Matematik notesnota, bab 4

Operasi Set

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 94–127

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menentukan dan menghuraikan persilangan set dengan pelbagai perwakilan (senarai, tatatanda set dan gambar rajah Venn), dan menulisnya dengan simbol ∩ (4.1.1)
Saya boleh menentukan pelengkap bagi persilangan set, menyenaraikan unsurnya dan melorekkan kawasannya pada gambar rajah Venn (4.1.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan persilangan set (4.1.3)
Saya boleh menentukan dan menghuraikan kesatuan set dengan pelbagai perwakilan, dan menulisnya dengan simbol ∪ (4.2.1)
Saya boleh menentukan pelengkap bagi kesatuan set, menyenaraikan unsurnya dan melorekkan kawasannya pada gambar rajah Venn (4.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan kesatuan set menggunakan gambar rajah Venn dua set dan tiga set (4.2.3)
Saya boleh menentukan dan menghuraikan gabungan operasi set, seperti (P ∪ Q) ∩ R, dengan menyelesaikan operasi dalam kurungan dahulu (4.3.1)
Saya boleh menentukan pelengkap bagi gabungan operasi set, seperti (A ∪ B)′ ∩ C, dan melorekkan kawasannya (4.3.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan gabungan operasi set (4.3.3)

Operasi set digunakan untuk mewakili, mengumpul dan mengkaji data yang serupa dalam kehidupan harian, misalnya dalam pengaturcaraan, statistik, ekonomi dan pasaran saham. Dalam Bab 4 ini anda menggabungkan set dengan tiga operasi: persilangan (∩), kesatuan (∪) dan pelengkap (′), kemudian menggunakan gambar rajah Venn dengan dua atau tiga set untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan bilangan.

Teori set dicipta oleh ahli matematik Jerman Georg Cantor (1845–1918). Dalam gambar rajah Venn, segi empat tepat ξ ialah set semesta dan bulatan atau bentuk lain ialah set yang menjadi sebahagian daripadanya.

Bahasa Melayu	Inggeris
persilangan	intersection
kesatuan	union
pelengkap	complement
set, set kosong, subset	set, empty set, subset
tatatanda set, unsur	set notation, element

4.1Persilangan Set

Apakah persilangan set?

Persilangan set wujud apabila terdapat lebih daripada satu set. Sebagai contoh, antara sekumpulan murid, ada yang suka durian sahaja, ada yang suka rambutan sahaja dan ada yang suka kedua-duanya. Murid yang suka kedua-dua buah itu ialah persilangan set A dan set B.

Persilangan set P dan set Q ditulis P ∩ Q. P ∩ Q ialah set yang mengandungi unsur-unsur sepunya bagi kedua-dua set P dan set Q.

Dua bulatan P dan Q bertindih dalam segi empat tepat; hanya kawasan bertindih dilorek — P ∩ Q: kawasan yang bertindih

Dua bulatan P dan Q bertindih dalam segi empat tepat; semua kawasan kecuali yang bertindih dilorek — P ∩ Q: kawasan yang bertindih

Contoh 1 (seperti buku teks m.s. 98)

Diberi set semesta, ξ = {x : x ialah integer, 1 ≤ x ≤ 10}, set P = {x : x ialah nombor ganjil}, set Q = {x : x ialah nombor perdana} dan set R = {x : x ialah gandaan 3}. (a) Senaraikan P ∩ Q, P ∩ R, Q ∩ R dan P ∩ Q ∩ R. (b) Nyatakan n(P ∩ Q).

Senaraikan setiap set: P = {1, 3, 5, 7, 9}, Q = {2, 3, 5, 7}, R = {3, 6, 9}.
(a) P ∩ Q = {3, 5, 7}; P ∩ R = {3, 9}; Q ∩ R = {3}; P ∩ Q ∩ R = {3} (hanya 3 terdapat dalam ketiga-tiga set).
(b) n(P ∩ Q) = 3.

Gambar rajah Venn ξ = 1 hingga 10 dengan set P, Q dan R; kawasan P ∩ Q dilorek dan mengandungi 3, 5 dan 7 — P ∩ Q dilorek. Unsur 3 terdapat dalam P, Q dan R.

Unsur yang terdapat dalam ketiga-tiga set terletak di tengah gambar rajah Venn. Letakkan unsur itu dahulu, kemudian isi kawasan dua set yang bertindih, dan akhir sekali kawasan satu set sahaja.

Contoh 3 (seperti buku teks m.s. 99)

A = {nombor pada dadu}, B = {nombor genap pada dadu} dan C = {7, 8, 9}. Senaraikan A ∩ B, B ∩ C dan A ∩ C.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6}, C = {7, 8, 9}.
A ∩ B = {2, 4, 6}. Semua unsur set B terdapat dalam set A, maka A ∩ B = B.
B ∩ C = { } dan A ∩ C = φ. Set B dan set C tidak mempunyai unsur sepunya, jadi dalam gambar rajah Venn keduanya dilukis berasingan.

B berada di dalam A dan dilorek; C ialah bulatan berasingan dengan 7, 8 dan 9 — B ⊂ A, maka A ∩ B = B. Set C tidak bertindih dengan A.

Set kosong ialah set yang tidak mengandungi sebarang unsur dan diwakili oleh simbol φ atau { }. Set B ialah subset bagi set A (B ⊂ A) apabila semua unsur set B terdapat dalam set A.

Jika B ⊂ A, maka A ∩ B = B (set yang lebih kecil), bukan A. Jika dua set tidak mempunyai unsur sepunya, jawapannya set kosong φ, bukan "0". Perbezaan: n(φ) = 0 ialah bilangan unsur.

ξ = {x : x ialah integer, 1 ≤ x ≤ 12}, M = {nombor ganjil} dan N = {gandaan 3}. a) Senaraikan M ∩ N. b) A = {huruf dalam "GIGIH"}, B = {huruf dalam "DEDIKASI"} dan C = {huruf dalam "JUJUR"}. Senaraikan A ∩ B, A ∩ C dan B ∩ C.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) M = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, N = {3, 6, 9, 12}, maka M ∩ N = {3, 9}
b) A = {G, I, H}, B = {D, E, I, K, A, S}, C = {J, U, R}. A ∩ B = {I}, A ∩ C = { } dan B ∩ C = { }

Pelengkap bagi persilangan set

Pelengkap bagi persilangan set A dan set B ditulis (A ∩ B)′ dan dibaca "pelengkap bagi persilangan set A dan set B". Ia mengandungi semua unsur dalam ξ yang bukan dalam A ∩ B. Selesaikan dalam dua langkah: cari A ∩ B, kemudian ambil semua unsur lain dalam ξ.

Contoh 4 (seperti buku teks m.s. 100)

ξ = {x : x ialah integer, 1 ≤ x ≤ 8}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6} dan C = {1, 2, 3, 4}. Senaraikan unsur dan nyatakan bilangan unsur bagi (a) (A ∩ B)′ (b) (A ∩ C)′ (c) (A ∩ B ∩ C)′.

(a) A ∩ B = {2, 4, 6}, maka (A ∩ B)′ = {1, 3, 5, 7, 8} dan n((A ∩ B)′) = 5.
(b) A ∩ C = {1, 2, 3, 4}, maka (A ∩ C)′ = {5, 6, 7, 8} dan n((A ∩ C)′) = 4.
(c) A ∩ B ∩ C = {2, 4}, maka (A ∩ B ∩ C)′ = {1, 3, 5, 6, 7, 8} dan n((A ∩ B ∩ C)′) = 6.

Gambar rajah Venn ξ = 1 hingga 8 dengan B di dalam A; semua kawasan kecuali B dilorek — (A ∩ B)′: lorek semua kecuali A ∩ B (= B), termasuk 7 dan 8 di luar A.

Dalam gambar rajah Venn, pelengkap bagi persilangan diwakili oleh rantau berlorek di luar kawasan persilangan, termasuk unsur yang terletak di luar semua set. Dalam Contoh 4, n(A ∩ B) + n((A ∩ B)′) = 3 + 5 = 8 = n(ξ).

(A ∩ B)′ tidak sama dengan A′ ∩ B′. (A ∩ B)′ mengecualikan hanya unsur sepunya, manakala A′ ∩ B′ mengecualikan semua unsur A dan semua unsur B.

Contoh 5 (seperti buku teks m.s. 101)

Aktiviti kokurikulum tiga orang murid ialah P = {Pengakap, Matematik, Hoki}, Q = {Kadet Polis, Sejarah, Badminton} dan R = {Pengakap, Sejarah, Bola Sepak}. Senaraikan (a) (P ∩ R)′ (b) (R ∩ Q)′ (c) (P ∩ Q ∩ R)′. Set semesta ialah semua tujuh aktiviti.

(a) P ∩ R = {Pengakap}, maka (P ∩ R)′ = {Matematik, Hoki, Bola Sepak, Sejarah, Badminton, Kadet Polis}.
(b) R ∩ Q = {Sejarah}, maka (R ∩ Q)′ = {Pengakap, Matematik, Hoki, Bola Sepak, Badminton, Kadet Polis}.
(c) P ∩ Q ∩ R = { }, maka (P ∩ Q ∩ R)′ = ξ, iaitu semua tujuh aktiviti.

ξ = {1, 2, …, 8}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6}. Senaraikan (A ∩ B)′ dan nyatakan bilangan unsurnya.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

A ∩ B = {2, 4, 6} (kerana B ⊂ A). Maka (A ∩ B)′ = {1, 3, 5, 7, 8} dan bilangan unsurnya ialah 5.

Masalah yang melibatkan persilangan set

Buku teks menyelesaikan masalah dalam empat peringkat: memahami masalah, merancang strategi (takrifkan ξ dan setiap set, lukis gambar rajah Venn), melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan. Mulakan mengisi dari tengah (persilangan) ke luar.

Contoh 6 (seperti buku teks m.s. 103)

Seramai 140 orang murid tingkatan lima diberi peluang menyertai kelas intensif Sejarah dan Bahasa Melayu. 65 orang memilih kelas Bahasa Melayu, 70 orang memilih kelas Sejarah dan 50 orang memilih kedua-duanya. Hitung (a) jumlah murid yang menyertai kelas intensif, (b) bilangan murid yang tidak menyertai sebarang kelas.

Letakkan n(B ∩ S) = 50 di tengah.
Bahasa Melayu sahaja = 65 − 50 = 15. Sejarah sahaja = 70 − 50 = 20.
(a) Menyertai kelas intensif = 15 + 50 + 20 = 85.
(b) Tidak menyertai = 140 − 85 = 55.

Gambar rajah Venn: Bahasa Melayu sahaja 15, kedua-dua 50, Sejarah sahaja 20, di luar 55

65 ialah bilangan murid yang memilih Bahasa Melayu secara keseluruhan, termasuk 50 orang yang juga memilih Sejarah. Jangan tulis 65 dalam bahagian "Bahasa Melayu sahaja".

Contoh 7 (seperti buku teks m.s. 104)

200 orang pelajar universiti disoal selidik tentang alat teknologi. 155 orang memiliki telefon bimbit (B), 90 orang memiliki komputer riba (K) dan 37 orang memiliki tablet (T). 4 orang memiliki komputer riba dan tablet sahaja, 50 orang memiliki telefon bimbit dan komputer riba sahaja, 5 orang memiliki telefon bimbit dan tablet sahaja dan 83 orang memiliki telefon bimbit sahaja. Hitung bilangan pelajar yang memiliki (a) ketiga-tiga alat dan (b) tidak memiliki ketiga-tiga alat itu.

Isikan kawasan yang diketahui: B sahaja = 83, B dan K sahaja = 50, B dan T sahaja = 5, K dan T sahaja = 4.
Ketiga-tiga: x = 155 − 83 − 50 − 5 = 17.
K sahaja: y = 90 − 50 − 4 − 17 = 19. T sahaja: p = 37 − 5 − 17 − 4 = 11.
Tiada satu pun: q = 200 − 83 − 50 − 5 − 4 − 17 − 19 − 11 = 11.

Gambar rajah Venn tiga set: B sahaja 83, B dan K sahaja 50, K sahaja 19, B dan T sahaja 5, ketiga-tiga 17, K dan T sahaja 4, T sahaja 11, di luar 11

(a) 17 orang pelajar memiliki ketiga-tiga alat. (b) 11 orang pelajar tidak memiliki mana-mana alat itu.

A = {ahli Kelab Seni} dan B = {ahli Kelab Sains}. n(A) = 15, n(B) = 22 dan n(A ∩ B) = 7. a) Berapa ahli Kelab Sains sahaja? b) Berapakah jumlah ahli bagi kedua-dua kelab itu?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 22 − 7 = 15
b) Seni sahaja = 15 − 7 = 8, maka jumlah = 8 + 7 + 15 = 30

4.2Kesatuan Set

Apakah kesatuan set?

Kesatuan set P dan set Q ditulis P ∪ Q. P ∪ Q mewakili semua unsur dalam set P atau set Q atau kedua-dua set P dan set Q. Setiap unsur ditulis sekali sahaja.

Dua bulatan P dan Q bertindih; kedua-dua bulatan dilorek sepenuhnya — P ∪ Q: kedua-dua bulatan

Dua bulatan P dan Q bertindih; hanya kawasan di luar kedua-dua bulatan dilorek — P ∪ Q: kedua-dua bulatan

Contoh 8 (seperti buku teks m.s. 108)

P = {faktor bagi 24}, Q = {gandaan 3 yang kurang daripada 20} dan R = {gandaan 4 yang kurang daripada 20}. Senaraikan (a) P ∪ Q (b) P ∪ R (c) Q ∪ R (d) P ∪ Q ∪ R.

P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, R = {4, 8, 12, 16}.
(a) P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 18, 24}.
(b) P ∪ R = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24}.
(c) Q ∪ R = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18}.
(d) P ∪ Q ∪ R = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 24}.

Gambar rajah Venn tiga set P, Q dan R dengan semua kawasan dilorek; 12 berada di tengah — P ∪ Q ∪ R ialah semua kawasan yang dilorek.

Untuk dua set: n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) − n(P ∩ Q). Menambah n(P) dan n(Q) mengira unsur sepunya dua kali, maka tolak sekali. Semakan Contoh 8(a): n(P) + n(Q) − n(P ∩ Q) = 8 + 6 − 3 = 11 ✓

Jangan tulis unsur sepunya dua kali apabila menyenaraikan kesatuan. Dalam Contoh 8(a), 3, 6 dan 12 ditulis sekali sahaja.

Pelengkap bagi kesatuan set

(A ∪ B)′ dibaca "pelengkap bagi kesatuan set A atau set B". Ia mengandungi semua unsur dalam ξ yang bukan dalam set A dan bukan dalam set B. Cari A ∪ B dahulu, kemudian senaraikan baki unsur dalam ξ.

Contoh 9 (seperti buku teks m.s. 110)

ξ = {x : x ialah integer, 50 ≤ x ≤ 60}, G = {nombor perdana}, H = {gandaan 4} dan I = {gandaan 5}. Senaraikan unsur dan nyatakan bilangan unsur bagi (a) (G ∪ H)′ (b) (G ∪ I)′ (c) (H ∪ I)′ (d) (G ∪ H ∪ I)′.

ξ = {50, 51, …, 60}, G = {53, 59}, H = {52, 56, 60}, I = {50, 55, 60}.
(a) G ∪ H = {52, 53, 56, 59, 60}, maka (G ∪ H)′ = {50, 51, 54, 55, 57, 58}; n = 6.
(b) G ∪ I = {50, 53, 55, 59, 60}, maka (G ∪ I)′ = {51, 52, 54, 56, 57, 58}; n = 6.
(c) H ∪ I = {50, 52, 55, 56, 60}, maka (H ∪ I)′ = {51, 53, 54, 57, 58, 59}; n = 6.
(d) G ∪ H ∪ I = {50, 52, 53, 55, 56, 59, 60}, maka (G ∪ H ∪ I)′ = {51, 54, 57, 58}; n = 4.

Contoh 10 (seperti buku teks m.s. 111)

Tiga agensi pelancongan A, B dan C dipilih untuk mengadakan pameran di Sarawak. ξ = {Kapit, Miri, Bintulu, Sibu, Limbang, Mukah, Kuching, Betong}, A = {Miri, Sibu, Kuching, Betong}, B = {Miri, Sibu, Kapit, Limbang} dan C = {Miri, Betong, Kapit, Mukah}. Senaraikan (a) (A ∪ B)′ (b) (B ∪ C)′ (c) (A ∪ B ∪ C)′.

(a) A ∪ B = {Kapit, Miri, Sibu, Limbang, Kuching, Betong}, maka (A ∪ B)′ = {Mukah, Bintulu}.
(b) B ∪ C = {Kapit, Miri, Sibu, Limbang, Betong, Mukah}, maka (B ∪ C)′ = {Kuching, Bintulu}.
(c) A ∪ B ∪ C = {Kapit, Miri, Sibu, Limbang, Mukah, Betong, Kuching}, maka (A ∪ B ∪ C)′ = {Bintulu}.

Gambar rajah Venn tiga set A, B dan C dengan nama bandar; kawasan di luar ketiga-tiga set dilorek dan hanya mengandungi Bintulu — (A ∪ B ∪ C)′: hanya Bintulu berada di luar ketiga-tiga set.

a) A = {a, e, i}, B = {b, e, u} dan C = {c, i, u, e}. Senaraikan A ∪ B dan A ∪ B ∪ C. b) ξ = {1, 2, …, 12}, X = {gandaan 4} dan Y = {faktor bagi 12}. Senaraikan (X ∪ Y)′.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) A ∪ B = {a, b, e, i, u}; A ∪ B ∪ C = {a, b, c, e, i, u}
b) X = {4, 8, 12}, Y = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, X ∪ Y = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}, maka (X ∪ Y)′ = {5, 7, 9, 10, 11}

Masalah yang melibatkan kesatuan set

Contoh 11 (seperti buku teks m.s. 113)

26 orang murid menyertai program pengakap di tepi sungai: berkayak dan memancing ikan. 18 orang berkayak, 15 orang memancing ikan dan 9 orang terlibat dengan kedua-dua aktiviti. Berapakah bilangan murid yang terlibat dalam aktiviti program itu?

ξ = {jumlah murid}, A = {berkayak}, B = {memancing ikan}. Letakkan 9 di tengah.
Berkayak sahaja = 18 − 9 = 9. Memancing sahaja = 15 − 9 = 6.
Tidak terlibat = 26 − 9 − 9 − 6 = 2.
n(A ∪ B) = 26 − 2 = 24. Semakan: 9 + 9 + 6 = 24 ✓

Gambar rajah Venn: berkayak sahaja 9, kedua-dua 9, memancing sahaja 6, di luar 2

Contoh 12 (seperti buku teks m.s. 114)

100 orang dewasa dikaji tentang bahan bacaan pilihan. 40 orang memilih surat khabar, 25 majalah dan 18 buku cerita; 8 orang memilih surat khabar dan majalah, 7 orang majalah dan buku cerita, 5 orang surat khabar dan buku cerita, dan 3 orang memilih ketiga-tiga. Berapakah bilangan yang tidak memilih sebarang bahan bacaan?

Ketiga-tiga = 3 di tengah.
Dua sahaja: surat khabar dan majalah = 8 − 3 = 5; majalah dan buku cerita = 7 − 3 = 4; surat khabar dan buku cerita = 5 − 3 = 2.
Satu sahaja: surat khabar = 40 − 5 − 3 − 2 = 30; majalah = 25 − 5 − 3 − 4 = 13; buku cerita = 18 − 3 − 4 − 2 = 9.
n(P ∪ Q ∪ R)′ = 100 − 5 − 3 − 4 − 2 − 30 − 13 − 9 = 34.

Gambar rajah Venn tiga set: surat khabar sahaja 30, majalah sahaja 13, buku cerita sahaja 9, dua sahaja 5, 4 dan 2, ketiga-tiga 3, di luar 34

Untuk tiga set, isi persilangan ketiga-tiga set dahulu, lalu tolak nilainya apabila mengisi kawasan dua set yang bertindih. Akhir sekali, semak bahawa jumlah semua kawasan ialah n(ξ).

a) n(ξ) = 35, n(K) = 15, n(L) = 9 dan n(K ∩ L) = 5. Berapa unsur tidak berada dalam K atau L? b) 150 orang murid mengambil ujian Sains dan Matematik. 40% lulus Sains, 30% lulus kedua-duanya dan 8% gagal kedua-duanya. Berapa orang lulus Matematik?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) n(K ∪ L) = 15 + 9 − 5 = 19, maka 35 − 19 = 16
b) Sains 60, kedua-dua 45, gagal kedua-duanya 12, maka n(S ∪ M) = 150 − 12 = 138. 60 + n(M) − 45 = 138, maka n(M) = 123

4.3Gabungan Operasi Set

Persilangan dan kesatuan bersama

Gabungan operasi set melibatkan kedua-dua persilangan (∩) dan kesatuan (∪) pada masa yang sama. Gabungan operasi set diselesaikan dari kiri ke kanan, tetapi jika terdapat operasi dalam kurungan, operasi itu mesti diselesaikan dahulu.

Ungkapan	Maksud	Langkah
(P ∪ Q) ∩ R	dalam P atau Q, dan juga dalam R	P ∪ Q dahulu, kemudian ∩ R
Q ∪ (P ∩ R)	dalam Q, atau dalam kedua-dua P dan R	P ∩ R dahulu, kemudian ∪ Q
A′ ∩ (B ∪ C)	bukan dalam A, tetapi dalam B atau C	A′ dan B ∪ C, kemudian ∩
(A ∩ C)′ ∪ (B ∩ C)	bukan dalam A ∩ C, atau dalam B ∩ C	(A ∩ C)′ dan B ∩ C, kemudian ∪

Contoh 13 (seperti buku teks m.s. 116–117)

Hobi sekumpulan murid: Arif menyanyi; Zarif melukis; Lily menari; Emy menari dan menyanyi; Getha melukis; Iris melukis, menyanyi dan menari; Alan menyanyi dan menari; May menari dan melukis; Jay menyanyi dan melukis; Nani menari. P = {murid yang menyanyi}, Q = {murid yang menari} dan R = {murid yang melukis}. Senaraikan (a) (P ∪ Q) ∩ R (b) Q ∪ (P ∩ R).

P = {Arif, Emy, Iris, Alan, Jay}, Q = {Lily, Emy, Iris, Alan, May, Nani}, R = {Zarif, Getha, Iris, May, Jay}.
(a) P ∪ Q = {Arif, Emy, Iris, Alan, Jay, Lily, May, Nani}. Antaranya, yang juga dalam R: (P ∪ Q) ∩ R = {May, Iris, Jay}.
(b) P ∩ R = {Iris, Jay}. Q ∪ (P ∩ R) = {Lily, Emy, Iris, Alan, May, Nani, Jay}.

Gambar rajah Venn tiga set P, Q dan R dengan nama murid; bahagian R yang berada dalam P atau Q dilorek: Iris, Jay dan May — (P ∪ Q) ∩ R: bahagian R yang juga dalam P atau Q.

Melorek gabungan operasi set

Lorek setiap bahagian ungkapan secara berasingan, kemudian gabungkan: untuk ∩, ambil hanya kawasan yang dilorek oleh kedua-dua bahagian; untuk ∪, ambil kawasan yang dilorek oleh mana-mana bahagian.

Gambar rajah Venn P, Q dan R; bahagian R yang berada dalam P atau Q dilorek — (P ∪ Q) ∩ R: lorek P ∪ Q dan R, kemudian ambil bahagian yang sama.

Pelengkap bagi gabungan operasi set

Pelengkap bagi gabungan operasi set melibatkan pelengkap bagi salah satu persilangan (∩) atau kesatuan (∪), atau kedua-dua persilangan dan kesatuan. Ia diselesaikan dari kiri ke kanan, tetapi operasi dalam kurungan mesti diselesaikan dahulu.

Contoh 14 (seperti buku teks m.s. 118–119)

ξ = {x : x ialah integer, 30 ≤ x ≤ 40}, A = {x : x ialah gandaan 3}, B = {x : hasil tambah dua digit ialah nombor ganjil} dan C = {30, 32, 35, 39, 40}. Senaraikan (a) (A ∪ B)′ ∩ C (b) A′ ∩ (B ∪ C) (c) (A ∩ C)′ ∪ (B ∩ C).

ξ = {30, 31, …, 40}, A = {30, 33, 36, 39}, B = {30, 32, 34, 36, 38}, C = {30, 32, 35, 39, 40}.
(a) (A ∪ B)′ = {31, 35, 37, 40}; C = {30, 32, 35, 39, 40}; (A ∪ B)′ ∩ C = {35, 40}.
(b) A′ = {31, 32, 34, 35, 37, 38, 40}; B ∪ C = {30, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40}; A′ ∩ (B ∪ C) = {32, 34, 35, 38, 40}.
(c) (A ∩ C)′ = {31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40}; B ∩ C = {30, 32}; (A ∩ C)′ ∪ (B ∩ C) = {30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40}. Hanya 39 tiada, kerana 39 berada dalam A ∩ C tetapi bukan dalam B ∩ C.

Gambar rajah Venn ξ = 30 hingga 40 dengan A, B dan C; bahagian C di luar A dan B dilorek, mengandungi 35 dan 40 — (A ∪ B)′ ∩ C: bahagian C yang berada di luar A dan di luar B.

(A ∪ B) ∩ C dan A ∪ (B ∩ C) ialah dua set yang berbeza. Kurungan mengubah jawapan: dalam Contoh 14, A ∪ (B ∩ C) = {30, 33, 36, 39} ∪ {30, 32} = {30, 32, 33, 36, 39}, tetapi (A ∪ B) ∩ C = {30, 32, 39}.

ξ = {x : x ialah integer, 10 ≤ x ≤ 20}, L = {gandaan 2}, M = {13, 16, 19} dan N = {gandaan 5}. Senaraikan a) L′ ∩ (M ∪ N) b) (M ∪ N)′ ∩ L.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

L = {10, 12, 14, 16, 18, 20}, N = {10, 15, 20}, M ∪ N = {10, 13, 15, 16, 19, 20}
a) L′ = {11, 13, 15, 17, 19}, maka L′ ∩ (M ∪ N) = {13, 15, 19}
b) (M ∪ N)′ = {11, 12, 14, 17, 18}, maka (M ∪ N)′ ∩ L = {12, 14, 18}

Masalah yang melibatkan gabungan operasi set

Contoh 15 (seperti buku teks m.s. 121)

Dalam pertandingan sukan Taman Bahagia, 35 orang menyertai bola sepak (A), 24 orang pingpong (B) dan 13 orang badminton (C). 4 orang menyertai bola sepak dan pingpong sahaja, 8 orang pingpong dan badminton sahaja, 2 orang menyertai ketiga-tiganya, dan tiada peserta menyertai badminton dan bola sepak sahaja. Hitung bilangan peserta yang hanya menyertai satu pertandingan sahaja.

A dan B sahaja = 4 − 2 = 2; B dan C sahaja = 8 − 2 = 6; A dan C sahaja = 0; ketiga-tiga = 2.
Bola sepak sahaja = 35 − 2 − 0 − 2 = 31 (sama dengan 35 − 4 = 31).
Badminton sahaja = 13 − 6 − 2 = 5.
Pingpong sahaja = 24 − 2 − 6 − 2 = 14.
Satu pertandingan sahaja = 31 + 14 + 5 = 50.

Gambar rajah Venn tiga set: bola sepak sahaja 31, pingpong sahaja 14, badminton sahaja 5, A dan B sahaja 2, B dan C sahaja 6, A dan C sahaja 0, ketiga-tiga 2

Sebuah kedai buku mengkaji 200 orang pelanggan. 114 orang membeli buku bukan fiksyen, 52 orang membeli buku fiksyen dan 27 orang membeli kedua-duanya. Hitung bilangan pelanggan yang (a) membeli buku fiksyen sahaja, (b) membeli buku bukan fiksyen sahaja, (c) tidak membeli sebarang buku.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

a) 52 − 27 = 25
b) 114 − 27 = 87
c) n(ξ) − (25 + 27 + 87) = 200 − 139 = 61

Refleksi kendiri: lapan kawasan

Buku teks meminta anda menyatakan kawasan yang diwakili oleh dua puluh ungkapan pada gambar rajah Venn tiga set yang berlabel I hingga VIII. Berikut ialah contoh ungkapan dengan jawapannya.

Gambar rajah Venn tiga set P, Q dan R dengan kawasan berlabel I hingga VII di dalam set dan VIII di luar — I ialah P sahaja, II ialah P dan Q sahaja, III ialah Q sahaja, IV ialah Q dan R sahaja, V ialah ketiga-tiga, VI ialah P dan R sahaja, VII ialah R sahaja, VIII ialah di luar semua set.

Ungkapan	Kawasan
P	I, II, V, VI
Q′	I, VI, VII, VIII
P ∩ Q	II, V
(P ∩ Q ∩ R)′	I, II, III, IV, VI, VII, VIII
P ∩ (Q ∪ R)	II, V, VI
P ∪ (Q ∩ R)	I, II, IV, V, VI
(P ∪ Q ∪ R)′	VIII
P′ ∩ (Q ∪ R)	III, IV, VII
(P ∩ Q)′ ∪ (Q ∩ R)	I, III, IV, V, VI, VII, VIII

Nyatakan kawasan bagi Q ∩ (P ∪ R) dan (P ∩ Q)′ ∪ (Q ∪ R)′.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Q ∩ (P ∪ R): II, IV, V (bahagian Q yang juga dalam P atau R).
(P ∩ Q)′ = I, III, IV, VI, VII, VIII; (Q ∪ R)′ = I, VIII, jadi kesatuan = I, III, IV, VI, VII, VIII.

Eksplorasi Matematik (m.s. 127): lukis dua gambar rajah Venn yang menunjukkan makanan seimbang untuk sarapan, makan tengah hari dan makan malam berdasarkan piramid makanan, dengan K = {sarapan}, L = {makan tengah hari} dan M = {makan malam}.

Peta konsep

Idea	Fakta penting	Contoh
Persilangan P ∩ Q	Unsur sepunya bagi P dan Q	{1, 3, 5} ∩ {3, 5, 7} = {3, 5}
Kesatuan P ∪ Q	Unsur dalam P atau Q atau kedua-duanya; setiap unsur sekali sahaja	{1, 3, 5} ∪ {3, 5, 7} = {1, 3, 5, 7}
Pelengkap bagi hasilnya	(P ∩ Q)′ dan (P ∪ Q)′: cari bahagian dalam dahulu, kemudian ambil baki ξ	n(P ∩ Q) + n((P ∩ Q)′) = n(ξ)
Bilangan unsur, dua set	n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) − n(P ∩ Q)	8 + 6 − 3 = 11
Gabungan operasi set	Kurungan dahulu, kemudian kiri ke kanan	(A ∪ B) ∩ C boleh berbeza daripada A ∪ (B ∩ C)
Masalah gambar rajah Venn	Isi dari tengah ke luar; semak jumlah kawasan ialah n(ξ)	31 + 14 + 5 + 2 + 6 + 2 = 60

Rajah Venn dilukis semula untuk laman ini. Nota dan contoh mengikut buku teks Matematik Tingkatan 4 KSSM, Bab 4 Operasi Set, m.s. 94–127.