: jika p, maka q dan jika q, maka p.
Contoh 8 hingga 11 (m.s. 64)
Antejadian: k boleh dibahagi tepat dengan 5. Akibat: k ialah gandaan 5. Implikasi: Jika k boleh dibahagi tepat dengan 5, maka k ialah gandaan 5."Jika x − y > 0, maka x > y": antejadian x − y > 0; akibat x > y.
"√r = 15 jika dan hanya jika r = 225" memberi: Implikasi 1: Jika √r = 15, maka r = 225. Implikasi 2: Jika r = 225, maka √r = 15.
Tulis dua implikasi bagi "x < 6 jika dan hanya jika x + 10 < 16".
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Implikasi 1: Jika x < 6, maka x + 10 < 16. Implikasi 2: Jika x + 10 < 16, maka x < 6.
Akas, songsangan dan kontrapositif
| Nama | Bentuk | Cara membina |
|---|---|---|
| Pernyataan (implikasi) | Jika p, maka q | Diberi |
| Akas | Jika q, maka p | Tukar tempat p dan q |
| Songsangan | Jika ~p, maka ~q | Nafikan kedua-duanya |
| Kontrapositif | Jika ~q, maka ~p | Tukar tempat dan nafikan |
| p | q | Jika p, maka q | Akas | Songsangan | Kontrapositif |
|---|---|---|---|---|---|
| Benar | Benar | Benar | Benar | Benar | Benar |
| Benar | Palsu | Palsu | Benar | Benar | Palsu |
| Palsu | Benar | Benar | Palsu | Palsu | Benar |
| Palsu | Palsu | Benar | Benar | Benar | Benar |
Implikasi "jika p, maka q" sentiasa benar kecuali apabila p benar dan q palsu. Jika antejadian palsu, implikasi benar tanpa bergantung pada akibatnya. Nilai kebenaran kontrapositif sama dengan implikasi; akas dan songsangan juga mempunyai nilai kebenaran yang sama (kedua-duanya kontrapositif kepada satu sama lain).
Contoh 12(c) dan Contoh 13 (m.s. 66 dan 68)
Pernyataan: Jika x = 5, maka x + 1 = 6. Akas: Jika x + 1 = 6, maka x = 5. Songsangan: Jika x ≠ 5, maka x + 1 ≠ 6. Kontrapositif: Jika x + 1 ≠ 6, maka x ≠ 5."Jika 2 × 3 = 6, maka 8 − 2 × 3 = 18": antejadian benar, akibat palsu (8 − 6 = 2), maka implikasi palsu. Akas benar, songsangan benar, kontrapositif palsu.
~p ialah pelengkap bagi p. Pelengkap bagi p² − q² > 0 ialah p² − q² ≤ 0.
Implikasi benar tidak bermakna akasnya benar. "Jika x > 4, maka x > 1" benar, tetapi akasnya "Jika x > 1, maka x > 4" palsu (x = 2).
Contoh penyangkal
Contoh penyangkal ialah satu kes yang menafikan kebenaran suatu pernyataan. Bagi setiap pernyataan palsu, sekurang-kurangnya satu contoh penyangkal boleh diberi.
Contoh 14 dan 15 (m.s. 69 dan 70)
"Semua poligon mempunyai hasil tambah sudut pedalaman 180°": palsu kerana pentagon mempunyai 540°."4 dan 8 ialah faktor bagi 20": palsu kerana 8 bukan faktor bagi 20.
Akas bagi "Jika x > 5, maka x > 3" ialah "Jika x > 3, maka x > 5": palsu kerana 4 > 3 tetapi 4 < 5.
Kontrapositif bagi "Jika k² > 0, maka k > 0" ialah "Jika k ≤ 0, maka k² ≤ 0": palsu kerana −2 < 0 tetapi (−2)² = 4 > 0.
Beri satu contoh penyangkal bagi pernyataan "Semua nombor perdana ialah nombor ganjil".
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
2 ialah nombor perdana tetapi 2 ialah nombor genap.
3.2Hujah
Proses membuat kesimpulan berdasarkan pernyataan dikenali sebagai penghujahan. Hujah terdiri daripada beberapa premis (pernyataan yang memberi maklumat sebelum kesimpulan dibuat) dan satu kesimpulan. Hujah ringkas biasanya terdiri daripada sekurang-kurangnya dua premis dan satu kesimpulan.
Pernyataan khusus merujuk satu kes tertentu (contohnya "Tinggi silinder P ialah 80 cm"). Pernyataan umum menerangkan suatu konsep secara menyeluruh (contohnya "Semua prisma mempunyai keratan rentas seragam").
| Jenis | Arah | Contoh |
|---|---|---|
| Hujah deduktif | Kesimpulan khusus dibina berdasarkan premis umum | Semua gandaan 6 ialah gandaan 2 dan gandaan 3. 72 ialah gandaan 6. Maka, 72 ialah gandaan 2 dan gandaan 3. |
| Hujah induktif | Kesimpulan umum dibina berdasarkan premis khusus | 2(1) = 2, 2(2) = 4, 2(3) = 6, ... Maka, pola 2, 4, 6, ... ialah 2n. |
Hujah deduktif atau induktif? "Sudut penggenap bagi 60° ialah 120°. Sudut penggenap bagi 45° ialah 135°. Maka, sudut penggenap bagi θ ialah 180° − θ."
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Hujah induktif: kes-kes khusus membawa kepada kesimpulan umum (Praktis Kendiri 3.2a no. 10).
Hujah deduktif yang sah dan munasabah
| Bentuk I | Bentuk II | Bentuk III | |
|---|---|---|---|
| Premis 1 | Semua A ialah B | Jika p, maka q | Jika p, maka q |
| Premis 2 | C ialah A | p adalah benar | Bukan q adalah benar |
| Kesimpulan | C ialah B | q adalah benar | Bukan p adalah benar |
Hujah deduktif sah jika bentuknya mematuhi salah satu daripada tiga bentuk di atas. Hujah deduktif munasabah jika hujah itu (i) sah, dan (ii) semua premis dan kesimpulannya benar.
Kesahan ditentukan oleh bentuk hujah, bukan oleh kebenaran premis atau kesimpulan. Premis yang benar tidak menjamin hujah sah; hujah yang sah boleh mempunyai premis palsu (sah tetapi tidak munasabah).
Contoh 17 dan hujah pelakon (m.s. 75 dan 76)
(a) Semua gandaan 16 ialah nombor genap. 64 ialah gandaan 16. Maka, 64 ialah nombor genap: sah dan munasabah (Bentuk I).(b) Semua bola keranjang berbentuk sfera. Bumi berbentuk sfera. Maka, Bumi ialah bola keranjang: tidak sah kerana tidak mematuhi bentuk hujah deduktif yang sah, maka juga tidak munasabah.
(c) Jika w < 9, maka w < 19. 4 < 9. Maka, 4 < 19: sah dan munasabah (Bentuk II).
(d) Semua pelakon pandai menari. Jasmine ialah pelakon. Maka, Jasmine pandai menari: sah tetapi tidak munasabah kerana Premis 1 palsu.
Hujah "Jika k ialah nombor genap, maka k + 1 ialah nombor ganjil. 8 + 1 ialah nombor ganjil. Maka, 8 ialah nombor genap" menyalin Bentuk II secara terbalik (mengesahkan akibat), maka tidak sah. "Jika k boleh dibahagi tepat dengan 8, maka k boleh dibahagi tepat dengan 4. 12 tidak boleh dibahagi tepat dengan 8. Maka, 12 tidak boleh dibahagi tepat dengan 4" menafikan antejadian, maka juga tidak sah (dan kesimpulannya sebenarnya palsu).
Sah dan munasabah? "Semua gandaan 5 ialah gandaan 10. 35 ialah gandaan 5. Maka, 35 ialah gandaan 10."
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Sah (Bentuk I) tetapi tidak munasabah, kerana Premis 1 dan kesimpulan tidak benar (35 bukan gandaan 10) (Praktis Kendiri 3.2b no. 1).
Membentuk hujah deduktif yang sah
Contoh 18 hingga 20 (m.s. 78 dan 79)
Lengkapkan kesimpulan (Bentuk I): Semua nombor bulat ialah nombor nyata. 38 ialah nombor bulat. Maka, 38 ialah nombor nyata.Lengkapkan Premis 2 (Bentuk III): Jika jualan tahunan Syarikat ANC melebihi tiga juta, maka pekerjanya mendapat bonus tiga bulan gaji. Pekerja Syarikat ANC tidak mendapat bonus tiga bulan gaji. Maka, jualan tahunan Syarikat ANC tidak melebihi tiga juta.
Lengkapkan Premis 1 (Bentuk I): Semua nombor perdana hanya mempunyai dua faktor. 37 ialah nombor perdana. Maka, 37 hanya mempunyai dua faktor.
Bagi Bentuk III, Premis 2 menafikan akibat dan kesimpulan menafikan antejadian. Bagi Bentuk II, Premis 2 mengesahkan antejadian dan kesimpulan ialah akibat.
Hujah induktif yang kuat dan meyakinkan
Hujah deduktif menekankan kesahan, manakala hujah induktif menekankan kekuatan. Hujah induktif kuat jika kesimpulan berkemungkinan besar benar dengan andaian semua premis benar. Hujah induktif yang kuat meyakinkan jika semua premisnya benar. Hujah yang lemah adalah tidak meyakinkan.
| Premis | Kesimpulan | Hujah induktif |
|---|---|---|
| Semua benar | Benar | Kuat dan meyakinkan |
| Ada premis yang palsu | Benar | Kuat tetapi tidak meyakinkan |
| Semua benar | Palsu atau mungkin palsu | Lemah dan tidak meyakinkan |
Contoh 21 (m.s. 81)
(a) Kerusi di ruang tamu, ruang makan, bilik bacaan dan bilik tidur adalah merah. Maka, semua kerusi di rumah adalah merah: lemah dan tidak meyakinkan (premis benar tetapi kesimpulan mungkin palsu).(b) 11 × 5 = 55 dan 12 × 5 = 60. Maka, semua gandaan 5 berakhir dengan digit 0 atau 5: kuat dan meyakinkan.
(c) 1, 2, 3 dan 5 ialah nombor perdana. Maka, semua nombor perdana boleh dibahagi tepat dengan 1 dan dirinya sendiri sahaja: kuat tetapi tidak meyakinkan, kerana premis "1 ialah nombor perdana" palsu.
Bilangan premis tidak menjamin hujah yang kuat. Kekuatan bergantung pada nilai kebenaran kesimpulan.
Kuat atau lemah, meyakinkan atau tidak? "Tikus mempunyai 4 kaki. Kucing mempunyai 4 kaki. Kuda mempunyai 4 kaki. Maka, semua haiwan mempunyai 4 kaki."
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Lemah dan tidak meyakinkan kerana kesimpulan mungkin palsu (burung mempunyai 2 kaki) (Praktis Kendiri 3.2d no. 6).
Membentuk hujah induktif yang kuat
Teliti beberapa contoh atau situasi yang khusus, perhatikan ciri yang sepunya, kemudian buat satu kesimpulan umum.
Contoh 22 (m.s. 83)
Pola 0, 9, 24, 45, ...0 = 3(1)² − 3, 9 = 3(2)² − 3, 24 = 3(3)² − 3, 45 = 3(4)² − 3
Kesimpulan umum: 3n² − 3; n = 1, 2, 3, 4, ...
Pola 1, 3, 5, 7, ...: 2n + 1; n = 0, 1, 2, 3, ...
Bentuk kesimpulan induktif bagi pola 270, 520, 770, 1 020, ... (kereta mainan yang dihasilkan).
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Beza ialah 250 dan 270 = 250(1) + 20. Maka, 250n + 20; n = 1, 2, 3, 4, ...
Menyelesaikan masalah
Buku teks menyusun jawapan dalam empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan kesimpulan, kemudian semak jawapan.
Contoh 23 (m.s. 84): P(t) = 2t
(a) Hari ke-8 (kesimpulan deduktif): P(8) = 28 = 256 sel baharu.(b) 2t = 2 048 = 211, maka t = 11: pada hari ke-11.
Contoh 24 (m.s. 85 dan 86): Kilang TOY, 250n + 20
Kilang beroperasi pukul 7 pagi hingga 10 malam, iaitu 15 jam sehari, maka n = 15: 250(15) + 20 = 3 770 kereta mainan sehari. Dalam 5 hari: 3 770 × 5 = 18 850, kurang daripada 25 000, maka pesanan tidak dapat disiapkan.Cadangan: panjangkan waktu operasi kepada 20 jam sehari: 250(20) + 20 = 5 020; 5 020 × 5 = 25 100 (≥ 25 000).
Praktis Kendiri 3.2f no. 1 (m.s. 87): bayaran letak kereta
Dari 0750 hingga 1725 ialah 9 jam 35 minit, dikira 10 jam. Jam pertama RM6.00; jam ke-2 hingga ke-6 ialah 5 jam × RM5.00 = RM25.00; jam ke-7 hingga ke-10 ialah 4 jam × RM3.00 = RM12.00. Jumlah: 6 + 25 + 12 = RM43.00.Nyatakan jenis penaakulan: "secara deduktif" apabila anda menggantikan nilai ke dalam rumus yang diberi, "secara induktif" apabila anda membina rumus daripada pola.
Bilangan penduduk Taman Gembira ialah g(t) = 250(t² + t + 100), t ialah bilangan tahun. Pada 1 Januari 2012, t = 0. Berapakah penduduk pada 31 Disember 2016, dan bilakah penduduk mencapai 77 500?
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
g(0) = 250 × 100 = 25 000 (sepadan). 31 Disember 2016 ialah t = 5: g(5) = 250(25 + 5 + 100) = 32 500 orang. 250(t² + t + 100) = 77 500 memberi t² + t − 210 = 0, (t + 15)(t − 14) = 0, maka t = 14 (tahun ke-14) (Praktis Kendiri 3.2f no. 2).